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    内点罚函数算法

    算法

    在这里插入图片描述

    算例

    在这里插入图片描述

    matlab程序

    function [x,val]=neidian(x0,epsilon)
    m(1)=1;
    c=10;% c为递增系数
    for k=1:100
        e=m(k);
        x0=bfgs('ndfz','dndfz',x0);
        f1=zzzz(x0,e);
        if(norm(f1)<=epsilon)
            break
        else
            m(k+1)=c*m(k);
        end
    end
    x=x0;
    val=mbf(x0);
    
    function f=ndfz(x,mu)
    f=log(1+x(1)^2)-x(2)+mu^(-1)*(log((1+x(1)^2)^2+x(2)^2-4));\
    
    function df=dndfz(x,mu)
    df=[2*x(1)/(1+x(1)^2)+mu^(-1)*4*x(1)*(1+x(1)^2)/((1+x(1)^2)^2+x(2)^2-4)
        -1+mu^(-1)*2*x(2)/((1+x(1)^2)^2+x(2)^2-4)];
    
    function f1=zzzz(x,mu)%终止准则
    f1=mu^(-1)*(log((1+x(1)^2)^2+x(2)^2-4));
    

    测试文件

    clear;
    clc;
    x0=[2,2];
    epsilon=1e-4;
    [x,val]=neidian(x0,epsilon)
    

    输出结果

    在这里插入图片描述

    这个结果问题同外点法,表示暂时不想排错了…哎

    展开全文
  • MATLAB的梯度法,内点法,外点法,罚函数,惩罚函数,线性梯度法,源程序,按照提示输入,可直接运行-MATLAB' s gradient method, interior point method, outside the point of law, penalty function, penalty ...
  • 主要介绍了约束优化问题中的KKT条件;拉格朗日对偶问题,包括原始问题与对偶问题的关系、对偶上升法、对偶分解法等;内外点罚函数法,具体包括外点法和内点法。

    1 KKT条件

    1.1 什么是KKT条件

    对于具有等式和不等式约束的一般优化问题 m i n f ( x ) s . t .    g j ( x ) ≤ 0 ( j = 1 , 2 , … , l )              h k ( x ) = 0 ( k = 1 , 2 , … , m ) \begin{aligned}&minf(\bold x) \\ &s.t.\;g_j(\bold x)\leq0(j=1,2,\dots ,l)\\&\;\;\;\;\;\;h_k(\bold x)=0(k=1,2,\dots ,m)\end{aligned} minf(x)s.t.gj(x)0(j=1,2,,l)hk(x)=0(k=1,2,,m)
    KKT条件(Karush-Kuhn-Tucker conditions)给出了判断 x ∗ \bold x^* x是否为最优解的必要条件
    ∂ f ∂ x i + ∑ j = 1 m μ j ∂ g j ∂ x i + ∑ k = 1 l λ k ∂ h k ∂ x i = 0 ( i = 1 , 2 , … , n ) h k ( x ) = 0 ( k = 1 , 2 , … , l ) μ j g j ( x ) = 0 ( j = 1 , 2 , … , m ) μ j ≥ 0 \begin{aligned}&\frac{\partial f}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^m\mu_j\frac{\partial g_j}{\partial x_i}+\sum_{k=1}^l\lambda_k\frac{\partial h_k}{\partial x_i}=0(i=1,2,\dots ,n)\\ &h_k(\bold x)=0(k=1,2,\dots ,l)\\&\mu_jg_j(\bold x)=0(j=1,2,\dots ,m)\\&\mu_j\geq 0\end{aligned} xif+j=1mμjxigj+k=1lλkxihk=0(i=1,2,,n)hk(x)=0(k=1,2,,l)μjgj(x)=0(j=1,2,,m)μj0

    1.2 等式约束优化问题(Lagrange乘数法)

    等式约束优化问题 m i n f ( x 1 , x 2 , … , x n ) s . t .    h k ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 ( k = 1 , 2 , … , m ) \begin{aligned}&minf(x_1,x_2,\dots ,x_n) \\ &s.t.\;h_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0(k=1,2,\dots ,m)\end{aligned} minf(x1,x2,,xn)s.t.hk(x1,x2,,xn)=0(k=1,2,,m)Lagrange函数 L ( x , λ ) = f ( x ) + ∑ k = 1 k λ k h k ( x ) L(\bold x,\lambda)=f(\bold x)+\sum_{k=1}^k\lambda_kh_k(\bold x) L(x,λ)=f(x)+k=1kλkhk(x)其中 λ \lambda λ为Lagrange乘子

    等式约束的极值必要条件: ∂ L ∂ x i = 0 ( i = 1 , 2 , … , n ) ∂ L ∂ λ k = 0 ( k = 1 , 2 , … , m ) \begin{aligned}&\frac{\partial L}{\partial x_i}=0(i=1,2,\dots ,n)\\ &\frac{\partial L}{\partial \lambda_k}=0(k=1,2,\dots ,m)\end{aligned} xiL=0(i=1,2,,n)λkL=0(k=1,2,,m)

    理解

    在无约束优化问题 m i n f ( x 1 , x 2 , … , x n ) minf(x_1,x_2,\dots ,x_n) minf(x1,x2,,xn)中, x i x_i xi为优化变量,我们根据极值的必要条件 ∂ f ∂ x i = 0 \frac{\partial f}{\partial x_i}=0 xif=0求出可能的极值点;

    在等式约束优化问题中,Lagrange乘数法引入了m个Lagrange乘子,我们可以把 λ k \lambda_k λk也看作优化变量,相当于优化变量个数从n增加到n+m个,均对它们求偏导。

