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  • 我们知道,一元二次方程 的根可以通过根公式 计算那一元三次方程的根如何?进行百度的话,我们可以发现一元三次方程可以采用卡尔丹公式和盛金根公式来计算。下面用最基础的代数方法来理解卡尔丹公式怎么来的。...

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    我们知道,一元二次方程

    的根可以通过求根公式
    计算

    那一元三次方程的根如何求?进行百度的话,我们可以发现一元三次方程可以采用卡尔丹公式和盛金求根公式来计算。下面用最基础的代数方法来理解卡尔丹公式怎么来的。

    一元三次方程

    1、为了解最初的方程,我们可以先考虑将方程变形成

    2、这个形式可以进一步化简。回顾一元二次方程的求根公式,我们采用的是配方法,将其变成和的平方的形式然后开方即可得到求根公式,这里最高次是3次,所以我们可以考虑配立方。

    因为

    和1中的式子比较发现,我们可以把
    这项并入和的立方里面。于是1中的方程可以成

    然后,令

    于是上面的方程可以变形成为

    整理可得

    故而我们可以得到一个结论,所有的一元三次方程都可以化成上面那样的简单形式,因此只要找到

    这个方程的解法,我们就能够解出所有的一元三次方程了;

    3、

    的解法。关于这个方程的解法,首先我们知道,三次函数的值域是R,因此这个三次方程一定至少有一个实根。

    不妨设这个实根

    ,我们得到一个新的方程,将这个方程两边同时立方,得到

    显然这两个方程可以是同一个方程。比较系数,得到方程组

    根据一元二次方程的韦达定理,不难发现A和B就是方程

    两个根

    如果想不到韦达定理,单纯消元也可以得到上面的一元二次方程。

    因此不难解出

    这样,我们可以用得到的A和B的值求出

    从而得到原方程的根。

    但这里会出现一个问题,求根公式里面有根号,A B不一定求出是个实数,如何确保

    是实数?

    由一元二次方程有判别式可以推知,显然一元三次方程也有判别式,而且判别式通过上面的计算已经知道了

    因此按如下情况讨论。

    为了便于说明,需要提前说明几个概念:

    a.定义

    ,即虚数。在虚数的范围内,负数允许开平方;

    b.

    c.

    ;

    d.在虚数范围内,

    方程有三个根,

    可以计算出,

    ,因此若设
    ,那么该方程的三个根可以表示为

    PS:c的证明可用欧拉公式证明,证明将给在文章末尾。

    有了以上几个概念,我们来讨论一元三次方程根的情况

    由上述d可知,

    ;同样的,
    结果可以表示为
    因此AB可以组合出9种情况。但我们前面有
    ,因此实际上满足条件的A B仅有三组。

    即t有三个根,分别为:

    ;
    ;

    1.若

    ,显然
    都是虚数,因此一元三次方程仅有一个实根和两个虚根;

    2.若

    ,则A=B,那么
    ,且为共轭虚数之和,因此一元三次方程有两个相等实根和另一个实根;

    3.若

    都是实根,故而一元三次方程有三个不相等的实根。

    以下为拓展内容


    1.上述c的证明。

    证:已知欧拉公式,

    , 令

    则由欧拉公式,可知

    因此,

    同理,

    故而,

    ,证毕。

    2.由求根公式有时候算出的数字极其鬼畜,但实际上结果却非常简单。

    比如方程,

    ,采用求根公式计算,算出判别式Δ>0,因此仅有一个实根。

    算出实根x=

    本来这就是这个方程的实根,但简单估算一下,发现x=4也是原方程的实根。我们拿科学计算器将上面那一大串数字输入以后,得到的结果也是4.

