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    滑模干扰观测器的设计与仿真实现

    表贴式永磁同步电机有Ld=Lq=Ls且同步旋转d-q轴坐标系的运动方程为:
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    式(1)中,ud、uq,id、iq和Ld、Lq分别为d-q轴定子的电压,电流和电感;Ls为交直轴的等效电感,R为定子每相电阻;we、ψf分别为电机机械角速度和磁链;Pn为磁极对数;J、B分别为电机转动惯量和粘性摩擦系数;kT=3Pnψf/2J为PMSM转矩不变参数;Te、TL分别为电磁转矩和负载转矩。

    1.1滑模干扰观测器的设计

    假定PMSM控制系统引入未知的外部总扰动d(t)。由于仿真及实验设置采样时间相对于总扰动量变化过程是极小的,可将式(4)中总扰动量的微分量视为0。依据式(1)中运动方程并结合未知的外部总扰动量d(t),则系统空间变量方程为:
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    假定电机空载(TL=0)情况下启动时,进一步式(2)可变形为:
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    为了获得外部总扰动量的估计值,滑模干扰观测器设计通常为:
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    这是一篇自己小论文上面所涉及用到的滑模干扰观测器的设计,当然还有其他的部分。比如稳定性分析,改进前后的效果。

    1.2滑模干扰观测器的仿真

    以下是滑模干扰观测器的仿真设计与转速跟踪效果图。
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  • 本节介绍的基于非线性观测器的干扰观测器,这是一种非常简单有效的干扰观测器。 先介绍原理,最后介绍如何简化应用。 假设系统的模型如下,是力矩,是干扰力矩,和,均是非线性函数。 构造干扰观测器的方程...

    本节介绍的基于非线性观测器的干扰观测器,这是一种非常简单有效的干扰观测器。

    先介绍原理,最后介绍如何简化应用。

    假设系统的模型如下,\tiny T是力矩,\tiny d是干扰力矩,\tiny J\left ( \theta \right )\tiny G \left ( \theta \right ),均是非线性函数。

                                                                           \tiny J\left ( \theta \right )\ddot{\theta }+G\left ( \theta,\dot{\theta } \right )=T+d                                     (1)

    构造干扰观测器的方程如下:

                                                      \tiny \dot{\hat{d}}=-L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\hat{d}+L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\left ( J\left ( \theta \right ) \ddot{\theta }+G\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )-T\right )        (2)

    假设

                                                                                               \tiny \dot{d}=0                                                          (3)

    定义干扰观测的误差为:
                                                                                        \tiny e\left ( t \right )=d-\hat{d}                                                  (4)

    结合式(4)和观测器方程得到:

                                                                       \dot{ e}=\dot{d}-\dot{\hat{d}}=L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\hat{d}-L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )d                               (5)

    也就是说,观测器误差由下式决定

                                                                                     \dot{e}+L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )e=0                                               (6)

    通过选择,可以证明观测器是全局渐近稳定的

                                                                                  L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )=diag\left \{ c,c \right \}                                            (7)

    其中c> 0,更具体地说,指数收敛速度可以通过选择C来指定。

    L定义为对角阵,c为观测器的收敛极点。

    定义一个新的辅助变量z

                                                                                      z=\hat{d}-p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )                                                 (8)

    其中z\in R^{2},接下来确定待设计的函数向量p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )

    令函数(2)式中的函数L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )由下面的非线性方程给出:

                                                                    L\left (\theta , \dot{\theta } \right )J\left ( \theta \right )\ddot{\theta }=\begin{bmatrix} \frac{\partial p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )}{\partial \theta } & \frac{\partial p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )}{\partial \dot{\theta }} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{\theta }\\ \ddot{\theta } \end{bmatrix}                            (9)

     结合观测器方程,调用式(8)和(9),得到

                                                           \dot{z}=\dot{\hat{d}}-\frac{\mathrm{d}p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right ) }{\mathrm{d} t}

                                                              =\dot{\hat{d}}-\begin{bmatrix} \frac{\partial p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )}{\partial \theta } & \frac{\partial p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )}{\partial \dot{\theta }} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{\theta }\\ \ddot{\theta } \end{bmatrix}

                                                              =-L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\left ( z+p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right ) \right )+L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\left ( G\left ( \theta ,\dot{\theta } \right ) -T\right )    (10)

    因此,得到NDO

                                                        z=-L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )z+L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\left ( G\left ( \theta ,\dot{\theta } \right ) -T-p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\right )            (11)

