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  • 二叉树性质

    2017-09-22 15:57:00
    2.3 性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为log 2  (n+1) 证明:根据"性质2"可知,高度为h的二叉树最多有2 {h} –1个结点。反之,对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log 2 (n+1)。   2.4 性质4...

    转载 skywang12345 http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576328.html

    树的介绍

    1. 树的定义

    树是一种数据结构,它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

    把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
    (01) 每个节点有零个或多个子节点;
    (02) 没有父节点的节点称为根节点;
    (03) 每一个非根节点有且只有一个父节点;
    (04) 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树。

     

    2. 树的基本术语

    若一个结点有子树,那么该结点称为子树根的"双亲",子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

    结点的度:结点拥有的子树的数目。
    叶子:度为零的结点。
    分支结点:度不为零的结点。
    树的度:树中结点的最大的度。

    层次:根结点的层次为1,其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
    树的高度:树中结点的最大层次。
    无序树:如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的,可以交换位置。
    有序树:如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
    森林:0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根,森林即成为树;删去根,树即成为森林。

     

    二叉树的介绍

    1. 二叉树的定义

    二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态:二叉树可以是空集;根可以有空的左子树或右子树;或者左、右子树皆为空。

     

    2. 二叉树的性质

    二叉树有以下几个性质:TODO(上标和下标)
    性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)。
    性质2:深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)。
    性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)
    性质4:在任意一棵二叉树中,若终端结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

     

    2.1 性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)

    证明:下面用"数学归纳法"进行证明。
            (01) 当i=1时,第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点,所以命题成立。
            (02) 假设当i>1,第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(01)推断出来的!
                   下面根据这个假设,推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}"即可。
                    由于二叉树的每个结点至多有两个孩子,故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即,第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}
                    故假设成立,原命题得证!

     

    2.2 性质2:深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)

    证明:在具有相同深度的二叉树中,当每一层都含有最大结点数时,其树中结点数最多。利用"性质1"可知,深度为k的二叉树的结点数至多为:
               20+21+…+2k-1=2k-1
               故原命题得证!

     

    2.3 性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)

    证明:根据"性质2"可知,高度为h的二叉树最多有2{h}–1个结点。反之,对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

     

    2.4 性质4:在任意一棵二叉树中,若终端结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

    证明:因为二叉树中所有结点的度数均不大于2,所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此,得到等式一。
             (等式一) n=n0+n1+n2
          另一方面,0度结点没有孩子,1度结点有一个孩子,2度结点有两个孩子,故二叉树中孩子结点总数是:n1+2n2。此外,只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
             (等式二) n=n1+2n2+1
            由(等式一)和(等式二)计算得到:n0=n2+1。原命题得证!

     

    3. 满二叉树,完全二叉树和二叉查找树

    3.1 满二叉树

    定义:高度为h,并且由2{h} –1个结点的二叉树,被称为满二叉树。

     

    3.2 完全二叉树

    定义:一棵二叉树中,只有最下面两层结点的度可以小于2,并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
    特点:叶子结点只能出现在最下层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然,一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树,而完全二叉树未必是满二叉树。

     

    3.3 二叉查找树

    定义:二叉查找树(Binary Search Tree),又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点,x节点包含关键字key,节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点,则key[y] <= key[x];如果y是x的右子树的一个结点,则key[y] >= key[x]。

    在二叉查找树中:
    (01) 若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
    (02) 任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
    (03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
    (04) 没有键值相等的节点(no duplicate nodes)。

     

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  • 数据结构-二叉树性质(三)

    千次阅读 2017-03-15 15:16:58
    二叉树的一些性质: ①在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点(i>=1)②深度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k>=1)③对于任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。④具有n个结点的完全二叉树的...

    二叉树的一些性质:
    ①在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点(i>=1)

    ②深度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k>=1)

    ③对于任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。

    ④具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1

    ⑤如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为[log2n]+1)的结点按层序编号(从第1层到第[log2n]+1层,每层从左到右),对任一结点i有:
    1.如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则双亲是结点[i/2]。
    2.如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则左孩子是结点2i。
    3.如果2i+1>n,则结点i无左孩子;否则右孩子是结点2i+1.

