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  • 比较判别法比较判别法推论1推论2推论例题 比较判别法 推论1 推论2 推论 例题

    比较判别法

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    推论1

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    推论2

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    推论

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    例题

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  • 对于反常积分敛散性判别,我们需要掌握两个重要结论,并能熟练地进行无穷小、无穷大比阶。1 因为: ∫1xpdp=1(p−1)xp−1=1p−1⋅e(1−p)ln⁡x\int \frac{1}{x^p} dp = \frac{1}{(p-1)x^{p-1}} = \frac{1}{p-1}\...

    对于反常积分敛散性的判别,我们需要掌握两个重要结论,并能熟练地进行无穷小、无穷大比阶。1

    注意到:

    ∫ 1 x p d x = 1 ( p − 1 ) x p − 1 = 1 p − 1 ⋅ e ( 1 − p ) ln ⁡ x \int \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x = \frac{1}{(p-1)x^{p-1}} = \frac{1}{p-1} \cdot e^{(1-p)\ln x} xp1dx=(p1)xp11=p11e(1p)lnx

    有:

    (1)无穷区间的反常积分 ∫ 1 ∞ ( 1 / x p ) d x \int_1^\infty (1/{x^p}) \mathrm{d}x 1(1/xp)dx:在 p > 1 p \gt 1 p>1 时收敛,在 p ⩽ 1 p \leqslant 1 p1 时发散。

    • ln ⁡ x 在 ( 1 , ∞ ) \ln x 在 \left(1, \infty \right) lnx(1,) 上恒正,
      • ( 1 − p ) < 0 \left( 1 - p \right) \lt 0 (1p)<0 时, lim ⁡ x → ∞ e ( 1 − p ) ln ⁡ x = 0 \lim_{x \to \infty} e^{(1-p)\ln x} = 0 limxe(1p)lnx=0, 故收敛;
      • p = 1 p = 1 p=1 时, 1 p − 1 \frac{1}{p-1} p11 不存在,故发散;
      • ( 1 − p ) > 0 \left( 1 - p \right) \gt 0 (1p)>0 时, lim ⁡ x → ∞ e ( 1 − p ) ln ⁡ x = ∞ \lim_{x \to \infty} e^{(1-p)\ln x} = \infty limxe(1p)lnx=, 故发散。

    (2)无界函数的反常积分 ∫ 0 1 ( 1 / x p ) d x \int_0^1 (1/{x^p}) \mathrm{d}x 01(1/xp)dx:在 p < 1 p \lt 1 p<1 时收敛,在 p ⩾ 1 p \geqslant 1 p1 时发散。

    • ln ⁡ x 在 ( 0 , 1 ) \ln x 在 \left(0, 1 \right) lnx(0,1) 上恒负,
      • ( 1 − p ) > 0 \left( 1 - p \right) \gt 0 (1p)>0 时, lim ⁡ x → 0 e ( 1 − p ) ln ⁡ x = e − ∞ = 0 \lim_{x \to 0} e^{(1-p)\ln x} = e^{-\infty} = 0 limx0e(1p)lnx=e=0, 故收敛;
      • p = 1 p = 1 p=1 时, 1 p − 1 \frac{1}{p-1} p11 不存在,故发散;
      • ( 1 − p ) < 0 \left( 1 - p \right) \lt 0 (1p)<0 时, lim ⁡ x → ∞ e ( 1 − p ) ln ⁡ x = e + ∞ \lim_{x \to \infty} e^{(1-p)\ln x} = e^{+\infty} limxe(1p)lnx=e+,故发散。

    LaText 公式2


    1. 《高数18讲P155》 ↩︎

    2. LaText 语法参考来自StackExchange ↩︎

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  • 迪利克雷判别法/阿贝尔判别法迪利克雷判别法阿贝尔判别法 迪利克雷判别法 阿贝尔判别法

    迪利克雷判别法/阿贝尔判别法

    迪利克雷判别法

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    阿贝尔判别法

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  • 注意本题要记住两个基本的积分公式即可; 7.50 分析: 关键是分子,分母同时乘以e^(x-3),再利用1/a*arctan(x/a)的公式来进行求解; 7.51 看到A^2-1;即想到要令A=secx^2; 答案: 7.52 分析: ...

    7.49

    分析:本题因为有绝对值,且有一个无穷间断点x=0;所以分成两个区间来做即可

    注意本题要记住两个基本的积分公式即可;

    7.50

    分析:

    关键是分子,分母同时乘以e^(x-3),再利用1/a*arctan(x/a)的公式来进行求解;

     

    7.51

    看到A^2-1;即想到要令A=secx^2;

    答案:

     7.52

    分析:

    (1)分子,分母上下同乘e^2x;

    (2)再使用分部积分法来进行计算;

    (3)最后设e^x=t,利用换元法来进行计算;

    7.53

    答案:

    分析:利用右边的分部积分来做,注意可能会算错;记得乘前面的系数;

    二:敛散性的判别

    7.54 

    答案:

     

    分析,先判别这是什么类型的反常积分;

     再对原极限进行化简

    7.55

    答案:

     

    本题应该明白这样一个事实:

    lnx影响力相对于幂函数可忽略;

    7.56

     答案:

    分情况进行讨论,以1分界线;

    k=1;k>1;k<1;

    7.57(有点不会)

     答案:

     

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    P级数敛散性
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  • 反常积分收敛和发散性质MATLAB

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    反常积分收敛和发散性质MATLAB反常积分发散或收敛性质判别的定理:例如:MATLAB计算反常积分:syms x f1 f2; f1=1/(x^2); e1=ezplot(f,[0,10]); set(e1,'Color','r','LineWidth',1); hold on; f2=1/(1+x^2); ...
  • 一、定积分的概念 2、定积分存在的充分条件 3、定积分的几何意义 二、定积分的性质 1、不等式: 2、中值定理: 取值是开区间,可以利用中值定理证明 三、积分上限的函数 四、定积分的计算 四个方法 两个公式...

空空如也

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积分判别法判断敛散性