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  • 动态规划求解步骤

    千次阅读 2014-11-30 13:48:09
    动态规划算法适合于求解最优化问题,通常可按下列步骤来设计动态规划算法: (1)分析最优解的性质,并刻画其最优子结构特征; (2)确定状态表示S(x1,x2,...)和状态递推方程,递归地定义最优值; (3)根据...

    动态规划算法适合于求解最优化问题,通常可按下列步骤来设计动态规划算法:


    (1)分析最优解的性质,并刻画其最优子结构特征;


    (2)确定状态表示S(x1,x2,...)和状态递推方程,递归地定义最优值;


    (3)根据状态转移顺序,以自底向上的方式计算出最优值;


    (4)根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。


    第(1)步是基础,也是关键。在分析最优子结构性质时,子解分解和子解对应的子问题描述是关键。有两种子解分解方法:基于划分的方法和基于减一的方法。


    在第一种方法中,问题的最优解依据问题性质划分成两个或者多个子解,但是其划分位置无法事先确定;


    在第二种方法中,问题的最优解依据问题性质减缩规模,比如减去最优解的第一个分量,或者最后一个分量,得到规模减少一个单位的子解。得到子解后,分析和描述该子解对应的子问题,如果能证明该子解对应子问题的最优解,则该问题满足最优子结构性质,转入第(2);否则,该问题不能用动态规划求解。


    第(2)步是动态规划算法的核心,它是最优解的规划过程。状态表示本质上就是子问题的表示,形如,其中是描述子问题的求解目标,一般的直接定义为待求解问题的目标值。需要注意的是,对于有些问题来说,如果直接定义为原问题目标值,可能最优子结构性质不成立。此时,往往定义为某个中间目标值,比如最大上升子序列问题。在算法实现时,状态一般用一个k维的表格存储,动态规划过程就是表格操作过程。


    第(3)步体现了动态规划算法的执行过程。通俗地讲,动态规划是一个由易至难的求解过程;先求解最简单的子问题的解,然后利用简单子问题的解构造复杂一些的子问题的解,直至求解原问题的解。


    第(4)步是可选步骤,只有问题要求构造最优解时才需要。




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  • 动态规划求解步骤[^2]5.动态规划算法的基本要素[^2]5.1 最优子结构5.2 重叠子问题6.一些经典的动态规划问题 1.序 近期笔者会写一些博客,与大家共同讨论一些经典的算法思想。这篇文章主要介绍动态规划算法的基本...

    1.序

    近期笔者会写一些博客,与大家共同讨论一些经典的算法思想。这篇文章主要介绍动态规划算法的基本思想、使用动态规划算法求解问题的基本步骤、动态规划算法的两个基本要素以及一些经典的动态规划问题。

    2.动态规划的基本概念[^1]

    在学习动态规划之前,先思考这样一个问题:什么是动态规划?为什么叫动态规划?
    当读者在试图探索这个问题的时候,不可避免的要了解动态规划的产生背景。动态规划是由 Dynamic Programming 翻译过来的。动态规划的概念是由美国数学家R.E.Bellman等人提出的,应用于工程领域。
    动态规划是是求解多阶段决策过程(decision process)的最优化问题一种方法。

    所谓多阶段决策过程是指这样一类决策过程:它可以把一一个复杂问题按时间(或空间)分成若干个阶段,每个阶段都需要作出决策,
    以便得到过程的最优结局。由于在每阶段采取的决策是与时间有关的而且前一阶段采取的决策如何,不但与该阶段的经济效果有关,
    还影响以后各阶段的经济效果,可见这类多阶段决策问题是一个动态的问题,因此,处理的方法称为动态规划方法。然而,动态
    规划也可以处理一些本来与时间没有关系的静态模型,这只要在静态模型中人为地引入“时间”因素,分成时段,就可以把它看作
    是多阶段的动态模型,用动态规划方法去处理。
    