                                                           \hat{d}=z+p\left ( \theta ,\dot{\theta} \right )                                                                          (12)

    通过不断计算式(11),可以得出z的估计值,因此干扰的估计值可以通过公式(12)来计算出来。公式(11)和(12)即是干扰观测器的方程。

    L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )可设置为对角阵,p\left ( \theta ,\dot{\theta} \right )由公式(9)给出。

    应用举例

    总结:
    1、这种观测器的最大优势即是简单好用。

    2、如果被控对象的参数不准确也没关系,这样估计的干扰就包含参数不准确项了。

    3、带有干扰观测器的控制器最好不用积分控制,因为积分也是抗干扰的,二者容易重叠导致 控制器超调,可以用P或者PD控制。

    4、这种干扰观测器可以应用非线性的被控对象。

    5、模板中的观测器带宽L最好是控制器带宽的3~5倍。

    6、上篇中基于名义逆模型的干扰观测器很难应用在非线性系统中。

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  • 基于干扰观测器的主操作手滑模控制设计,李媛媛,贠今天,针对主操作手系统内存在的参数不确定及易受外部干扰等问题,研究设计了一种基于干扰观测器的机器人滑模控制,通过干扰观测器检测
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  • 如果继续构建状态观测器,其中的状态变量本身即包含干扰力,那么此状态观测器即可作为干扰观测器。 还是以直流电机为例: 直流电机的力矩方程如下:

    如果继续构建状态观测器,其中的状态变量本身即包含干扰力,那么此状态观测器即可作为干扰观测器。

    还是以直流电机为例:
    直流电机的力矩方程如下:
                                                             T_{e}=J\frac{\mathrm{d}\omega _{rm} }{\mathrm{d} t}+B\omega _{m}+T_{L}

                                              \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\begin{bmatrix} \theta _{rm}\\ \omega _{rm}\\ T_{L} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0& 1&0 \\ 0 & -\frac{B}{J}& -\frac{1}{J}\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \theta _{rm}\\ \omega _{rm}\\ T_{L} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{J}\\ 0 \end{bmatrix}T_{e} 

    利用上述状态方程构建如下观测器:其中利用的是编码器的采样值来进行反馈。

     

    可以看出,观测器的状态量包含转速估计值和负载转矩估计值,因此可以将其分别估计出来。

    只要转角变化较慢,即使B的值不准确,也可以准确地估计转速和负载转矩信息。

    当观测器的带宽较高时,便可准确地估计出扰动转矩,控制框图如下:
     

     这里仅仅是粗略地给出如何利用状态观测器来设计扰动观测器,如果您要在实际应用中使用这种观测器,还要仔细地阅读《电机传动系统控制》,书中详细地介绍了观测器的极点配置,性能分析,观测器的改进,速度与负载转矩观测器的分离设计。

    总结:

    1、这种观测器可以观测转速和负载转矩。

    2、在转速较低的情况下转速观测器效果很好。

    3、观测器的带宽要是控制器带宽的三倍以上才好。

    4、转速或者带宽较高时,对模型参数的准确性更加依赖。

    5、观测器带宽最好是控制器带宽的3~5倍。 

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  • 观测器设计问题,就是重新构造一个系统,利用原系统中可以直接测量到的输出向量和输入向量作为它的输入信号,并使其输出信号在一定提法下等价于原系统的状态,通常的重构状态或估计状态,称这个重新构造的系统为观测...

    本节以最广泛应用的二阶系统为例介绍通用的线性观测器。非线性的扩张状态观测器将在将在自抗扰控制中介绍。

    观测器设计问题,就是重新构造一个系统,利用原系统中可以直接测量到的输出向量和输入向量作为它的输入信号,并使其输出信号\hat{x}\left ( t \right )在一定提法下等价于原系统的状态x\left ( t \right ),通常\hat{x}\left ( t \right )x\left ( t \right )重构状态或估计状态,称这个重新构造的系统为观测器。

    对线性控制系统

                                                                           \left\{\begin{matrix} \dot{X}=AX+BU\\ Y=CX \end{matrix}\right.

    来说,Xn维状态变量,UY分别是p维、q维向量,通常q< np< n。以对象的输出量Y和输入量U作为其输入,可构造如下新系统。

                                                 \dot{Z}=AZ-L\left ( CZ-Y \right )+BU=\left ( A-LC \right )Z+LY+BU

    下面具体观察特殊的二阶系统的状态观测器的具体形式,设有二阶线性控制系统

                                                                     \left\{\begin{matrix} \dot{x}_{1}=x_{2}\\ \dot{x}_{2}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+bu\\ y=x_{1} \end{matrix}\right. 