    那么上面那一大串数字是如何等于4的。

    ,即要将这个无理根式开三次方。这里采用如下技巧:

    考虑到

    ,找到a和b的值令其右边等于
    ,那么a+b就是
    开立方所得的数字。

    ,因此可以设立方根为
    ,那么
    和上式对比,发现
    考虑到m+2>2,因此m>0,取
    。 将m值代入m+2并立方,发现立方的结果就是

    故而

    同样的方法,可以得到

    因此

    PS:如果用上述方法求出m后,并不能还原,那么说明原无理式不能开立方,那就是一个纯粹的无理数了。

    3.若判别式Δ<0,算出的A B为虚数,那么如何将虚数化成实根,并求出另外两个根。

    比如方程

    ,采用求根公式计算,得到Δ<0,且一个实根为

    将虚数共轭虚数之和化成实数,一般采用欧拉公式。 由1中的证明,我们可以做如下变化。

    然后采取三倍角公式求出cos(t/3)后代入即可得到确切的实数解。

    但如果方程解如果是特殊的有理数解,和2中的方法类似,采用特值的方法,看看能不能分解出相应的因式从而简化计算。

    ,即有

    实部相等,虚部相等。有

    b是多少我们不关心,最终结果会消去,我们只要求出a就可以了。 因此消去b,整理,最终可以得到一个仅含a的方程。

    ……式子1

    我们要看这个方程是否有特解,即有理数解。等式右边为一个带根号的无理数,要找到a的有理根解,显然必须要保证

    再稍加整理,得到
    确保k是有理数,考虑a=1,代入式子1当中,发现式子成立 因此我们找到了a=1 于是原方程的一个根为

    然后采用分解因式的方式。令

    将右边拆开,对比系数,得到
    所以有
    ,解得

    因此原方程的三个根为

    最后的话:码这些字比想象中还要花时间。。本来打算把一元四次方程解法也写上的,发现时间严重超了。。只能下次有机会再码了~

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  • 把一元二次方程化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数),确定a、b、c的值,然后代入根公式x=(-b±√b²-4ac)/2a,出x值。 4.因式分解法 利用提公因式,或乘法公式一元二次方程的根。 解题步骤:1、化...
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    一元二次方程,九年级数学北师大版本第二章内容,它包括一元二次方程的定义,解法和应用。把讲课的思路综述如下,以飨朋友和留档被查。

    一、一元二次方程的定义。

    只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是2,经过整理后都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)的形式,这样的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)叫一元二次方程的一般形式,其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫做一次项,b是一次项系数;c叫作常数项。一元二次方程一般形式变形式有:ax²+c=0(a≠0,a、c为常数);ax²+bx=0(a≠0,a、b为常数);ax²=0(a≠0,a为常数)

    一元二次方程方程练习:

    1、在①x ²+3=x; ② 3 x²- 4x – 5 ; ③x ²=- 1/x+2是一元二次方程的有( )

    2、关于x的方程mx²-3x= x2-mx+2是一元二次方程,则m___________.

    3、方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形 式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____, 常数项是______.

    4、一元二次方程(m+3) x ²+4x+ m² - 9=0有一个解为0 , 则 m=______.

    二、一元二次方程的解法。

    1.直接开平方法

    形如x²=p,(p≥0),解为x=±√p

    形如(nx+m)²=p,(p≥0),解为nx+m=±√p。

    2.配方法。

    将一元二次方程配成(x+m)²=p (p≥0)的形式,再利用直接开平方法求解。

    解题思路:1、把一元二次方程化为一般形式。2、方程两边同除以二次项系数,化二次项系数为1。3、把一元二次方程的常数项移到方程右边。4、方程两边同时加上一次项系数一半的平方。5、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数,即形如(x+m)²=p (p≥0)的形式。6、通过直接开平方法求出方程的解。如果方程右边是非负数,则方程有两个实根;如果方程的右边是一个负数,则方程无解。

    注:配方法的理论依据是完全平方公式(a±b)²=a²+2ab+b²。关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

    3.公式法。

    把一元二次方程化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数),确定a、b、c的值,然后代入求根公式x=(-b±√b²-4ac)/2a,求出x值。

    4.因式分解法

    利用提公因式,或乘法公式求一元二次方程的根。

    解题步骤:1、化一元二次方程为一般形式。2、一元二次方程右边写成两个一次因式的积。

    理论依据是ab=0,则a=0或b=0,进而求出方程式根。

    5.十字相乘法。

    x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

    6.换元法。换元法为了解决较复杂的一元二次方程。

    练习

    (1)(x²+y²)(x²+y²-3)-4=0,求x²+y²的值。

    (2)(x²+2x)(x²+2x+3)-4=0,求x

    (3)

