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  • 2021-04-25 11:33:08

    x=[1,1;        2,1;        3,1;        4,1;        5,1;        6,1;        7,1;        8,1;        9,1;        10,1;        11,1;        12,1;        13,1;        14,1;        15,1;        16,1;        17,1;        18,1;        19,1;        20,1;

    1,2;        2,2;        3,2;        4,2;        5,2;        6,2;        7,2;        8,2;        9,2;        10,2;        11,2;        12,2;        13,2;        14,2;        15,2;        16,2;        17,2;        18,2;        19,2;        20,2;

    1,3;        2,3;        3,3;        4,3;        5,3;        6,3;        7,3;        8,3;        9,3;        10,3;        11,3;        12,3;        13,3;        14,3;        15,3;        16,3;        17,3;        18,3;        19,3;        20,3;

    1,4;        2,4;        3,4;        4,4;        5,4;        6,4;        7,4;        8,4;        9,4;        10,4;        11,4;        12,4;        13,4;        14,4;        15,4;        16,4;        17,4;        18,4;        19,4;        20,4;

    1,5;        2,5;        3,5;        4,5;        5,5;        6,5;        7,5;        8,5;        9,5;        10,5;        11,5;        12,5;        13,5;        14,5;        15,5;        16,5;        17,5;        18,5;        19,5;        20,5;

    1,6;        2,6;        3,6;        4,6;        5,6;        6,6;        7,6;        8,6;        9,6;        10,6;        11,6;        12,6;        13,6;        14,6;        15,6;        16,6;        17,6;        18,6;        19,6;        20,6;

    1,7;        2,7;        3,7;        4,7;        5,7;        6,7;        7,7;        8,7;        9,7;        10,7;        11,7;        12,7;        13,7;        14,7;        15,7;        16,7;        17,7;        18,7;        19,7;        20,7;

    1,8;        2,8;        3,8;        4,8;        5,8;        6,8;        7,8;        8,8;        9,8;        10,8;        11,8;        12,8;        13,8;        14,8;        15,8;        16,8;        17,8;        18,8;        19,8;        20,8;

    1,9;        2,9;        3,9;        4,9;        5,9;        6,9;        7,9;        8,9;        9,9;        10,9;        11,9;        12,9;        13,9;        14,9;        15,9;        16,9;        17,9;        18,9;        19,9;        20,9;

    1,10;        2,10;        3,10;        4,10;        5,10;        6,10;        7,10;        8,10;        9,10;        10,10;        11,10;        12,10;        13,10;        14,10;        15,10;        16,10;        17,10;        18,10;        19,10;        20,10;

    1,11;        2,11;        3,11;        4,11;        5,11;        6,11;        7,11;        8,11;        9,11;        10,11;        11,11;        12,11;        13,11;        14,11;        15,11;        16,11;        17,11;        18,11;        19,11;        20,11];

    y=[0    0   0   0   0   0   0   0   28  0   32  43  0   0   0   0   0   0   0   0

    0    0        24        26        45        42        40        37        44        32        42        54        42        55        49        59        44        39  0   0

    0    34        34        44        75        85        73        89        80        47        81        68        69        69        95        75        76        48  0   0

    0        38        42        70        114        164        148        145        136        74        148        131        152        152        157        126        114        66        55  0

    33        50        50        109        166        224        206        220        190        116        184        156        180        188        178        177        148        75        50        43

    35        41        84        160        197        226        249        237        217        199        168        172        187        188        180        182        165        98        50        32

    34        48        77        131        206        214        205        202        185        163        158        147        152        140        137        150        121        93        60        38

    0        36        61        89        129        143        124        123        106        120        78        85        87        74        82        99        99        62        31        0

    0        18        45        56        67        61        68        66        56        53        59        55        44        40        37        40        63        32        0        0

    0        0        31        52        36        53        34        38        46        33        35        29        20        30        25        21        30        28        0   0

    0    0   0   0   0   0   0   0   0   0   22  0   0   0   0   0   0   0   0   0];

    func=inline('(2*pi*a(2)*a(4)*(1-a(5)^2)^0.5)^(-1).*exp(-1./(2.*(1-a(5))).*((x(:,1)-a(1)).^2./a(2).^2)-(2.*a(5).*(x(:,1)-a(1)).*(x(:,2)-a(3)))./(a(2).*a(4))+(x(:,2)-a(3)).^2./a(4).^2)','a','x');%二维高斯表达式

    a0=rand(1,5);