    简言之,多阶段决策过程是指这样的一类特殊的活动过程:问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段,在每一个阶段都要做出决策,全部过程的决策是一个决策序列。
    下面举例说明什么是多阶段决策问题。
    例1(最短路线问题)在线路网络图1中,从A至E有一批货物需要调运。图上所标数字为各节点之间的运输距离,为使总运费最少,必须找出一条由A至E总里程最短的路线。
    在这里插入图片描述

    图1

    为了找到由A至E的最短线路,可以将该问题分成A—B—C—D—E 4个阶段,在每个阶段都需要作出决策,即在A点需决策下一步到B1还是到B2或B3;同样,若到达第二阶段某个状态,比如B1 ,需决定走向C1还是C2 ;依次类推,可以看出:各个阶段的决策不同,由A至E的路线就不同,当 从某个阶段的某个状态出发作出一个决策,则这个决策不仅影响到下一个阶段的距离,而且直接影响后面各阶段的行进线路。所以这类问题要求在各个阶段选择一个恰当的决策,使这些决策序列所决定的一条路线对应的总路程最短。

    3.动态规划算法的基本思想[^2]

    动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。
    在这里插入图片描述

    图2

    但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。
    如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,就可以避免大量重复计算,从而得到多项式时间算法。
    在这里插入图片描述

    图3

    4.动态规划的求解步骤[^2]

    a. 找出最优解的性质,并刻划其结构特征。
    b. 递归地定义最优值。
    c. 以自底向上的方式计算出最优值。
    d. 根据计算最优值时得到的信息,构造最优解

    5.动态规划算法的基本要素[^2]

    5.1 最优子结构

    • 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质
    • 在分析问题的最优子结构性质时,所用的方法具有普遍性:首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的,然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解,从而导致矛盾。
    • 利用问题的最优子结构性质,以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。

    注意:同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构,有些表示方法的求解速度更快(空间占用小,问题的维度低)

    5.2 重叠子问题

    • 递归算法求解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。
    • 动态规划算法,对每一个子问题只解一次,而后将其解保存在一个表格中,当再次需要解此子问题时,只是简单地用常数时间查看一下结果。
    • 通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间,从而获得较高的解题效率。
      在这里插入图片描述
      图4

    6.一些经典的动态规划问题

    题目描述:
    给定一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。

    示例 1:

    输入: "babad"
    输出: "bab"
    注意: "aba" 也是一个有效答案。
    

    示例 2:

    输入: "cbbd"
    输出: "bb"
    

    分析:
    一个问题要使用动态规划求解,一定要满足【最优子结构】,只有满足最优子结构,才能通过子问题的解 构造出 整个问题的解。

    在编码时,一般采用【备忘录】或 dp table来实现。
    最关键的要找出:该问题的递推关系式(状态转移方程)

    假设dp[i][j]=true,表示字符串s从s[i]到s[j]的子串为最长回文子串
    反之false.

    考虑 abcba 这个示例。如果我们已经知道 bca 是回文,那么要判断 abcba 是不是回文串,只需判断它的左首字母和右尾字母是否相等。这里左=右=a,因此abcba 是回文串

    从这里我们可以归纳出状态转移方程
    dp[i][j] = true
    前提是
    dp[i+1][j-1]为true,且 s[i] == s[j]

    #include <iostream>
    using namespace std;
    class MySolution {
    public:
        string longestPalindrome(string s) {
    
            int len = s.size();
            if (len < 2)
                return s;
            //bool dp[len][len];
            bool** dp;
            dp = new bool* [len];
            for (int i = 0; i < len; i++)
                dp[i] = new bool[len];//分配了len行len列的二维数组空间
        
            int max_len=1;//最大回文串长度
            int max_left;//最长回文串的起始位置
            for (int j = 0; j < len; j++)
            {
                for (int i = 0; i < j; i++)
                {
                    if (s[j] != s[i])
                        dp[i][j] = false;
                    else if (j - i < 3) // (j-1)-(i+1)+1< 2 即表明dp[i][j]是回文串
                        dp[i][j] = true;
                    else
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];//s[i]==s[j]
                    if (j - i + 1 > max_len && dp[i][j])
                    {
                        max_len = j - i + 1;
                        max_left = i;
                    }
    
