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  • ​f(x)=21​(x1​−1)2+21​x22​c(x)=x1​−βx22​=0​ 讨论参数 β\betaβ 取何值时, x∗=(0,0)Tx^*=(0,0)^Tx∗=(0,0)T 是局部极小点? 解 因为 g∗=(−1,0)Tg^* = (-1,0)^Tg∗=(−1,0)T, a∗=(1,0)Ta^* = (1,...

    二阶条件

    等式约束

    首先考虑只有等式约束的情况
    min ⁡ x ∈ R n    f ( x ) s . t .    c i ( x ) = 0 , i = 1 , 2 , ⋯   , m \begin{aligned} \min_{x\in\mathbb{R}^n} ~~& f(x) \\ \mathrm{s.t.} ~~& c_i(x) = 0,i = 1,2,\cdots,m \end{aligned} xRnmin  s.t.  f(x)ci(x)=0,i=1,2,,m
    设最优解 x ∗ x^* x 存在,且在点 x ∗ x^* x 处向量 a i ∗   ( i ∈ E ) a_i^* ~(i \in\mathcal{E}) ai (iE) 线性无关(即 LICQ 约束规范成立)。对于序列可行方向 p ∈ F ∗ p \in \mathcal{F}^* pF,存在可行序列 x ( k ) x^{(k)} x(k) 及对应的方向序列 p ( k ) → p p^{(k)} \to p p(k)p。由可行性,有
    f ( x ( k ) ) = f ( x ∗ + δ k p ( k ) ) = L ( x ∗ + δ k p ( k ) , λ ∗ ) f(x^{(k)}) = f(x^* + \delta_k p^{(k)}) = \mathcal{L}(x^* + \delta_k p^{(k)}, \lambda^*) f(x(k))=f(x+δkp(k))=L(x+δkp(k),λ)
    因为 x ∗ x^* x L \mathcal{L} L 的稳定点( ∇ L = 0 \nabla \mathcal{L} = 0 L=0),所以 L \mathcal{L} L x ∗ x^* x 处的二阶 Taylor 展式为
    f ( x ∗ + δ k p ( k ) ) = L ( x ∗ + δ k p ( k ) , λ ∗ ) = f ∗ + 1 2 δ k 2 p ( k ) T W ∗ p ( k ) + o ( δ k ) \begin{aligned} f(x^* + \delta_k p^{(k)}) &= \mathcal{L}(x^* + \delta_k p^{(k)}, \lambda^*)\\ &=f^* + \frac{1}{2} \delta_k^2 {p^{(k)}}^T W^* p^{(k)} + o(\delta_k) \end{aligned} f(x+δkp(k))=L(x+δkp(k),λ)=f+21δk2p(k)TWp(k)+o(δk)
    其中
    W ∗ = ∇ x 2 L ( x ∗ , λ ∗ ) = ∇ 2 f ( x ∗ ) + ∑ i = 1 m λ i ∗ ∇ 2 c i ( x ∗ ) W^* = \nabla_x^2 \mathcal{L}(x^*,\lambda^*) = \nabla^2f(x^*) + \sum_{i=1}^m \lambda_i^*\nabla^2c_i(x^*) W=x2L(x,λ)=2f(x)+i=1mλi2ci(x)
    表示 Lagrange 函数关于 x x x 的 Hessian 矩阵。

    于是,有
    f ( x ∗ + δ k p ( k ) ) δ k 2 = f ∗ δ k 2 + 1 2 p ( k ) T W ∗ p ( k ) + o ( δ k ) δ k 2 \frac{f(x^* + \delta_k p^{(k)})}{\delta_k^2} =\frac{f^*}{\delta_k^2} + \frac{1}{2} {p^{(k)}}^T W^* p^{(k)} + \frac{o(\delta_k)}{\delta_k^2} δk2f(x+δkp(k))=δk2f+21p(k)TWp(k)+δk2o(δk)
    k → ∞ k \to \infty k,且 x ∗ x^* x 为局部极小点,可得
    p ( k ) T W ∗ p ( k ) ≥ 0 {p^{(k)}}^T W^* p^{(k)}\geq 0 p(k)TWp(k)0

