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  • matlab求协方差矩阵>> A=[0,0,0;2,0,2;]A =0 0 02 0 2>> v = diag(cov(A))'v =2 0 2help里面的cov 函数,你自己看一下吧!MATLAB怎么计算协方差>> x=rand(1,5);>> y=2*rand(1,5);>> ...

    matlab求协方差矩阵

    >> A=[0,0,0;2,0,2;]

    A =

    0 0 0

    2 0 2

    >> v = diag(cov(A))'

    v =

    2 0 2

    help里面的cov 函数,你自己看一下吧!

    MATLAB 怎么计算协方差

    >> x=rand(1,5);

    >> y=2*rand(1,5);

    >> cov(x,y) %计算协方差

    ans =

    0.1079 -0.0225

    -0.0225 0.6148

    协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来,质量因子是可以人为控制的。 回归分析是从数量因子的角度出发,通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。但大多数情况下,数量因子是不可以人为加以控制的。

    为什么考虑风险时,与市场组合的协方差更重要?

    组合的方差是有协方差矩阵的和决定的

    假如有N个资产构成一个组合

    那么协方差有N的平方减N个

    而方差只有N个

    所以前者重要

    这个告诉我们 股票的收益率看的是它对投资组合的风险贡献率 而不是自己的波动

    - -说得比较抽象

    Excel、Matlab的算出的协方差矩阵为什么不同

    大概是因为两种用的公式不一样。 因为你不可能根据样本得到协方差矩阵, 而只能根据样本做一个估计, 既然是估计那么当然有多种公式都是可行的, 而不能说哪一种就一定错

    【本文标题和网址】股票的协方差矩阵-matlab求协方差矩阵:http://www.jjta.cn/pzzx/160113.html

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    展开全文
  • 介绍了Matlab 中如何使用 mean 、var 、std、cov 函数

    今天想用 Matlab 来算一个矩阵数据的均值和方差给我整迷了,好气!!所以做点笔记,以免下次在跳进坑里。

    主博客:https://blog.csdn.net/Gou_Hailong/article/details/106092705


    1.预备知识

    关于算方差等,matlab提供了好几个函数:mean、var、std、cov,首先我们先看看这几个函数咋用的。
    以下用到的矩阵都为:

    X = [1 2 3; 3 3 6; 4 6 8; 4 7 7; 8 5 9]
    =============================
    X =
    
         1     2     3
         3     3     6
         4     6     8
         4     7     7
         8     5     9
    

    1.mean

    /*这个函数还好理解,算平均值
    如果参数是向量就直接是平均值
    如果参数是矩阵,就会有俩种模式
      1 返回一个行向量,计算各列的平均值(默认)
      2 返回一个列向量,计算各行的平均值*/
    >> mean(X(:,1))
    
    ans =
    
         4
    
    >> mean(X(1,:))
    
    ans =
    
         2
    
    >> mean(X)
    
    ans =
    
        4.0000    4.6000    6.6000
    
    >> mean(X,2)
    
    ans =
    
        2.0000
        4.0000
        6.0000
        6.0000
        7.3333
    

    如果一个矩阵中有nan的话,如何来求这个矩阵的均值呢?

    AAt = reshape(AA, size(AA,1)*size(AA,2),1);
    mean(AAt,'omitnan');
    

    2.var

    这个是用来算方差的,但是分母为(n-1),好像是为了搞成无偏估计,概率论的知识,忘了(😓)
    在这里插入图片描述

    var(X,W,DIM)
    /*这个函数求方差,公式参上,默认:var(X,0,1)
    参数X为向量时:w=0:n-1  w=1:n
    参数X为矩阵时:w=0:n-1  w=1:n
    			   dim=1 返回一个行向量,计算各列的方差(默认)
                   dim=2 返回一个列向量,计算各行的方差
    */
    >> var(X(1,:))
    
    ans =
    
         1
    
    >> var(X(:,1))
    
    ans =
    
        6.5000
    
    >> var(X,1,1)
    
    ans =
    
        5.2000    3.4400    4.2400
    
    >> var(X,1,2)
    
    ans =
    
        0.6667
        2.0000
        2.6667
        2.0000
        2.8889
    
    >> var(X,0,1)
    
    ans =
    
        6.5000    4.3000    5.3000
    
    >> var(X,0,2)
    
    ans =
    
        1.0000
        3.0000
        4.0000
        3.0000
        4.3333
    

    3.std

    这个函数用来求标准差,就是var开方,调用形式和var类似都是var(X,W,DIM) 这里就不在赘述。

    4.cov

    我们先来回顾一下协方差矩阵是咋算的:
    设X为一个向量,其均值表示为E(X),那么它的方差为:D(X)=E((E(X)-Xi)^2)