                }
            }
            return s.substr(max_left, max_len);
            // 用完要释放:
            for (int i = 0; i < len; i++)
            {
                delete[] dp[i]; 
                delete[]dp;
            }   
        }
    };
    int main()
    {
        MySolution sl;
        string s = sl.longestPalindrome("abcdedcabcdefggfedcba");
        cout << s << endl;
    }
    

    参考文献
    [1] 引用自百度文库https://wenku.baidu.com/view/c0f9fb156c175f0e7cd1377d.html
    [2]引用自老师的课件

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       动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题,一般由初始状态开始,通过对中间阶段决策的选择,达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列,同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。

         1.动态规划算法基本求解步骤:

      (1)划分阶段:按照问题的时间或空间特征,把问题分为若干个阶段。在划分阶段时,注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的,否则问题就无法求解。

         (2)确定状态和状态变量:将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然,状态的选择要满足无后效性。

      (3)确定决策并写出状态转移方程:因为决策和状态转移有着天然的联系,状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策,状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做,根据相邻两个阶段的状态之间的关系来确定决策方法和状态转移方程。

           (4)寻找边界条件:给出的状态转移方程是一个递推式,需要一个递推的终止条件或边界条件。

    一般,只要解决问题的阶段、状态和状态转移决策确定了,就可以写出状态转移方程(包括边界条件)。实际应用中可以按以下几个简化的步骤进行设计:

    (1)分析最优解的性质,并刻画其结构特征。

    (2)递归的定义最优解。

    (3)以自底向上或自顶向下的记忆化方式(备忘录法)计算出最优值

    (4)根据计算最优值时得到的信息,构造问题的最优解

    2.动态规划的要素

    (1)最优子结构:问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成,并且可以独立求解子问题。

    3.动态规划算法的性质

    (1)最优化原理:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,就称该问题具有最优子结构,即满足最优化原理。

    (2)无后效性:即某阶段状态(定义的新子问题)一旦确定,就不受这个状态以后决策的影响。也就是说,某状态以后的过程不会影响以前的状态,只与其以前的状态有关。

        举例:现在有状态A,B,C;并且他们转化的先后因果关系是:A->B->C

        a.状态A确定后不会再受到B和C状态决策的影响,只和状态A之前的状态有关。

        b.状态B的确定是由状态A转化而来,B状态确定后不再受C状态的影响。

        c.状态C确定是由状态A和B转化而来。

    【注】无后效性的另一种重要的定义:无后效性是指如果在某个阶段上过程的状态已知,则从此阶段以后过程的发展变化仅与此阶段的状态有关,而与过程在此阶段以前的阶段所经历过的状态无关。

       举例:依然用上面的A,B,C三个状态举例:

       a.状态A确定后,可以转化为状态B

       b.状态B确定后,状态C可以由状态B转化而来,但是【状态C和状态A无关!只是有状态B转化而来的】。

    (3)有重叠子问题:即子问题之间是不独立的(分治法是独立的),一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。(该性质并不是动态规划适用的必要条件,但是如果没有这条性质,动态规划算法同其他算法相比就不具备优势)

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  • 动态规划求解多段图问题

    千次阅读 2019-04-26 19:45:40
    首先,动态规划求解思想可以归纳为两个步骤: 1.证明问题满足最优性原理 2.给出递推关系式 *对于最优性原理,我们做如下的解释: 无论过程的初始状态和初始决策是什么,其余的决策都必须相对于初始决策所产生...

