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  • 时域分析频域分析

    万次阅读 多人点赞 2015-12-19 10:38:04
    -----------------------------------------2019-12-27更新-------------------------------------- 本文参考以下博客或者文章: ...时域频域 如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧 h...

    -----------------------------------------2019-12-27更新--------------------------------------

    本文参考以下博客或者文章:

    深入理解傅里叶变换

    十分简明易懂的FFT(快速傅里叶变换)

    深入浅出的讲解傅里叶变换(真正的通俗易懂)

    时域频域

    如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧

    http://www.doc88.com/p-1476519575199.html

    时域是真实世界,频域是我们想要模拟的虚拟世界,例如下面的音频,这是真实存在的,每一个细节都很生动,我们将其称之为时域:

    同时我们可以用五线谱进行描述:

    五线谱的音符就是对上面音频的实体化,让时刻变动的音频能够固定成我们所认识的具象的符号。我们将其称之为频域。

    域是分析信号不同角度的名称。时域是时时刻刻的变化(时域是真实世界的描述)。频域是我们人为规定的,数学公式显式的表达,在音乐中就是是用音乐符号来表达。

    信号(音乐信号)从时间域(音乐时域)变换到频率域(音乐频谱)主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。

    时域与频域:

    时域是真实的,是出于一直变换的状态。频域是固定的,是固定的数值,我们要用不同的频域与尽可能的逼近时域。

    将其拆分为单独的一段,那么对应方式就是:

    一段时域对应一段频域。

    首先看一下这张图片:

     

    对于矩形波来说,可以由多个正弦波或者余弦波组合而成。这个矩形波可以看成是电压0与1的分布。多个余弦波的拼凑,可以自己敲代码试试,反正我试了很多没凑出来像矩形波的东西来。

        随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢?答案是无穷多个。

    那么我们为什要讨论,对于矩形波进行分解的问题?

     

        如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。

        对于我们最常见的有理数轴,数字“1”就是有理数轴的基本单元。

        时域的基本单元就是“1秒”,如果我们将一个角频率为[公式]的正弦波cos([公式]t)看作基础,那么频域的基本单元就是[公式]。

        有了“1”,还要有“0”才能构成世界,那么频域的“0”是什么呢?cos(0t)就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

    不同频率的频域我们称为频域分量。

     

    ------------------------------2015-12-19编写----------------------------------------------

    最近在学习数据处理,涉及到时域分析与频域分析的相关知识,其中难点在于时域分析与频域分析的图像对应关系。总结如下:

    对信号的传统分析方法是波形分析。
    表示信号的时间函数,包含了信号的全部信息量,信号的特性首先表现为它的时间特性。
    可以显示,例如信号幅值对应的时间;同一形状的波形重复出现的周期长短;信号波形本身变化的速率(如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度)。
    以时间函数描述信号的图象称为时域图,在时域上分析信号称为时域分析。

    对信号的传统分析方法是波形分析。
    表示信号的时间函数,包含了信号的全部信息量,信号的特性首先表现为它的时间特性。
    可以显示,例如信号幅值对应的时间;同一形状的波形重复出现的周期长短;信号波形本身变化的速率(如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度)。
    以时间函数描述信号的图象称为时域图,在时域上分析信号称为时域分析。

     

    时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系;频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说,时域的表示较为形象与直观,频域分析则更为简练,剖析问题更为深刻和方便。目前,信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而,它们是互相联系,缺一不可,相辅相成的。

     

     

     

    初学者理解难点在于为什么信号会有多个频率,下面我来讲解一下,一个信号有两种表示方法,时域和频域。在时域中,信号只有周期,有了傅里叶变换之后,人们才开始理解频域变换。频域是一个数学方法由时域变换构造出来的,他不是真实的。

    以上图为例,设时域波形(合成波)的时间周期是T=2s,则其频率为f0=1/T=1/2s.