    这时,又有另一个向量Y(与X长度相同) ,其均值表示为E(Y)
    那么它俩的协方差为:cov(X,Y)=E((E(X)-Xi)*(E(Y)-Yi)) = E(XY)-E(X)*E(Y)

    协方差与方差有如下关系:
    D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
    D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

    ok,接下来我们一起用matlab 来算算。

    cov(X,Y,w)
    /*用来计算向量X和Y 的协方差矩阵
    没有Y时,用来算X的方差。
    w=0:n-1  w=1:n  0 默认
    当X是矩阵时:
    算的是将每一列当做一个X(或Y),
    X若为mxn 的矩阵,得到的是nxn的协方差矩阵*/
    >> cov(X,1)
    
    ans =
    
        5.2000    2.2000    4.2000
        2.2000    3.4400    2.8400
        4.2000    2.8400    4.2400
    
    >> cov(X,0)
    
    ans =
    
        6.5000    2.7500    5.2500
        2.7500    4.3000    3.5500
        5.2500    3.5500    5.3000
        
    >> cov(X(:,1),X(:,2))
    
    ans =
    
        6.5000    2.7500
        2.7500    4.3000
    

    ok,至此已经介绍完了,下面的内容是我自己的思想斗争,大家可以忽略,忽略…

    5.一个奇怪的东西

    我现在突然意识到是我的指导思想错了,我写这篇博客的目的是为了得到一组遥感影像数据(某一类)的协方差矩阵,可现在发现一个cov 完全可以解决,之前想的是:
    在这里插入图片描述
    其中n是n个波段,k是k个像素点,也就是说,每个像素点有n个灰度;也即有一组数据,有n个维度,这组数据共有k个。之后想求其协方差矩阵。
    均值肯定是这k个样本点的均值,为一个n维的向量

    从一维向量(行向量1xk)求方差 合理外延就会想到上述公式,但是这个并不是我所需要的,这个是一个kxk的矩阵,我想要的是一个nxn的矩阵,这两个东西到底是何含义,想到爆也想不出来(看来需要时间的积淀了!)

    还是看个实例比较容易理解一点。
    下面的实例是用来解决上面那个公式引申出来的。

    2.实例

    1.我们先建个矩阵

    X = [1 2 3; 3 3 6; 4 6 8; 4 7 7; 8 5 9]
    =============================
    X =
    
         1     2     3
         3     3     6
         4     6     8
         4     7     7
         8     5     9
    

    如上,这是一个5行乘3列的矩阵,我们假设这个矩阵每一列代表遥感影像一个位置处的5个波段的灰度值,也就是说,有个遥感影像,他有三个点,5波段。我们想算他的均值和协方差矩阵,期望得到的均值是一个5行1列的列向量,希望得到的协方差矩阵是一个3行3列实际上是5x5)的矩阵。

    我们还想得到一种协方差矩阵,它是5行5列的矩阵。
    在这里插入图片描述

    2.为了验证,matlab 计算的正确性,我们先手动算一遍:
    均值向量为:

    mean=
    	2.0000
        4.0000
        6.0000
        6.0000
        7.3333
    

    协方差矩阵1为:

    cov=
    	 10.4444     -2.5556     -7.8889
         -2.5556      7.4444     -4.8889
         -7.8889     -4.8889     12.7778
    

    协方差矩阵2为:

    cov=
    	 10.4444     -2.5556     -7.8889
         -2.5556      7.4444     -4.8889
         -7.8889     -4.8889     12.7778
    

    3.我们来看看用 matlab 自带的函数mean、cov算出来的都是啥:

    >> mean(X,1)
    
    ans =
    
        4.0000    4.6000    6.6000
    
    >> mean(X,2)%很遗憾,只有这一个达到了我们的期望
    
    ans =
    
        2.0000
        4.0000
        6.0000
        6.0000
        7.3333
    
    >> cov(X)
    
    ans =
    
        6.5000    2.7500    5.2500
        2.7500    4.3000    3.5500
        5.2500    3.5500    5.3000
    

    那我们将X转置一下在计算会不会好点呢?