    首先,动态规划的求解思想可以归纳为两个步骤:

    1.证明问题满足最优性原理

    2.给出递推关系式

    *对于最优性原理,我们做如下的解释:

    无论过程的初始状态和初始决策是什么,其余的决策都必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列。


    接下来就是求解多段图问题

    多段图G=(V, E)是一个有向图。它具有如下特性:

    图中的结点被划分成 k³ 2个不相交的集合Vi 1£i£k,其中V1Vk分别只有一个结点 s (源点) t (汇点)

    图中所有的<u, v>均具有如下性质:

        若,则v\inVi+11<i<k,且每条边<u, v>均                                                                                                               附有成本c(u, v)

    pst的一条路径成本是这条路径上边的成本和

    p多段图问题是求st的最小成本路径


    多段图问题的最优性原理证明:

    假设s,v2,v3,.......,vk-1,t是一条由st的最短路径。

    再假设从源点s开始,已作出了到结点v2的决策,因此v2就是初始决策所产生的状态。

    如果把v2看成是原问题的一个子问题的初始状态,解决这个子问题就是找出一条由v2t的最短路径。

    这条最短路径显然是v2,v3.......,vk-1,t .

    如果不是,设v2,q3,.......,qk-1,t是由v2t的更短路径,则s,v2,q3,.......,qk-1,t是一条比路径s,v2,v3,.......,vk-1,t更短的由st的路径,与假设矛盾,因此最优性原理成立。


    多段图的递推分析:

    向前处理法(forward approach)

      从最后阶段开始,以逐步向前递推的方式,列出求解前一阶段决策值的递推关系式,即根据xi+1, ¼, xn的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的关系式。

    向后处理法(backward approach)

       从初始阶段开始,以逐步向后递推的方式,列出求解后一阶段决策值的递推关系式,即根据x1, ¼, xi-1的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的关系式。


    多段图向前处理递推关系式:

    向前处理法:从最后阶段开始,逐步向前递推,根据xi+1, ¼, xn的那些最优

    决策序列来列出求取xi决策值的关系式。

     

    P(i, j)是一条从Vi中的结点j 汇点t 的最小成本路径,

       COST(i, j)表示从结点j 汇点t这条路径的成本。

    根据向前处理方法:

        COST(i, j)= min{ c(j, l)+COST(i+1, l)}

       其中:lÎVi+1<j, l>ÎE,  c(j, l)表示该边的成本。


    多段图向前处理的计算过程:

    初始化:对于k段图,当i=k-1时,

    如果<j, t>ÎECOST(k-1, j)= c(j, t)

    如果<j, t>ÏECOST(k-1, j)=\infty


    多段图向前处理的计算过程:

    COST(i, j)=min{ c(j, l)+COST(i+1, l)}

    COST(4, 9)=c(9,12)=4

    COST(4,10)=c(10,12)=2

    COST(4,11)=c(11,12)=5

    COST(3,6)=min{c(6,9)+COST(4,9) ,

                                 c(6,10)+COST(4,10)}

                       =min{6+4, 5+2}=7

    COST(3,7)=min{c(7,9)+COST(4,9) , c(7,10)+COST(4,10)}

                      =min{4+4, 3+2}=5

    COST(3,8)=min{c(8,10)+COST(4,10) , c(8,11)+COST(4,11)}

                      =min{5+2, 6+5}=7

    COST(3,6)=7

    COST(3,7)=5

    COST(3,8)=7

     

    COST(2,2)

    =min{c(2,6)+COST(3,6),

              c(2,7)+COST(3,7),

              c(2,8)+COST(3,8)}

    =min{4+7, 2+5, 1+7}=7

     

    COST(2,3)=min{2+7,7+5}=9

    COST(2,4)=min{11+7}=18

    COST(2,5)=min{11+5,8+7}=15

     

    COST(1,1)

    =min{c(1,2)+COST(2,2),

              c(1,3)+COST(2,3),

              c(1,4)+COST(2,4),

              c(1,5)+COST(2,5)}

    =min{9+7,7+9,3+18,2+15}=16

     

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动态规划求解步骤