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  • 矩阵对数运算公式_J.1 对数与分贝(DB)与放大倍数
    2020-11-22 00:46:22

    要理解分贝(DB)的概念,首先要理解对数。

    分贝实际上是用对数来表示放大倍数,因为放大倍数现在100倍已经司空见惯,百万倍、千万倍都用得着,所以后面带0太多,放大倍数用了个换算,以10倍为基准,放大了10的多少次方倍(划重点)来代表放大倍数,这个次方的值再乘以10,是功率放大分贝数。乘以20是电压放大分贝数。

    功率放大1万倍

    log10(10000) = 4,算成分贝,4X10=40db

    电压放大1万倍

    log10(10000) = 4,算成分贝,4X20=80db

    用运放来放大电压信号时,这样电压放大倍数就和db对应起来

    20lg(倍数)=XXdb

    在线分贝计算器 https://www.osgeo.cn/app/s4045

    什么是对数?


    这篇文章讲的对数清晰: 指数与对数

    另一个说明:对数公式_百度百科


    对数公式是数学中的一种常见公式
    ,如果a^x=N(a>0,且a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N),其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底,N叫做真数。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数称为自然对数。
    首先说明对数是高中知识
    a^x=N 用实例表示 10^2=100 (10X10=100)
    a=10, x=2, N=100
    x就是一个计算的对数 实际上就是多少次方的次方那个数字
    10的2次方等于100 ,10为底结果是100的对数是多少?就是2
    但是数学公式要严谨,我们用文字表示太长,所以写成log10(100)=2
    log10因为太常用,后来直接简写成lg,成为常用对数。
    所以log10(100)=lg(100)
    在线计算器:
    在线对数计算器https://www.99cankao.com/algebra/logrithm.php
    利用电脑科学计算器计算https://jingyan.baidu.com/article/f96699bba014c7894e3c1bc3.html



    好文章(引用):

    解读:分贝是10lg还是20lg

    http://www.audio160.com/news/2019/11/2019_29_53014.htm


    这个单位是为了纪念贝尔,没错就是发明电话的那个人,而且单位就是“贝尔”。“分贝”是1/10贝尔的意思。
    最初在研究声音强度的时候,出现了两个难题:
    一是数值范围太大了,从20到2000000000,看着都头晕;
    二是人的听觉根本不是线性的,在耳膜上产生的压强差100万倍的两个声音,人耳朵听起来也就差五六十倍。
    解决的方案很简单,如果两个信号A比B的功率高10倍,将它们比值取以10为底的对数,这就是1个贝尔。后来因为贝尔这个单位有点大,处理最常见的2倍功率的时候出现了小数,所以就改用1/10也就是分贝来表示,那相应的数值上就要乘以10。

    10Xlog10(2)=0.3*10=3db 10lg(2)=3db

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    这个方法简直是把“简单粗暴”发挥到了极致。
    首先,用比值完全消除了各种常量系数,重点更突出;其次,对数操作把乘方变成了加减法,运算和作图都变得非常简单。
    所以,重要的事情说三遍——
    “10lg”是正解!!!
    “10lg”是正解!!!
    “10lg”是正解!!!
    捎带说一句,电信号的“模拟带宽”就是用功率衰减一半来定义的,lg0.5=-3.0103,也就是-3dB。
    那么,为啥又出来个“20lg”呢?
    因为dB的定义是基于“功率”的,如果是要表述“幅度”的差距,由于功率跟幅度的平方成正比,所以对数运算后前面又乘以2,变成了“20lg”。看图吧!