    1.3 不等式约束优化问题

    • 主要思想:转化——将不等式约束条件变成等式约束条件
    • 具体做法:引入松弛变量,松弛变量也是优化变量,也需要一视同仁求偏导

    以一元函数为例, m i n f ( x ) s . t .    g 1 ( x ) = a − x ≤ 0              g 2 ( x ) = x − b ≤ 0 \begin{aligned}&minf(x) \\ &s.t.\;g_1(x)=a-x\leq 0\\&\;\;\;\;\;\;g_2(x)=x-b\leq 0\end{aligned} minf(x)s.t.g1(x)=ax0g2(x)=xb0

    对于约束 g 1 g_1 g1 g 2 g_2 g2,我们引入两个松弛变量 a 1 2 a_1^2 a12 b 1 2 b_1^2 b12,得到
    h 1 ( x ) = g 1 ( x ) + a 1 2 = a − x + a 1 2 = 0 h 2 ( x ) = g 2 ( x ) + b 1 2 = x − b + a 1 2 = 0 \begin{aligned}&h_1(x)=g_1(x)+a_1^2=a-x+a_1^2=0\\ &h_2(x)=g_2(x)+b_1^2=x-b+a_1^2=0\end{aligned} h1(x)=g1(x)+a12=ax+a12=0h2(x)=g2(x)+b12=xb+a12=0取平方项而非 a 1 , b 1 a_1,b_1 a1,b1是因为 g 1 g_1 g1 g 2 g_2 g2必须加上一个非负数才能变为等式,若取后者还需加限制条件 a 1 ≥ 0 , b 1 ≥ 0 a_1\geq 0,b_1\geq 0 a10,b10,使问题更复杂

    由此我们将不等式约束转为等式约束,新的Lagrange函数为 L ( x , a 1 , b 1 , μ 1 , μ 2 ) = f ( x ) + μ 1 ( a − x + a 1 2 ) + μ 2 ( x − b + b 1 2 ) L(x,a_1,b_1,\mu_1,\mu_2)=f(x)+\mu_1(a-x+a_1^2)+\mu_2(x-b+b_1^2) L(x,a1,b1,μ1,μ2)=f(x)+μ1(ax+a12)+μ2(xb+b12)按照等式约束条件对其求解,得联立方程 ∂ L ∂ x = ∂ f ∂ x + μ 1 ∂ g 1 ∂ x + μ 2 ∂ g 2 ∂ x = 0 ∂ L ∂ μ 1 = g 1 + a 1 2 = 0 , ∂ L ∂ μ 2 = g 2 + b 1 2 = 0 ∂ L ∂ a 1 = 2 μ 1 a 1 = 0 , ∂ L ∂ b 1 = 2 μ 2 b 1 = 0 μ 1 ≥ 0 , μ 2 ≥ 0 \begin{aligned}&\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\mu_1\frac{\partial g_1}{\partial x}+\mu_2\frac{\partial g_2}{\partial x}=0\\&\frac{\partial L}{\partial \mu_1}=g_1+a_1^2=0,\frac{\partial L}{\partial \mu_2}=g_2+b_1^2=0\\&\frac{\partial L}{\partial a_1}=2\mu_1a_1=0,\frac{\partial L}{\partial b_1}=2\mu_2b_1=0\\&\mu_1\geq 0,\mu_2\geq 0\end{aligned} xL=xf+μ1xg1+μ2xg2=0μ1L=g1+a12=0,μ2L=g2+b12=0a1L=2μ1a1=0,b1L=2μ2b1=0μ10,μ20
    利用第二行和第三行的四个式子,针对 2 μ 1 a 1 = 0 2\mu_1a_1=0 2μ1a1=0,我们可得到如下两种情形:

    • 情形一: a 1 ≠ 0 a_1\neq 0 a1=0,则有 μ 1 = 0 \mu_1=0 μ1=0,约束 g 1 g_1 g1不起作用,且有 g 1 < 0 g_1<0 g1<0
    • 情形二: a 1 = 0 a_1=0 a1=0,则有 μ 1 ≥ 0 \mu_1\geq 0 μ10,约束 g 1 g_1 g1起作用,且有 g 1 = 0 g_1=0 g1=0

    合并两种情形,有 μ 1 g 1 = 0 \mu_1g_1=0 μ1g1=0,约束起作用时, μ 1 ≥ 0 \mu_1\geq 0 μ10 g 1 = 0 g_1=0 g1=0,约束不起作用时, μ 1 = 0 \mu_1=0 μ1=0 g 1 < 0 g_1<0 g1<0

    2 μ 2 b 1 = 0 2\mu_2b_1=0 2μ2b1=0同理;

    由此,必要条件转化为 ∂ f ∂ x + μ 1 ∂ g 1 ∂ x + μ 2 ∂ g 2 ∂ x = 0 μ 1 g 1 ( x ) = 0 , μ 2 g 2 ( x ) = 0 μ 1 ≥ 0 , μ 2 ≥ 0 \begin{aligned}&\frac{\partial f}{\partial x}+\mu_1\frac{\partial g_1}{\partial x}+\mu_2\frac{\partial g_2}{\partial x}=0\\&\mu_1g_1(x)=0,\mu_2g_2(x)=0\\&\mu_1\geq 0,\mu_2\geq 0\end{aligned} xf+μ1xg1+μ2xg2=0μ1g1(x)=0,μ2g2(x)=0μ10,μ20
    针对多元的情况,则有 ∂ f ( x ) ∂ x i + ∑ j = 1 m μ j ∂ g j ( x ) ∂ x = 0 ( i = 1 , 2 , … , n ) μ j g j ( x ) = 0 ( j = 1 , 2 , … , m ) μ j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , … , m ) \begin{aligned}&\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^m\mu_j\frac{\partial g_j(x)}{\partial x}=0(i=1,2,\dots ,n)\\&\mu_jg_j(x)=0(j=1,2,\dots ,m)\\&\mu_j\geq 0(j=1,2,\dots ,m)\end{aligned} xif(x)+j=1mμjxgj(x)=0(i=1,2,,n)μjgj(x)=0(j=1,2,,m)μj0(j=1,2,,m)上式即为不等式优化问题的KKT条件, μ j \mu_j μj为KKT乘子,约束起作用时, μ j ≥ 0 \mu_j\geq 0 μj0 g j = 0 g_j=0 gj=0,约束不起作用时, μ j = 0 \mu_j=0 μj=0 g j < 0 g_j<0 gj<0