    定理(二阶必要条件) 设 x ∗ x^* x 为问题的局部极小点,且满足 KKT 条件,设对应的 Lagrange 乘子为 λ ∗ \lambda^* λ,则对任一序列可行反向 p p p,必有
    p T W ∗ p ≥ 0 p^T W^* p \geq 0 pTWp0
    推论 x ∗ x^* x 为问题的局部极小点,且满足 KKT 条件,设对应的 Lagrange 乘子为 λ ∗ \lambda^* λ,若 F ∗ = F ∗ \mathcal{F}^* = F^* F=F,必有
    p T W ∗ p ≥ 0 , ∀ p ∈ F ∗ p^T W^* p \geq 0, \forall p \in F^* pTWp0,pF

    定理(二阶充分条件) 设 x ∗ x^* x 是问题的 KKT 点,对应的 Lagrange 乘子为 λ ∗ \lambda^* λ,若条件
    p T W ∗ p > 0 , ∀ p ∈ F ∗ p^TW^*p > 0, \forall p \in F^* pTWp>0,pF
    成立,则 x ∗ x^* x 是问题的严格局部极小点。

    考虑问题
    min ⁡    f ( x ) = 1 2 ( x 1 − 1 ) 2 + 1 2 x 2 2 s . t .    c ( x ) = x 1 − β x 2 2 = 0 \begin{aligned} \min~~& f(x) = \frac{1}{2}(x_1 - 1)^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\ \mathrm{s.t.}~~&c(x) = x_1 - \beta x_2^2 = 0 \end{aligned} min  s.t.  f(x)=21(x11)2+21x22c(x)=x1βx22=0
    讨论参数 β \beta β 取何值时, x ∗ = ( 0 , 0 ) T x^*=(0,0)^T x=(0,0)T 是局部极小点?

     和  时的问题图示

    因为 g ∗ = ( − 1 , 0 ) T g^* = (-1,0)^T g=(1,0)T a ∗ = ( 1 , 0 ) T a^* = (1,0)^T a=(1,0)T,所以一阶条件满足, x ∗ x^* x 是 KKT 点,且 λ ∗ = 1 \lambda^* = 1 λ=1 W ∗ = ( 1 0 0 1 − 2 β ) T W^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1- 2\beta \end{pmatrix}^T W=(10012β)T

    F ∗ = { p = ( 0 , p 2 ) T : p 2 ≠ 0 } F^* = \{p=(0,p_2)^T:p_2\neq0\} F={p=(0,p2)T:p2=0},因此 p T W ∗ p = ( 1 − 2 β ) p 2 2 p^TW^*p = (1-2\beta)p_2^2 pTWp=(12β)p22。从而,有

    • β < 1 2 \beta < \frac{1}{2} β<21 x ∗ x^* x 是严格局部极小点
    • β > 1 2 \beta > \frac{1}{2} β>21 x ∗ x^* x 不是局部极小点
    • β = 1 2 \beta = \frac{1}{2} β=21 x ∗ x^* x 是严格局部极小点

    弱积极约束与强积极约束

    非积极约束 vs 积极约束(弱积极约束/强积极约束)

    x ∗ x^* x 是 KKT 点, λ ∗ \lambda^* λ 是对应的 Lagrange 乘子。

    定义
    KaTeX parse error: Undefined control sequence: \or at position 41: …in\mathcal{E} ~\̲o̲r̲~ \lambda_i^* >…
    为强积极约束集合。也就是从 A ∗ \mathcal{A}^* A 中剔除弱积极约束,即 λ i ∗ = 0 , i ∈ I ∗ \lambda^*_i = 0,i\in\mathcal{I}^* λi=0,iI,得到 A + ∗ \mathcal{A}^*_+ A+

    定义
    G ∗ = { p ∈ F ∗ : c i ( x ( k ) ) = 0 , ∀ i ∈ A + ∗ } \mathcal{G}^* = \{p\in\mathcal{F}^*:c_i(x^{(k)}) = 0,\forall i \in \mathcal{A}^*_+\} G={pF:ci(x(k))=0,iA+}