    [a,r] = nlinfit(x,y,func,a0) %函数拟合得到其正态分布参数μ1=a(1),sigma1=a(2),μ2=a(3),sigma2=a(4),ro=a(5)

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    1、多维高斯分布的概率密度函数

    多维变量 X = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) X=(x_1,x_2,...x_n) X=(x1,x2,...xn)的联合概率密度函数为:
           f(X)=1(2π)d/2|Σ|1/2exp[−12(X−u)TΣ−1(X−u)],X=(x1,x2...xn)f(X)=1(2π)d/2|Σ|1/2exp⁡[−12(X−u)TΣ−1(X−u)],X=(x1,x2...xn)

    其中:
      d:变量维度。对于二维高斯分布,有d=2;
       u = ( u 1 u 2 … u n ) u=(u_1 u_2 … u_n) u=(u1u2un):各位变量的均值;
      Σ:协方差矩阵,描述各维变量之间的相关度。对于二维高斯分布,有:

    Σ=(δ11δ21δ12δ22)Σ=(δ11δ12δ21δ22)

    后文主要分析均值和协方差矩阵对二维高斯分布的影响。

    2、均值和协方差矩阵对二维高斯分布的影响


    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    3、总结

    ①均值表征的是各维变量的中心,其对二维高斯曲面的影响较好理解,它使得整个二维高斯曲面在xoy平面上移动;
    ②对于协方差矩阵,对角线上的两个元素,即 δ 11 \delta _{11} δ11 δ 22 \delta _{22} δ22表征的是x维和y维变量的方差,决定了整个高斯曲面在某一维度上的“跨度”,方差越大,“跨度”越大;
    ③协方差矩阵的斜对角线上面的两个元素,即 δ 12 \delta _{12} δ12 δ 21 \delta _{21} δ21表征的是各维变量之间的相关性:δ12δ12>0说明x与y呈正相关(x越大,y越大),其值越大,正相关程度越大; δ 12 \delta _{12} δ12<0呈负相关;否则不相关。
    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「林立民爱洗澡」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/lin_limin/article/details/81024228

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  • 在深入分析二维高斯分布公式的基础上,通过将光斑中心整像素坐标和亚像素坐标进行分离,推导出一种无需求解广义逆矩阵的高斯曲面解析算法,该方法综合利用窗口内的所有像素灰度信息,通过解析表达式直接计算高斯分布...
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  • 图像处理 二维高斯分布

    万次阅读 2017-12-03 10:00:39
    二维高斯曲面的公式(x,y代表像素的模板坐标,模板中心位置为原点) 根据这个公式,我们可以计算得到不同σ的高斯模板。下面是C语言程序实现: 当σ即半径为0.7时: #include "stdafx.h" #include ...



    为X,Y的相关系数!为0;σ1=σ2=σ

    二维高斯曲面的公式(x,y代表像素的模板坐标,模板中心位置为原点)


    根据这个公式,我们可以计算得到不同σ的高斯模板。下面是C语言程序实现:

    当σ即半径为0.7时:

    #include "stdafx.h"
    #include <fstream>
    #include <math.h>
    #include <iomanip>
    using namespace std;
    #define N 4
    #define PI 3.141592653
    int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    {
        char* path = "C:\\path1.txt";
        ofstream fout(path);
        double a[2 * N + 1][2 * N + 1];    // 高斯模板;
        double r = 1;                     // 高斯半径;
        double A = 1 / (2 * PI * r * r);
        if (fout)
        {
            for (int i = -1 * N; i <= N; i++)
            {
                for (int j = -1 * N; j <= N; j++)
                {
                    a[i + N][j + N] = A*exp((-1)*(i*i + j*j) / (2 * r*r));
                    fout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(6) << a[i + N][j + N] << "   ";
                }
                fout << endl;
            }
        }
        fout.close();
        return 0;
    }
    最后得到的结果如下图所示

    那么,我们还有个问题,如何确定模板的大小与标准差之间的关系。经过我们的不断验证,即改变上述的σ和模板大小的值,可以得知。当σ越大时,要求的模板也就是越大。即当σ为1时,我们可以得到如下的高斯模板:

    上图的意思是,与水平面平行的x,y平面,也就是上面高斯模板中的坐标(x,y),z轴表示的灰度值,也就是上面高斯模板中的灰度值。

    通过上图我们可以得知,7*7的模板已经不能满足我们,我们需要9*9的模板,这时如果用5*5的模板,则会取中间部分的5*5模板。模板和σ的选择取决于我们图像的大小。如果图像是几万的分辨率,则需要高斯模板和σ值都要很大,如果几十的分辨率,用很小的如3*3的模板或者5*5的模板就可以了,这时σ一般可以取0.5左右(也就是matlab里fspecial函数里默认的σ值)。