    >> X=X'
    
    X =
    
         1     3     4     4     8
         2     3     6     7     5
         3     6     8     7     9
    
    >> mean(X,1)
    
    ans =
    
        2.0000    4.0000    6.0000    6.0000    7.3333
    
    >> mean(X,2)
    
    ans =
    
        4.0000
        4.6000
        6.6000
    
    >> cov(X)
    
    ans =
    
        1.0000    1.5000    2.0000    1.5000    0.5000
        1.5000    3.0000    3.0000    1.5000    2.5000
        2.0000    3.0000    4.0000    3.0000    1.0000
        1.5000    1.5000    3.0000    3.0000   -1.0000
        0.5000    2.5000    1.0000   -1.0000    4.3333
    

    结果还是不符合我们的期望。这是为什么呢?原来这个Matlab计算协方差矩阵的时候,是用每一列作为一个元素(这与我们的期望相符)对角线的方差是计算这一列中的方差(就是其他的元素不考虑,算出这一列中的几个数的均值,之后在算这几个数的方差),非对角线咋算呢?非对角线列是相应列的协方差。
    实在想不清楚,可以看看这篇文章:

    https://blog.csdn.net/clam_clam/article/details/7335588

    3.解决方案

    OK,到目前为止,我们已经知道指望不上Matlab 自带的函数了(均值可以求,方差不行),那么我们就自食其力,自己写了个函数,用来计算上面想得到的方差。

    %mycov.m  by@GHL
    %此函数用来计算方差,
    %m是一个n行,k列的矩阵
    %每一个元素是m中的列向量,有n维
    %m中共有k个元素
    %最后得到的协方差矩阵是一个k行k列的矩阵
    function sigma = mycov(m)%计算
    X=mean(m,2);%均值
    n=size(m,1);%n维
    k=size(m,2);%k个元素
    sigma=zeros(k);
    for i = 1:k
        for j = 1:k
            sigma(i,j)=(m(:,i)-X)'*(m(:,j)-X);
        end
    end
    return;
    end
    

    验证:

    >> X=X'
    
    X =
    
         1     2     3
         3     3     6
         4     6     8
         4     7     7
         8     5     9
    
    >> mycov(X)
    
    ans =
    
       10.4444   -2.5556   -7.8889
       -2.5556    7.4444   -4.8889
       -7.8889   -4.8889   12.7778
    

    参考/引用 文章

    [1] clam_clam-CSDN博主:https://blog.csdn.net/clam_clam/article/details/7335588
    

    2020/6/16
    【小感慨】
    这么一个小玩意花了我一下午来捋清,好气!!差点爆粗口,真是用matlab 的基础还很不好,不管怎么说,这次终于搞清楚了(只差哪两个协方差矩阵没搞明白),希望下次不会在迷了😞😞😞


    展开全文
  • Covariance 翻译为协方差,因此,MATLAB里面的函数cov也就是求协方差了。至于MATLAB语言里面的协方差函数cov的语法是什么样的以及怎么用的,我们稍后再说,这里首先介绍下协方差相关的基础知识点。 本文内容参考自...

    Covariance 翻译为协方差,因此,MATLAB里面的函数cov也就是求协方差了。至于MATLAB语言里面的协方差函数cov的语法是什么样的以及怎么用的,我们稍后再说,这里首先介绍下协方差相关的基础知识点。

    本文内容参考自MATLAB的帮助手册,有的时候不得不说,数据手册才是最好的教材,不仅对于MATLAB,这里提供的都是原滋原味的官方内容。例如我经常去了解一些MATLAB中的相关函数,命令等,都可以通过MATLAB的数据手册;如果我想了解一些IP核以及与之相关的知识,我可以查看Xilinx的官方数据手册,内容应有尽有,相比而言,如果我去借一些书籍去查看FPGA的IP核,不仅版本陈旧,而已也有可能翻译的有问题,让人一知半解。

    废话就说到这里,下面正式开始介绍。



    目录

    基础知识

    协方差(Covariance):

    协方差矩阵( covariance matrix):

    矩阵的协方差:

    方差:(这是赠送的)

    MATLAB中的 cov

    语法格式:

    C = cov(A)

    C = cov(A,B) 

    C = cov(___,w)

    C = cov(___,nanflag)

    示例

    C = cov(A) 举例(矩阵的协方差)

    cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差

    cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差

    Specify Normalization Weight

    Covariance Excluding NaN




    基础知识

    协方差(Covariance):

    对于两个随机变量向量A和B,那二者之间的协方差定义为:

    其中\mu _{A}表示向量A的均值,\mu_{B}表示向量B的均值。

    协方差矩阵( covariance matrix):

    两个随机变量的协方差矩阵是每个变量之间成对协方差计算的矩阵,

    矩阵的协方差:

    对于矩阵A,其列各自是由观察组成的随机变量,协方差矩阵是每个列组合之间的成对协方差计算。 换一种说法

    方差:(这是赠送的)

    对于由N个标量观测组成的随机变量向量A,方差定义为

    其中u是A的均值:

    一些方差定义使用归一化因子N而不是N-1,可以通过将w设置为1来指定。在任何一种情况下,假设均值具有通常的归一化因子N.

    (注意:w是后面要说的MATLAB里面的协方差函数的一个参数而已,在具体的MATLAB函数里面可以通过设置w来指定归一化因子!)



    MATLAB中的 cov

    语法格式:

    下面逐个讲解:

    C = cov(A)

    C = cov(A) returns the covariance.

    C = cov(A)返回协方差。

    • If A is a vector of observations, C is the scalar-valued variance.

    • 如果A是一个观测向量,那么C是一个标量值的方差。

    • If A is a matrix whose columns represent random variables and whose rows represent observations, C is the covariance matrix with the corresponding column variances along the diagonal.

    • 如果A是矩阵,其列表示随机变量,其行表示观测值,则C是协方差矩阵,沿对角线具有相应的列方差。(协方差矩阵的协方差是列的协方差值)

    • C is normalized by the number of observations-1. If there is only one observation, it is normalized by 1.

    • C由观察数-1归一化。 如果只有一个观察值,则将其标准化为1。

    • If A is a scalar, cov(A) returns 0. If A is an empty array, cov(A)returns NaN.

    • 如果A是标量,则cov(A)返回0.如果A是空数组,则cov(A)返回NaN。

    (你看看人家考虑的多周全!)


    C = cov(A,B) 

    C = cov(A,B) returns the covariance between two random variables A and B.

    C = cov(A,B) 返回两个随机变量A和B之间协方差。

    • If A and B are vectors of observations with equal length, cov(A,B) is the 2-by-2 covariance matrix.

    • 如果A和B是同等长度的观测向量,那么C是一个2*2的协方差矩阵。

    • If A and B are matrices of observations, cov(A,B) treats A and B as vectors and is equivalent to cov(A(:),B(:))A and B must have equal size.

    • 如果A和B是观察矩阵,则cov(A,B)将A和B视为向量,并且等同于cov(A(:),B(:))。 A和B必须具有相同的大小。

    • If A and B are scalars, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of zeros. If A and B are empty arrays, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of NaN.

    • 如果A和B是标量,则cov(A,B)返回2乘2的零块。 如果A和B是空数组,则cov(A,B)返回2乘2的NaN块。


    C = cov(___,w)

    C = cov(___,w) specifies the normalization weight for any of the previous syntaxes. When w = 0 (default), C is normalized by the number of observations-1. When w = 1, it is normalized by the number of observations.

    C = cov(___,w)指定任何先前语法的归一化权重。 当w = 0(默认值)时,C由观测数-1归一化。 当w = 1时,它通过观察次数归一化。


    C = cov(___,nanflag)

    C = cov(___,nanflag) specifies a condition for omitting NaN values from the calculation for any of the previous syntaxes. For example, cov(A,'omitrows') will omit any rows of A with one or more NaN elements.

    C = cov(___,nanflag)指定从任何先前语法的计算中省略NaN值的条件。 例如,cov(A,'omitrows')将省略具有一个或多个NaN元素的A的任何行。


    示例

    下面举例说明重要的语法格式:

    C = cov(A) 举例(矩阵的协方差)

    Create a 3-by-4 matrix and compute its covariance

    A = [5 0 3 7; 1 -5 7 3; 4 9 8 10];
    C = cov(A)
    C = 4×4
    
        4.3333    8.8333   -3.0000    5.6667
        8.8333   50.3333    6.5000   24.1667
       -3.0000    6.5000    7.0000    1.0000
        5.6667   24.1667    1.0000   12.3333
    
    

    Since the number of columns of A is 4, the result is a 4-by-4 matrix.

