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  • 2021-06-28 06:42:51

    2010-03-06 14:35 星期六

    文/marshal06

    网络的传播教会了我们一些东西,也教坏了一些东西。对于标准差与标准误的误解特一直存在。

    一文《关于excel计算标准差SD和标准误SE的方法》是最先害的文章,而后有百度百科,有人认为标准差即是标准误。在百度百科就有这种说法。

    = Standard error of the mean

    = standard deviation

    “【计算方法】

    Excel中只有计算stand deviation的公式(=stdev()),没有计算stand error的函数。

    但是stand error=stand deviation/sqrt(样本数),因此

    我们可以使用一个改良的函数来计算标准误:

    其在excel中的表达式为:

    = STDEV(range of values)/SQRT(number)其中: range of

    values区域的值是要计算标准误的这些数据; number号码是数据的个数。”

    同样的还有一个名词叫变异系数,由于在算法上的接近或者相同,与标准差与标准误打成一片。当然也出现了乱其八糟的算法。现在把正确的写下:

    关于定义与算法:

    标准差:SD或者S说明的是观察值围绕均数分布的离散程度。方差:s^2=1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+...+(xn-m)^2]

    ,而计算标准差时考虑来源于样本,S = Sqr(∑(xn-x拨)^2 /(n-1))

    标准误:平均数的标准差。标准误( Sx 或S E )

    ,是样本均数的抽样误差。样本指标与总体指标之间存在的差别,称为抽样误差,其大小通常用均数的标准误来表示。

    标准误的大小与标准差成正比,而与样本含量( n ) 的平分根成反比,即: Sx = S/ Sqr(n) 这就是标准误的计算方法。

    标准误等于标准差除以样本量的平方根。

    也就是说 标准误=标准差/样本总量

    变异系数(Coefficient of

    Variance):)是标准差点平均数的百分数。它是一个相对值,没有单位,其大小同时受平均数与标准差的影响,在比较两个或两个样本变异程度时,变异系数不受平均数与标准差大小的限制。

    相对标准差(RSD,Related standard

    deviation),即相对标准偏差,RSD=根号下[{(Xn-平均X)的平方+(Xn-1-平均X)的平方+ --------

    +{(X1-平均X)的平方}/{n-1}}]/ 平均X ,在EXCEL中,RSD=STDEV(range of

    values)/(number-1),即EXCEL的RSD为SAS中的CV(Coefficient of

    Variance)。若为两个数:两数之差除于两数之和。

    相对标准偏差(RSD)的计算

    方法一:打开Windows自带的“计算器”,选择“科学型”:

    1. 点击左侧的“Sta”;

    2. 输入待参加计算的数值,每输一个数,点击一次左侧的“Dat”;

    3. 输入完成后,点击左侧的“s”(标准偏差),结果显示在显示框内;

    4. 用得到的结果除以算术平均值“AVE”, 即相对标准偏差(变异系数)。

    方法二:Excel 法

    先输入待统计的数值,然后运用“STDEV”函数,

    =STDEV(number1,[number2],...)

    然后再除以除以算术平均值,即相对标准偏差。

    附:标准偏差公式:

    标准偏差公式:S = Sqr(∑(xn-x拨)^2 /(n-1))

    公式中∑代表总和,x拨代表x的算术平均值,^2代表二次方,Sqr代表平方根。

    例:有一组数字分别是200、50、100、200,求它们的标准偏差。

    x拨 = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5

    S^2 =

    [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)

    =[62.5^2+(-87.5)^2+(-37.5)^2+62.5^2]/3

    =[3906.25+7656.25+1406.25+3906.25]/3 = 16875/3 = 5625

    标准偏差 S = Sqr(5625) = 75

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    一、为什么?

    对样本做回归分析的核心是使用最小二乘法去估计模型里的参数,比如核心解释变量前面的系数。我们通过最小二乘法使得残差平方和最小,求得样本估计系数。如果进行一次估计,由于干扰项e的存在,估计值与真实值之间一定存在差异。样本估计值与真实值之间的差别中,误差项起了关键作用。

    误差项是一个随机变量,每次估计都会得到不同的差异值。关于样本估计系数性质的讨论,都以误差项为核心。我们希望样本估计系数特别好,接近真实值,所以必须有良好的性质,而良好的性质需要有前提条件,也就是一些假设。

    比如,我们希望反复抽取多个样本得到多个样本估计系数,之后求平均值就等于真实系数,即无偏性,那么就需要干扰项e满足均值为零的假设(反复抽样消除干扰项的影响),就可以使得误差项均值为零,那么就可以使得样本估计系数的期望等于真实值。

    由于每次抽样得到的估计系数都会不同,我们希望知道估计系数值分布的分散度,或者估计系数平均偏离真实值的程度,或者估计系数可能的误差范围,或者估计系数的精确程度。

    如果误差范围越小,样本估计系数接近真实值的可能性就越大。这个用标准差来衡量,估计系数的标准差称为系数标准误。

    1.1 异方差

    1.1.1 异方差的后果

    1.1.2 异方差的例子

    1.2 自相关

    1.2.1 自相关的后果

     1.2.2 自相关的例子

    二、有什么?

