精华内容
下载资源
问答
  • 贴出自己的方便记忆的方法。 如果能证明矩阵为n和可以化为有n个主元的最简形矩阵是等价的,那么:

    贴出自己的方便记忆的方法。

    如果能证明矩阵的秩为n可以化为有n个主元的行最简形矩阵是等价的,那么:

    展开全文
  • 矩阵的秩:行秩等于列秩

    千次阅读 2020-03-10 13:46:38
    一个重要的结论是:行秩等于列秩。 设AAA是一个m×nm \times nm×n 的矩阵,其列秩为 rrr . 因此AAA的列空间的维度是rrr . 令 c1,c2,…,crc_{1},c_{2}, \ldots ,c_{r}c1​,c2​,…,cr​ 是 AAA 的列空间的一组基,...

    矩阵的秩

    秩其实就是刻画了:秩就是线性无关列(行)向量的最大数目。
    一个重要的结论是:行秩等于列秩

    A A A是一个 m × n m \times n m×n 的矩阵,其列秩为 r r r . 因此 A A A的列空间的维度是 r r r . 令 c 1 , c 2 , … , c r c_{1},c_{2}, \ldots ,c_{r} c1,c2,,cr A A A 的列空间的一组基,构成 m × r m\times r m×r 矩阵 C C C的列向量 C = [ c 1 , c 2 , … , c r ] C=[c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}] C=[c1,c2,,cr],并使得 A A A 的每个列向量是 C C C r r r 个列向量的线性组合.
    那么存在一个 r × n r \times n r×n矩阵 R R R, 使得 A = C R A = CR A=CR. A A A ( i , j ) (i,j) (i,j) 元素是 c i c_i ci R R R 的第 j j j 个行向量的点积.

    现在,由于 A = C R A = CR A=CR, A A A 的每个行向量是 R R R 的行向量的线性组合,这意味着 A A A 的行向量空间被包含于 R R R 的行向量空间之中. 因此 A A A 的行秩 ≤ R R R的行秩. 但 R R R仅有 r r r行, 所以 R R R的行秩 ≤ \le r r r = A A A的列秩. 这就证明了 A A A的行秩 ≤ A ≤ A A的列秩.

    考虑 A A A的转置矩阵 A T A^\mathrm{T} AT,则A的列秩 = A T A^\mathrm{T} AT的行秩 ≤ A T ≤ A^\mathrm{T} AT的列秩 = A A A的行秩.
    即: A A A的列秩 ≤ A ≤ A A的行秩.
    综上, A A A的列秩 = A = A =A的行秩. 证毕.

    Ref

    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9_(%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0)

    展开全文
  • 首先,此证明等价于证明:’存在行列式不为...从右到左:若k个向量不相关,将此k个向量拼成矩阵 [a1,a2......ak] ,此矩阵必为k,化阶梯后留下的前k对应的原即为我们选择的,选择的kk行列式不为0 ...

    首先,此证明等价于证明:’存在行列式不为0的k阶子式‘ 与 ‘存在k个不相关的列向量’ 等价

    从左到右:考虑对应的列向量建立的方程组Ax = 0,化阶梯形解得x1,x2......xk 必为0,所以此k个列向量线性无关

    从右到左:若k个列向量不相关,将此k个向量拼成矩阵 [a1,a2......ak] ,此矩阵的秩必为k,化阶梯后留下的前k行对应的原行即为我们选择的行,选择的k行k列行列式不为0

     

    展开全文
  • 为什么矩阵行秩等于列秩

    千次阅读 2019-04-23 14:53:26
    1,矩阵A的行列式不为0的充要条件是A的()向量线性无关 2,无关组加分量仍无关 3, r个n维列向量组线性无关的充要条件是这r个n维列向量组所构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0 好了,简略证明过程开始,我...

