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  • LDPC低密度奇偶校验码

    2016-05-10 20:33:10
    低密度奇偶校验码
  • 低密度奇偶校验码的编码方法研究,李金根,郑紫微,低密度奇偶校验码具有优异的性能,是当前性能最好的信道编码之一。作为超三代通信系统信道编码强有力的竞争者,低密度奇偶校验码
  • 低密度奇偶校验码

    2014-09-26 14:51:09
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  • Matlab仿真程序实现LDPC低密度奇偶校验码
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    偶校验矩阵和低密度奇偶校验码的构造方法

    摘要 - 低密度奇偶校验(LDPC)码是具有稀疏奇偶校验矩阵的线性分组码。 在本文中,给出了用于生成LDPC码的一些构造方法的简要描述。 这些方法通常分为两类:随机和分析。 随机构造的代码包括来自Gallager和Mackay的代码。 所描述的分析构造方法是来自有限几何形状的代码。 一种类型是根据Gallager的原始处方随机构建的。 另一个是从欧几里德和投影几何分析建立的。 可以使用基于似然差的解码算法来检查它们的性能。

    1.引言

    LDPC码概述

    在信息论中,Shannon的信道编码定理被认为是刺激了错误控制码的发展。 它表明,所有数据速率rb小于信道容量C的,都可以实现任意小的误差概率Pe,其中C由Shannon-Hartley公式[1]给出:
    ܥ (1.1) C = B l o g 2 [ S / N ] ( B i t s p e r s e c o n d ) C = B log_2 [S/N] \quad (Bits per second) \tag{1.1} C=Blog2[S/N](Bitspersecond)(1.1)
    这里,B是以Hz为单位的信道带宽,S / N是信噪比(SNR)。 SNR与“比特能量与单侧噪声功率谱密度比”有关
    (1.2) S N = r b E b B N 0 = r b B × E b N 0 \frac{S}{N}= {r_bE_b\over BN_0}= {r_b\over B}×{E_b\over N_0}\tag{1.2} NS=BN0rbEb=Brb×N0Eb(1.2)
    使用公式(1.2),公式(1.1)可以写成:
    (1.3) C B = l o g 2 ( 1 + ( η m a x E b N 0 ) ) \frac{C}{B}= log_2(1+(η_{max}{E_b\over N_0}))\tag{1.3} BC=log2(1+(ηmaxN0Eb))(1.3)
    或者
    (1.4) E b N 0 = 2 η m a x − 1 η m a x \frac{E_b}{N_0}= \frac{2^{η_{max}}-1}{η_{max}}\tag{1.4} N0Eb=ηmax2ηmax1(1.4)
    等式(1.4)被称为香农极限。 它提供所需的Eb / N0,以接近信道容量的速率传输数据。 该限制始终用作评估编码调制方案的基准。 据报道,Turbo码和LDPC码的性能非常接近香农极限[2]
    LDPC码,也称为Gallager码,是由Gallager在60年代早期设计的[3]。 作为一类线性分组码,它们通过稀疏二进制奇偶校验矩阵来区分。在每个矩阵中,每一行有固定的(j)个1,每列也有固定(k)个1。 然而,当时,计算能力还不足以显示它们的有效性,因此LDPC代码直到最近才被遗忘[2]。Mackay和Neal被称为“重新发现”Gallager代码,他们指出了使用基于和积算法的解码算法的代码的出色功能[4]
    从Gallager的原始处方中,Luby等人通过引入不规则代码标志了LDPC码的重要进展[5]。 LDPC码的另一个进步是由Davey和Mackay在GF(q)(q> 2)上引入不规则码。 在[6]中,这类LDPC码显示出比GF(2)中的代码具有显着改进的性能。