    G ∗ = { p ∈ R n : p ≠ 0 , a i ∗ T p = 0 , i ∈ A + ∗ , a i ∗ T p ≤ 0 , i ∈ A ∗ \ A + ∗ } G^* = \{p\in \mathbb{R}^n: p \neq 0, {a_i^*}^Tp = 0, i \in \mathcal{A}^*_+, {a_i^*}^Tp \leq 0, i \in \mathcal{A}^* \backslash \mathcal{A}_+^*\} G={pRn:p=0,aiTp=0,iA+,aiTp0,iA\A+}

    事实上,有

    • G ∗ ⊂ G ∗ \mathcal{G}^* \subset G^* GG
    • p ∈ F ∗ p \in F^* pF,则 p T g ∗ = 0 p^T g^* = 0 pTg=0 当且仅当 p ∈ G ∗ p \in G^* pG

    正则性假设 2 : G ∗ = G ∗ \mathcal{G}^* = G^* G=G

    一般问题

    首先一般约束优化问题
    min ⁡ x ∈ R n    f ( x ) s . t .    c i ( x ) = 0 , i ∈ E c i ( x ) ≤ 0 , i ∈ I \begin{aligned} \min_{x\in\mathbb{R}^n} ~~& f(x) \\ \mathrm{s.t.} ~~& c_i(x) = 0,i \in \mathcal{E}\\ & c_i(x) \leq 0,i \in \mathcal{I}\\ \end{aligned} xRnmin  s.t.  f(x)ci(x)=0,iEci(x)0,iI
    有如下二阶条件

    定理(二阶必要条件) 设 x ∗ x^* x 为问题的局部极小点,且满足 KKT 条件,设对应的 Lagrange 乘子为 λ ∗ \lambda^* λ,若正则化条件 2 成立,必有
    p T W ∗ p ≥ 0 , ∀ p ∈ G ∗ p^T W^* p \geq 0,\forall p \in G^* pTWp0,pG

    定理(二阶充分条件) 设 x ∗ x^* x 处存在 Lagrange 乘子使得 KKT 条件成立,对应的 Lagrange 乘子为 λ ∗ \lambda^* λ,若条件
    p T W ∗ p > 0 , ∀ p ∈ G ∗ p^TW^*p > 0, \forall p \in G^* pTWp>0,pG
    成立,则 x ∗ x^* x 是约束问题的严格局部极小点。

    参考文献

    [1] 刘红英,夏勇,周永生. 数学规划基础,北京,2012.

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  • 正是这种独特的搜索方法,使遗传算法自然地避开了其它最优化算法常遇到的局部最小陷阱。 遗传算法与传统的优化方法(枚举,启发式等)相比较,以生物进化为原型,具有很好的收敛性,在计算精度要求时,计算时间少,...