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  • 二叉树性质5证明

    2012-10-27 19:33:38
    二叉树性质5证明,二叉树性质证明,完全二叉树性质证明。
  • 二叉树性质及证明

    2019-11-28 14:31:08
    二叉树性质及证明 (1)规定根节点层次为0,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i个结点。 (2)规定根节点层次为0,则深度为k的二叉树的最大结点数为2(k+1)-1。 (3)具有n个结点的完全二叉树的深度k为不超过lb(n...

    二叉树性质及证明

    • (1)规定根节点层次为0,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i个结点。
    • (2)规定根节点层次为0,则深度为k的二叉树的最大结点数为2(k+1)-1。
    • (3)具有n个结点的完全二叉树的深度k为不超过lb(n+1)-1的最大整数。
    • (4)对于一棵非空二叉树,如果叶节点个数为n0,度为2的结点数为n2,则有n0=n2+1。
    • (5)对于具有n个结点的完全二叉树,按上下左右顺序对结点从0编号,则对于序号为i的结点有:
    + 如果i>0,则i的双亲序号为(i-1)/2 (/为整除)
    
    + 如果2*i+1<n,则序号为i结点的左孩子为2*i+1,若大于n,则无左孩子
    
    + 如果2*i+2<n,则序号为i结点的右孩子为2*i+2,若大于n,则无右孩子
    

    证明:

    • (1)根据二叉树的特点,每个结点可分至多两个叉,规律可寻,即得2i。

    • (2)深度为k的二叉树所有最大结点个数,即满二叉树时,根据(1)每层结点相加,得2(k+1)-1。

    • (3)根据(2),n个结点必然大于深度为其上一层结点数,小于等于同等深度满二叉结点数,即
      2k-1<n<=2k+1-1 移项,两边取2的对数,得 k<lb(n+1)<=k+1

    • (4)二叉树只有0,1,2度结点所以n=n0+n1+n2

      二叉树的进入分支数,即有双亲的结点数除去根节点 M=n-1

      二叉树的发出结点数,1度发出1个,2度发出2。 可有M=n1+2*n2

      综上可移项得n0=n2+1

    • (5)对于性质5,可举例图示,按序号代替具体数值

                0
      
          1           2
      
        3    4     5     6 
      
      7    8
      

       1号在其层上索引为0,2号在其层索引为1。 同理3号在其层索引为0,5号其层索引为2 。因为二叉树分二叉的特点 可知按照各自本层索引有关系 y=2*x x为双亲层索引 y为孩子层索引。

       那么只需求得各自层内索引即可,因为按顺序编号,所以各自层索引就是 结点的二叉树索引减去除去本层的结点总数即

      2*(i-(2k-1)=j-(2k-1) 移项 i为双亲结点号,j为左孩子结点号 ,

      得左孩子结点索引j=2*i+1 。

      同理 右孩子j=2*i+2 ,双亲 (i-1)/2

      
      PS:根据性质5 我们就可以用一维数组存储二叉树了,可以索引并修改。 对于性质的应用,举例:哈夫曼编码,总结点数为2*n0-1,有兴趣自行推导

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  • 二叉树性质的性质及证明整理

    千次阅读 2020-05-05 12:34:30
    二叉树性质及证明 性质1:在二叉树的第i层上至多有2(i-1)个结点 (i>=1) 证明:数学归纳法 (1) i=1时只有一个根节点。显然 2(i-1)= 20= 1是对的 (2) 假设对所有的 j, 1<= j <i, 命题成立,即第j层上至多...

