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  • 求变换矩阵
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    2021-09-14 07:19:50


    SVD是点云配准中最常用计算方法之一,看到网上有很多写实现过程的代码,但是,,,,,。自己去搜一下,再结合算法原理理解一下就知道代码是否正确或完整了!!!!

    一、算法原理

    1、计算流程

    见:PCL SVD分解求变换矩阵

    2、详细过程

    见:

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  • //仿射变换,根据点求变换矩阵以及根据角度和缩放因子求变换矩阵 Mat mapx; Mat mapy; Mat src; Mat dst; int main() { //1.原图像。 src = imread("马车2.jpg"); resize(src, src, Size(), 0.1, 0.1); imshow...
    
    
    
    //仿射变换,根据点求变换矩阵以及根据角度和缩放因子求变换矩阵
    
    Mat mapx;
    Mat mapy;
    Mat src;
    Mat dst;
    int main()
    {
    	//1.原图像。
    	src = imread("马车2.jpg");
    	resize(src, src, Size(), 0.1, 0.1);
    	imshow("效果图",src);
    	
    	//2.确定两组点,每组点3个。
    	Point2f src_triangle[3];
    	src_triangle[0] = Point2f(0.,0.);
    	src_triangle[1] = Point2f(0.,static_cast<float>(src.rows-1));
    	src_triangle[2] = Point2f(static_cast<float>(src.cols-1),0.);
    	Point2f dst_triangle[3];
    	dst_triangle[0] = Point2f(0.12*src.cols,0.43*src.rows);
    	dst_triangle[1] = Point2f(0.33*src.cols,0.78*src.rows);
    	dst_triangle[2] = Point2f(0.65*src.cols,0.23*src.rows);
    	//3.从两组点来计算变换矩阵。//getAffine放射矩阵。
    	Mat fist_trans;
    	fist_trans.create(2,3,CV_32FC1);
    	fist_trans=getAffineTransform(src_triangle,dst_triangle);
    	//3.1计算转换后的图像
    	dst.create(src.rows,src.cols,src.type());
    	warpAffine(src,dst,fist_trans,src.size());
    	imshow(window,dst);
    	//4.再将变换后图像再次变换一个角度,和一个缩放。
    	float theta = 30.0;
    	float scale = 0.78;
    	
    	//5.根据这个角度和缩放计算第二次变换的变换矩阵。getRotiation//仿射矩阵。
    	Mat second_mtrax;
    	second_mtrax.create(2,3,CV_32FC1);
    	second_mtrax=getRotationMatrix2D(Point2f(dst.cols/2.0,dst.rows/2.0),theta,scale);
    
    	//6.应用变换矩阵进行变换。warpaffine//仿射变换。
    	Mat dst2;
    	warpAffine(dst,dst2,second_mtrax,dst.size());
    	imshow("再次变换",dst2);
    	
    
    
    	
    
    
    	waitKey(0);
    	return 0;
    
    }
    
    
    

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  • MATLAB 函数查找以方程形式给出的线性变换矩阵表示。 详细阅读评论部分。
  • 基于OpenCV的二维矩阵刚性变换(旋转,平移),已知两点集,求解R&T变换矩阵,其中自定义接口,已经赋初值,可以更改调用
  • 变换矩阵

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    1、变换矩阵 变换矩阵可以分解为缩放,旋转,平移矩阵的乘积: M = T * R * S - 右手坐标系 当均匀缩放时,旋转和缩放可以交换顺序 缩放和平移不可以交换顺序 2、子坐标系与父坐标系 由在父坐标系中的坐标位置...