    遗传算法的手工模拟计算示例

    为更好地理解遗传算法的运算过程,下面用手工计算来简单地模拟遗传算法的各

    个主要执行步骤。

    例:求下述二元函数的最大值:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    (1) 个体编码

    遗传算法的运算对象是表示个体的符号串,所以必须把变量 x1, x2 编码为一种

    符号串。本题中,用无符号二进制整数来表示。

    因 x1, x2 为 0 ~ 7之间的整数,所以分别用3位无符号二进制整数来表示,将它

    们连接在一起所组成的6位无符号二进制数就形成了个体的基因型,表示一个可

    行解。

    例如,基因型 X=101110 所对应的表现型是:x=[ 5,6 ]。

    个体的表现型x和基因型X之间可通过编码和解码程序相互转换。

    (2) 初始群体的产生

    遗传算法是对群体进行的进化操作,需要给其淮备一些表示起始搜索点的初始

    群体数据。

    本例中,群体规模的大小取为4,即群体由4个个体组成,每个个体可通过随机

    方法产生。

    如:011101,101011,011100,111001

    (3) 适应度汁算

    遗传算法中以个体适应度的大小来评定各个个体的优劣程度,从而决定其遗传

    机会的大小。

    本例中,目标函数总取非负值,并且是以求函数最大值为优化目标,故可直接

    利用目标函数值作为个体的适应度。

    (4) 选择运算

    选择运算(或称为复制运算)把当前群体中适应度较高的个体按某种规则或模型遗传到下一代群体中。一般要求适应度较高的个体将有更多的机会遗传到下一代

    群体中。 本例中,我们采用与适应度成正比的概率来确定各个个体复制到下一代群体中

    的数量。其具体操作过程是:

    • 先计算出群体中所有个体的适应度的总和 fi ( i=1.2,…,M );

    • 其次计算出每个个体的相对适应度的大小 fi / fi ,它即为每个个体被遗传

    到下一代群体中的概率,

    • 每个概率值组成一个区域,全部概率值之和为1;

    • 最后再产生一个0到1之间的随机数,依据该随机数出现在上述哪一个概率区

    域内来确定各个个体被选中的次数。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    (5) 交叉运算

    交叉运算是遗传算法中产生新个体的主要操作过程,它以某一概率相互交换某

    两个个体之间的部分染色体。

    本例采用单点交叉的方法,其具体操作过程是:

    • 先对群体进行随机配对;

    • 其次随机设置交叉点位置;

    • 最后再相互交换配对染色体之间的部分基因。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    (6) 变异运算

    变异运算是对个体的某一个或某一些基因座上的基因值按某一较小的概率进

    行改变,它也是产生新个体的一种操作方法。

    本例中,我们采用基本位变异的方法来进行变异运算,其具体操作过程是:

    • 首先确定出各个个体的基因变异位置,下表所示为随机产生的变异点位置,

    其中的数字表示变异点设置在该基因座处;

    • 然后依照某一概率将变异点的原有基因值取反。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    对群体P(t)进行一轮选择、交叉、变异运算之后可得到新一代的群体p(t+1)。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    从上表中可以看出,群体经过一代进化之后,其适应度的最大值、平均值都得

    到了明显的改进。事实上,这里已经找到了最佳个体“111111”。 [注意] 需要说明的是,表中有些栏的数据是随机产生的。这里为了更好地说明问题,

    我们特意选择了一些较好的数值以便能够得到较好的结果,而在实际运算过程中

    有可能需要一定的循环次数才能达到这个最优结果。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    ----------------------------------------------------------------------------

    遗传算法属于进化算法( Evolutionary

    Algorithms) 的一种,它通过模仿自然界的选择与遗传的机理来寻找最优解.

    遗传算法有三个基本算子:选择、交叉和变异.

    。数值方法求解这一问题的主要手段是迭代运算。一般的迭代方法容易陷入局部极小的陷阱而出现"死循环"现象,使迭代无法进行。遗传算法很好地克服了这个缺点,是一种全局优化算法。

    生物在漫长的进化过程中,从低等生物一直发展到高等生物,可以说是一个绝妙的优化过程。这是自然环境选择的结果。人们研究生物进化现象,总结出进化过程包括复制、杂交、变异、竞争和选择。一些学者从生物遗传、进化的过程得到启发,提出了遗传算法(GA)。算法中称遗传的生物体为个体(individual),个体对环境的适应程度用适应值(fitness)表示。适应值取决于个体的染色体(chromosome),在算法中染色体常用一串数字表示,数字串中的一位对应一个基因(gene)。一定数量的个体组成一个群体(population)。对所有个体进行选择、交叉和变异等操作,生成新的群体,称为新一代(new

    generation)。

    遗传算法计算程序的流程可以表示如下[3]:

    第一步 准备工作

    (1)选择合适的编码方案,将变量(特征)转换为染色体(数字串,串长为m)。通常用二进制编码。

    (2)选择合适的参数,包括群体大小(个体数M)、交叉概率PC和变异概率Pm。

    (3)确定适应值函数f(x)。f(x)应为正值。

    第二步

    形成一个初始群体(含M个个体)。在边坡滑裂面搜索问题中,取已分析的可能滑裂面组作为初始群体。

    第三步 对每一染色体(串)计算其适应值fi,同时计算群体的总适应值

    第四步 选择

    计算每一串的选择概率Pi=fi/F及累计概率。选择一般通过模拟旋转滚花轮(roulette,其上按Pi大小分成大小不等的扇形区)的算法进行。旋转M次即可选出M个串来。在计算机上实现的步骤是:产生[0,1]间随机数r,若r

    第五步 交叉

    (1)对每串产生[0,1]间随机数,若r>pc,则该串参加交叉操作,如此选出参加交叉的一组后,随机配对。

    (2)

    对每一对,产生[1,m]间的随机数以确定交叉的位置。

    第六步 变异

    如变异概率为Pm,则可能变异的位数的期望值为Pm

    ×m×M,每一位以等概率变异。具体为对每一串中的每一位产生[0,1]间的随机数r,若r

    如新个体数达到M个,则已形成一个新群体,转向第三步;否则转向第四步继续遗传操作。直到找到使适应值最大的个体或达到最大进化代数为止。

    由于选择概率是由适应值决定的,即适应值大的染色体入选概率也较大,使选择起到"择优汰劣"的作用。交叉使染色体交换信息,结合选择规则,使优秀信息得以保存,不良信息被遗弃。变异是基因中得某一位发生突变,以达到产生确实有实质性差异的新品种。遗传算法虽是一种随机算法,但它是有导向的,它所使用的"按概率随机选择"方法是在有方向的搜索方法中的一种工具。正是这种独特的搜索方法,使遗传算法自然地避开了其它最优化算法常遇到的局部最小陷阱。

    遗传算法与传统的优化方法(枚举,启发式等)相比较,以生物进化为原型,具有很好的收敛性,在计算精度要求时,计算时间少,鲁棒性高等都是它的优点。

    遗传算法的优点:

    1. 与问题领域无关切快速随机的搜索能力。

    2.

    搜索从群体出发,具有潜在的并行性,可以进行多个个体的同时比较,robust.

    3. 搜索使用评价函数启发,过程简单

    4. 使用概率机制进行迭代,具有随机性。

    5. 具有可扩展性,容易与其他算法结合。

    遗传算法的缺点:

    1、遗传算法的编程实现比较复杂,首先需要对问题进行编码,找到最优解之后还需要对问题进行解码,

    2、另外三个算子的实现也有许多参数,如交叉率和变异率,并且这些参数的选择严重影响解的品质,而目前这些参数的选择大部分是依靠经验.

    3、没有能够及时利用网络的反馈信息,故算法的搜索速度比较慢,要得要较精确的解需要较多的训练时间。

    4、算法对初始种群的选择有一定的依赖性,能够结合一些启发算法进行改进。

    5、算法的并行机制的潜在能力没有得到充分的利用,这也是当前遗传算法的一个研究热点方向。

    在现在的工作中,遗传算法(1972年提出)已经不能很好的解决大规模计算量问题,它很容易陷入“早熟”。常用混合遗传算法,合作型协同进化算法等来替代,这些算法都是GA的衍生算法。

    遗传算法具有良好的全局搜索能力,可以快速地将解空间中的全体解搜索出,而不会陷入局部最优解的快速下降陷阱;并且利用它的内在并行性,可以方便地进行分布式计算,加快求解速度。但是遗传算法的局部搜索能力较差,导致单纯的遗传算法比较费时,在进化后期搜索效率较低。在实际应用中,遗传算法容易产生早熟收敛的问题。采用何种选择方法既要使优良个体得以保留,又要维持群体的多样性,一直是遗传算法中较难解决的问题。

    模拟退火算法虽具有摆脱局部最优解的能力,能够以随机搜索技术从概率的意义上找出目标函数的全局最小点。但是,由于模拟退火算法对整个搜索空间的状况了解不多,不便于使搜索过程进入最有希望的搜索区域,使得模拟退火算法的运算效率不高。模拟退火算法对参数(如初始温度)的依赖性较强,且进化速度慢。

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  • 往往机器学习/深度学习的算法中包含了成千上百万的参数,这些参数有的可以通过训练来优化,例如神经网络中的权重(Weight)等,我们称为参数(Parameter),也有一部分参数不能通过训练来优化,例如学习率(Learning...

