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  • 数学中的内积和外积

    2021-01-06 21:41:11
    内积(inner product, scalar product,dot product) 根据翻译,内积又叫标量积、点积,还叫数量积。是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。 两个向量和的点积...
  • 重则成百上千行的代码反复尝试多次不知道错在哪里,浪费大量不必要的时间,我也是经常遇到向量以及矩阵的运算,一次搞清楚事后不复习又忘记,然后再查再忘,今天就索性自己写一篇博客,将常见的内积和外积的代数运算...
  • 计算两个矩阵 A 和 B 的 Frobenius 内积。在数学中,它表示为 A:B。 所以我创建了一个类来重载冒号运算符来实现这一点。
  • 我们提出了有关量子理论泛化情况的理论考虑,这种情况对应于希尔伯特空间上具有不定符号的内积。 后者本质上是Minkowski时空的直接模拟,它具有一个不确定的特征,可以概括牛顿空间的度量几何。 实际上,我们想到的...
  • py代码-输入两个包含若干整数的等长列表,把这两个列表看作两个向量, 输出这两个向量的内积。例如输入[1,3,5,7]和[2,4,6,8],输出100。
  • 基于坐标内积矩阵最大似然的相对位置估计算法
  • 方法 定义四元数集合的实值内积,将空间L2(R2, H; dx)分解成为不可约不变子空间的直和,给出容许条件的特征。结果 建立了四元数值函数空间小波变换的Parseval等式。结论 在弱的意义下给出了小波变换的反方程。
  • 向量的内积外积与其几何意义

    千次阅读 2020-04-02 22:45:51
    一、点乘(内积) 有向量 a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​),b=(x2​,y2​),夹角为 θ\thetaθ,内积为: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=x1x2+y1y2 \vec a \cdot \vec b...

    一、点乘(内积)

    有向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2) a =(x1,y1)b =(x2,y2),夹角为 θ \theta θ,内积为:
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2 a b =a b cosθ=x1x2+y1y2

    几何意义:
    1. 夹角,由 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta a b =a b cosθ 知,当内积 > 0 >0 >0 θ < 9 0 ∘ \theta<90^\circ θ<90,内积 < 0 <0 <0 θ > 9 0 ∘ \theta>90^\circ θ>90,内积 = 0 =0 =0 θ = 9 0 ∘ \theta=90^\circ θ=90。同时也可以计算 θ \theta θ 的值: θ = a r c c o s a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} θ=arccosa b a b
    2. 投影 ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ |\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|} a cosθ=b a b 表示 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 上的投影。
      对偶性 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) = ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) \vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta) a b =a (b cosθ)=b (a cosθ)
      ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) |\vec a|(|\vec b|\cos\theta) a (b cosθ) 的理解是 a ⃗ \vec a a 的长度与 b ⃗ \vec b b a ⃗ \vec a a 上的投影的乘积;
      ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) |\vec b|(|\vec a|\cos\theta) b (a cosθ) 的理解是 b ⃗ \vec b b 的长度与 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 上的投影的乘积;
      而这两个是相等的。

    二、叉乘(外积)

    在这里插入图片描述
    上面的公式,就是求三阶行列式。

    几何意义:
    1. 上面如果不把 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec i,\vec j,\vec k i ,j ,k 的具体指带入公式,而是写成 a ⃗ × b ⃗ = m i ⃗ + n j ⃗ + l k ⃗ \vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k a ×b =mi +nj +lk 的形式,向量 ( m , n , l ) (m,n,l) (m,n,l) 就是一个同时垂直 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 的向量,如下图:
      在这里插入图片描述
    2. 对于二维向量, a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2) a =(x1,y1)b =(x2,y2),按照上面的公式得:
      a ⃗ × b ⃗ = ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ = x 1 y 2 − x 2 y 1 \vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1 a ×b =x1x2y1y2=x1y2x2y1,设这个数值为 m m m
      则, ∣ m ∣ = ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ |m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta m=a×b=absinθ θ \theta θ a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 的夹角)
      且,|m| = a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 构成的平行四边形的面积 ,如下图:
      在这里插入图片描述
    3. 判断向量的相对位置(顺逆时针)
      a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 如图所示:

    在这里插入图片描述
    如果让 a ⃗ \vec a a 以最小角度转到 b ⃗ \vec b b 的方向,是顺时针还是逆时针呢,从图中很容易看出,但怎么用数字判断呢?
    仍然是 m = a ⃗ × b ⃗ = x 1 y 2 − x 2 y 1 m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1 m=a ×b =x1y2x2y1
    m > 0 m>0 m>0 a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180
    m < 0 m<0 m<0 a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180
    m = 0 m=0 m=0 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 共线。

    直观记忆如下图:
    在这里插入图片描述
    m > 0 m>0 m>0 b ⃗ \vec b b 在蓝色部分;
    m < 0 m<0 m<0 b ⃗ \vec b b 在红色部分;
    m = 0 m=0 m=0 b ⃗ \vec b b 在分界线上(与 a ⃗ \vec a a 共线 )。

    三、扩展(坐标系引发的顺逆指针分不清事件)

    我们平时默认的坐标系是这样的:
    在这里插入图片描述
    但有时候的坐标系是这样的(比如数字图像中):
    在这里插入图片描述
    可以发现,同样的 a ⃗ = ( 2 , 1 ) \vec a=(2,1) a =(2,1) 转到 b ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec b=(1,2) b =(1,2) ,在上面的坐标系中就是逆时针,而在下面的坐标系中就是顺时针,所以为了统一说明,定义了 “正旋转” : x x x 轴旋转到 y y y 轴的方向。
    所以,上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为:
    m > 0 m>0 m>0 a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180
    m < 0 m<0 m<0 a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180
    m = 0 m=0 m=0 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 共线。
    而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。

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  • 数学知识--外积和内积

    千次阅读 2019-12-24 16:59:14
    1、外(叉积、向量、叉乘) 向量,数学中又称外、叉积,物理中称矢、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。它的运算结果是一个向量而不是一个数。两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直。 对于...

    1、外积(叉积、向量积、叉乘)

    向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。它的运算结果是一个向量而不是一个数。两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量U和向量V:
    U = ( x 1 , y 1 , z 1 ) U=(x_1, y_1, z_1) U=(x1,y1,z1)
    V = ( x 2 , y 2 , z 2 ) V=(x_2, y_2, z_2) V=(x2,y2,z2)
    a和b的叉乘公式为:
    U × V = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) j + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k U\times V=\begin{vmatrix} i &j &k \\ x_1 &y_1 &z_1 \\ x_2 &y_2 &z_2 \end{vmatrix}=(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k U×V=ix1x2jy1y2kz1z2=(y1z2y2z1)i(x1z2x2z1)j+(x1y2x2y1)k
    其中:
          i = ( 1 , 0 , 0 ) i=(1,0,0) i=(1,0,0)    j = ( 0 , 1 , 0 ) j=(0,1,0) j=(0,1,0)    k = ( 0 , 0 , 1 ) k=(0,0,1) k=(0,0,1)
    根据 i , j , k i,j,k i,j,k之间关系,有:
    U × V = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 . − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) U\times V =(y_1z_2-y_2z_1.-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1) U×V=(y1z2y2z1.(x1z2x2z1),x1y2x2y1)
                           在这里插入图片描述
    两个向量叉乘后的向量大小为:
    U ⃗ × V ⃗ = ∣ U ⃗ ∣ ⋅ ∣ V ⃗ ∣ ⋅ s i n θ \vec{U}\times \vec{V}=|\vec{U}|\cdot |\vec{V}|\cdot sin \theta U ×V =U V sinθ

    叉乘的几何意义:

    • 在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    • 在3D图形学中,叉乘的概念十分有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a、b的法向量,从而构建X,Y,Z坐标系。如下图所示:
                       在这里插入图片描述

    • 在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:|aXb|=|a||b|sinθ=由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    2、内积(点乘,数量积)

    对于向量a和向量b:
    a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) a=(a_1,a_2,...,a_n) a=(a1,a2,...,an)
    b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) b=(b_1,b_2,...,b_n) b=(b1,b2,...,bn)
    向量a和b 的点积公式为:
    a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n ab=a1b1+a2b2+...+anbn

    点乘的几何意义:
    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:
    a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ a \cdot b=|a||b|cos \theta ab=abcosθ
    θ = a r c c o s ( a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ ) \theta =arc cos(\frac{a \cdot b} {|a||b|}) θ=arccos(abab)

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  • 向量的内积和外积

    千次阅读 2019-11-11 19:27:55
    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b: a=[a1,a2,a3,…,an]a=[a_1,a_2,a_3,…,a_n]a=...