    得到的绘出的高斯曲面:


    现在众所周知用的3*3或者5*5的模板,都是对高斯曲面的一个整数除法形式的近似,也就是对高斯半径约为0.849时的一个近似。

    1 2 1 
    2 4 2 /16 
    1 2 1

    16代表的是权重,即模板内所有的数之和。5*5的模板如下,也是对高斯曲面的一个整数除法形式的近似。







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  • 多维高斯分布---【2】

    2019-12-12 16:23:08
    二维高斯分布3.多维高斯分布4.心声 1.一维高斯分布 \qquad在介绍二维高斯分布之前我们先介绍一下一维高斯分布的函数图像,如下所示: f(x)=12π⋅δ⋅e−(x−μ)22δ2 f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\cdot \delta}\...

    1.一维高斯分布

    \qquad 在介绍二维高斯分布之前我们先介绍一下一维高斯分布的函数图像,如下所示:
    f ( x ) = 1 2 π ⋅ δ ⋅ e − ( x − μ ) 2 2 δ 2 f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\cdot \delta}\cdot e^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\delta^2}} f(x)=2π δ1e2δ2(xμ)2
    其中 μ \mu μ代表均值, δ \delta δ代表标准差,其图案如下所示:
    在这里插入图片描述

    2.二维高斯分布

    \qquad 上边我们介绍了一维的高斯分布,接下来我们介绍一下二维高斯分布,首先贴出其函数表达式,为了简单起见,以下的推导我假设所有变量都是相对独立的,且都服从高斯分布,也就是对于概率分布函数 f ( x 0 , x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , x n ) f(x_0,x_1,\cdot\cdot\cdot\cdot,x_n) f(x0x1,,xn)而言,存在以下等式:
    f ( x 0 , x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , x n ) = f ( x 0 ) ⋅ f ( x 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ f ( x n ) f(x_0,x_1,\cdot\cdot\cdot\cdot,x_n)=f(x_0)\cdot f(x_1)\cdot\cdot\cdot\cdot f(x_n) f(x0x1,,xn)=f(x0)f(x1)f(xn)
    式中的 f ( x i ) f(x_i) f(xi)服从一维的高斯分布
    f ( x i ) = 1 2 π ⋅ δ i ⋅ e − ( x − μ i ) 2 2 δ i 2 f(x_i)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\cdot \delta_i}\cdot e^{-\frac{{(x-\mu_i)}^2}{2\delta_i^2}} f(xi)=2π δi1e2δi2(xμi)2
    \qquad 其中 δ i \delta_i δi μ i \mu_i μi是第i个变量的标准差和均值。那当我们来描述二维的高斯分布的话,此处我们的 n n n取值为2。因为 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2是相互独立的,所以二维的高斯分布函数可以表示为:
    f ( x 1 , x 2 ) = f ( x 1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 1 2 π ⋅ δ 1 ⋅ e − ( x − μ 1 ) 2 2 δ 1 2 ⋅ 1 2 π ⋅ δ 2 ⋅ e − ( x − μ 2 ) 2 2 δ 2 2 = 1 2 π ⋅ δ 1 δ 2 ⋅ e − [ δ 2 2 ( x 1 − μ 1 ) 2 + δ 1 2 ( x 2 − μ 2 ) 2 ] 2 δ 1 2 δ 2 2 f(x_1,x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)\\ \qquad\qquad\qquad\quad\quad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\cdot \delta_1}\cdot e^{-\frac{{(x-\mu_1)}^2}{2\delta_1^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\cdot \delta_2}\cdot e^{-\frac{{(x-\mu_2)}^2}{2\delta_2^2}}\\ \quad\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{{2 \pi}\cdot \delta_1 \delta_2}\cdot e^{-\frac{[\delta_2^2{(x_1-\mu_1)}^2+\delta_1^2{(x_2-\mu_2)}^2]}{2\delta_1^2\delta_2^2}} f(x1,x2)=f(x1)f(x2)=2π δ11e2δ12(xμ1)22π δ21e2δ22(xμ2)2=2πδ1δ21e2δ12δ22[δ22(x1μ1)2+δ12(x2μ2)2]
    \qquad 其二维的高斯分布的图像如下所示:
    在这里插入图片描述