    介绍

    超参数优化也称作超参数调整。往往机器学习/深度学习的算法中包含了成千上百万的参数,这些参数有的可以通过训练来优化,例如神经网络中的权重(Weight)等,我们称为参数(Parameter),也有一部分参数不能通过训练来优化,例如学习率(Learning rate)等,我们称为超参数(Hyper parameter)。举些例子,机器学习算法中的参数是用来调整数据的。深度神经网络由许多神经元组成,输入的数据通过这些神经元来传输到输出端。在神经网络训练时候,每个神经元的权重会随着损失函数的值来优化从而减小损失函数的值。这些训练好的参数就是这个算法的模型。超参数是用来调节整个网络训练过程的,例如神经网络的隐藏层的数量,核函数的大小,数量等等。超参数并不直接参与到训练的过程中,他们只是配置变量。需要注意的是在训练过程中,参数是会更新的而超参数往往都是恒定的。

    在训练神经网络的时候,调节超参数是必不可少的,这个过程可以更科学地训练出更高效的机器学习模型。一般我们都是通过观察在训练过程中的监测指标如损失函数的值或者测试/验证集上的准确率来判断这个模型的训练状态,并通过修改超参数来提高模型效率。下面列出了几个深度学习超参的例子:

    • 优化器(Optimizer):机器学习算法的参数都需要优化器来优化,比较传统的是随机梯度下降(SGD),但是它收敛较慢而且在某些情况下比较容易得到局部最优解。Adam是目前收敛速度快且常被使用的优化器,它加入了动量Momentum,可以加速收敛并且有更好的最优解。
    • 迭代次数:迭代次数是指训练网络时候同时完成前向/反向传播的次数。每次迭代都会更新网络模型的参数并且减小损失函数的值。比较合适的迭代次数为测试/训练错误错误率相差较小并且两者错误率都在能接受范围内的时候。如果此时继续训练网络,很有可能会出过拟合的情况。
    • 激活函数:在神经网络中,激活函数的作用是增加非线性因素,以至于网络可以拟合复杂的非线性函数来更高效地解决复杂的问题。因为在实际情况中,更多问题都是非线性的,所以运用非线性激活函数可以拟合实际场景问题,增加网络的泛化能力。常用的激活函数有sigmoid, relu, tanh, leaky relu等等。
    • 学习率(Learning rate)是指在优化算法中更新网络权重的幅度大小。学习率可以是恒定的、逐渐降低的,基于动量的或者是自适应的。不同的优化算法决定不同的学习率。当学习率过大则可能导致模型不收敛,损失loss不断上下震荡;学习率过小则导致模型收敛速度偏慢,需要更长的时间训练。通常学习率取值为[0.01, 0.001, 0.0001]。
    • 超参的例子还有很多,他们都对网络的性能起着很大的作用,当然其中一些超参比其他参数重要我们可以以下图为参考标准来划分优先级,如学习率一般是最重要的。
      网格搜索(Grid Search)是比较常用的超参优化方法。这是一个简单粗暴的方法,就是你手动列举出合理的超参数值范围,程序自动的帮你使用穷举法来将所用的参数都运行一遍。

    发展历史

    比较早期的主要贡献者(在应用到机器学习非参数学习领域之前)是Frank Hutter团队,他在2009年的博士论文就是关于软件系统里面如何用非参数学习来代替人手设定参数。James Bergstra与Bengio在这个问题上也研究过几年,他们提出了网格搜索的一种简单的取代方法,称作随机采样(random sampling),实验结果非常好,也很容易实现。随后他们就将Hutter在其他领域使用过的非参数学习方法引入了深度学习,称作序列优化(sequential optimization),发表在NIPS 2011,Remi Bardenet和他的导师Balazs Kegl也参与了这个工作。