    2.1 普通标准误——同方差+不相关

    干扰项协方差矩阵的形式是决定样本估计系数方差的关键。当求估计系数的方差的时候,需要求得干扰项的协方差矩阵,其主对角线上是第 i 个观测点的干扰项的方差,对角线外的项是第 i 个观测点和第 j 个观测点干扰项的协方差。

    我们先提出两个假设来简化协方差矩阵:干扰项同方差假设和干扰项不相关假设。前者的含义是每个观测点干扰项的方差大小是相同的,后者的含义是不同观测点干扰项是不相关的。两种合起来的本质就是每个观测点的干扰项是从独立同分布中产生的

    这时候协方差矩阵就变得很简单,主对角线数值相同,主对角线以外是零。但是还有一个问题,里面有干扰项的方差,这是未知的,只能估计,需要利用样本残差值去估计。最终就能得到同方差和不相关假设下的ols系数估计值方差的估计量,开根号,然后就可以得到系数标准误差的估计量。这就是求得了系数估计值的标准误

    2.2异方差稳健标准误:异方差+不相关

    现实中,会出现异方差的问题,即每个观测点的干扰项方差是不相等的,但是还是干扰项不相关。这意味着每个点的干扰项是从独立但是不相同的分布中产生的。这时候不影响估计系数的无偏性和一致性,但是标准误不能再按照之前的求法了,否则就会影响我们对系数估计值和真实值之间误差范围的判断,也就是说误差范围求的不准了。这时候就需要找到在异方差情况下正确的ols系数估计量方差。即求异方差稳健标准误

    这时候干扰项的协方差矩阵是对角矩阵,主对角线上不同观测点的方差可以是不同值,主对角线之外还是零。这时候计算的难点在于异方差矩阵包含了N个参数,即每个观测点的干扰项e都有自己的方差,但样本的每个观测点只能得到一个残差值。N个残差值无法提供足够的信息估计出N个方差。White指出在大样本下,只需要将干扰项协方差矩阵中的方差用对应的样本残差值替代即可。得到系数估计值方差的估计量,开根号,就可以得到异方差稳健标准误

    2.3聚类稳健标准误

    2.3.1异方差+自相关

    当出现自相关时,即不同观测点的干扰项是相关的。常见于时间序列数据。通常自相关伴随着异方差。这意味着每个观测点的干扰项是从相关并不相同的分布中产生的

    此时干扰项的协方差矩阵主对角线是不同的,对角线外也不为零。这时候估计方法是用相应的样本残差平方替代方差,样本残差乘积替代协方差。

    2.3.2聚类稳健标准误:异方差+组内相关+组间不相关

    当出现同一个类别内的干扰项相关,不同类别间的干扰项不相关,同时存在异方差,这时候又需要变化标准误的求法,即聚类稳健标准误。这时候干扰项的协方差矩阵由两层次组成:大的层次是将所有的观测点分组,按组来组成协方差矩阵,主对角线是不同的组的协方差矩阵,主对角线外是零,即异方差+组间不相关;小的层次是进入每个组,每个组都是一个协方差矩阵,主对角线是各个观测点的方差,主对角线外是协方差,即异方差+组内相关,类似于异方差+自相关。求法还是按照之前的用残差来估计。最终得到聚类稳健标准误。当分组到个体层面,那么就变成了自己跟自己相关,以及自己跟别人无关,其实就变成了不相关,即异方差+不相关,即异方差稳健标准误

    使用聚类标准误的前提是,聚类中的个体数较少,而聚类数很多;此时,聚类标准误是真实标准误的一致估计。

    2.4总结

    1. 估计系数的标准差称为系数标准误,目的是希望了解估计系数平均偏离真实值的程度,误差范围越小,样本估计系数接近真实值的可能性就越大

    2. 同方差和不相关假设下,用普通标准误;异方差和不相关假设下,用异方差稳健标准误;异方差、组内相关、组间无关假设下,用聚类稳健标准误。

    3. 在哪个层面选择聚类?