    由于矩阵A有4列,表示有4个随机变量,那么协方差矩阵是4*4的。


    cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差

    1. Create two vectors and compute their 2-by-2 covariance matrix.

    A = [3 6 4];
    B = [7 12 -9];
    cov(A,B)
    ans = 2×2
    
        2.3333    6.8333
        6.8333  120.3333

    cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差

    2. Create two matrices of the same size and compute their 2-by-2 covariance.

    A = [2 0 -9; 3 4 1];
    B = [5 2 6; -4 4 9];
    cov(A,B)
    ans = 2×2
    
       22.1667   -6.9333
       -6.9333   19.4667

    这相当于求A(:)和B(:)的协方差,如下验证下:

    对比下cov(A,B)发现是一致的:

    Specify Normalization Weight

    创建一个矩阵并计算由行数归一化的协方差。

    A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6];
    C = cov(A,1)
    C = 3×3
    
       11.5556    5.1111  -10.2222
        5.1111    6.8889    5.2222
      -10.2222    5.2222   29.5556

    我觉得还是有必要比较下不归一化的情况:

    >> A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6]

    A =

         1     3    -7
         3     9     2
        -5     4     6

    >> C = cov(A,1)

    C =

       11.5556    5.1111  -10.2222
        5.1111    6.8889    5.2222
      -10.2222    5.2222   29.5556

    >> C = cov(A)

    C =

       17.3333    7.6667  -15.3333
        7.6667   10.3333    7.8333
      -15.3333    7.8333   44.3333

    Covariance Excluding NaN

    创建矩阵并计算其协方差,排除包含NaN值的任何行。

    A = [1.77 -0.005 3.98; NaN -2.95 NaN; 2.54 0.19 1.01]
    A = 3×3
    
        1.7700   -0.0050    3.9800
           NaN   -2.9500       NaN
        2.5400    0.1900    1.0100
    
    
    C = cov(A,'omitrows')
    C = 3×3
    
        0.2964    0.0751   -1.1435
        0.0751    0.0190   -0.2896
       -1.1435   -0.2896    4.4104
    

     

     

     

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    MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数

    syms r l f 
    x=r*cos(l)*cos(f); 
    y=r*cos(l)*sin(f); 
    z=r*sin(l); 
    J=jacobian([x;y;z],[r l f]) 
    

    结果:

    J = 
    [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)] 
    [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)] 
    [ sin(l), r*cos(l), 0 ] 
    

    (扩展卡尔曼滤波算法)

    1 向量的方差与协方差矩阵

    cov(x)
    求向量x的方差。
    cov(x)为一个数值,数值大小计算公式为S(x)。

    cov(x,y)
    求向量x与y的协方差矩阵。
    cov(x,y)为2*2矩阵,
    [S(x) C(x,y);
    C(y,x) S(y);]

    2 矩阵协方差矩阵

    cov(X)
    求矩阵X的协方差矩阵。
    diag(cov(X))得到每一个列向量的方差。
    sqrt(diag(cov(X)))得到每一个列的标准差。

    若X大小为MN,则cov(X) 大小为NN的矩阵。
    cov(X) 的第(i,j)个元素等于X的第i列向量与第j列向量的方差,即C(Xi,Xj)。

    cov(X,Y)
    求矩阵X与Y的协方差矩阵。
    若X大小为MN,Y为KP,则X,Y的大小必须满足MN=KP,即X,Y的元素个数相同。

    此时,cov(X,Y) 等于cov([X(😃 Y(😃])和cov(X(😃,Y(😃),即计算两个向量的协方差矩阵,得到的结果为2*2矩阵。
    [S(X(😃) C(X(😃,Y(😃);
    C(Y(😃,X(😃) S(Y(😃);]

    可知,S(X) =C(X,X).

    3 关于归一化的问题

    在上述的S(X),C(X,Y)计算中,采用的归一化参数是1/(N-1) ,其中N是向量中元素的个数。而下面的调用形式采用的归一化参数是1/N。

    对应的公式如下图所示。
    cov(x,1)
    求向量x的方差。计算方法如cov(x),但归一化参数为1/N。

    cov(x,y,1)
    求向量x与y的协方差矩阵。计算方法如cov(x,y),但归一化参数为1/N。

    为区别对待

    cov(x)又记作cov(x,0)
    cov(x,y)又记作cov(x,y,0)
    cov(X) 又记作cov(X,0)
    cov(X,Y) 又记作cov(x,y,0)
    对于归一化参数为1/(N-1)的情况,当N=1时,自动将参数调整为1/N

    协方差矩阵

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    Hessian矩阵

    在这里插入图片描述

    正定矩阵

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

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