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    三、求解一元二次方程的方法思路。

    1、残缺的一元二次方程(一元二次方程三项不全对)

    ①缺少一次项用直接开方法。如,x²-4=0。

    ②缺少常数项用提公因式法。如,3x²+5=0

    2、不残缺,两边都是完全平方式的,用开平方法较为简单。如,4(x+2)²=9(x+3)²

    3、解方程除以上特殊情况外,别样方程解法,依次考虑提公因式法、公式法、配方法。

    四、根的判别式。(b²-4ac)

    1、b²-4ac>0,原方程有两个不相等的实数根。

    2、b²-4ac=0,原方程有两个相等的实数根。

    3、b²-4ac<0,原方程没有实数根。

    4、b²-4ac≥,原方程有实数根。

    练习

    (1)

    0b1f2943f261db32ba3575855c7974b4.png

    (2)

    0fe01435766658109a0ab7609f7d6b62.png
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    五、根与系数的关系。(x1+x2=-b/a,x1x2=c/a)

    练习

    1、实数a、b满足a²-6a+4=0,b²-6b+4=0,求b/a+a/b的值。

    2、实数a、b满足a²-6a+4=0,b²-6b+4=0,求a²-5a+b的值。

    3、

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    六、一元二次方程的应用。

    1、面积类一元二次方程应用。

    (1)面积类应用题

    ①某大学为改善校园环境,计划在一块长80米,宽60米的矩形场地中央建一个矩形网球场,网球场占地面积为3500平方米,四周为宽度相等的人行步道. 求人行步道的宽度.

    ②悦风中学学校生物小 组有一块长32 m、宽20 m的矩形试验田,为了方便管理,准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道,要使种植面积为540 m2,小道的宽应是多少?

    ③(自贡中考)利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽.

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    (2)增长率类一元二次方程应用题(始数(1±增长率)²=末数)

    ①随着市民环保意识的增强,烟花爆竹销售量逐年下降.咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱,到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱.求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率.

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    (3)销售类应用题(公式:(每件利润x销售量=总利润)

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    学习如登山,只有不畏艰难险阻,锲而不舍,勇于攀登的人,日积月累,才可以达到光辉的顶点。

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  • 可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日一题呆哥解析:这是一道式子最小值的原创题首先看到括号里面的底数,我们觉得它有点复杂,所以先来化简一下是比较好的我们注意到,2的三分之一次方和4的三分之一次方是...

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    如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日一题

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    呆哥解析:

    这是一道求式子最小值的原创题

    首先看到括号里面的底数,我们觉得它有点复杂,所以先来化简一下是比较好的

    我们注意到,2的三分之一次方和4的三分之一次方是成平方关系的,所以先换个元:

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    这样我们就可以化简一下底数了:

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    我们看到,分式有一个平方加一次加1,这就让我们联想到了一个东西,立方差公式:

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    稍微把立方差公式变形一下就可以继续化简了:

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    到这一步,已经比较明显了,我们后面可以直接消掉1

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    然后直接代回去然后用一下指数函数的单调性即可:

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    因此答案已经出来了:

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    明日预告:

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  • 21.(2019呼和浩特)用配方法一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根. 22.(2019南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2,扩充区域的扩建费用每...

    基础过关

    1.(2019徐州)方程x2=4的解为(  )

    A. x1x2=2          B. x1=2,x2=-2

    C. x1x2=-2       D. x1=2,x2=0

    2.(2019兰州)x=1是关于x的一元二次方程x2ax+2b=0的解,则2a+4b=(  )

    A. -2    B. -3    C. 4      D. -6

    3.(2019怀化)一元二次方程x2+2x+1=0的解是(  )

    A. x1=1,x2=-1    B. x1x2=1    C. x1x2=-1     D. x1=-1,x2=2

    4.(2019金华)用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是(  )