    基波的时间周期和频率与合成波一样。每个谐波之间的频率间隔=基波频率。

    而谐波1的频率为f1=1/2+1/2=1Hz周期T1=1s

    谐波2的频率为f1=1/2+(1/2)*2=3/2Hz周期T1=2/3s

    谐波3的频率为f1=1/2+(1/2)*3=2Hz周期T1=1/2s

    谐波4的频率为f1=1/2+(1/2)*4=5/2Hz周期T1=2/5s

    谐波5的频率为f1=1/2+(1/2)*5=3Hz周期T1=1/3s

    ............

    谐波100的频率为f1=1/2+(1/2)*100=101/2Hz周期T1=2/101s

     

    傅立叶变换:

    分为四种:周期性连续信号         傅立叶级数

                      非周期性连续信号     傅立叶变换

                      非周期性离散信号     离散时域傅立叶变换

                      周期性离散信号         离散傅立叶变换

     

     

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  • 时域分析:在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计算、相关性分析等处理,统称为信号的时域分析。通过时域的分析方法可以有效提高信噪比,求取信号波形在不同时刻的相似性关联性,获得反映机械设备运行状态的...

    1、时域(时间域)——自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。其动态信号x(t)是描述信号在不同时刻取值的函数。以时间为自变量描述物理量的变化是信号最基本、最直观的表达形式。

    时域分析:在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计算、相关性分析等处理,统称为信号的时域分析。通过时域的分析方法可以有效提高信噪比,求取信号波形在不同时刻的相似性和关联性,获得反映机械设备运行状态的特征参数,为机械系统动态分析故障诊断提供有效信息。

    在时域图中,横轴是时间,纵轴是振幅。
    时域图显示振幅随时间的变化,可以看出峰值振幅为5V,可以算出频率f=6 Hz。

    2、频域(频率域)——自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,也就是通常说的频谱图。

    频域分析:频域分析法是研究控制系统的一种工程方法。控制系统中的信号可以表示为不同频率的正弦信号的合成。描述控制系统在不同频率的正弦函数作用时的稳态输出和输入信号之间关系的数学模型称为频率特性,它反映了正弦信号作用下系统响应的性能。应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析

    在频域图中,横轴是频率,纵轴是峰值振幅。
    频域图仅仅示出峰值振幅与频率,而不显示振幅随时间的变化。
    从频域图可以看出,正弦波的频率为6Hz,这个6Hz的正弦波的峰值振幅为5V 。
    频域图的优点是,从频域图中,可以一眼看出正弦波的频率和峰值振幅
    整个正弦波在频域图上只是一个立柱
    立柱的位置显示了正弦波的频率
    立柱的高度显示了正弦波的峰值振幅

    转自:https://blog.csdn.net/bocai_xiaodaidai/article/details/90765529

     

     

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    有了控制系统的数学模型后, 就能对控制系统的性能做具体分析, 在经典控制理论中, 常用的有三种: 时域分析法、 根轨迹法、 频域法, 将分别接下来的三章介绍。 本章介绍时域分析法。

    实际上, 后两种方法都是在时域分析的基础上, 并应用了很多时域分析的结论。 所以时域分析法十分的重要。

    时域分析基础

    时域分析法根据系统微分方程, 通过拉氏变换直接求出系统的时域响应; 依据响应的表达式及时间响应曲线分析系统性能, 找出系统结构、 参数与这些性能之间的关系。 一般分析系统的单位阶跃响应。

    这是一种较为直接的方法, 可以准确且可提供系统时间响应的全部信息。

    典型初始状态

    时域分析法中典型的初始状态为零状态:
    c ( 0 − ) = d c ( t ) d t ∣ t = 0 − = d 2 c ( t ) d t 2 ∣ t = 0 − = ⋯ = 0 c(0^-)=\left.\frac{\text dc(t)}{\text dt}\right|_{t=0^-}=\left.\frac{\text d^2c(t)}{\text dt^2}\right|_{t=0^-}=\dots=0 c(0)=dtdc(t)t=0=dt2d2c(t)t=0==0

    典型外作用

    典型的外作用输入有以下四种:

    1. 单位阶跃作用 ε ( t ) \varepsilon(t) ε(t)

    2. 单位斜坡作用:

    3. 单位脉冲函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t)​ :​

      在这里插入图片描述

    4. 正弦函数 A sin ⁡ ω t ⋅ ε ( t ) A\sin \omega t\cdot\varepsilon(t) Asinωtε(t)​ :

    典型时间响应

    设系统的传递函数为 G ( s ) G(s) G(s)​ , 则输入典型外作用函数, 对应系统的典型时间响应如下:

    1. 单位脉冲响应:
      K ( s ) = G ( s ) ⇒ k ( t ) = L − 1 [ G ( s ) ] K(s)=G(s)\quad\Rightarrow\quad k(t)=\mathscr{L}^{-1}[G(s)] K(s)=G(s)k(t)=L1[G(s)]

    2. 单位阶跃响应:
      H ( s ) = G ( s ) 1 s ⇒ h ( t ) = L − 1 [ H ( s ) ] = ∫ 0 t k ( t ) d t H(s)=G(s)\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad h(t)=\mathscr{L}^{-1}[H(s)]=\int^t_0k(t)\text dt H(s)=G(s)s1h(t)=L1[H(s)]=0tk(t)dt

    3. 单位斜坡响应:
      C t ( s ) = G ( s ) 1 s 2 ⇒ c t ( t ) = L − 1 [ C t ( s ) ] = ∫ 0 t h ( t ) d t C_t(s)=G(s)\frac{1}{s^2}\quad\Rightarrow\quad c_t(t)=\mathscr{L}^{-1}[C_t(s)]=\int^t_0h(t)\text dt Ct(s)=G(s)s21ct(t)=L1[Ct(s)]=0th(t)dt

    这里请注意: 系统传递函数的拉氏反变换即为该系统的脉冲响应函数, 另请注意这三个响应之间的积分关系。

    阶跃响应的性能指标

    对于单位阶跃响应, 定义如下性能指标

    1. 延迟时间 t d t_d td : h(t) 上升到其稳态值的 50% 所需时间
    2. 上升时间 t r t_r tr : h(t) 从 10% 上升到 90% 所需时间
    3. 峰值时间 t p t_p tp : h(t) 超过其稳态值而到达第一个峰值所需的时间
    4. 超调量 σ % \sigma\% σ% : h(t) 超过稳态值的最大偏移量与稳态值之比
    5. 调节时间 t s t_s ts : 取 ± 5 % h ( ∞ ) \pm5\%h(\infty) ±5%h() ± 2 % h ( ∞ ) \pm2\%h(\infty) ±2%h() 作为误差带, h(t) 达到并不再超出该误差带的最小时间
    6. 稳态误差 e s s e_{ss} ess 1 − h ( ∞ ) 1-h(\infty) 1h()

    在这里插入图片描述

    一阶系统的时域响应

    一个典型的一阶系统如下:

    其单位阶跃响应为:
    C ( s ) = 1 s ( T s + 1 ) = 1 s − T T s + 1 = 1 s − 1 s + 1 T ⇒ c ( t ) = 1 − e − t T ( t ≥ 0 ) e s s = 0 \begin{aligned} &C(s)=\frac{1}{s(Ts+1)}=\frac{1}{s}-\frac{T}{Ts+1}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}\\ \Rightarrow\quad&c(t)=1-\mathrm e^{-\frac{t}{T}}\quad(t\geq0)\\ &e_{ss}=0 \end{aligned} C(s)=s(Ts+1)1=s1Ts+1T=s1s+T11c(t)=1eTt(t0)ess=0
    单位斜坡响应为:
    C ( s ) = 1 s 2 ( T s + 1 ) = 1 s 2 − T s + T s + 1 T ⇒ c ( t ) = t − T + T e − t T ( t ≥ 0 ) e s s = T \begin{aligned} &C(s)=\frac{1}{s^2(Ts+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+\frac{1}{T}}\\ \Rightarrow\quad&c(t)=t-T+T\mathrm e^{-\frac{t}{T}}\quad(t\geq0)\\ &e_{ss}=T \end{aligned} C(s)=s2(Ts+1)1=s21sT+s+T1Tc(t)=tT+TeTt(t0)ess=T