    KKT乘子必须大于等于0

    由于 ∂ f ( x ) ∂ x i + ∑ j = 1 m μ j ∂ g j ( x ) ∂ x = 0 ( i = 1 , 2 , … , n ) \frac{\partial f(x)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^m\mu_j\frac{\partial g_j(x)}{\partial x}=0(i=1,2,\dots ,n) xif(x)+j=1mμjxgj(x)=0(i=1,2,,n),写成梯度形式有 ∇ f ( x ) + ∑ j ∈ J μ j ∇ g j ( x ) = 0 \nabla f(x)+\sum_{j\in J}\mu_j\nabla g_j(x)=0 f(x)+jJμjgj(x)=0J为起约束作用的集合,移项得 − ∇ f ( x ) = ∑ j ∈ J μ j ∇ g j ( x ) -\nabla f(x)=\sum_{j\in J}\mu_j\nabla g_j(x) f(x)=jJμjgj(x)注意到梯度为向量,上式表明在约束极小值点处, f ( x ) f(x) f(x)的梯度一定可以表示成所有起作用的约束在该点的梯度的线性组合

    假设只有两个起作用约束,且约束起作用时 g j ( x ) = 0 g_j(\bold x)=0 gj(x)=0,此时约束在几何上是一簇约束平面,我们假设在 x k x^k xk处取极小值,则 x k x^k xk一定在这两个平面的交线上,且 − ∇ f ( x k ) , ∇ g 1 ( x k ) , ∇ g 2 ( x k ) -\nabla f(x^k),\nabla g_1(x^k),\nabla g_2(x^k) f(xk),g1(xk),g2(xk)共面
    在这里插入图片描述
    在点 x k x^k xk处沿 x 1 O x 2 x_1Ox_2 x1Ox2平面的截图如下,有两种情况:
    在这里插入图片描述
    − ∇ f -\nabla f f落在 ∇ g 1 \nabla g_1 g1 ∇ g 2 \nabla g_2 g2所形成的的锥角区外的一侧,如情形b,作等值面 f ( x ) = C f(\bold x)=C f(x)=C在点 x k \bold x^k xk的切平面(与 − ∇ f -\nabla f f垂直),我们发现,沿着与负梯度 − ∇ f -\nabla f f成锐角的方向移动, f ( x ) f(\bold x) f(x)总能减小,因此 x k \bold x^k xk仍可沿约束曲面移动,既可减小目标函数值,又不破坏约束条件,所以 x k \bold x^k xk不是局部极值点

    − ∇ f -\nabla f f落在 ∇ g 1 \nabla g_1 g1 ∇ g 2 \nabla g_2 g2所形成的的锥角内,如情形a,同样作等值面 f ( x ) = C f(\bold x)=C f(x)=C在点 x k \bold x^k xk的切平面(与 − ∇ f -\nabla f f垂直),沿着与负梯度 − ∇ f -\nabla f f成锐角的方向移动,虽然能使目标函数值减小,但此时任何一点都不在可行区域内,所以此时 x k \bold x^k xk就是局部极值点

    由于 − ∇ f -\nabla f f ∇ g 1 , ∇ g 2 \nabla g_1,\nabla g_2 g1,g2在一个平面内,所以前者可以看成是后两者的线性组合,又 − ∇ f -\nabla f f落在 ∇ g 1 \nabla g_1 g1 ∇ g 2 \nabla g_2 g2所形成的的锥角内,所以线性组合的系数为正,有 − ∇ f ( x k ) = μ 1 ∇ g 1 ( x ∗ ) + μ 2 ∇ g 2 ( x ∗ ) , 且 μ 1 > 0 , μ 2 > 0 -\nabla f(\bold x^k)=\mu_1\nabla g_1(\bold x^*)+\mu_2\nabla g_2(\bold x^*),且\mu_1>0,\mu_2>0 f(xk)=μ1g1(x)+μ2g2(x),μ1>0,μ2>0
    类似地,当有多个不等式约束起作用时,要求 − ∇ f -\nabla f f落在 ∇ g j \nabla g_j gj形成的超角锥内。

