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  • 1.常规求公约数方法 使用短除法 2.欧几里得算法/辗转相除法 两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。 数学表示:gcd(a,b)=gcd(b,amodb) 算法表示: 1.流程图: 2.伪代码: input a,b;...

    1.常规求公约数方法
    使用短除法
    2.欧几里得算法/辗转相除法
    两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。
    数学表示:gcd(a,b)=gcd(b,amodb)

    算法表示:
    1.流程图:
    2.伪代码:
    input a,b; //输入两个整数。
    create r; //中间量用来存放余数。
    while(b>0)
    {
    r=a%b;
    a=b;
    b=r;
    }
    output a; //当b=0时,a即为最大公约数。

    C程序设计:
    /*
    程序说明:欧几里得算法,求两个正整数的最大公约数。
    */
    #include “stdafx.h”
    #define uint unsigned int
    uint gcd(uint Positive_Integer_1, uint Positive_Integer_2);

        //定义法:直接调用gcd函数	
    	int main()
    	{
    	uint Positive_Integer_1, Positive_Integer_2; //输入两个正整数。
    	//Positive_Integer正整数
    	printf("请输入两个正整数:\n");
    	scanf_s("%d %d", &Positive_Integer_1, &Positive_Integer_2);
    	uint Greatest_Common_Divisor = gcd(Positive_Integer_1, Positive_Integer_2);
    	//Greatest_Common_Divisor最大公约数
    	printf("%d和%d的最大公约数是:%d\n",Positive_Integer_1,Positive_Integer_2, Greatest_Common_Divisor);
    	return 0;
    	}
    
    
    /*	
    	函数说明:运用欧几里德算法,求两个正整数的最大公约数。
    	*/
    	uint gcd(uint Positive_Integer_1, uint Positive_Integer_2)
    	{
    	uint Greatest_Common_Divisor;
    	while (Positive_Integer_2>0) //如果余数不为0,就一直进行辗转相除
    	{ 
    	Greatest_Common_Divisor = Positive_Integer_1 % Positive_Integer_2; 
    	Positive_Integer_1 = Positive_Integer_2;
    	Positive_Integer_2 = Greatest_Common_Divisor;
    	}
    	return Positive_Integer_1; //余数为0, Positive_Integer_1即为最大公约数。
    	}
    
    
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  • 如果p和q的最大公约数是r,那么q和p%q的最大公约数也是r。 证明 讨论范围p q r都是自然数 必然存在p = mq + n (m n为自然数), 其中n = p % q。 等式两边除以r得 p/r = (mq + n)/r 即 p/r = m * q/r + n/r ∵ r是p...

    描述

    如果p和q的最大公约数是r,那么q和p%q的最大公约数也是r。

    证明

    讨论范围p q r都是自然数
    必然存在p = mq + n (m n为自然数), 其中n = p % q。
    等式两边除以r得 p/r = (mq + n)/r
    即 p/r = m * q/r + n/r
    ∵ r是p和q的最大公约数
    ∴ p/r是自然数,q/r是自然数
    ∴ n/r = p/r - m * q/r , n/r也是自然数
    ∴ r是q和n的公约数
    设R是q和n的最大公约数。那么R>=r。
    由p = mq + n得 m * q/R + n/R = p/R
    ∵ q/R 和 n/R 为自然数
    ∴ p/R 为自然数
    ∴ R为p和q的公约数
    ∵ r是p和q的最大公约数
    ∴ R<= r
    又 R>=r
    ∴ R=r 即 r是q和n的最大公约数
    因此如果p和q的最大公约数是r,那么q和p%q的最大公约数也是r。

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  • 欧几里得算法求最大公约数的c++代码,很完整,可以运行
  • 欧几里得算法(Eculidean Algorithm)指明:a,b最大公约数(Greatest Common Divisor),就等于b,a%b的最大公约数,公式如下 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b) = gcd(b,a \% b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 但实际上,不仅仅是最大...

    前言:仅个人小记。欧几里得算法提供了求解最大公约数的方法,而求解最大公约数是十分有意义的,因为当两个数的最大公约数为1的时候,这两个数就是互质的,即gcd(a,b)=1 等价于 a与b互质,而互质这个性质在数论中则是非常重要

    结论交代

    欧几里得算法(Eculidean Algorithm)指明:a,b最大公约数(Greatest Common Divisor),就等于b,a%b的最大公约数,公式如下

    g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) gcd(a,b) = gcd(b,a \% b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

    但实际上,不仅仅是最大公约数,普通的公约数(Common Divisor)也吻合上面情况,即有 c d ( a , b ) = c d ( b , a % b ) cd(a,b)=cd(b,a\%b) cd(a,b)=cd(b,a%b)
    所以,上述最大公约数的性质只是普通公约数的一个特例

    引理证明

    如果 (a + b) % d = 0,b % d = 0,则必然有 a % d = 0。
    证明如下
    因为(a + b) % d = 0 ,b % d = 0,
    所以可以令 a + b = kd , b = k’ d, 其中k 和 k’ 都是整数。
    进而,a + b = kd ----> a + k’d = kd -----> a = (k-k’)d, a 是 d 的整数倍,进而必有 a % d = 0,证毕。