    这里估计系数方差的估计量有一个权衡:偏差与方差。当样本数量一定的时候,规模更大的集群考虑到了更广泛的相关项,偏差更小,但同时造成更少的集群数量,因此集群方差的估计较为不精确,方差更大。一般的共识是在没有由于集群数量过少引发问题的情况下,尽量使用更大的集群。合适的聚类层级需要依研究情境和数据特征而异。一个经验法则是:当核心解释变量的数据层级高于被解释变量时,标准误应聚类到核心解释变量所在层级

    此外,还有双向聚类和交互聚类。比如双向聚类在省份与行业层面,或者行业省份聚类。前者的含义是不仅仅要使得同一个省份内的不同个体的干扰项相关,还要使得同一个行业的不同个体的干扰项相关,这比单独的省份层面聚类或行业层面聚类都更加严格。后者的含义是要使得同一个省份以及同一个行业的不同个体的干扰项相关,这个要求就比较宽松。省份与行业双向聚类=省份聚类+行业聚类-省份*行业聚类(因为省份聚类中包括省份*行业聚类,行业聚类中也包括省份*行业聚类,所以需要减去一份)。

    4. stata操作

    4.1异方差稳健标准误
    
    reg y x,r
    =reg y x,robust
    =reg y x,vce(robust)
    
    4.2聚类稳健标准误
    
    group是要聚类的层面,比如企业id、省份province、产业industry等
    
    reg y x,cluster(group)
    =reg y x,vce(cluster group)
    
    xtreg y x,fe r
    =xtreg y x,fe cluster(id)
    =xtreg y x,fe vce(cluster id) 个体层面聚类
    
    4.3交叉聚类
    
    比如省份与行业交互,同一省份的同一产业组内相关,组间无关
    
    egen province_industry=group(province industry)
    
    sort province industry
    
    reg y x,vce(cluster province_industry)
    reg y x,cluster(province_industry)
    
    4.4双向聚类
    
    参见cgmreg或vce2way或vcemway
    
    4.5 输出标准误结果
    outreg2 using Table2,word drop(_I*) dec(3) tdec(3) bdec(3)  alpha(0.01,0.05,0.1) symbol(***,**,*) stats(coef tstat) e(r2_a) se append
    

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    标准误概念:即样本均数的标准差,可用于衡量抽样误差的大小。 通常σ未知,用s(标准差)来估计,计算标准误: ----> 通过增加样本含量n来降低抽样误差。 标准误的特点: 当样本例数n一定时,标准误与...

    标准误概念:即样本均数的标准差,可用于衡量抽样误差的大小。

    通常σ未知,用s(标准差)来估计,计算标准误:

      ---->    通过增加样本含量n来降低抽样误差。

     

    标准误的特点:

    当样本例数n一定时,标准误与标准差呈正比;

    当标准差一定时,标准误与样本含量n的平方根呈反比。

    意义:反映样本均数间离散程度。反映抽样误差的大小。标准误越小,抽样误差越小,用样本均数估计总体均数的可靠性越大。

     

    标准差和标准误的差别:

    标准误:反映抽样误差 用于总体均数、置信区间、进行统计学检验

    标准差:反映个体变异 用于计算参考值范围、计算标准误、CV

    联系:当n一定时,标准差越大,标准误越大

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    标准差

    标准差是方差的平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度,标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。平均数相同的两个数据集,标准差未必相同。

    例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差应该是17.078分,B组的标准差应该是2.160分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

    总体标准差

    已知随机变量 X 的数学期望为μ缪,标准差为σ西格玛,则其方差为:

    此处σ即为随机变量X的总体标准差

    样本标准差

    上面的式子中,我们需要准确的了解随机变量 X的总体分布,从而可以计算出其总体的期望和标准差。

    但在一般情况下,对总体的每一个个体都进行观察或试验是不可能的。因此,必须对总体进行抽样观察(采样)。由于我们是利用抽样来对总体的分布进行推断,所以抽样必须是随机的,抽样值

    应视为一组随机变量。由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统计推断,为了使抽取的样本能很好地反映总体信息,必须考虑抽样方法。最常用的一种抽样方法叫作 “简单随机抽样”,得到的样本称为简单随机样本,它要求抽取的样本满足以下两点:

    代表性:抽样值中每一个与所考察的总体有相同的分布。

    独立性:抽样值是相互独立的随机变量。

    满足以上两点要求的样本一般被称为独立同分布independent and identically distributed (i.i.d.)样本。

    在概率统计理论中,如果变量序列或者其他随机变量有相同的概率分布,并且互相独立,那么这些随机变量是独立同分布。 在西瓜书中的解释是:输入空间中的所有样本服从一个隐含未知的分布,训练数据所有样本都是独立地从这个分布上采样而得。

    所以在实践中采样得到i.i.d.样本之后,可以用样本方差S平方来近似总体方差σ平方。

    疑问???为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?