    2 拉格朗日对偶法

    在约束最优化问题中,常常利用拉格朗日对偶性(Lagrange duality)将原始问题转化为对偶问题,通过求解对偶问题得到原始问题的解。

    2.1 原始问题

    假设 f ( x ) , g i ( x ) , h j ( x ) f(x),g_i(x),h_j(x) f(x),gi(x),hj(x)为连续可微函数,以下约束最优化问题称为原始问题 m i n f ( x ) s . t .    g j ( x ) ≤ 0 ( j = 1 , 2 , … , l )              h k ( x ) = 0 ( k = 1 , 2 , … , m ) \begin{aligned}&minf(x) \\ &s.t.\;g_j(x)\leq0(j=1,2,\dots ,l)\\&\;\;\;\;\;\;h_k(x)=0(k=1,2,\dots ,m)\end{aligned} minf(x)s.t.gj(x)0(j=1,2,,l)hk(x)=0(k=1,2,,m)引进广义拉格朗日函数(generalized Lagrange function) L ( x , μ , λ ) = f ( x ) + ∑ j = 1 l μ j g j ( x ) + ∑ k = 1 m λ k h k ( x ) L(x,\mu,\lambda)=f(x)+\sum_{j=1}^l\mu_jg_j(x)+\sum_{k=1}^m\lambda_kh_k(x) L(x,μ,λ)=f(x)+j=1lμjgj(x)+k=1mλkhk(x)考虑x的函数 θ P ( x ) = m a x μ , λ , μ i ≥ 0 L ( x , μ , λ ) \theta_P(x)=\underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}L(x,\mu,\lambda) θP(x)=μ,λ,μi0maxL(x,μ,λ)其中下标P表示原始问题

    假设给定某个x,

    • 如果x违反原始问题的约束条件,则 θ P ( x ) = + ∞ \theta_P(x)=+\infty θP(x)=+
      • 若存在某个j使得 g j ( x ) > 0 g_j(x)>0 gj(x)>0,则可令 μ j → + ∞ \mu_j\rightarrow+\infty μj+,其余 μ j , λ k \mu_j,\lambda_k μj,λk均为0
      • 存在某个k使得 h k ( x ) ≠ 0 h_k(x)\neq 0 hk(x)=0,则可令 β j \beta_j βj满足 β j h j ( x ) → + ∞ \beta_jh_j(x)\rightarrow+\infty βjhj(x)+,其余 μ j , λ k \mu_j,\lambda_k μj,λk均为0
    • 如果x满足原始问题的约束条件,则 θ P ( x ) = f ( x ) \theta_P(x)=f(x) θP(x)=f(x)

    因此 θ P ( x ) = { f ( x ) , x 满 足 原 始 问 题 约 束 + ∞ , 其 他 \theta_P(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x),x\mathrm{满足原始问题约束}\\+\infty,\mathrm{其他}\end{array}\right. θP(x)={f(x),x+

    考虑极小化问题 m i n x θ P ( x ) = m i n x m a x μ , λ , μ i ≥ 0 L ( x , μ , λ ) \underset{x}{min}\theta_P(x)=\underset{x}{min}\underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}L(x,\mu,\lambda) xminθP(x)=xminμ,λ,μi0maxL(x,μ,λ)它与原始最优化问题等价,即它们有相同的解,问题 m i n x m a x μ , λ , μ i ≥ 0 L ( x , μ , λ ) \underset{x}{min}\underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}L(x,\mu,\lambda) xminμ,λ,μi0maxL(x,μ,λ)称为广义拉格朗日函数的极小极大问题。

    定义原始问题的最优值为原始问题的解: p ∗ = m i n x θ P ( x ) p^*=\underset{x}{min}\theta_P(x) p=xminθP(x)

    2.2 对偶问题

    定义 θ D ( μ , λ ) = m i n x L ( x , μ , λ ) \theta_D(\mu,\lambda)=\underset{x}{min}L(x,\mu,\lambda) θD(μ,λ)=xminL(x,μ,λ)再考虑极大化 θ D ( μ , λ ) \theta_D(\mu,\lambda) θD(μ,λ) m a x μ , λ , μ i ≥ 0 θ D ( μ , λ ) = m a x μ , λ , μ i ≥ 0 m i n x L ( x , μ , λ ) \underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}\theta_D(\mu,\lambda)=\underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}\underset{x}{min}L(x,\mu,\lambda) μ,λ,μi0maxθD(μ,λ)=μ,λ,μi0maxxminL(x,μ,λ)问题 m a x μ , λ , μ i ≥ 0 m i n x L ( x , μ , λ ) \underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}\underset{x}{min}L(x,\mu,\lambda) μ,λ,μi0maxxminL(x,μ,λ)称为拉格朗日函数的极大极小问题

    以下约束最优化问题称为原始问题的对偶问题 m a x μ , λ θ D ( μ , λ ) = m a x μ , λ    m i n x L ( x , μ , λ ) s . t . μ i ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , l \begin{aligned}&\underset{\mu,\lambda}{max}\theta_D(\mu,\lambda)=\underset{\mu,\lambda}{max}\;\underset{x}{min}L(x,\mu,\lambda)\\&s.t. \mu_i\geq0,i=1,2,\dots ,l\end{aligned} μ,λmaxθD(μ,λ)=μ,λmaxxminL(x,μ,λ)s.t.μi0,i=1,2,,l定义对偶问题的最优值为对偶问题的值 d ∗ = m a x μ , λ , μ i ≥ 0 θ D ( μ , λ ) d^*=\underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}\theta_D(\mu,\lambda) d=μ,λ,μi0maxθD(μ,λ)

    对偶函数与共轭函数
    原 函 数 : f ( x ) : R n → R 共 轭 函 数 : f ∗ ( y ) : R n → R } → f ∗ ( y ) = sup ⁡ x ∈ d o m f ( y T x − f ( x ) ) \left.\begin{array}{rl}原函数:&{f(x): R^{n} \rightarrow R} \\共轭函数:&{f^{*}(y): R^{n} \rightarrow R}\end{array}\right\} \rightarrow f^{*}(y)=\sup _{x \in \mathrm{dom} f}\left(y^{T} x-f(x)\right) f(x):RnRf(y):RnR}f(y)=xdomfsup(yTxf(x))