    1、变换矩阵

    变换矩阵可以分解为缩放,旋转,平移矩阵的乘积:

    M = T * R * S - 右手坐标系

    当均匀缩放时,旋转和缩放可以交换顺序

    缩放和平移不可以交换顺序

    2、子坐标系与父坐标系

    由在父坐标系中的坐标位置P,和三根轴X,Y,Z可定义一个子标系,按列构成一个变换矩阵[X,Y,Z,P],这个矩阵构成由子标系变换到父坐标系的变换矩阵。DX里面需要转置一下。即按行构造。

    一个例子是视图矩阵的构建,子空间由视点和三根正交轴定义,视图矩阵则是由它们构成的列矩阵的仿射求逆-由世界变换到视图空间。

    另一个例子世界变换矩阵,它由新模型坐标系的位置和三根轴【定义在世界空间】按列构成。即由模型空间变换到世界空间。初始情况模型空间与世界空间是对齐的。

    3、投影矩阵-OpenGL

    透视投影矩阵:

    可以知道投影变换后的w=-Ze,即在视图空间的深度

    在投影面上的坐标Xp, Yp为:Xp=n*Xe/-Ze=Xclip/w*r,Yp=n*Ye/-Ze=Yclip/w*t

    投影后Ze从[-n,-f]线性映射到[-n,f],除以w后进一步非线性映射到[-1,1]

    透视投影除以w后,视景体的八个角点【视图空间坐标】分别映射到NDC空间中的八个角点,如[r,t,-n,1]映射到[1,1,-1,1],[f*r/n,f*t/n,-f,1]映射到[1,1,1,1]

    正交投影矩阵:

    变换后w=1,Xe,Ye,Ze被线性映射到-1~1,而透视投影是非线性映射,因而有Z-Fighting问题。

    4.应用例子:从深度图重建位置

    延迟渲染,SSR等特效都要求由深度信息重建位置信息,如果深度是归一化过的【0~1非线性】,可以将由纹理坐标uv[画一个全屏Quad],深度z,计算出在NDC中的坐标,然后由投影矩阵逆变换,得到视图空间中的位置,这种情况会有精度损失,因为z是非线性的。解决办法是直接使用视图空间的深度,由uv可以得到NDC中的坐标[a,b,1,1],逆变换到视图空间,得到ray=[a',b',f,1],结合深度d,可以计算出坐标为d/f*ray。

    展开全文
  • 若当标准型的变换矩阵

    千次阅读 多人点赞 2020-11-19 14:52:29
    但在这里掐指一算就知道了,因为只有 2 是二重根 下面要求变换矩阵 P P P 使得: A = P J P − 1 ⇔ A P = P J ⇔ A [ p 1 p 2 p 3 ] = [ p 1 p 2 p 3 ] [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] ⇔ { A p 1 = 2 p 1 + p 2 A p 2 = 2 ...

    已知
    A = [ 2 0 0 1 4 0 1 0 2 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} A=211040002
    特征多项式为:
    ∣ λ I − A ∣ = ∣ λ − 2 0 0 − 1 λ − 4 0 − 1 0 λ − 2 ∣ = ( λ − 2 ) 2 ( λ − 4 ) = 0 |\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda -2 & 0 &0 \\ -1 & \lambda -4 & 0\\ -1 & 0 & \lambda -2 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2(\lambda -4)=0 λIA=λ2110λ4000λ2=(λ2)2(λ4)=0
    求出特征值: λ = 2 (二重) , 4 \lambda = 2\text{(二重)}, 4 λ=2(二重),4.

    但是显然 A A A 不会相似于对角矩阵:
    [ 2 0 0 0 4 0 0 0 2 ] \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} 200040002
    因而只能是相似于若当标准型:
    J = [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] J = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} J=210020004
    注意:若当标准型的标准求法需要用到 λ \lambda λ-多项式(或 λ \lambda λ-矩阵),参见高等代数教材。但在这里掐指一算就知道了,因为只有 2 是二重根