    3.多维高斯分布

    \qquad 前边我们介绍了一维的和二维的高斯分布,并且画出了其图像,想必大家也在其它的资料中看到过,通过一维和二维扩展出来的多维的高斯分布的表达公式,就像这样:
    N ( X ⃗ ∣ μ ⃗ , Σ ) = 1 ( 2 π ) D 2 ⋅ ∣ Σ ∣ 1 2 ⋅ e − ( X ⃗ − μ ⃗ ) T ⋅ Σ − 1 ⋅ ( X ⃗ − μ ⃗ ) 2 N(\vec{X}\mid\vec{\mu},{\Sigma})=\frac{1}{{(2\pi)}^{\frac{D}{2}}\cdot {\mid \Sigma\mid}^{\frac{1}{2}}}\cdot e^{-\frac{({\vec{X}-\vec{\mu})}^T\cdot{\Sigma^{-1}}\cdot{({\vec{X}-\vec{\mu})}}}{2}} N(X μ ,Σ)=(2π)2DΣ211e2(X μ )TΣ1(X μ )
    \qquad 式中各个参数代表的意思如下:

    1. X ⃗ \vec{X} X 表示维度为D的向量,
    2. μ ⃗ \vec{\mu} μ 是由多个变量 x 1 , x 2 , x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x n x_1,x_2,x_3\cdot\cdot\cdot x_n x1,x2,x3xn各自的均值 u i u_i ui组成的向量,
    3. Σ \Sigma Σ代表所有向量的协方差矩阵,是一个n维n列的矩阵,
    4. Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ1代表协方差矩阵的逆,也是一个n维n列的矩阵。