    其中, sup ⁡ ( g ( x ) ) \sup (g(x)) sup(g(x))表示函数 g ( x ) g(x) g(x)在整个定义域 x ∈ d o m g x\in \mathrm{dom} g xdomg中的最大值,y则取任意常数或常向量,对每一个y值, f ∗ ( y ) f^*(y) f(y)都会对应一个值,将y拓展到整个取值范围后即可得到关于y的函数 f ∗ ( y ) f^*(y) f(y),即函数 f ( x ) f(x) f(x)的共轭函数。

    考虑线性约束下的最优化问题 min ⁡ f ( x ) s . t .    A x ≤ b , C x = d \begin{array}{l}{\min f(x)} \\ s.t.\;Ax\leq b,Cx=d\end{array} minf(x)s.t.Axb,Cx=d

    将其对偶函数凑出共轭函数形式: g ( λ , ν ) = inf ⁡ x ( f ( x ) + λ T ( A x − b ) + ν T ( C x − d ) ) = − λ T b − ν T d + inf ⁡ x ( f ( x ) + λ T A x + ν T C x ) = − λ T b − ν T d − sup ⁡ x ( ( − A T λ − C T ν ) T x − f ( x ) ) = − λ T b − ν T d − f ∗ ( − A T λ − C T ν ) \begin{aligned}g(\lambda, \nu)&=\inf _{x}\left(f(x)+\lambda^{T}(A x-b)+\nu^{T}(C x-d)\right)\\&=-\lambda^{T} b-\nu^{T} d+\inf _{x}\left(f(x)+\lambda^{T} A x+\nu^{T} C x\right) \\&=-\lambda^{T} b-\nu^{T} d-\sup _{x}\left(\left(-A^{T} \lambda-C^{T} \nu\right)^{T} x-f(x)\right) \\&=-\lambda^{T} b-\nu^{T} d-f^{*}\left(-A^{T} \lambda-C^{T} \nu\right)\end{aligned} g(λ,ν)=xinf(f(x)+λT(Axb)+νT(Cxd))=λTbνTd+xinf(f(x)+λTAx+νTCx)=λTbνTdxsup((ATλCTν)Txf(x))=λTbνTdf(ATλCTν)

    即线性约束下的对偶函数可以用共轭函数表示,其自变量为拉格朗日乘子的线性组合。

    2.3 原始问题与对偶问题的关系

    定理1(弱对偶性: d ∗ ≤ p ∗ d^*\leq p^* dp

    若原始问题和对偶问题都有最优值,则 d ∗ = m a x μ , λ , μ i ≥ 0 m i n x L ( x , μ , λ ) ≤ m i n x m a x μ , λ , μ i ≥ 0 L ( x , μ , λ ) = p ∗ d^*=\underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}\underset{x}{min}L(x,\mu,\lambda)\leq \underset{x}{min}\underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}L(x,\mu,\lambda)=p^* d=μ,λ,μi0maxxminL(x,μ,λ)xminμ,λ,μi0maxL(x,μ,λ)=p

    证明:对任意的 μ , λ , x \mu,\lambda,x μ,λ,x,有 θ D ( μ , λ ) = m i n x L ( x , μ , λ ) ≤ L ( x , μ , λ ) ≤ m a x μ , λ , μ i ≥ 0 L ( x , μ , λ ) = θ P ( x ) \theta_D(\mu,\lambda)=\underset{x}{min}L(x,\mu,\lambda)\leq L(x,\mu,\lambda)\leq \underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}L(x,\mu,\lambda)=\theta_P(x) θD(μ,λ)=xminL(x,μ,λ)L(x,μ,λ)μ,λ,μi0maxL(x,μ,λ)=θP(x)

    由于原始问题和对偶问题均有最优值,所以 d ∗ = m a x μ , λ , μ i ≥ 0 θ D ( μ , λ ) ≤ m i n x θ P ( x ) = p ∗ d^*=\underset{\mu,\lambda,\mu_i\geq0}{max}\theta_D(\mu,\lambda)\leq \underset{x}{min}\theta_P(x)=p^* d=μ,λ,μi0maxθD(μ,λ)xminθP(x)=p

    推论1(强对偶性: d ∗ = p ∗ d^*=p^* d=p

    x ∗ x^* x μ ∗ , λ ∗ \mu^*,\lambda^* μ,λ分别是原始问题和对偶问题的可行解,并且 d ∗ = p ∗ d^*=p^* d=p,则 x ∗ x^* x μ ∗ , λ ∗ \mu^*,\lambda^* μ,λ分别是原始问题和对偶问题的最优解

    在某些条件下,原始问题和对偶问题的最优值相等,即 d ∗ = p ∗ d^*=p^* d=p,此时可以用解对偶问题替代解原始问题

    定理2

    假设 f ( x ) , g j ( x ) f(x),g_j(x) f(x),gj(x)是凸函数, h k ( x ) h_k(x) hk(x)是仿射函数(由一阶多项式构成的函数, h k ( x ) = A x + b h_k(x)=Ax+b hk(x)=Ax+b,A是矩阵,x、b是向量),并且假设不等式约束 g j ( x ) g_j(x) gj(x)是严格可行的,即存在x,对所有 j j j g j ( x ) < 0 g_j(x)<0 gj(x)<0,则存在 x ∗ , μ ∗ , λ ∗ x^*,\mu^*,\lambda^* x,μ,λ使 x ∗ x^* x是原始问题的解, μ ∗ , λ ∗ \mu^*,\lambda^* μ,λ是对偶问题的解,并且 d ∗ = p ∗ = L ( x ∗ , μ ∗ , λ ∗ ) d^*=p^*=L(x^*,\mu^*,\lambda^*) d=p=L(x,μ,λ)