    这个工作被多伦多大学的研究人员看好并继续深入,其中有Jasper Snoek(Hinton教授的学生),Hugo Larochelle 以及Ryan Adams(哈佛大学教授),他们的工作发表在NIPS2012。文中展示了他们利用自动化的方法,改进了Krizhevsky,Sutskever和Hinton教授非常著名的ImageNet物体识别神经网络算法,刷新了这个数据集的学术记录。

    Snoek等人开发了一个软件,被相关学者广泛使用,叫做spearmint,Netflix在他们用深度学习做电影推荐的新项目中也用到了它

    主要事件

    在这里插入图片描述

    瓶颈

    超参数往往影响这一个算法/网络的鲁棒性,稳定性还有泛化能力,超参的数量可多可少,但是每次调节超参数可能需要重新训练一次算法/网络,这样就需要花费很多时间。往往对于一个算法而言,想要其发挥最大的作用,那就需要在调参上面花大量的功夫,当然它也是有规律可循的,有经验的研究员/工程师往往会根据现有的信息来准确判断出所要修改的参数。但是对于大部分人而言,这是个十分费时费力的过程。

    未来发展方向

    调参算法在慢慢改善,科学家们开始把调参这一步交给机器来做,也就是让机器来自动调参,这种方法可能会比人为手动调参更高效。

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  • 1.4 无约束优化问题的优性条件 考虑无约束优化问题 (1) 优化问题一般分为局部最优和全局最优,局部最优,就是在函数值空间的一个有限区域内寻找最小值;而全局最优...

    1.4 无约束优化问题的最优性条件

    考虑无约束优化问题

                                                                                     min_{x\in R^{n}} f(x)                                                                            (1)           优化问题一般分为局部最优和全局最优,局部最优,就是在函数值空间的一个有限区域内寻找最小值;而全局最优,是在函数值空间整个区域寻找最小值问题。下面给出局部极小值和全局极小值的定义。

    极小值的类型

    局部极小值(Local minimum)和全局最小值(Global minimum)

    def 1 :      {\exists} \delta >0,s.t {\forall} x \in R^{n},and \vert| x-x^{*}| \vert<\delta, f(x) \ge f(x^{*}),则称x^{*}为f的局部极小值点(局部最优点)。

    def 2:      {\forall} x \in R^{n}, f(x) \ge f(x^{*}),则称x^{*}为f的全局(总体)极小值点(全局最优点)。

    1.4.1 必要条件

    对于无约束优化问题,要根据极小值的定义去判断是否为最优点几乎是不可能的,因此有必要去寻找一个可行的判断方法。所以学者就提出一阶和二阶必要条件的判断判断方法。即在已知是最优点,能推导出什么样的结果。

    【一阶必要条件】

    Th 1:   f:D\subset R^{n}\rightarrow R^{1}在开集D上连续可微,且x^{*} \in D(1)的局部极小点,则

                                                                                  \nabla f(x^{*}) = 0

    【二阶必要条件】 

    Th 2 :    f:D\subset R^{n}\rightarrow R^{1}在开集D上二阶连续可微,且x^{*} \in D(1)的局部极小点,则

                                                                    \nabla f(x^{*}) = 0,\nabla^{2} f(x^{*}) \ge 0

    证明方法与一阶必要条件类似。

    【注】 

             满足 \nabla f(x^{*}) = 0  的点称为函数f的平稳点或驻点(数分),但此时的 x^{*} 可能是极小值点,也有可能是极大值点,甚至可能既不是极小值点也不是极大值点(example:f(x)=x^{3}在x=0处)。称既不是极小值也不是极大值的点称之为鞍点

            讨论在已知是最优点,能得到两个必要条件,那么一个自然的想法就是如何判断一个点是不是最优点。换而言之,在满足什么条件下,我们可以得到最优点(或者极小值)。

    【二阶充分条件】

            Th  3:     若f:D\subset R^{n}\rightarrow R^{1}在开集D上二阶连续可微,且   \nabla f(x^{*}) = 0,\nabla^{2} f(x^{*}) > 0,则x^{*} \in D 是问题(1)的严格局部极小值点。