    一阶系统的单位阶跃响应是无超调和振荡的, 其性能指标主要是调节时间 t s t_s ts , 一般可近似计算:
    { t s = 3 T 5 % 误差带 t s = 4 T 2 % 误差带 \begin{cases} t_s=3T&5\%\text{误差带}\\ t_s=4T&2\%\text{误差带} \end{cases} {ts=3Tts=4T5%误差带2%误差带

    二阶系统的时域响应

    二阶微分方程描述的系统称为二阶系统, 系统方程如下:
    d 2 c ( t ) d t 2 + 2 ζ ω n d c ( t ) d t + ω n 2 c ( t ) = ω n 2 r ( t ) \frac{\text d^2c(t)}{\text dt^2}+2\zeta\omega_n\frac{\text dc(t)}{\text dt}+\omega_n^2c(t)=\omega_n^2r(t) dt2d2c(t)+2ζωndtdc(t)+ωn2c(t)=ωn2r(t)
    式中: ω n \omega_n ωn 为无阻尼自然角频率 ( r a d / s rad/s rad/s), ζ \zeta ζ 为阻尼比;

    拉氏变换后:
    C ( s ) R ( s ) = ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} R(s)C(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2
    根据阻尼比可分为如下四种情况:

    过阻尼 ( ζ \zeta ζ​ > 1 )

    此时系统传递函数的极点分别为:
    p 1 = − 1 T 1 = ω n ζ 2 − 1 − ζ ω n p 2 = − 1 T 2 = − ω n ζ 2 − 1 − ζ ω n \begin{aligned} p_1&=-\frac{1}{T_1}=\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}-\zeta\omega_n\\ p_2&=-\frac{1}{T_2}=-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}-\zeta\omega_n \end{aligned} p1p2=T11=ωnζ21 ζωn=T21=ωnζ21 ζωn
    极点图和单位阶跃响应如下图所示:

    此时系统无超调, 无稳态误差。

    欠阻尼 ( 0 < ζ \zeta ζ < 1 )

    此时系统的极点为:
    p 1 , p 2 = − ζ ω n ± j ω d   , while  ω d = ω n 1 − ζ 2 p_1,p_2=-\zeta\omega_n\pm \mathrm j\omega_d\, ,\quad\text{while}\ \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} p1,p2=ζωn±jωd,while ωd=ωn1ζ2
    极点图和单位阶跃响应如下:

    其中 ω d \omega_d ωd​ 称为阻尼振荡角频率 , 且 ω d < ω n \omega_d < \omega_n ωd<ωn​​ ; cos ⁡ β = ζ \cos\beta=\zeta cosβ=ζ​​。

    二阶欠阻尼系统的阶跃响应

    H ( s ) = G ( s ) 1 s = ω n s ( s 2 + 2 ζ ω n s + ω 2 ) = 1 s − s + 2 ζ ω n s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 = 1 s − s + ζ ω n ( s + ζ ω n ) 2 + ω d 2 − ζ 1 − ζ 2 ω d ( s + ζ ω n ) 2 + ω d 2 \begin{aligned} H(s)&=G(s)\frac{1}{s}=\frac{\omega_n}{s(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega^2)}\\ &=\frac{1}{s}-\frac{s+2\zeta\omega_n}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\\ &=\frac{1}{s}-\frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}\\ \end{aligned} H(s)=G(s)s1=s(s2+2ζωns+ω2)ωn=s1s2+2ζωns+ωn2s+2ζωn=s1(s+ζωn)2+ωd2s+ζωn1ζ2 ζ(s+ζωn)2+ωd2ωd

    经过拉式反变换可得:
    h ( t ) = 1 − e − ζ ω n t 1 − ζ 2 sin ⁡ ( ω d t + β ) ,    ( t ≥ 0 ) h(t)=1-\frac{\text e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t+\beta),\;(t\geq0) h(t)=11ζ2 eζωntsin(ωdt+β),(t0)

    二阶欠阻尼系统性能的定性分析

    • 平稳性:

      ζ \zeta ζ 越大, ω d \omega_d ωd 越小, 振荡倾向越弱。 σ % \sigma\% σ% 越小, 平稳性越好。 这也是为什么 ζ \zeta ζ​ 被称作阻尼比, 其值越大, 相当于阻尼越大, 系统能更快的减少振荡。 当阻尼比为0时, 系统无阻尼, 做等幅振荡。

      系统超调量和阻尼比的关系如下图:

      在这里插入图片描述

      而当 ζ \zeta ζ 一定时, ω n \omega_n ωn 越大, ω d \omega_d ωd 越大, 响应平稳性越差。

      总之, ζ \zeta ζ​ 大, ω n \omega_n ωn​​ 小的系统平稳性好。

    • 快速性:

      ζ \zeta ζ 在 0.7 附近时, 调节时间最短, 其超调量也小于 5 % 5\% 5%。 实际上, ζ = 0.707 \zeta=0.707 ζ=0.707 为最佳阻尼比。

      在所有 ζ ≥ 1 \zeta\geq1 ζ1 的无振荡和超调的响应中, ζ = 1 \zeta=1 ζ=1 时响应最快。

    • 稳态精度:

      根据终值定理1可得稳态误差 e s s e_{ss} ess
      e s s = 1 − lim ⁡ t → ∞ h ( t ) = 1 − lim ⁡ s → 0 s H ( s ) = 0 \begin{aligned} e_{ss}&=1-\lim_{t\rightarrow\infty}h(t)\\ &=1-\lim_{s\rightarrow0}sH(s)=0 \end{aligned} ess=1tlimh(t)=1s0limsH(s)=0

    二阶欠阻尼系统性能的定量计算

    • 峰值时间:
      t p = π ω d = π ω n 1 − ζ 2 t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} tp=ωdπ=ωn1ζ2 π

    • 超调量:
      h ( t p ) = 1 + e − π ζ 1 − ζ 2 ⇒ σ % = e − π ζ 1 − ζ 2 × 100 % \begin{aligned} &h(t_p)=1+\mathrm{e}^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\\ \Rightarrow\quad&\sigma\%=\mathrm{e}^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\% \end{aligned} h(tp)=1+e1ζ2 πζσ%=e1ζ2 πζ×100%

    • 调节时间:

      由系统阶跃响应表达式可得:
      1 − e − ζ ω n t 1 − ζ 2 ≤ h ( t ) ≤ 1 + e − ζ ω n t 1 − ζ 2 1-\frac{\text e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\leq h(t)\leq1+\frac{\text e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} 11ζ2 eζωnth(t)1+1ζ2 eζωnt
      设误差限为 Δ \Delta Δ , 则根据调节时间的定义可得:
      e − ζ ω n t s 1 − ζ 2 = Δ ⇒ t s = − 1 ζ ω n ln ⁡ ( Δ 1 − ζ 2 ) \begin{aligned} &\frac{\text e^{-\zeta\omega_n t_s}}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\Delta\\ \Rightarrow\quad &t_s=-\frac{1}{\zeta\omega_n}\ln\left(\Delta\sqrt{1-\zeta^2} \right) \end{aligned} 1ζ2 eζωnts=Δts=ζωn1ln(Δ1ζ2 )
      ζ \zeta ζ < 0.8 时, 可用下式估算:
      { t s = 3.5 ζ ω n 5 % 误差带 t s = 4.5 ζ ω n 2 % 误差带 \begin{cases} t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}&5\%\text{误差带}\\ t_s=\frac{4.5}{\zeta\omega_n}&2\%\text{误差带} \end{cases} {ts=ζωn3.5ts=ζωn4.55%误差带2%误差带

    无阻尼 ( ζ \zeta ζ = 0 )

    极点图和单位阶跃响应如下:

    在这里插入图片描述

    振荡频率为 ω n \omega_n ωn
    h ( t ) = 1 − cos ⁡ ω n t h(t)=1-\cos\omega_nt h(t)=1cosωnt

    临界阻尼 ( ζ \zeta ζ = 1 )

    极点图和单位阶跃响应如下:

    在这里插入图片描述

    阶跃响应为:
    h ( t ) = 1 − e − ω n t ( 1 + ω n t ) , ( t ≥ 0 ) h(t)=1-\mathrm e^{-\omega_n t}(1+\omega_n t),\quad (t\geq0) h(t)=1eωnt(1+ωnt),(t0)
    和过阻尼一样, 此时的系统无超调, 无稳态误差。 我们在设计控制器时一般就是想让系统的响应为临界阻尼。 此时的系统响应是在无超调的情况下, 响应速度最快的。


    1. 终值定理: 设 e(t) 的 Laplace 变换为 E(s) , 则 t 趋于无穷时 e(t) 的值和 s 趋于 0 时 sE(s) 的值相等, 当然前提是两者的极限均存在。 ↩︎

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  • 频域分析法

    2021-01-06 23:23:26
    频域分析法1. 频域分析法定义2. 目的与意义3. 适用范围4. 优缺点4.1优点4.2 缺点5. 分析过程 1. 频域分析法定义 频域分析法是一种研究控制系统的经典方法。是在频域范围内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法...
  • 控制系统的传统分析方法有时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法,它们属于经典控制理论的范畴。状态空间分析法能揭示系统内部变量外部变量之间的关系,因而有可能找出系统中未被认识的许多重要特性,它比经典控制...
        控制系统的传统分析方法有时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法,它们属于经典控制理论的范畴。状态空间分析法能揭示系统内部变量和外部变量之间的关系,因而有可能找出系统中未被认识的许多重要特性,它比经典控制理论更为全面。 下面对上述几种方法进行介绍。 1.时域分析法 时域分析法以拉氏变换为工具,从传递函数触发,直接从时间域上对控制系统性能进行研究。主要用于分析系统的动态性能,是其他分析方法的基础。 时域响应

    1.单位脉冲响应

    时域分析法是基于时域响应的一种分析方法,所谓时域响应就是指系统在外部输入作用下的输出过程。根据外部输入不同,有单位脉冲响应,单位阶跃响应,单位斜坡响应、单位加速度响应,单位正弦响应等。

    例1:求系统的单位脉冲响应

    e568fa220a54a5ed8e714104598c9420.png

    输入程序:
    A=[0 1 0;0 0 1;-1 -2 -3];B=[0;0;1];C=[1 0 0];sys=ss(A,B,C,D);impulse(sys)
    2.单位阶跃响应 16e441746b216bf3377167562773f338.png 可如前例使用step函数仿真 3.单位斜坡响应 9d15fbc8841dae327390679a0048f1fd.png 4.单位加速度坡 响应 8f5e276e811c48f43cd7dde67a92fc77.png      5.单位正弦 响应 2a7f1f315f87aadba88dd0d754a764f6.png 利用单位正弦相应可以获得系统对不同频率的稳态响应,进一步判断系统性能。 除了impulse和step函数MATLAB还提供很多时域分析函数。如initial零输入响应,convar白噪声方差 响应,lsim任意指定形式的输入响应。对于离散系统,只需要在对应函数名前加d,如dimpulse,dstep等。 例2:以方波信号作为输入,求例1中系统的响应曲线。 利用lsim函数编写如下的MATLAB代码:
    A=[0 1 0;0 0 1;-1 -2 -3];B=[0;0;1];C=[1 0 0];sys=ss(A,B,C,D);[u,t]=gensig('square',4,10,0.1);%获得方波信号lsim(sys,u,t)
    得到结果:

    9758da890e1d7008fba312d8e2bb866f.png

    同样可用simulink模型求:

    643d8661ddeae0b4646290321b171798.png

    稳定性分析

    控制系统能稳定工作是系统能够正常工作的首要条件。若系统在受到一定扰动的情况下仍能恢复平衡则称系统是稳定的。 系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根全部在s复平面的左半平面。如果有根在右半平面,系统不稳定,如果有根在虚轴上,系统处于临界稳定状态(振荡),如果有根在原点上,系统偏离平衡点,也不稳定。 MATLAB提供了直接求取零极点的zpk函数,可以根据零极点分布对系统稳定性进行判断。MATLAB还提供了直接求根函数roots,因此可以对特征方程求根来判断稳定性。 例3:已知单位负反馈开环传递函数为:

    0b1a1bc2c6ab22565a373a8d3a90c21e.png

           试判断该系统稳定性。                 该系统闭环传递函数为:

    16ad055e19f48b60c68d18c9a3395eb3.png

          根据劳斯判断易知该系统是不稳定的。        编写如下代码判断稳定性。
    z=1;p=[0 -0.1 -0.2];k=1;G0=zpk(z,p,k);G=feedback(G0,1); %单位负反馈sys1=tf(G)sys1 =             s - 1  --------------------------  s^3 + 0.3 s^2 + 1.02 s - 1 Continuous-time transfer function.%下面利用zpk函数和roots函数确定稳定性sys2=zpk(sys1);sys2.p{:}  %获得系统所有极点ans =  -0.4627 + 1.1767i  -0.4627 - 1.1767i   0.6255 + 0.0000iroots(sys1.den{:})ans =  -0.4627 + 1.1767i  -0.4627 - 1.1767i   0.6255 + 0.0000i
    结果和例题不同,不知道是什么原因。 可以看出用zpk函数得到的极点和利用roots函数得到的特征根是一致的,并且由于存在实部为正的特征根,所以系统是不稳定的。 2.根轨迹分析法

    a26fd73604b426303e3b575497094fae.png

    幅值条件和相角条件 889c33f9231a619a74c8e934ddc472f1.png

    c82d68bbec7e186ad2d6fd301e5f7fd7.png

    根轨迹绘制

    MATLAB提供了pzmap函数用于绘制系统零极点,还提供了rlocus函数获得系统的根轨迹图。rlocus函数可以计算出根轨迹的n条分支,并以其选定的实轴和虚轴绘制图形。

     注意:绘制根轨迹时,应令S平面实轴和虚轴的比例尺相同,这样才能反映S平面上坐标位置和相角的关系。在MATLAB中,可以利用axis equal命令来实现。

    例4:已知系统闭环函数

    4a9f97c425f66267ea68359b32e09d0b.png

    试绘制系统的零极点图。 编写如下MATLAB程序:
    clear allnum=2*[1 1];den=conv([1 2 3],[1,3]);sys=tf(num,den);sys1=zpk(sys);pzmap(sys1);axis equalgrid on
    绘制结果如图:

    8c6f4a73d4cdf8aa922b2f66e5147f3a.png

    注:圆圈代表零点,×代表极点      例5:已知系统单位负反馈系统开环传递函数为

    c85a425b9731baa38dbb8b0561baccca.png

                试绘制系统的根轨迹图。
    clear allnum=[1 2];den=conv([1 0],conv([1 1],[1 3]));sys=tf(num,den);rlocus(sys)title('根轨迹图')axis equal

    a228f5429a95eacfab63106e337d83bb.png

    MATLAB还提供了rlocfind函数,可以计算与根轨迹上指定极点相对应的根轨迹增益,适用于连续系统和离散系统。

    基本语法为[k,poles]=rlocfind(sys),执行后根轨迹图窗口中会显示一个十字形光标,通过移动鼠标来选中指定极点,由k返回根轨迹增益,poles返回所有对应极点。

    例6:已知单位负反馈系统开环传递函数为

    0bf9d049a46e1c035873e5363c12cea1.png

    试绘制根轨迹图,并选择一点,计算该点对应的增益K和其他闭环极点位置。

    clear allnum=[1 1];den=conv([1 0],conv([1 2 3],[1 5 6]));sys=tf(num,den);rlocus(sys)axis equal[k,poles]=rlocfind(sys)

    24fbc6dc029e1216de89c64d30c5a9f9.png

    0117b43e51835308e4127368ed0e0332.png

    选择一点后可以查看计算值,鼠标所选择的的和计算值会有所偏差,最近似的值为计算值,计算结果有5个极点,和上图标记结果一致。 912ca3e7609b394f9925337a67f4afdc.png 0e3e03b207d0a222f7cc4f7dc3012321.gif
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时域分析法和频域分析法