    下面要求变换矩阵 P P P 使得:
    A = P J P − 1 ⇔ A P = P J ⇔ A [ p 1 p 2 p 3 ] = [ p 1 p 2 p 3 ] [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] ⇔ { A p 1 = 2 p 1 + p 2 A p 2 = 2 p 2 A p 3 = 4 p 3 ⇔ { ( A − 2 I ) p 1 = p 2 ⇒ ( A − 2 I ) 2 p 1 = 0 ( A − 2 I ) p 2 = 0 ( A − 4 I ) p 3 = 0 \begin{aligned} &A = PJP^{-1} \\ \Leftrightarrow& AP = PJ \\ \Leftrightarrow& A \begin{bmatrix}p_1 & p_2 & p_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p_1 & p_2 & p_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases} A p_1 = 2p_1 + p_2 \\ A p_2 = 2p_2 \\ A p_3 = 4p_3 \end{cases} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases} (A - 2I) p_1 = p_2 \Rightarrow (A - 2I)^2 p_1 = 0\\ (A-2I) p_2 = 0 \\ (A-4I) p_3 = 0 \end{cases} \end{aligned} A=PJP1AP=PJA[p1p2p3]=[p1p2p3]210020004Ap1=2p1+p2Ap2=2p2Ap3=4p3(A2I)p1=p2(A2I)2p1=0(A2I)p2=0(A4I)p3=0
    p 3 p_3 p3 A − 4 I A-4I A4I 的核空间,很好求:
    ( A − 4 I ) p 3 = [ − 2 0 0 1 0 0 1 0 − 2 ] p 3 = 0 ⇒ p 3 = [ 0 1 0 ] (A-4I)p_3 = \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} p_3 = 0 \Rightarrow p_3= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (A4I)p3=211000002p3=0p3=010
    p 2 p_2 p2 A − 2 I A-2I A2I 的核空间; p 1 p_1 p1 ( A − 2 I ) 2 (A-2I)^2 (A2I)2 的核空间,但是不在 A − 2 I A-2I A2I 的核空间

    这该怎么求呢?

    先求 p 1 p_1 p1:
    ( A − 2 I ) 2 p 1 = [ 0 0 0 1 2 0 1 0 0 ] 2 p 1 = [ 0 0 0 2 4 0 0 0 0 ] p 1 = 0 (A-2I)^2p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 &2 & 0\\ 1 & 0 &0 \end{bmatrix}^2 p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 2 &4 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix} p_1 =0 (A2I)2p1=0110200002p1=020040000p1=0 ⇒ p 1 = [ 0 0 1 ] 或者 [ − 2 1 0 ] \Rightarrow p_1= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text{或者} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} p1=001或者210
    由于前者 [ 0 0 1 ] \displaystyle \begin{bmatrix}0 \\0 \\1 \end{bmatrix} 001 A − 2 I A-2I A2I 的核空间,故舍弃,所以 p 1 = [ − 2 1 0 ] \displaystyle p_1 = \begin{bmatrix} -2 \\1 \\0 \end{bmatrix} p1=210
    所以
    p 2 = ( A − 2 I ) p 1 = [ 0 0 0 1 2 0 1 0 0 ] [ − 2 1 0 ] = [ 0 0 − 2 ] p_2 = (A-2I)p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 &2 & 0 \\ 1 & 0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\1 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\-2 \end{bmatrix} p2=(A2I)p1=011020000210=002
    至此, P P P 矩阵求出

    可以验证:
    A P = [ 2 0 0 1 4 0 1 0 2 ] [ − 2 0 0 1 0 1 0 − 2 0 ] = [ − 4 0 0 2 0 4 − 2 − 4 0 ] AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 &0 \\ 2 & 0 & 4\\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} AP=211040002210002010=422004040
    P J = [ − 2 0 0 1 0 1 0 − 2 0 ] [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] = [ − 4 0 0 2 0 4 − 2 − 4 0 ] = A P PJ = \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0& 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 &0 \\ 2 & 0 & 4\\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} = AP PJ=210002010210020004=422004040=AP
    A = P J P − 1 A = PJP^{-1} A=PJP1

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