    2. LDPC代码的构建

    在这一部分中,我们描述了一些常规和不规则LDPC码的结构。 用于构造LDPC码的奇偶校验矩阵的方法分为两大类:随机和分析方法。但是,根据Johnson和Weller [10],随机构造方法仍然占主导地位,因为分析创建的LDPC代码只占很小的一部分。 已经表明,如果Tanner图没有周期,迭代和积解码算法可以收敛于最优解[8]。 较短的周期将使算法恶化。
    下面介绍了处理LDPC码构造的一些有用概念
    Tanner图:Tanner图用于表示线性分组码的码字比特和奇偶校验比特之间的关系。 Tanner图已被推广成因子图[7]。
    循环:Tanner图中的循环是一系列连接的码字节点和奇偶校验节点,它们在同一节点处开始和结束,并且序列中不会出现多次其他节点。
    长度:循环的长度是循环中的边数。
    周长:Tanner图的周长是其最短周期的长度。
    度:Tanner图中节点的度数是连接到它的边数。
    图1和2分别示出了长度为4和长度为6的两个周期,以及它们对应的奇偶校验矩阵
    在这里插入图片描述
    码字顶点和奇偶校验顶点的作用在形成周期中是相等的。 因此,使用I或其转置,IT作为奇偶校验矩阵将创建相同的循环集。
    特别是,对于长度为4的周期情况,下面的三个语句对于LDPC代码是等效的:
    Tanner图中没有长度为4的循环。
    任意两行之间的重叠1的数量小于2.
    任意两列之间的重叠1的数量小于2.
    这些备注将用于简化与LDPC码的周期长度和周长相关的证明,以及 在检查模拟程序中的重叠时也是如此。

    3.随机构造的代码

    A. Gallager的处方

    在Gallager [3]的原始论文中,LDPC码被定义为一种线性块码,其奇偶校验矩阵H是稀疏矩阵,即主要包含0,只有少量1的矩阵。 此外,在此矩阵中,每行具有相同数量的1,并且每列具有相同数量的1。 特别地,Gallager将(n,j,i)LDPC码定义为具有块长度n,奇偶校验矩阵中每列1的数量为j,每行1的数量为i的代码。 这种类型的奇偶校验矩阵如图3所示
    在这里插入图片描述
    该矩阵可以分成三个相等的子矩阵,例如:每列的权重为1,如图3所示。第一个子矩阵是一个特殊的矩阵:1以向下的方式放置,整个子矩阵看起来像一个单位矩阵,每列重复四次。事实上,子矩阵只需要是这种特殊结构的随机列排列。还可以容易地看出,第一子矩阵(或任何后续子矩阵)的随机列置换将在每行中恰好具有四个1并且在每列中具有单个1。反之亦然,每行中具有四个1并且每列中具有单个1的任何(5×20)子矩阵仅是第一子矩阵的列置换。 图4给出了这种奇偶校验矩阵的表示[2]。
     。
    图4具有行权重4和列权重3的Gallager结构的表示。具有对角线的正方形表示单位矩阵。 带箭头的椭圆表示随机列排列。
    通常,(n,j,i)矩阵可以被划分为列权重为1的j个子矩阵。(n,j,i)矩阵的行数由nj / i给出(j是 每列中的1的数量,因此1的总数是nj,并且i是每行中1的数量)。 因此,每个子矩阵将具有n / i行。
    考虑到LDPC码作为一种线性块码,我们可以如下计算(n,j,i)LDPC码的码率R:首先,假设H的所有行是线性独立的(或者H是满秩) ),H的等级(以模2算术计算)将与行数J相同,其为nj / i(J <n,即J = nk)。 然后,生成矩阵G的维数为(n-nj / i)×n(j <i为J <n),码率R为
    R = ( n − n j / i ) / n = 1 – j / i . R = (n-nj/i)/n = 1 – j/i. R=(nnj/i)/n=1j/i.
    当H的行不是线性独立的时,H的秩将小于nj / i,并且G的行数将大于n-nj / i,这导致R> 1-j / i。 所以,一般来说,我们有:
    (1.5) R ≥ n − n j i n = 1 − j i R≥ \frac{n-n{j\over i}}{n}= 1-\frac{j}{i}\tag{1.5} Rnnnij=1ij(1.5)

    B. Mackay’s构建

    LDPC码的Tanner图中存在短周期将降低迭代解码算法。 考虑图5中给出的Tanner图的部分。
    在这里插入图片描述
    图5长度为4的周期及其对迭代解码算法的影响
    三个噪声符号连接到五个校验符号,如图5所示。长度为4的循环由粗线绘制。 如果所有这三个噪声符号都是错误的(从1变为0或反之亦然),则只能警告最右边的检查(s5)。根据Davey的说法,这种情况会降低解码过程的性能[2]。

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