    答案在这里:为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?_图灵的猫i的博客-CSDN博客_样本方差为什么是n-1

    标准误

    例如:已知某学校有初三学生共200名,这200名学生的平均身高为160cm.我们以这200名初三学生作为总体,欲通过抽样调查来了解所有初三学生的平均身高。现在假定我们共做了10次抽样,每次抽样量都是100人。此时我们可以分别计算出每次抽样样本的身高均数和标准差,可以得到10个均数和标准差。这里10个均数和标准差都是样本统计量,如果我们把10个样本的均数作为原始数据,然后计算这10个值的标准差,那么我们得到的指标就是标准误。

    它们针对计算的对象不同。标准差是根据某次抽样的原始数据计算的;而标准误是根据多次抽样的样本统计量(如均数、率等)计算的。理论上,计算标准差只需要一个样本,而计算标准误需要多个样本。

    尽管从理论上来讲,标准误的计算是通过多次抽样的多个样本统计量而获得的,但在实际中仅依靠一次抽样来计算标准误也是可行的。事实上,在绝大多数情况下,我们也别无选择,只能利用一次抽样数据来计算标准误。此时标准误的计算公式为:

    其中,s表示样本标准差,n为样本的例数。不难看出,样本例数越大,标准误越小,即抽样误差越小。

    标准差与标准误

    联系:

    二者都是标准差。

    标准误=标准差 / N的根号。标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根,故又称为均方根误差。

    区别:

    标准误是一种误差。

    标准差是对均数的偏离。

    偏离和误差根本不是一个概念。

    随机变量的标准差衡量的是该随机变量的离散度。例如:一个样本或者一个population里的个体之间区别有多大。

    标准误即样本均数的标准差,是描述均数抽样分布的离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度,反映的是样本均数之间的变异。标准误不是标准差,是多个样本平均数的标准差。标准误用来衡量抽样误差。

    标准误是样本统计量的标准差,衡量的是抽样分布的离散度,对应的随机变量是样本统计量。比如样本均值的标准误,衡量的就是样本均值的离散度。例如:从一个population 里取样本,样本之间的区别有多大。

    标准误越小,表明样本统计量与总体参数的值越接近,样本对总体越有代表性,用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此,标准误是统计推断可靠性的指标。

    标准差:一次抽样中个体分数间的离散程度,反映了个体分数对样本均值的代表性,用于描述统计

    标准误: 多次抽样中样本均值间的离散程度,反映了样本均值对总体均值的代表性,用于推论统计

    标准差是一个描述性指标,只是描述原始数据的波动情况。而标准误是跟统计推断有关的指标。描述性指标推论性指标不是一个概念。


    标准差
    标准误
    区别

     1.意义:描述个人观察值变异程度的大小。标准差小, 公卫百科

                    均数对一组观察值的代表性好。

    2.应用:与均数结合,用以描述个人观察值的范围,常

                   用于医学参考范围的估计。 公卫论坛

    3.与n的关系:n越大,标准差越趋于稳定。

    描述样本均数的变异程度及抽样误差的大小,其实质是 公卫家园

    样本均数的标准差。标准误小,用样本均数推断总体均

    数的可能性大 。

    与均数结合,用以估计总体均数可能出现的范围以及对 公卫人

    总体均数作假设检验。

    n越大,标准误下降。

    联系

         1. 都是描述变异程度的指标

        2.  由公式可知,标准差与标准误成正比, 公卫家园

              n一定时,标准差越大,标准误越大 

    标准差与标准误的变量:

    标准差:描述个体值间的变异(抽样误差),标准差较小,表示观察值围绕均数的波动较小,说明样本均数的代表性就越好。 标 准误:描述样本均数的抽样误差,标准误较小,表示样本均数与总体均数较接近。说明样本均数的可靠性。
    标准差:表示变量值离散程度的大小,结合均数估计参考值范围。 公卫考场
    标准误:表示抽样误差的大小,估计总体均数的可信区间。
    标准差:随样本含量的增多,逐渐趋于稳定
    标准误:随样本含量的增多逐渐减小。
    标准差与标准误都是变异指标,说明个体值之间差异是用标准差,说明样本均数之间差异时用标准误。当样本含量不变时,标准差越大,标准误越大。


     

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