    ——整理于2020.4.29

    二叉树的性质及证明

    性质1:在二叉树的第i层上至多有2(i-1)个结点 (i>=1)

    证明:数学归纳法
    (1) i=1时只有一个根节点。显然 2(i-1)= 20= 1是对的
    (2) 假设对所有的 j, 1<= j <i, 命题成立,即第j层上至多有2(j-1)个结点
    (3) 由归纳假设可得: 第i-1层上至多有2(i-2)个结点。由于二叉树的每个结点的度数至多为2,所以在第i层上的结点数最多为i-1层上的两倍,即2*2(i-2)=2(i-1),即得出第i层上结点数至多为2(i-1)

    性质2:深度为k的二叉树至多有2(k-1)个结点(k>=1)

    证明:等比数列求和( Sn=a1(1-qn) / 1-q )
    由性质一( 在二叉树的第i层上至多有2(i-1)个结点(i>=1) )可知,深度为k的二叉树的最大结点数为:
    在这里插入图片描述

    性质3:对任何一棵二叉树T, 如果其终端结点(叶子结点)数为 n0, 度数为2的结点数为 n2, 则n0=n2+1

    证明:
    设n1为二叉树T中度数为1的结点数,n为二叉树结点总数,则有:
    n=n0+n1+n2
    又因为二叉树中除根节点外每一个结点都对应一个分支,则分支数B=n-1,
    由于这些分支是由度为一和二的结点射出的,所以有B=n1+2*n2,所以有:
    n=n1+2*n2+1 ②
    联立①②可得 n0=n2+1

    完全二叉树的两个重要性质

    性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1
    注:⌊x⌋表示不大于x的最大整数

    证明:假设完全二叉树的深度为k,则根据性质2和完全二叉树的定义有
    2(k-1) -1 < n <= 2k -1
    由于n为整数,上式可变为:
    2(k-1) <= n < 2k
    两边同时取对数得:
    k-1 <= log2n < k
    因k为整数,即得k= ⌊log2n⌋+1

    性质5:
    如果对一颗有n个结点得完全二叉树(其深度为⌊log2n⌋ +1)得结点按层序编号(从第1层到第⌊log2n⌋ +1层,每层从左到右),对任一结点 i (1<= i <= n)有:
    1.如果 i =1,则结点 i 是二叉树得根,无双亲;如果 i>1,则其双亲是结点⌊i/2⌋
    2.如果 2i > n,则结点 i 无左孩子(结点 i 为叶子结点); 否则其左孩子是结点 2i
    3.如果 2i+1 > n,则结点 i 无右孩子; 否则其右孩子是结点2i+1

    证明:(暂时简单说明,有空再补)
    参考大话数据结构/北京大学出版社/程杰
    /图片来自大话数据结构/北京大学出版社

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  • 二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和俩棵互不相交的,分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
  • 二叉树性质及习题

    2019-10-23 13:33:56
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  • 二叉树主要性质推导

    2020-11-07 17:21:53
    二叉树性质 二叉树第i层上最多有2i−12^{i-1}2i−1个结点 数学归纳法: 当i=1时,二叉树只有一个根结点; 假设对于第j层满足至多有2j−12^{j-1}2j−1个结点,如果第j层每个结点 都拥有两个孩子结点,则第j+1层...
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    千次阅读 2020-06-02 15:57:22
    性质1:在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点(i≥1)。 第一层是根结点,只有一个,所以2(1-1)=20=1。 第二层有两个,2(2-1)=21=2。 第三层有四个,2(3-1)=22=4。 第四层有八个,2(4-1)=2^3=8。 性质2:深度为k的...
  • 二叉树性质

    2018-07-23 20:55:38
    性质1:在二叉树中第i层上之多有2^(i-1)个结点。 ...性质3:对于任意一棵二叉树,如果其叶子节点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。 性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1。...
  • 二叉树

    千次阅读 2017-06-21 19:35:42
    二叉树性质: (1) 在二叉树的第i层上至多有个结点。 (2) 深度为k的二叉树至多有个结点。 (3) 对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为,度为2的结点数为,则。 (4) 具有n个结点的完全二叉树的深度
  • 1.二叉树的基本性质 性质一:在二叉树的第 i 层上至多有 2^(i-1)个结点(i>=1); 性质二:深度为 k 的二叉树至多有 2^i - 1 个结点(k>=1); 性质三:对任何一棵树的 T, 如果其终端结点数为 n0, 度为 2 的结点数为...
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  • 二叉树的一些性质图解

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    2.3 性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为log 2  (n+1) 证明:根据"性质2"可知,高度为h的二叉树最多有2 {h} –1个结点。反之,对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log 2 (n+1)。   2.4 性质4:在任意一棵...
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二叉树性质3解释