     【充要条件】

    Th 4 :  若上述的 f(x) 是凸函数,这x^{*} \in D 是最优点的充分必要条件是\nabla f(x^{*}) = 0

     1.5   最优化方法的结构

    【基本结构】

    (1)给定初始值 x_{0} 和某种终止条件(下面会说到)。

    (2)确定搜索方向 d_{k}(即按照一定的规则,构造 f 在x_{k}点的下降方向为搜索方法)。

    (3)确定步长 \alpha_{k} ,使得目标函数在某种意义下是下降的 。

    (4)定义格式:x_{k+1}=x_{k}+\alpha_{k}d_{k}

    (5)若 x_{k+1} 满足某种终止条件,则停止迭代,得到最优点x_{k-1},否则重复(2)的操作。

    1.5.1 算法的评价标准

             

    (a)收敛速度:

            (a1)Q-\alpha  收敛:{\exists} ~~\alpha >0,以及与迭代次数 k 无关的常数 q >0,   s.t

                                                                       \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\vert| x_{k+1}-x^{*}|\vert}{\vert |x_{k}-x^{*}|\vert^{\alpha}}=q

                    则称算法产生的迭代点列{x_{k}} 具有Q-\alpha 阶收敛速度。  

            (a2)R-收敛(根收敛速度):设R_{p}=\left\{\begin{array}{ll} \lim\limits_{k \to \infty}sup \vert | x_{k}-x^{*}| \vert^{1/k}&if ~~p=1\\ \lim\limits_{k \to \infty}sup \vert | x_{k}-x^{*}| \vert^{1/p^{k}}&if ~~p>1\\ \end{array}\right.\     

                     则称算法产生的迭代点列{x_{k}} 具有R-阶收敛速度。     

    关于收敛的具体定义以及相关概念https://zhuanlan.zhihu.com/p/278151142

    (b) 全局收敛与局部收敛

     (c)二次终止性

    二次终止性是指对于严格凸的二次函数,算法能在有限迭代步内达到最优值点。

            除以上,一个算法的好坏还依赖于稳定性,计算存储的消耗等多方面因素,且数值实验不能用严瑾的数学证明保证算法具有良好的性态,理想情况下是根据收敛性和收敛速度的理论选择适当的算法来进行数值实验。

    1.5.2 终止准则

    方法1:下一步迭代点减去上一步迭代点的某种范数值小于等于我们想要精度参数 \varepsilon_{1} .即

    \vert |x_{k+1}-x_{k}| \vert \leq \varepsilon_{1}

    缺点:可能  x_{k+1} 和 x_{k} 之间的差值很小,但函数值之间的差值很大。

    方法2:下一步迭代点与上一步迭代点的函数值的绝对值之差小于我们想要的精度参数 \varepsilon_{2} , 即

    \vert f(x_{k+1})-f(x_{k}) \vert \leq \varepsilon_{1}

                                 缺点:函数值差值很小,但是对应的迭代点列之间的差值很大。

    方法3:(Himmeblau) 同时采用方法1和方法2 ,即当\vert|x_{k}|\vert>\varepsilon_{2} 和\vert f(x_{k}) \vert > \varepsilon_{2}时,采用

    \frac{\vert | x_{k+1}-x_{k}| \vert}{\vert| x_{k}| \vert} \leq \varepsilon_{1},\frac{\vert f( x_{k+1})-f(x_{k}) \vert}{\vert f(x_{k}) \vert} \leq \varepsilon_{1}

                                   否则采用:

    \vert |x_{k+1}-x_{k}| \vert \leq \varepsilon_{1}\vert f(x_{k+1})-f(x_{k}) \vert \leq \varepsilon_{1}

    方法 4 :对于有一阶数信息的函数,且收敛速度不太快的算法,如CG(共轭梯度算法),可采用如下终止准则:

    \vert|g_{k}|\vert \leq \varepsilon_{3}

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