    原文
    矩阵的秩的定义:存在K阶子式不为0,对任意K+1阶子式均为0,则k即为矩阵的秩。
    向量组的秩的定义:向量组的极大线性无关组所包含向量的个数,称为向量组的秩。
    其次再弄清楚3个定理:
    1,矩阵A的行列式不为0的充要条件是A的行(列)向量线性无关
    2,无关组加分量仍无关
    3, r个n维列向量组线性无关的充要条件是这r个n维列向量组所构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0
    好了,简略证明过程开始,我先证“矩阵的秩等于列向量组的秩”。假设n阶矩阵的秩为r,其列向量组的秩为s。(我们的目标:就是证明r=s)
    一方面,矩阵的秩为r,即为其有K阶子式不为0(矩阵秩的定义),则该K阶子式的列向量线性无关(定理1),则其k阶子式所在矩阵的列向量必线性无关(定理2),则由向量组的秩的定义可知r≤s。
    另一方面,列向量组的秩为s,由定理3知,必有一个s阶子式不为0,故由矩阵的秩的定义可知s≤r。
    联立即得,r=s!
    同理可证,矩阵的秩等于行向量组的秩!

    展开全文
  • 线性代数中,有那么几个神秘又神奇的东西,总是让初学它的人琢磨不透,无法理解,其中就有矩阵向量和列向量的关系,为什么一个矩阵向量里有多少个线性无关的向量,列向量里就一定也有多少...秩为何等于列秩
  • 秩等于列秩等于

    2021-09-17 11:05:06
  • 矩阵列秩秩相等

    千次阅读 2020-04-28 23:50:01
    考虑一个非方阵 A=[112131] A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} ...将其进行初等变换 A=[110−10−2] A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ ...
  • 所以在探求 “矩阵的秩=该矩阵秩=该矩阵列秩” 这个问题上,可以换而言之,是在探求 “矩阵的秩=该矩阵空间的维数=该矩阵的列空间的维数” 这个问题,所以等式可以归并为 “矩阵 A A A的秩(r( A A A))= A ...
  • 1. 矩阵列秩秩及秩的关系(秩=列秩=秩) 2. 初等变换不改变矩阵的线性相关性 3. 任一矩阵的秩、秩和列秩相等 4. 求矩阵列向量组的秩及最大无关组示例 ...
  • 实现了计算一个矩阵的性质:,行列式,迹,矩阵转置,逆矩阵和方阵,最大可支持4040矩阵(row)之间必须进行换行,元素间必须用空格隔开。输入计算器的矩阵必须是每个值都为数的矩形矩阵。此外,你可以...
  • 矩阵和向量组的

    千次阅读 2020-09-25 15:04:43
    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。 在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗...
  • 非零矩阵A可以写成某个秩矩阵与某个秩矩阵的乘积引理:设 AAA 是 m×rm\times rm×r 矩阵,则 AAA 是的充要条件为存在 m×mm\times mm×m 可逆矩阵 PPP,使 A=P(ErO),A=P\begin{pmatrix}E_r\\O\end{...
  • 又 增广的秩一定 大于等于 系数阵的秩r,因此,满秩矩阵秩等于其增广矩阵的秩 (增广的秩一定 大于等于 系数阵的秩r 增广矩阵(A,b)比系数矩阵A多一,所以r(A)≤r(A,b)≤r(A)+1。 ) 满秩即向量组线性无关...
  • 本文证明任何一个m×nm \times nm×n矩阵和对应齐次线性方程组的和为n。 Rank-Nullity Theorem叙述如下: 对任意m×nm\times nm×n矩阵AAA rank(A)+nullity(A)=n(1) rank(A) + nullity(A) = n \tag{1} rank(A)...
  • 如何理解向量组的矩阵

    千次阅读 2020-09-13 12:14:40
    1 向量组的轶指的是极大线性无关组中向量的个数 矩阵的轶是把一个矩阵分为向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为轶和列轶.可以证明的是轶和列轶相等,这...造成了行秩等于列秩,也就是等于列秩本可以达到所需
  • 使用matlab中的rank查找矩阵,发现该矩阵未满,由于是一个维度较大的矩阵,而下一步操作需要保证该矩阵是满的,所以想求问有没有什么方法能够查找导致未满或者,然后我就可以考虑一些方法改进。...
  • 【线性代数(9)】矩阵