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n1)或一个1行n列(1n)的有序数组;

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    点乘公式

    对于向量a和向量b:
    a = [ a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ] a=[a_1,a_2,a_3,…,a_n] a=[a1,a2,a3,,an]
    b = [ b 1 , b 2 , b 3 , … , b n ] b=[b_1,b_2,b_3,…,b_n] b=[b1,b2,b3,,bn]

    a和b的点积公式为:
    a ∗ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n a*b=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n ab=a1b1+a2b2++anbn

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:
    a ∗ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ a*b=|a||b|cosθ ab=abcosθ

    推导过程如下:

    首先看一下向量组成,
    在这里插入图片描述
    定义向量:

    c = a − b c=a-b c=ab

    根据三角形余弦定理有:

    c 2 = a 2 + b 2 − 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ c2=a2+b22abcosθ

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a ∗ b = a 2 + b 2 − − 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ (a-b)^2=a^2+b^2-2a*b=a^2+b^2--2|a||b|cosθ (ab)2=a2+b22ab=a2+b22abcosθ
    即:
    a ∗ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ a*b=|a||b|cosθ ab=abcosθ

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:
    θ = a c c c o s ( ( a ∗ b ) / ( ∣ a ∣ ∣ b ∣ ) ) θ=acccos((a*b)/(|a||b|)) θ=acccos((ab)/(ab))

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:

     a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间
    
     a·b=0    正交,相互垂直  
    
     a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 
    

    叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:
    a = ( x 1 , y 1 , z 1 ) a=(x_1,y_1,z_1) a=(x1,y1,z1)
    b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) b=(x_2,y_2,z_2) b=(x2,y2,z2)

    a和b的叉乘公式为:
    在这里插入图片描述
    其中:
    在这里插入图片描述

    根据i、j、k间关系,有:

    在这里插入图片描述

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在这里插入图片描述
    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    说是矩阵的叉乘,其实是说的是两个向量的叉乘,矩阵是不能叉乘的。cross(A,B)返回向量A和B的叉乘,其中A,B必须是3个元素的向量!
    比如
    a=[1,2,3],b=[4,5,6],
    则cross(a,b)=[-3 6 -3].
    它表示的意思是三维空间中的两个点A(1,2,3)和B(4,5,6),再加上原点O,则构成的两个向量OA,OB,则cross(a,b)就是垂直平面OAB的向量,它的模是三角形OAB面积的2倍。结合上面的例子,假若点C(-3,6,-3),则向量OC就是平面OAB的法向量,|OC|就是三角形OAB面积的2倍。

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  • 向量内积/点积

    2019-12-05 10:50:41
    向量内积/点积 在向量空间Rn中,自然基下,向量x=(x1,…,xn)和y=(y1,…,yn)在向量空间\mathbb{R}^n中,自然基下,向量\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)和 \boldsymbol{y}=(y_1,\ldots,y_n)在向量空间Rn中,自然基下...

    向量内积/点积

    在 向 量 空 间 R n 中 , 自 然 基 下 , 向 量 x = ( x 1 , … , x n ) 和 y = ( y 1 , … , y n ) 在向量空间\mathbb{R}^n中,自然基下,向量\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)和 \boldsymbol{y}=(y_1,\ldots,y_n) Rnx=(x1,,xn)y=(y1,,yn)点积(dot product),或称内积(inner product),定义为:
    x ⋅ y = x 1 y 1 + ⋯ + x n y n = ∑ i = 1 n x i y i \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=x_1y_1+\cdots+x_ny_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_iy_i xy=x1y1++xnyn=i=1nxiyi