    对这个系统

                                                    A=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ a_{1}& a_{2} \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 0\\ b \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix},L=\begin{bmatrix} l^{_{1}}\\ l_{2} \end{bmatrix}

    因此

                                                  LC=\begin{bmatrix} l_{1} &0 \\ l_{2}& 0 \end{bmatrix},AZ-Le_{1}=\begin{bmatrix} z_{2}-l_{1}e_{1}\\ a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}-l_{2}e_{1} \end{bmatrix}

    以上是简述观测器,观测器是现代控制理论中非常关键的部分,是LQR或者MPC等控制策略中的重要组成。

    接下来介绍扩张状态观测器。带着两个问题,一是如何扩张状态,二是扩张了什么状态。

    以上述的二阶系统为例。

    其中,

                                                   A=\begin{bmatrix} 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 0\\ b_{0}\\ 0 \end{bmatrix},E=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0 \end{bmatrix}

    对应的连续扩张状态观测器(LESO)为

                                                    \left\{\begin{matrix} \dot{z}=Az+Bu+L\left ( y-\hat{y} \right )=Az+Bu+L\left ( y-Cz \right )\\ \hat{y}=Cz \end{matrix}\right.

    其中,z\rightarrow xz为观测器的状态向量,L为观测器误差反馈增益矩阵,需要设计。由于\dot{f}未知且通过校正项可以估计出来,因而上式中略去了\dot{f}。重写观测器方程:
                                                                     \left\{\begin{matrix} \dot{z}=\left [ A-LC \right ]z+\begin{bmatrix} B,L \end{bmatrix}u_{c}\\ y_{c}=z \end{matrix}\right.

    式中:u_{c}=\begin{bmatrix} u & y \end{bmatrix}^{T}是组合输入,y_{c}是输出,A,B,C的取值见上,L为需要设计的观测器增益矩阵。

     如果将输出y设定为位置,则输出u是力,或者等效为加速度,而总干扰力f也是直接作用在被控对象上,与u的合力的二次积分即是y。这样的作用力与扰动力分离的思想,是想把被控对象校正成积分串联系统,达到超调和震荡很小的目的。

    可见,是将除了输入u之外扰动力独立出的一个状态变量。

    可将上图的状态空间写成如下形式,\begin{bmatrix} \beta _{1}& \beta _{2}& \beta _{3} \end{bmatrix}=L

                                                                \left\{\begin{matrix} e=y-x_{1}\\ \dot{z}_{1}=z_{2}-\beta _{1}e\\ \dot{z}_{2}=z_{3}-\beta _{2}e+bu\\ \dot{z}_{3}=-\beta _{3}e \end{matrix}\right.

    在“总和扰动”的变化范围不大的情况下,用上式进行状态估计的效果也不错。但若要保证一定的估计精度,需要取比较大的增益,即\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}要取得大一些,这就是所谓的“高增益扩张状态观测器”的形式。

    线性扩张状态观测器的参数\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}可以通过带宽的概念确定。对一阶、二阶、三阶系统来说,分别将其对应的线性扩张状态观测器的特征方程配置成\left ( s+\omega \right )^{2},\left ( s+\omega \right )^{3},\left ( s+\omega \right )^{4},此时扩张后的系统具有较好地稳定性和较好地过渡过程,因此相应的有

                                                        \left\{\begin{matrix} \beta _{1}=2\omega ,\beta _{2}=\omega ^{2}\\ \beta _{1}=3\omega ,\beta _{2}=3\omega ^{2},\beta _{3}=\omega ^{3}\\ \beta _{1}=4\omega ,\beta _{2}=6\omega ^{2},\beta _{3}=4\omega ^{3},\beta _{4}=\omega ^{4} \end{matrix}\right.

    在一般情况下,\omega的适应范围很宽,因此很容易调整出合适的\omega

    总结:

    1、这种观测器更适合接近积分串联系统的控制,比如电机控制、四旋翼控制;

    2、要求是干扰力是有界的,可以不连续或者非线性;

    3、观测器带宽最好是控制器带宽的3~5倍;

    4、参数b要准确一些,一倍以内的误差还可以接受;

    5、离散化最优是双线性离散化。

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空空如也

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干扰观测器设计