    A. (x-3)2=17       B. (x-3)2=14      C. (x-6)2=44       D. (x-3)2=1

    5.(2019铜仁)一元二次方程4x2-2x-1=0的根的情况为(  )

    A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根

    6.(2019广东省卷)已知x1x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,下列结论错误的是(  )

    A. x1x2    B. x-2x1=0    C. x1x2=2      D. x1·x2=2

    7.(2019自贡)关于x的一元二次方程x2-2xm=0无实数根,则实数m的取值范围是(  )

    A. m<1       B. m≥1       C. m≤1       D. m>1

    8.(2019衡阳)国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得(  )

    A. 9(1-2x)1    B. 9(1-x)2=1   C. 9(1+2x)1    D. 9(1+x)2=1

    9.(2019威海)已知ab是方程x2x-3=0的两个实数根,则a2b+2019的值是(  )

    A. 2023               B. 2021               C. 2020               D. 2019

    10.(2019新疆)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为(  )

    A. x(x-1)=36      B. x(x+1)=36    C. x(x-1)=36      D. x(x+1)=36

    11.(2019达州)某公司今年4月的营业额为2500万元,按计划第二季度的总营业额要达到9100万元,设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是(  )

    A. 2500(1+x)2=9100   B. 2500(1+x%)2=9100    C. 2500(1+x)+2500(1+x)2=9100     D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100

    12.(2019广西北部湾经济区)扬帆中学有一块长30 m,宽20 m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花.小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为xm,则可列方程为(  )

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    12题图

    A. (30-x)(20-x)=×20×30

    B. (30-2x)(20-x)=×20×30

    C. 30x+2×20x=×20×30

    D. (30-2x)(20-x)=×20×30

    13.(2019济宁)已知x=1是方程x2bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是    .

    14.(2019扬州)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是       .

    15.(2019舟山)在x2+(  )+4=0的括号中添加一个关于x一次项,使方程有两个相等的实数根.

    16.(2019连云港)已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则+c的值等于    .

    17.(2019泰安)已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)xk2+3=0有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是    .

    18.(2019吉林省卷)若关于x的一元二次方程(x+3)2c有实数根,则c的值可以为  (写出一个即可).

    19.(2019攀枝花)已知x1x2是方程x2-2x-1=0的两根,则xx    .

    20.(2019宜宾)某产品每件的生产成本为50元,原定销售价65元,经市场预测,从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程是        .

    21.(2019呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.

    22.(2019南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2,扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?

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    22题图

     满分冲关

    1.(2019聊城)若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kxk=6有实数根,则k的取值范围为(  )

    A. k≥0     B. k≥0且k≠2     C. k≥ 3/2     D. k≥3/2且k≠2

    2.(2019龙东地区)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是(  )

    A. 4     B. 5    C. 6      D. 7

    3.(2019潍坊)关于x的一元二次方程x2+2mxm2m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为(  )

    A.m=-2   B.m=3    C.m=3或m=-2    D.m=-3或m=2

    4.(2019巴中)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)xm2-1=0有两不相等的实数根.

    ①求m的取值范围.

    ②设x1x2是方程的两根且xxx1x2-17=0.求m的值.

    5.(2019东营)为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?

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  • 考研数学中极限一直是历年考研的难点和常考内容,每当题型发生变化时,很多同学都会显得力不从心。文都教育小编在这里为各位考生整理了极限的11个方法,希望大家遇到极限的问题时,能不再苦恼。为什么第一章...
  • 方程的解的过程叫做解方程 注意: (1)方程是一种特殊的等式,但等式不一定是方程 (2)一元一次方可能无解,可能只有一个解,也可能有无数个解 (3)方程的解是结果,而解方程是得到这个结果的过程 6.2 解一元一次...
  • ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0) 代数基本定理告诉我们在复数域上n次方程有n个根, 所以三次方程有三个根x1、x2 、x3. 它的韦达定理怎么写呢? x1+x2+x3=-b/a x1 ·x2+x1 ·x3+x2 ·x3=c/a x1 ·x2 ·x3=-d/a n次方程
  • 一、直接开平方法:依据的是平方根的意义,步骤是:①将方程转化为x²=p或(mx+n)²=p的形式;②分三种情况降次求解:①当p>0时;②当p=0时;③当p时,方程无实数根。需要注意的是:直接开平方法只适用于部分的一元...
  • 如果n,则原方程无解. (3)公式法:一元二次方程 的根公式是 . (4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为0;②将方程的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次...
  • C++ 输入底数和指数求N次方
  • C++求a的n次方的值