    \qquad 讲到这里感觉对于这个多维的公式中的理解还是不是特别透彻,那么我们可以这么想,既然超过二维的原理上来讲已经算是多维的高斯分布了,那么我们能不能通过第三节的公式推导出第二节的二维高斯分布的函数呢?答案当然是可以:
    \qquad 因为要证明的是二维的情况,所以我们根据上边列出的各个向量分别得到:
    X ⃗ = [ x 1 x 2 ]    μ ⃗ = [ μ 1 μ 2 ] \vec{X}=\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right]\ \ \qquad\vec{\mu}=\left[ \begin{matrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{matrix} \right] X =[x1x2]  μ =[μ1μ2]
    \qquad 式中 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2均是长度为n的序列,因为是二维的情况下,所以我们不妨先去求一下协方差矩阵 ∑ \sum ,根据已学知识,我们知道其表达式如下:
    Σ = [ δ 11 δ 12 δ 21 δ 22 ] = [ D X 1 C o v ( X 1 , X 2 ) C o v ( X 2 , X 1 ) D X 2 ] = [ δ 1 2 δ 12 δ 21 δ 2 2 ] \Sigma=\left[ \begin{matrix} \delta_{11} & \delta_{12}\\ \delta_{21} & \delta_{22} \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} DX_1 & Cov(X_1,X_2)\\ Cov(X_2,X_1)& DX_2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \delta_{1} ^2& \delta_{12}\\ \delta_{21} & \delta_{2}^2 \end{matrix} \right] Σ=[δ11δ21δ12δ22]=[DX1Cov(X2,X1)Cov(X1,X2)DX2]=[δ12δ21δ12δ22]
    \qquad 又因为我们假设 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2是相互独立的,也就是有 δ 12 = δ 21 = 0 \delta_{12}=\delta_{21}=0 δ12=δ21=0,于是协方差矩阵即可简化为;
    Σ = [ δ 1 2 0 0 δ 2 2 ] \Sigma=\left[ \begin{matrix} \delta_{1} ^2& 0\\ 0& \delta_{2}^2 \end{matrix} \right] Σ=[δ1200δ22]
    \qquad 据此我们即可算得协方差的行列式 ∣ Σ ∣ = δ 1 2 δ 2 2 \mid \Sigma\mid={\delta_1}^2{\delta_2}^2 Σ=δ12δ22,又因为我们选取得是二维高斯分布,所以D取值为2,于是我们将其带入多维高斯分布得左半部分可得;
    1 ( 2 π ) D 2 ⋅ ∣ Σ ∣ 1 2 = 1 ( 2 π ) ⋅ ∣ δ 1 2 δ 2 2 ∣ 1 2 = 1 2 π ⋅ δ 1 δ 2 \frac{1}{{(2\pi)}^{\frac{D}{2}}\cdot {\mid \Sigma\mid}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{{(2\pi)}\cdot {\mid{\delta_1}^2{\delta_2}^2\mid}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{{2 \pi}\cdot \delta_1 \delta_2} (2π)2DΣ211=(2π)δ12δ22211=2πδ1δ21
    \qquad 可见左半部分是和二维分布得函数吻合得的,接下来就进行验证多维分布的右半部分是否与二维的分布相同。
    \qquad 通过上边的部分,我们很轻易即可得到协方差矩阵的逆( Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ1),其值如下:
    Σ − 1 = 1 δ 1 2 δ 2 2 ⋅ [ δ 2 2 0 0 δ 1 2 ] {\Sigma}^{-1}=\frac{1}{\delta_1^2\delta_2^2}\cdot\left[ \begin{matrix} \delta_{2} ^2& 0\\ 0& \delta_{1}^2 \end{matrix} \right] Σ1=δ12δ221[δ2200δ12]
    \qquad 于是我们将我们已知的变量带入即可得到:
    e − ( X ⃗ − μ ⃗ ) T ⋅ Σ − 1 ⋅ ( X ⃗ − μ ⃗ ) 2 = e − 1 2 ⋅ [ x 1 − μ 1 x 2 − μ 2 ] ⋅ 1 δ 1 2 δ 2 2 ⋅ [ δ 2 2 0 0 δ 1 2 ] ⋅ [ x 1 − μ 1 x 2 − μ 2 ] = e − 1 2 δ 1 2 δ 2 2 ⋅ [ x 1 − μ 1 x 2 − μ 2 ] ⋅ [ δ 2 2 0 0 δ 1 2 ] ⋅ [ x 1 − μ 1 x 2 − μ 2 ] = e − 1 2 δ 1 2 δ 2 2 ⋅ [ δ 2 2 ⋅ ( x 1 − μ 1 ) δ 1 2 ⋅ ( x 2 − μ 2 ) ] ⋅ [ x 1 − μ 1 x 2 − μ 2 ] = e − 1 2 δ 1 2 δ 2 2 ⋅ [ δ 2 2 ⋅ ( x 1 − μ 1 ) 2 + δ 1 2 ⋅ ( x 2 − μ 2 ) 2 ] e^{-\frac{({\vec{X}-\vec{\mu})}^T\cdot{\Sigma^{-1}}\cdot{({\vec{X}-\vec{\mu})}}}{2}}=e^{-\frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} x_1-\mu_1& x_2-\mu_2\end{matrix} \right]\cdot\frac{1}{\delta_1^2\delta_2^2}\cdot\left[ \begin{matrix} \delta_{2} ^2& 0\\ 0& \delta_{1}^2 \end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} x_1-\mu_1\\ x_2-\mu_2\end{matrix} \right]}\\ \qquad \qquad\\\qquad\qquad\qquad\quad=e^{-\frac{1}{2\delta_1^2\delta_2^2}\cdot \left[ \begin{matrix} x_1-\mu_1& x_2-\mu_2\end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} \delta_{2} ^2& 0\\ 0& \delta_{1}^2 \end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} x_1-\mu_1\\ x_2-\mu_2\end{matrix} \right]}\\ \qquad \qquad\\\qquad\qquad\qquad\quad=e^{-\frac{1}{2\delta_1^2\delta_2^2}\cdot \left[ \begin{matrix} \delta_2^2\cdot(x_1-\mu_1)& \delta_1^2\cdot(x_2-\mu_2)\end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} x_1-\mu_1\\ x_2-\mu_2\end{matrix} \right]}\\ \quad \\= e^{-\frac{1}{2\delta_1^2\delta_2^2}\cdot[ \delta_2^2\cdot(x_1-\mu_1)^2+\delta_1^2\cdot(x_2-\mu_2)^2]} e2(X μ )TΣ1(X μ )=e21[x1μ1x2μ2]δ12δ221[δ2200δ12][x1μ1x2μ2]=e2δ12δ221[x1μ1x2μ2][δ2200δ12][x1μ1x2μ2]=e2δ12δ221[δ22(x1μ1)δ12(x2μ2)][x1μ1x2μ2]=e2δ12δ221[δ22(x1μ1)2+δ12(x2μ2)2]
    \qquad 好了通过上边公式的推导,我们可以看到通过多维情况下我们可以完整的得出二维情况下的高斯分布表达式。

    4.心声

    \qquad 原理虽简单,但还是在纸上详细推导一遍比较好,不要眼高手低~~
    加油呀,各位~。

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二维高斯分布表达式