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    在上一个版本的教材,对数函数位于不等式的前面,可以说是让人第一次感受到高中数学难度的内容。说句题外话,很多对高中数学乃至数学整体的误解来源于此。

    上次的文章介绍了指数运算、指数函数和幂函数,而这次介绍的对数函数可以视为是指数函数的逆运算。对数的定义是

    其中称

    为底数,称
    为真数。有些读者可以发现,对数和方根都可以视为乘方的逆运算:

    为什么实数的加法和乘法只有一种逆运算,而乘方有两种?原因就是乘方不具备交换律:

    一般来说

    这就带来了两种不同的逆运算。

    关于指数运算,有以下重要的结论:

    由它们可以得到关于对数运算的一些结论。

    针对上面第一个公式,我们记

    于是计算

    针对第二个公式,

    利用简单的指数运算和对数运算性质可以得到:

    我们常用的两种对数运算是以

    为底和以
    为底的对数运算,这里
    是一个在很多场合都会自然出现的常数,这两种运算分别记为

    进一步地,我们证明换底公式:

    换底公式的最直接意义在于,我们可以把任何底数的对数运算换成特定底数的对数运算。

    利用换底公式,可以进一步得出结论:

    它们的本质都是

    除此之外,我想说明一下发明对数运算的动机。

    除了建立指数运算的逆运算这一点,我们还经常发现一些比较复杂的运算,也就是底数和指数均带有其它运算的运算。这时我们可以取对数:

    这样就把复杂的指数运算变换成了乘法运算。很容易通过对数的定义证明这种变换的正确性。

    现在,我们就已经在理论上解决了所有复杂的指数运算和对数运算的问题。举几个实例,它们分别利用了对数的定义、对数运算的性质和取对数运算:

    (2014年全国高中数学联赛第1题)若

    满足

    记已知等式的值为

    于是

    (2016年全国高中数学联赛第3题)若

    满足

    于是

    (2019年全国高中数学联赛第1题)若

    满足

    取对数得到

    于是

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    最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图象;3.体会对数函数是一类重要的函数模型;4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.

    1.对数的概念

    如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

    2.对数的性质、换底公式与运算性质

    (1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).

    (2)对数的运算法则

    如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么

    ①loga(MN)=logaM+logaN;

    ②loga=logaM-logaN;

    ③logaMn=nlogaM(n∈R);

    ④logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0).

    (3)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1).

    3.对数函数及其性质

    (1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

    4.反函数

    指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称.

    [微点提醒]

    1.换底公式的两个重要结论

    (1)logab=;(2)logambn=logab.

    其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.

    2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

    3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.

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  • 旋转公式矩阵对数

    2021-05-10 13:22:50
    罗德里格旋转公式矩阵对数 - Mr.Bo的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/369659467 这样p(t)矢量末端的线速度 \dot p 可以表示为: \\ \dot p=\hat\omega\times p=\left[\hat\omega\right]p 这个式...

    在csdn上换点积分,感兴趣可以看知乎这个链接:

    罗德里格旋转公式和矩阵对数 - Mr.Bo的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/369659467

    这样p(t)矢量末端的线速度 \dot p 可以表示为:

    \\ \dot p=\hat\omega\times p=\left[\hat\omega\right]p

    这个式子和我们之前介绍的向量微分方程如出一辙,因此它的解为:

    \\p(t)=e^{\left[\hat\omega\right]t}p(0)

    那意味着p(0)绕轴旋转后的新位置为:

    \\p(\theta)=e^{\left[\hat\omega\right]\theta}p(0)

    接着我们进一步展开这个式子,由于 \left[\hat\omega\right] 是斜对称阵,运算一下就有 \left[\hat\omega\right]^3=-\left[\hat\omega\right]\\ \left[\hat\omega\right]^4=-\left[\hat\omega\right]^2\\ \left[\hat\omega\right]^5=-\left[\hat\omega\right]^3

    这样:

    继续化简,可以看出括号内正好和sin和cos的麦克劳林级数有联系:

    这样就有了下面这个描述:

    对于一个向量 \hat\omega\theta\in R^3 , \theta 是任意标量, \hat\omega 是单位向量, \left[\hat\omega\right]\theta=\left[\hat\omega\theta\right]\in SO(3) , 绕轴\hat\omega\in R^3,{||\hat\omega||=1} 旋转 \theta 的旋转矩阵就可以写成:

    上式就是著名的Rodrigues’formula。

    通过这种方式,我们就可以很方便的完成旋转操作。比如我们要对3x3的矩阵B进行旋转,那么 e^{\left[\hat\omega\right]\theta}B 表示在定系中绕 \hat\omega 轴旋转θ, Be^{\left[\hat\omega\right]\theta} 表示在动系中绕 \hat\omega 轴旋转θ。

    纯理论是不是过于抽象,这里我们举个例子:

    图中定系s绕 \hat\omega=(0,0.866,0.5) 旋转30°,那么旋转矩阵就可以表示为:

    假设定系s的矩阵是单位阵I,那么转动后的新位置就是R,注意角度不同,旋转后的位置不一致。

    接下来进一步进行讨论:

    如果 \hat\omega\theta\in R^3 表示旋转矩阵R的指数坐标,那么斜对称阵 {\left[\hat\omega\right]\theta} 就是旋转矩阵R的矩阵对数(matrix logarithm)。通过这种方式,就在旋转矩阵和向量之间搭建了桥梁:

    旋转矩阵表示为:

    \\ R=\left[\begin{array}{ccc} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{array}\right]

    为了推导矩阵对数,我们先将Rodrigues’formula展开:

    式中, \hat{\omega}=\left(\hat{\omega}_{1}, \hat{\omega}_{2}, \hat{\omega}_{3}\right) ,cθ=cosθ,sθ=sinθ ,由于旋转矩阵是对称阵,对矩阵减去它的转置后我们可以得到:

    上式中 sin(\theta)\not=0 ,就有:

    上面解出的式子可以表示为斜对称阵:

    由于 sin\theta 的存在,这里得做出讨论:

    当 sin\theta\not=0 时,引入矩阵的迹:

    因为 \hat{\omega}=\left(\hat{\omega}_{1}, \hat{\omega}_{2}, \hat{\omega}_{3}\right) 是单位向量,因此 \hat{\omega}_{1}^2+\hat{\omega}_{2}^2+\hat{\omega}_{3}^2=1 ,那么对于任意 \theta满足 trR=1+2cos\theta 且 sin\theta\not=0 ,旋转矩阵R就可以用指数坐标 e^{\left[\hat\omega\right]\theta} 来描述,其中:

    当sin\theta=0 时, \theta=\pm k\pi,k\in Z ,

    当k为偶数时,这意味着已经绕轴转回了 R=I ,所以转轴 \hat{\omega}=\left(\hat{\omega}_{1}, \hat{\omega}_{2}, \hat{\omega}_{3}\right) 没有被定义。

    当k为奇数时,旋转矩阵可以表示为:

    继续运算就有:

    由于旋转矩阵是对称阵,因此所有元素都计算完毕了。

    到这里,矩阵对数的推导就结束了,总结一下:

    对于给出的旋转矩阵 R\in SO(3) ,绕单位旋转轴 \hat{\omega}\in R^3,{\|\hat{\omega}\|=1} 旋转一个角度 \theta \in[0,\pi] ,向量 \hat\omega\theta\in R^3 表示旋转矩阵R的指数坐标,斜对称阵 {\left[\hat\omega\right]\theta}\in so(3) 表示旋转矩阵R的矩阵对数(matrix logarithm )。

    就有以下情况:

    (1)如果 R=I ,意味着 \theta =0 且旋转轴 \hat{\omega} 没有被定义

    (2)如果 R=-1 ,意味着 \theta =\pi ,旋转轴 \hat{\omega} 的表示为下式三者任意一个:

    (3)如果 \theta =arccos(\frac{1}{2}(trR-1))\in[0,\pi) ,那么:

    满足上述三个条件中的一个,对于一个旋转矩阵R的指数坐标就存在一个矩阵对数。

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