    定理3

    假设 f ( x ) , g j ( x ) f(x),g_j(x) f(x),gj(x)是凸函数, h k ( x ) h_k(x) hk(x)是仿射函数,并且假设不等式约束 g j ( x ) g_j(x) gj(x)是严格可行的,则 x ∗ x^* x μ ∗ , λ ∗ \mu^*,\lambda^* μ,λ分别是原始问题和对偶问题的解的充要条件是 x ∗ , μ ∗ , λ ∗ x^*,\mu^*,\lambda^* x,μ,λ满足KKT条件

    • 推论1、定理2、定理3的证明

    2.4 对偶上升法

    换个角度理解拉格朗日对偶函数

    对优化问题 min ⁡ f 0 ( x ) s.t. f i ( x ) ≤ 0 ( i = 1 , 2 , … , m )            h i ( x ) = 0 ( i = 1 , 2 , … , p ) \begin{array}{l}{\min f_0(x)} \\ {\text {s.t.} f_{i}(x) \leq 0(i=1,2, \ldots, m)} \\ {\;\;\;\;\;h_{i}(x)=0(i=1,2, \ldots, p)}\end{array} minf0(x)s.t.fi(x)0(i=1,2,,m)hi(x)=0(i=1,2,,p)

    拉格朗日函数为 L ( x , λ , ν ) = f 0 ( x ) + ∑ i = 1 m λ i f i ( x ) + ∑ i = 1 p ν i h i ( x ) L(x, \lambda, \nu)=f_{0}(x)+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f_{i}(x)+\sum_{i=1}^{p} \nu_{i} h_{i}(x) L(x,λ,ν)=f0(x)+i=1mλifi(x)+i=1pνihi(x)

    拉格朗日对偶函数为 g ( λ , ν ) = inf ⁡ x ∈ D L ( x , λ , ν ) g(\lambda, \nu)=\inf _{x \in D} L(x, \lambda, \nu) g(λ,ν)=xDinfL(x,λ,ν)

    可以将其看作是x取不同值时一簇曲线的下界(绿线)
    在这里插入图片描述
    λ ≥ 0 \lambda\geq 0 λ0时,对于最优化问题的解 x ˉ \bar x xˉ,两个约束条件都非正: λ i f i ( x ˉ ) < = 0 , ν i h i ( x ˉ ) = 0 \lambda_{i} f_{i}(\bar{x})<=0, \nu_{i} h_{i}(\bar{x})=0 λifi(xˉ)<=0,νihi(xˉ)=0

    于是,该解对应的曲线不超过原始问题最优解: L ( x ˉ , λ , ν ) ≤ f 0 ( x ˉ ) L(\bar{x}, \lambda, \nu) \leq f_{0}(\bar{x}) L(xˉ,λ,ν)f0(xˉ)

    进一步,所有曲线的下界不超过原问题最优解: g ( λ , ν ) ≤ f 0 ( x ˉ ) g(\lambda, \nu) \leq f_{0}(\bar{x}) g(λ,ν)f0(xˉ)

    换言之,拉格朗日对偶函数是最优化值的下界。又上图绿线上的最高点,是对最优值下界的最好估计,这个问题即为原始问题的拉格朗日对偶问题。如果强对偶条件成立,对偶问题存在最优解 λ ˉ , ν ˉ \bar \lambda,\bar \nu λˉ,νˉ,则原始问题 f 0 ( x ) f_0(x) f0(x)的最优解也是 L ( x , λ ˉ , ν ˉ ) L(x,\bar \lambda,\bar \nu) L(x,λˉ,νˉ)的最优解。 L ( x , λ ˉ , ν ˉ ) L(x,\bar \lambda,\bar \nu) L(x,λˉ,νˉ)是x的函数,相当于在图中 [ λ , ν ] = [ λ ˉ , ν ˉ ] [\lambda,\nu]=[\bar \lambda,\bar \nu] [λ,ν]=[λˉ,νˉ]对应的竖线上,查找值最小曲线对应的x。求解步骤归纳如下:

    • 求解 max ⁡ g ( λ , μ ) \max g(\lambda,\mu) maxg(λ,μ)得到 λ ˉ , ν ˉ \bar \lambda,\bar \nu λˉ,νˉ
    • 求解 min ⁡ L ( x , λ ˉ , ν ˉ ) \min L(x,\bar \lambda,\bar \nu) minL(x,λˉ,νˉ)得到 x ˉ \bar x xˉ

    对偶上升法

    设第k次迭代得到原始问题解为 x k x^k xk,对偶问题的解为 λ k , ν k \lambda^k,\nu^k λk,νk

    1. 假设 λ k , ν k \lambda^k,\nu^k λk,νk已为对偶问题的最优解,最小化 L ( x , λ k , ν k ) L(x,\lambda^k,\nu^k) L(x,λk,νk)得到原问题最优解 x k + 1 x^{k+1} xk+1 x k + 1 = arg ⁡ min ⁡ x L ( x , λ k , ν k ) x^{k+1}=\arg \min _{x} L\left(x, \lambda^{k}, \nu^{k}\right) xk+1=argxminL(x,λk,νk)
    2. 在该位置使用梯度上升法更新对偶问题的解: λ k + 1 = λ k + α ⋅ ∂ L ( x , λ , ν ) ∂ λ ∣ x = x k + 1 , λ = λ k , ν = ν k ν k + 1 = λ k + α ⋅ ∂ L ( x , λ , ν ) ∂ ν ∣ x = x k + 1 , λ = λ k , ν = ν k \begin{aligned} \lambda^{k+1} &=\lambda^{k}+\left.\alpha \cdot \frac{\partial L(x, \lambda, \nu)}{\partial \lambda}\right|_{x=x^{k+1}, \lambda=\lambda^{k}, \nu=\nu^{k}} \\ \nu^{k+1} &=\lambda^{k}+\left.\alpha \cdot \frac{\partial L(x, \lambda, \nu)}{\partial \nu}\right|_{x=x^{k+1}, \lambda=\lambda^{k}, \nu=\nu^{k}} \end{aligned} λk+1νk+1=λk+αλL(x,λ,ν)x=xk+1,λ=λk,ν=νk=λk+ανL(x,λ,ν)x=xk+1,λ=λk,ν=νk