    千次阅读 2020-11-09 18:29:03
    给定一个矩阵,任取k和k交叉元素,组成的行列式,就成为k阶子式,比如A3X4A_{3X4}A3X4​取2阶子式,可以取前两和后两列,结果如下:(由于只有3,所以最多有3阶子式) A=[2,2,2,23,3,3,21,1,1,1]  &...
  • 线性代数之矩阵秩的求法 K阶子式 在m×n的矩阵A中,任取k、k(k小于等于m、k小于等于n),位于这些交叉处的 个元素,在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。 不难发现矩阵A有个 个k阶子...
  • 矩阵

    2021-04-27 01:42:04
    引出: 看到上面的方程,我们会想到那些问题: 1、这是一个n元一次方程组,小时候老师经常说,n元方程想要解出n和未知数,需要n的方程组才可以得出解,后来发现不对,这个...这就给出求矩阵秩的方法。 一个数学列子:
  • 矩阵、满秩矩阵

    千次阅读 2020-02-04 21:43:59
    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个向量或者列向量,秩就是这些向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含...
  • 矩阵

    万次阅读 多人点赞 2019-05-13 17:20:08
    矩阵的秩怎么计算,这个问题一下子我居然不知道怎么下手。。虽然本科的时候学过线性代数,但是好久不用,很多...矩阵的秩是方阵经过初等变换或者列变换后的秩或列秩 矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代...
  • 如何直观地理解矩阵

    千次阅读 多人点赞 2020-06-06 20:22:22
    矩阵可以直观地理解为筛眼的大小: 下面就来解释这句话是什么意思? 1 矩阵的作用 假设对于向量 x1 、 x2、 x3、x4 有: 上述关系可以用图像来表示,左侧的向量 x1 、 x2、 x3、x4,在 A 的作用下,变为...
  • 给定一个矩阵 A∈Rm×nA \in R^{m \times n}A∈Rm×n
  • 矩阵与迹

    万次阅读 2017-11-05 21:11:49
    记得第一次看到“矩阵的迹”这个概念的时候就怀疑是不是作者的拼写错误,将“矩阵”写成“矩阵的迹”了。实际上,它们是两个完全不同的两个概念。矩阵的迹数学定义:n×n矩阵A的对角线元素之和称为A的迹(trace...
  • 文章目录矩阵的秩矩阵的秩的作用关于秩的常用结论秩的用途阶梯形矩阵与秩行列式与秩特征值与秩二次型与秩矩阵秩的计算参考 矩阵的秩 定义1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1 } }}定义1​ 在m×nm...
  • https://zhidao.baidu.com/question/246098491763043084.html
  • 求解矩阵方程AX=B, 其中 A=(21−312−2−132),B=(1−120−25)A =\left (\begin{array}{cccc}2 & 1 & -3 \\1 & 2 & -2 \\-1 & 3 & 2\end{array} \right ), B =\left (\begin{array}{cccc}1 &...
  • 矩阵空间、空间、维数、理解

    万次阅读 多人点赞 2019-07-23 12:36:35
    对于 m×n 矩阵 A 空间就是 A的各的线性组合的集合,记为 ColA,是的 一个子空间,由 矩阵的主元构成,即Ax=b中,方程的解基本变量。 零空间 NulA 对于 m×n 矩阵 A 零空间就是 齐次方程 Ax=0 的 所有解得...
  • 3.2 矩阵乘积的

    万次阅读 多人点赞 2020-03-24 17:42:19
    线性映射 Ax=yA\mathbf{x}=\mathbf{y}Ax=y ,当矩阵 AAA 是秩矩阵时,即无关组时,映射是单射,所以定义域内一个向量 x\mathbf{x}x 对应值域内一个向量 y\mathbf{y}y ,值域内一个向量 y\mathbf{y}y 也对应定义...
  • 矩阵空间  矩阵空间是对向量空间的扩展,因为矩阵的本质是向量,所以与向量空间类似,也存在矩阵空间。  在向量空间中,任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的,所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间,...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 14,204
精华内容 5,681
关键字:

矩阵的行秩等于列秩