    2009-07-21 11:15:23
    这个资源所包含的程序是用C++编程来完成a的n次方的算法
  • 最近开始学习编程,用了很多时间选择,最终还是把眼光落在了C++上。有人说C++很难学,因为它很复杂,里面既有完整的C语言又有...现在看的清华郑丽的C++语言程序设计里我遇到了下面我要说的,要求编写一个X的N次方...
  • c++ x的n次方

    万次阅读 2013-02-06 11:09:50
  • c++求X的N次方的二分实现

    千次阅读 2018-01-02 14:31:59
    分治法实现计算一个数的N次方的可以通过二分思想来实现 #include using namespace std; int Pow(int x, int n) { if (n == 1) return x; else if (n > 1) { int s; int m = n / 2;
  • 高精度r的n次方 c++

    2021-03-21 00:48:41
    R的N次幂. <p>Input 第一行,一个正整数T,表示有T组测试数据。 接下来T行,每一行是一组测试数据,包括一个实数R和一个正整数N。 0.0 < R <= 9999.9, 0 < N&...
  • c、c++求a的n次方(a是个位0~9)

    千次阅读 2017-06-18 14:27:31
    首先介绍一下基础的,关于数据类型: 其中,整型的数据大小为4...故要想得到更高位的a的n次方,要自己写一个新的数据类型,我想到的是int型数组,长度为n,每个数组元素用来储存结果的一位。 最后把每个元素输出就好
  • 剑指Offer_编程题——1+2+3+……+n题目描述:1+2+3+…+n,要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句(A?B:C)。具体要求:时间限制: C/C++ 1秒,其他语言2秒空间限制: C/...
  • c++自然指数!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
  • C++编写一个x的n次方的函数

    千次阅读 2020-04-11 13:41:56
    例3-1编写一个x的n次方的函数 #include <iostream> using namespace std; //计算x的n次方 double power(double x, int n) { double val = 1.0; while (n--) val *= x; return val; } int main...
  • 求助,C++用递归函数X的N次方

    千次阅读 2019-05-12 17:53:45
    源代码如下 #include using namespace std; float pow(float a, int n) { float s; if (n <= 0) s = 1; else s = pow(a, n)*a; return s; } int main() { ... “分别输入底和次方数”; cin ...
  • 代码: #include<iostream> using namespace std; double Calculate(double x, int n); int main() { int x, n; cout<<"请输入x的值和n的值:"<<endl; cin>..."x的n次方="&...
  • n的m次方的最高位c++求法(xdoj 1029)

    千次阅读 2015-08-14 13:32:38
    这道题中需要用到解2的n次方的最高位的方法。 先讲正题,最后讲这个题的题解。long long int x=n^m; 式子两边同时取lg lg(x)=m*lg(n); x=10^(m*lg(n)); 10的整数次方的最高位一定是1,所以x的最高位
  • 注:如果要计算double类型的数据,只需将int改为double即可,如果只是计算整数值的N次方不建议用double类型, 因为double类型只能存储一个数的近似值,所以计算的结果部分时候会有误差。运行结果:Enter a number ...
  • (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 f(0)=0(可用于参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调...
  • 算法导论-x的n次方

    2014-09-06 17:28:00
    目录 1、分治x的n次方思路 2、c++代码实现 内容 1、分治x的n次方思路T(n)=...
  • 二次函数比一次函数要略微复杂一些。先回顾一元二次方程。例: (一)解一元二次方程:这个方程有两个解法...套用一元二次方程根公式:x=(-b± )/2a代入a=1,b=-1,c=-2可得解。(二)回顾一元二次方程的求解方法...

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