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  • MATLAB 】conv 函数介绍(卷积和多项式乘法
    2021-04-24 21:14:56

    conv

    Convolution and polynomial multiplication

    Syntax

    w = conv(u,v)

    w = conv(u,v,shape)

    Description

    w = conv(u,v)返回向量u和v的卷积。如果u和v是多项式系数的向量,则对它们进行卷积相当于将两个多项式相乘。

    w = conv(u,v,shape) returns a subsection of the convolution, as specified by shape. For example, conv(u,v,'same') returns only the central part of the convolution, the same size as u, and conv(u,v,'valid') returns only the part of the convolution computed without the zero-padded edges.

    w = conv(u,v,shape)返回卷积的子部分,由形状指定。

    例如,conv(u,v,'same')仅返回卷积的中心部分,与u的大小相同,而conv(u,v,'valid')仅返回计算后的卷积部分而没有零填充边。

    Polynomial Multiplication via Convolution

    Create vectors u and v containing the coefficients of the polynomials x^2 + 1 and 2x + 7.

    u = [1 0 1];

    v = [2 7];

    Use convolution to multiply the polynomials.

    w = conv(u,v)

    w = 1×4

    2 7 2 7

    w contains the polynomial coefficients for  2x^3 + 7x^2 + 2x + 7.

    Vector Convolution

    Create two vectors and convolve them.

    u = [1 1 1];

    v = [1 1 0 0 0 1 1];

    w = conv(u,v)

    w = 1×9

    1 2 2 1 0 1 2 2 1

    The length of w is length(u)+length(v)-1, which in this example is 9.

    Central Part of Convolution

    Create two vectors. Find the central part of the convolution of u and v that is the same size as u.

    u = [-1 2 3 -2 0 1 2];

    v = [2 4 -1 1];

    w = conv(u,v,'same')

    w = 1×7

    15 5 -9 7 6 7 -1

    w has a length of 7. The full convolution would be of length length(u)+length(v)-1, which in this example would be 10.

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    1、MATLAB里多项式的表示:

    一个p阶的多项式可以用一个含有p+1个元素的向量表示,例如:2*x^2+1可以表示为[2 0 1]。这里的第一个元素为最高阶元素;

    2、多项式的乘法:

    乘法用conv函数,例如:conv(p1,p2), p1、p2为两个多项式的系数向量,计算结果为p1*p2的新的向量的值。


    3、多项式除法:

       [Q,r]=deconv(p1,p2),多项式除法,Q返回p1/p2的商式,r返回p1/p2的余式。


    注:p1与p2分别为x+1,x。

    4、多项式求导函数

    polyder(p);对多项式p求导;

    polyder(p,q);对多项式p*q求导数;

    [P,Q]=polyder(p,q);对多项式p/q求导数,求得导数的分子放入P中,分母放到Q中;

    5、多项式的求值

    polyval(p,x):代数多项式求值。

     (1)如果x为一个标量,代表求p多项式在x点的值。

      (2)如果x为一个向量或者矩阵,则对矩阵或者向量里面的每一个值求多项式的值。

    polyvalm(p,x):矩阵多项式求值。

    polyvalm与polyval的用法相同,但是要求x为方阵,求得结果是矩阵乘法。

    6、多项式的求根:

    x=roots(p),求多项式p的根。

    如果已知根想重建多项式,可以用函数poly,利用方法

    p=poly(x)。



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    一、解析

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    返回其每一步的商组成的矩阵Q,以及gcd(r1,r2)

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    接收多项式r1,r2(r1>=r2),以及多项式长度nums
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    接收多项式a,b,以及多项式长度nums
    返回乘积

    Poly_Multi_Eye(a,b,nums):
    接收多项式a,仅有一个系数为1的多项式b,以及多项式长度nums
    返回乘积

    二、思路

    函数Poly_GCD(r1,r2,nums)返回其商的矩阵Q,以及最大公因式gcd
    X初始迭代值为gcd,Y初始迭代值为任意多项式
    设X初始迭代值为gcd,Y初始迭代值为0
    迭代方程如下:
    Next_X=Y
    Next_Y=X-Q_i*Y
    单击查看迭代方程证明
    最终输出X,Y迭代值

    三、演示图

    请添加图片描述

    四、代码

    1、Main

    nums=9;
    r1=[0 1 0 0 0 0 0 1 1];
    r2=[1 0 0 0 1 1 0 1 1];
    %高次在前,低次在后
    [Q,gcd]=Poly_GCD(r2,r1,nums);
    Size=size(Q);
    X=gcd;
    Y=zeros(1,nums);
    for i=1:Size(1)
        temp1=Y;
        temp2=xor(X,Poly_Multi(Q(i,:),Y,nums));
        X=temp1;
        Y=temp2;
    end
    disp(X);
    disp(Y);
    

    2、Poly_GCD

    function [Q,r2] = Poly_GCD(r1,r2,nums)
    Q=[];
    [q,r3]=Poly_Division(r1,r2,nums);
    Q=[q;Q];
    while(~(max(r3)==0))
        r1=r2;
        r2=r3;
        [q,r3]=Poly_Division(r1,r2,nums);
        Q=[q;Q];
    end
    end
    

    3、Poly_Division

    function [Q,r3] = Poly_Division(r1,r2,nums)
    Q=zeros(1,nums);
    temp1=find(r1==1);
    temp2=find(r2==1);
    temp3=temp2(1)-temp1(1);
    while(temp3>=0)
        q1=zeros(1,nums);
        q1(1,nums-temp3)=1;
        Q=Q+q1;
        Poly_Multi(r2,q1,nums);
        r3=xor(r1,Poly_Multi(r2,q1,nums));
        if(max(r3)==0)
            break;
        end
        r1=r3;
        temp1=find(r1==1);
        temp3=temp2(1)-temp1(1);
    end
    end
    

    4、Poly_Multi

    function [ret] = Poly_Multi(a,b,nums)
    temp1=find(b==1);
    Size=size(temp1);
    ret=zeros(1,nums);
    for i=1:Size(2)
        temp2=zeros(1,nums);
        temp2(1,temp1(i))=1;
        ret=xor(ret,Poly_Multi_Eye(a,temp2,nums));
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    `
    
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    计算机求解多项式需要多次乘法,为了减少乘法次数可使用嵌套乘法。

    如若多项式为:

    P(x)=c_1{+c_2{x+c_3{x^{2}+c_4{x^{3}+c_5{x^{4}}}}}}

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    P(x)=c_1+(x-r_1)(c_2+(x-r_2)(c_3+(x-r_3)(c_4+(x-r_4)(c_5))))

    matlab实现:

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    % 输入:多项式的阶d,
    %       d+1个系数构成的数组c(第一个元素为常数项),
    %       x坐标需要进行求值的x位置,  
    %       如果需要的话,还有d个基点构成的数组b
    % 输出:多项式在x点对应的值y 
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    if nargin<4
        b=zeros(d,1);
    end
    y=c(d+1);
    for i=d:-1:1
        y=y.*(x-b(i))+c(i);
    end

    可以验证此算法

    若所有基点为0,可使用如下缩减形式的命令:

    使用该命令可以得到同样的结果,这是由于在nest.m中对于输入参数的设置,如果输入的参数个数小于4,基点被自动设置为0

    由于matlab对于向量表达的无缝处理,嵌套命令可以同时估计一组x对应的多项式的值,如下:

     

     

    本文参考自数值计算(原书第2版)

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