    下图灰线展示出求解的变化:
    在这里插入图片描述

    2.5 对偶分解法

    假设目标函数是可分解的: f ( x ) = ∑ i = 0 n f i ( x i )  s.t.  A x = b , ∀ x = ( x 0 , x 1 , ⋯   , x n ) T \begin{array}{l}{f(x)=\sum_{i=0}^{n} f_{i}\left(x_{i}\right)} \\ {\text { s.t. } \quad A x=b, \forall x=\left(x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{T}}\end{array} f(x)=i=0nfi(xi) s.t. Ax=b,x=(x0,x1,,xn)T

    则拉格朗日函数是可分解的: L ( x , λ ) = ∑ i = 0 n L ( x i , λ ) = ∑ i = 0 n f i ( x i ) + λ A i x − λ b i \begin{aligned} L(x, \lambda) &=\sum_{i=0}^{n} L\left(x_{i}, \lambda\right) \\ &=\sum_{i=0}^{n} f_{i}\left(x_{i}\right)+\lambda A_{i} x-\lambda b_{i} \end{aligned} L(x,λ)=i=0nL(xi,λ)=i=0nfi(xi)+λAixλbi

    所以对偶上升法中的第一步可以修改为 x i k + 1 = arg ⁡ min ⁡ x i L i ( x i , λ k ) x_{i}^{k+1}=\arg \min _{x_{i}} L_{i}\left(x_{i}, \lambda^{k}\right) xik+1=argximinLi(xi,λk)即可并行计算 x k + 1 x^{k+1} xk+1的每个元素,从而快速得到 x k + 1 x^{k+1} xk+1

    3 内外点罚函数法

    罚函数的基本思想是构造辅助函数,把原来的约束问题转化为求极小化辅助函数的无约束问题,如何构造辅助函数是求解问题的首要问题。

    3.1 外点罚函数法

    构造辅助函数 F μ : R n → R ( μ > 0 ) F_\mu:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}(\mu>0) Fμ:RnR(μ>0),构造函数在可行域内部与原问题的取值相同,在可行域外部取值远远大于目标函数的取值

    • 对于等式约束问题: m i n f ( x ) s . t .    h k ( x ) = 0 ( k = 1 , 2 , … , m ) \begin{aligned}&minf(x) \\ &s.t.\;h_k(x)=0(k=1,2,\dots ,m)\end{aligned} minf(x)s.t.hk(x)=0(k=1,2,,m)可定义辅助函数: F ( x , μ ) = f ( x ) + μ ∑ k = 1 m h k 2 ( x ) F(x,\mu)=f(x)+\mu\sum_{k=1}^mh_k^2(x) F(x,μ)=f(x)+μk=1mhk2(x)

    • 对于不等式约束问题: m i n f ( x ) s . t .    g j ( x ) ≤ 0 ( j = 1 , 2 , … , l ) \begin{aligned}&minf(x) \\ &s.t.\;g_j(x)\leq0(j=1,2,\dots ,l)\end{aligned} minf(x)s.t.gj(x)0(j=1,2,,l)可定义辅助函数: F ( x , μ ) = f ( x ) + μ ∑ j = 1 l ( m a x { 0 , g j ( x ) } ) 2 F(x,\mu)=f(x)+\mu\sum_{j=1}^l(max\{0,g_j(x)\})^2 F(x,μ)=f(x)+μj=1l(max{0,gj(x)})2

    • 对于一般问题,可定义辅助函数: F ( x , μ ) = f ( x ) + μ P ( x ) F(x,\mu)=f(x)+\mu P(x) F(x,μ)=f(x)+μP(x)其中 P ( x ) = ∑ j = 1 l ϕ ( g j ( x ) ) + ∑ k = 1 m ψ ( h k ( x ) ) P(x)=\sum_{j=1}^l\phi(g_j(x))+\sum_{k=1}^m\psi(h_k(x)) P(x)=j=1lϕ(gj(x))+k=1mψ(hk(x)) ϕ ( z ) { = 0 , z ≤ 0 > 0 , z > 0 , ψ ( z ) { = 0 , z = 0 > 0 , z ≠ 0 \phi(z)\left\{\begin{array}{l}=0,z\leq0\\>0,z>0\end{array}\right.,\psi(z)\left\{\begin{array}{l}=0,z=0\\>0,z\neq0\end{array}\right. ϕ(z){=0,z0>0,z>0,ψ(z){=0,z=0>0,z=0典型取法有 ϕ = ( m a x { 0 , g j ( x ) } ) α , ψ = ∣ h k ( x ) ∣ β , α ≥ 1 , β ≥ 1 \phi=(max\{0,g_j(x)\})^\alpha,\psi=\vert h_k(x)\vert^\beta,\alpha\geq1,\beta\geq1 ϕ=(max{0,gj(x)})α,ψ=hk(x)β,α1,β1

    通过这些辅助函数,可以把约束问题转换为无约束问题 m i n F ( x , μ ) minF(x,\mu) minF(x,μ),其中 μ \mu μ是很大的数,通常取一个趋向于无穷大的严格递增正数列 { μ k } \{\mu_k\} {μk}