    Python3

    numpy.inner

    #%%
    import numpy as np
    from numpy import inner
    
    x = np.array([1,2,3])
    y = np.array([4,5,6])
    
    inner_product = inner(x,y)
    
    print(inner_product)
    
    32
    
    展开全文
  • 向量的内积与外积

    千次阅读 2019-11-11 16:35:36
    向量的内积与外积 向量的内积 已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·...
  • CDMA向量内积的计算

    千次阅读 多人点赞 2020-03-03 14:02:39
    CDMA向量内积的计算 在平面坐标上,有A点和B点,A点坐标是(x1, y1),B点坐标是(x2, y2)。![图1](https://img-blog.csdnimg.cn/20200303134826109.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,...
  • 内积 内积又称:点积、点称、数量积 定义:设向量a(ax,ay),向量b(bx,by)之间的夹角为θ,(0<=θ<=180) 那么a、b的内积a·b=|a|x|b|cosθ=ax * bx+ay * by(横乘横,加上,纵乘纵) 内积中间是点不是x号 我们通过...
  • 矩阵论——矩阵内积与范数

    千次阅读 2020-04-06 23:27:56
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  • 小谈向量内积与函数内积

    千次阅读 2020-03-06 10:37:50
    对于函数内积,我想很多理工科的都理解,最常用的就是傅里叶变换,一个信号与很多个频率的基函数相乘,也就是信号与每个基函数做内积,求得在每个基函数上的占比,或者说是在该基函数上的投影大小,遍历全部基函数,...
  • 1. 数量积:又称内积(Kronecker product)、点积(Dot product),对应元素相乘相加,结果是一个标量(即一个数)。 2. 向量积:又称外积、叉积(Cross product),结果是法向量。 3. 普通乘积:对应元素相乘,结果...
  • 点积(dot product) ...点积是内积的特例,内积是数量积的特例。 \vec {a} \vec a \cdot \vec b = 0 \vec a \cdot \vec b = 0 点乘: https://blog.csdn.net/xingxinmanong/article/details/78528791 ...
  • 内积/外积/混合积

    千次阅读 2020-04-05 18:50:54
     向量的三重(Triple Product) 三重, 又称混合, 是三个向量相乘的结果, 就是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点. 参照叉乘的几何意义, 三重其实就是由三个向量为棱的平行六面体的体积. 此外, ...
  • 点乘、数量积、内积 向量的点乘即数量积,记作a·b;其中a·b=|a|·|b|cosθ,|a|、|b|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量,点乘,也叫向量的内积、数量积。 几何意义:一个向量...
  • 针对已有扩频码估计方法计算复杂度高的问题,提出一种基于平均内积和相关判决函数的扩频码估计方法.首先采用窗长为伪码周期的滑动窗函数将信号划分为不重叠数据段,以各分段数据为行向量依次排列构造数据矩阵,并根据...
  • 内积和外积

    千次阅读 2018-12-23 16:58:22
    内积: 对应元素相乘。 外积:
  • 矩阵内积运算

    万次阅读 多人点赞 2019-04-19 10:00:46
    设有矩阵A=[a1,a2 ; a3,a4] 和矩阵 B=[b1,b2 ; b3,b4] 那么矩阵A与B的内积为: ** 内积 = a1 x b1+a2 x b2+a3 x b3+a4 x b4 **
  • 向量内积、矩阵内积以及其性质

    千次阅读 2018-09-19 16:20:09
    原稿:http://www.docin.com/p-349594275.html 根据矩阵内积的限制可以知道,binary box function特征与图像的点积为binary box function所在区域对应的图像区域的亮度之和,从而可以提高点积的计算速度。...
  • 矩阵内积、外积(克罗内克积)和Hadamard积

    万次阅读 多人点赞 2020-03-18 23:58:10
    一、矩阵的内积:两个矩阵A、B对应分量乘积之和,结果为一个标量,记作<A,B>(与向量的内积/点积/数量积的定义相似)。 所以A、B的行数列数都应相同,且有结论<A,B>=tr(ATB)。 例如:,,则<A,B>=...
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  • Python/Numpy之点积叉积内积外积张量积 内积内积、标量积、数量积、点积、点乘)a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),结果为标量(一个数) 外积(叉乘):向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| =...

空空如也

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