    证明过程

    c d ( a , b ) = c d ( b , a % b ) cd(a,b)=cd(b,a\%b) cd(a,b)=cd(b,a%b)
    a = kb + r,则有 r = a - kb,

    正向

    若 d 是 a , b的公约数有,则必有 a % d = 0 以及 b % d = 0,进而必有 r % d = 0,所以显然 d 也是 b, r 的公约数

    反向

    若 d 是 b, r 的公约数, 则必有 a % d = 0 以及 r % d = 0, b %d= 0 以及 (a - kb) % d=0,借助上述引理证明,进而必有 a % d = 0。

    综述

    d 是 a, b 的公约数,则 d 必然是 b, r 的公约数; d 是 b, r 的公约数, 则 d 必然是 a, b 的公约数; a, b 的公约数必然是 b, r 的公约数, c d ( a , b ) = c d ( b , r ) = c d ( b , a % b ) cd(a,b)=cd(b,r) = cd(b,a\%b) cd(a,b)=cd(b,r)=cd(b,a%b),示意如下图

    证毕。

    讨论
    1. 故而,求 a,b 公约数问题就等价于求 b, r 公约数问题, 进而求 a,b 最大公约数问题等价于求 b, r 最大公约数问题,即 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) gcd(a,b) = gcd(b,a \% b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
      用欧几里得算法求解最大公约数的代码如下:
    int gcd(int a, int b){
        if (b == 0) return a;
        return gcd(b,a%b);
    }
    

    原理一般化拓展

    1. 以上对欧几里得算法的证明,同时也就是对 “如果 a ⊥ b a\perp b ab,则必然有 a + k b ⊥ b a+kb \perp b a+kbb” 的证明。这个公式更有一般化的原理意义,而以上欧几里得算法只是具体为余数 r与模数 b互质的证明 ,即证明 r = a - kb 与 b 互质。显然,r = a - kb 只是归属于 a+kb 的一种表达,故而可以直接得证。该原理如下图所示,
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  • 欧几里得减法求最大公约数欧几里得减法求最大公约数
  •   辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm),是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是:用较大数除以较小数,再用出现的余数(第一余数)去除除数,再用出现的余数(第二余数)去除第一余数,如此...

      辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm),是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是:用较大数除以较小数,再用出现的余数(第一余数)去除除数,再用出现的余数(第二余数)去除第一余数,如此反复,直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数,那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

    递归gcd代码

    unsigned int gcd(unsigned int a, unsigned int b)
    {
    	return b == 0? a : gcd(b, a% b);
    }
    

    非递归代码

    unsigned int gcd(unsigned int a, unsigned int b)
    {
    	unsigned int rem;
    	while(b != 0)
    	{
    		rem = a % b;
    		a = b;
    		b = rem;
    	}
    	return a;
    }
    

    数学证明

    证 明 欧 几 里 得 算 法 , 即 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a m o d b ) , 前 提 条 件 : { a = m d b = n d m 和 n 互 质 ⇒ d 是 a 和 b 的 最 大 公 约 数 证明欧几里得算法,即gcd(a,b) = gcd(b, a mod b),前提条件:\\ \begin{cases} a=md\\ b=nd\\ m和n互质\\ \end{cases} \Rightarrow d是a和b的最大公约数\\ gcd(a,b)=gcd(b,amodb),:a=mdb=ndmndab
    证 明 : 证明:
    设 g c d ( a , b ) = d 1 , 则 { a = m d 1 b = n d 1 m , n 互 质 令 a = q b + r 则 r = a − q b = m d 1 − q n d 1 = ( m − q n ) d 1 要 证 明 欧 几 里 得 算 法 , 只 需 证 明 b 和 r 的 最 大 公 因 数 等 于 d 1 即 可 由 上 述 过 程 可 得 , d 1 可 以 被 r 整 除 , 即 d 1 是 r 和 b 的 公 约 数 。 因 此 只 需 要 证 明 n 和 m − q n 互 质 即 可 。 下 面 用 反 证 法 来 证 明 : 假 设 n 与 m − q n 不 互 质 , 设 g c d ( n , m − q n ) = d 2 ( d 2 > 1 ) 则 有 { n = x d 2 m − q n = y d 2 即 m = ( q x + y ) d 2 ⇒ m , n 不 互 质 , 这 与 前 提 m , n 互 质 相 矛 盾 因 此 假 设 不 成 立 , n 和 m − q n 互 质 所 有 r 和 b 的 最 大 公 约 数 为 d 1 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a   m o d   b ) , 命 题 得 证 设gcd(a, b) = d_1,则 \begin{cases} a = md_1\\ b = nd_1\\ m,n互质 \end{cases}\\ 令a=qb+r\\ 则r=a-qb\\ =md_1-qnd_1\\ =(m-qn)d_1\\ 要证明欧几里得算法,只需证明b和r的最大公因数等于d_1即可\\ 由上述过程可得,d_1可以被r整除,即d_1是r和b的公约数。\\ 因此只需要证明n和m-qn互质即可。\\ 下面用反证法来证明:\\ 假设n与m-qn不互质,设gcd(n,m-qn)=d_2(d_2>1)\\ 则有 \begin{cases} n=xd_2\\ m-qn=yd_2 \end{cases}\\ 即m=(qx+y)d_2\Rightarrow m,n不互质,这与前提m,n互质相矛盾\\ 因此假设不成立,n和m-qn互质\\ 所有r和b的最大公约数为d_1\\ gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b),命题得证 gcd(a,b)=d1,a=md1b=nd1m,na=qb+rr=aqb=md1qnd1=(mqn)d1brd1d1rd1rbnmqnnmqngcd(n,mqn)=d2(d2>1){n=xd2mqn=yd2m=(qx+y)d2m,nm,n,nmqnrbd1gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