    具体步骤

    1. 给定初始点 x ( 0 ) x^{(0)} x(0),初始罚因子 μ 1 \mu_1 μ1,放大系数 c > 0 c>0 c>0,允许误差 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,设 k = 1 k=1 k=1
    2. x ( k − 1 ) x^{(k-1)} x(k1)为初始点,求解无约束问题 m i n F ( x , μ ) = f ( x ) + μ k P ( x ) minF(x,\mu)=f(x)+\mu_kP(x) minF(x,μ)=f(x)+μkP(x),得极小点 x ( k ) x^{(k)} x(k)
    3. μ k P ( x ( k ) ) < ϵ \mu_kP(x^{(k)})<\epsilon μkP(x(k))<ϵ,停止,得极小点 x ( k ) x^{(k)} x(k);否则,令 μ k + 1 = c μ k , k = k + 1 \mu_{k+1}=c\mu_k,k=k+1 μk+1=cμk,k=k+1,转步骤二

    3.2 内点罚函数法

    从可行域内部逼近问题的解,构造辅助函数,使得该函数在严格可行域外无穷大,当自变量趋于可行域边界时,函数值趋于无穷大。适用于不等式约束问题: m i n f ( x ) s . t .    g j ( x ) ≤ 0 ( j = 1 , 2 , … , l ) \begin{aligned}&minf(x) \\ &s.t.\;g_j(x)\leq0(j=1,2,\dots ,l)\end{aligned} minf(x)s.t.gj(x)0(j=1,2,,l)

    可行域为 S = { x ∣ g j ( x ) ≤ 0 , j = 1 , 2 , … , l } S=\{x\vert g_j(x)\leq0,j=1,2,\dots ,l\} S={xgj(x)0,j=1,2,,l}

    定义障碍函数: F ( x , μ ) = f ( x ) + μ B ( x ) F(x,\mu)=f(x)+\mu B(x) F(x,μ)=f(x)+μB(x)当自变量趋于可行域边界时, B ( x ) → + ∞ B(x)\rightarrow +\infty B(x)+,当 μ → 0 \mu\rightarrow0 μ0时, m i n F μ minF_\mu minFμ的解趋于原始问题的解

    常用辅助函数 B ( x ) = ∑ j = 1 l − 1 g j ( x ) B(x)=\sum_{j=1}^l-\frac1{g_j(x)} B(x)=j=1lgj(x)1 B ( x ) = − ∑ j = 1 l ln ⁡ ( − g j ( x ) ) B(x)=-\sum_{j=1}^l\ln (-g_j(x)) B(x)=j=1lln(gj(x))

    具体步骤

    1. 给定初始点 x ( 0 ) x^{(0)} x(0),初始罚因子 μ 1 \mu_1 μ1,缩小系数 β ∈ ( 0 , 1 ) \beta\in (0,1) β(0,1),允许误差 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,设 k = 1 k=1 k=1
    2. x ( k − 1 ) x^{(k-1)} x(k1)为初始点,求解无约束问题 m i n F ( x , μ ) = f ( x ) + μ k B ( x ) minF(x,\mu)=f(x)+\mu_kB(x) minF(x,μ)=f(x)+μkB(x),得极小点 x ( k ) x^{(k)} x(k)
    3. μ k B ( x ( k ) ) < ϵ \mu_kB(x^{(k)})<\epsilon μkB(x(k))<ϵ,停止,得极小点 x ( k ) x^{(k)} x(k);否则,令 μ k + 1 = β μ k , k = k + 1 \mu_{k+1}=\beta\mu_k,k=k+1 μk+1=βμk,k=k+1,转步骤二

    4 参考资料

    1. 浅谈最优化问题的KKT条件
    2. 《统计学习方法》(李航)附录C
    3. 拉格朗日函数、对偶上升法、对偶分解法
    4. 【优化】对偶上升法(Dual Ascent)超简说明
    5. 罚函数法求解约束问题最优解
    展开全文
  • MATLAB上实现内点惩罚函数法进行优化,有兴趣的有需要的可以学习学习,希望对大家有所帮助。
  • 外点罚函数法 做法就是在可行域之外设置障碍,可解决等式和不等式约束问题,但求出的最优解往往不在可行域。 将约束条件转化成函数表达式的一部分,使新的函数式变为无约束的二次规划问题: 约束条件转换: ...

    外点罚函数法

    做法就是在可行域之外设置障碍,可解决等式和不等式约束问题,但求出的最优解往往不在可行域内。

    将约束条件转化成函数表达式的一部分,使新的函数式变为无约束的二次规划问题:

    约束条件转换:

     将等式和不等式转换后的式子融合:

    算法步骤:

    1 确定初始点x0,初始罚银子Mk(可取M1=1),设置精确度

    2 用解析法或者其他方法求解驻点,得到x

    3 当Mk*p(x)<精确度将此x作为最优解,若不满足将持续增大Mk

    (很多算例上直接在算出驻点表达式后,将Mk趋近无穷来求解)

     

    内点罚函数法

     做法就是在可行域内部设限制,靠近边缘的域设置较大的障碍,边缘的障碍无穷大,用来解决不等式约束问题,算出的解必在可行域内部

    同外点法一样将约束条件转化为函数的一部分,使之成为无约束二次规划问题:

    约束条件转化:

    倒数障碍函数和对数障碍函数(使用其中的一种就可以)

    算法步骤:和外点法类似,但当前解不满足精度要求时,rk会缩小,甚多算例将rk趋近0来求解函数最小值

    转载于:https://www.cnblogs.com/niulang/p/9207568.html

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空空如也

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内点罚函数