    欧几里得算法时间复杂度分析

    定理: 若 M > N , 则 ( M   m o d   N ) < M 2 。 若M>N,则(M\ mod\ N)<\frac{M}{2}。 M>N,(M mod N)<2M

    证明:
    存 在 两 种 情 况 。 若 N ≤ M 2 , 则 由 于 余 数 小 于 N , 故 定 理 成 立 若 N > M 2 。 但 是 此 时 M 仅 含 有 一 个 N , 从 而 余 数 为 M − N < M 2 定 理 得 证 。 存在两种情况。\\ 若N \le\frac{M}{2},则由于余数小于N,故定理成立\\ 若N>\frac{M}{2}。但是此时M仅含有一个N,从而余数为M - N < \frac{M}{2}\\ 定理得证。 N2MNN>2MMNMN<2M

      由此定理可得出,欧几里得算法的迭代次数最多是 2 l o g 2 N = O ( l o g 2 N ) 2log_2N=O(log_2N) 2log2N=O(log2N)

    展开全文
  • 欧几里得算法又称辗转相除法求最大公约数 直接从整数的素因子分解式计算两个整数的最大公约数效率很低,原因是寻找素因子分解式非常耗时,而欧几里得算法非常高效。 欧几里得算法的基础是下面关于最大公约数和整除...
  • 标题:Java中使用欧几里得求最大公约数 /** * 求最大公约数 * @author dell * */ public class TestGcd { public int hh(int m,int n) { if(m<n) { return hh(n,m); }else if(n==0) { return m; ...
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  • C语言欧几里得算法求最大公约数

    千次阅读 2020-06-05 18:01:45
    #include<stdio.h> int gcd(int a,int b); int main() ...printf(“最大公约数是%d”,gcd(a,b)); return 0; } int gcd(int a,int b) { int r; r=a%b; if(r==0) return b; else gcd(b,r); } ...
  • 课程的随堂作业,C语言的,用dev就能运行,萌新代码,勿喷,仅仅帮助不想写作业的朋友方便一下,反正老师也不会仔细检查的
  • 欧几里得求最大公约数/python

    千次阅读 2015-07-09 13:48:39
    这个个求最大公约数的函数,利用了欧几里得算法。 欧几里得法求最大公约数: 求a和b的最大公约数 记 a mod b=c ,即a=kb+c  设a b的最大公约数为d,则a=m*d b=n*d,m和n互质。 c=a-kb=md-knd=(m-kn)d,m和n...
  • 欧几里得算法求最大公约数也叫辗转相除法。 证明 有两个数a,b,且a = kb + r(a,b,k,r皆为正整数,且r<b) 假设d为a,b的一个公约数 而r = a - kb,两边同时除以d,r/d=a/d-kb/d=m,m为整数 因此d也是r的...
  • 欧几里得算法提供了求解最大公约数的方法,而求解最大公约数是十分有意义的,因为当两个数的最大公约数为1的时候,这两个数就是互质的,即gcd(a,b)=1 等价于 a与b互质,而互质这个性质在数论中则是非常重要。...
  • 欧几里得算法求解最大公约数

    千次阅读 2018-03-16 22:43:52
    这里主要要介绍的欧几里得算法,主要是用于求解两个整数的最大公约数的问题。 传统的求解方法是采用暴力枚举的方法,即枚举所有可能值取其最大。其算法描述如下: 给定两个整数a,b c = min{a, b} max = 0; // ...
  • int EA(int a,int b) // 欧几里得算法 { int remainder; int middle; if (a < b) // a,b交换值 { b = a + b; a = b - a; b -= a; }else if(a==b) { return a; } do { remainder = a % b;
  • 最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个,a,b的最大公约数记为(a,b)。求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。常用的是辗转...
  • #include <iostream> using namespace std; int gcd(int x, int y) { if (x % y == 0) return y; else { return gcd(y, x % y); } }
  • 欧几里得法求最大公约数

    千次阅读 2020-06-22 14:15:52
    欧几里得法求最大公约数欧几里得法求最大公约数问题描述模型证明伪码描述算法实现疑问解答复杂度分析 欧几里得法求最大公约数 问题描述 求任意两个非负整数的最大公约数。 模型 符号规定: gcd(a,b) 表示a与b的最大...
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欧几里得算公约数