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  • 克罗内克函数Kronecker’s Delta 定义 δ(i,j)={1   (i=j)0   otherwise \delta(i,j)=\left\{ \begin{aligned} 1 &\ \ \ (i=j)\\ 0 &\ \ \ otherwise \end{aligned} \right. ...

    克罗内克函数Kronecker Delta

    1 定义

    δij={0if ij,1if i=j. \delta _{{ij}}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}
    也可记作:
    δij=[i=j] {\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}
    比如单位矩阵可以描述为,矩阵I\mathbf{I}满足
    Iij=δij {\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}
    向量内积可以描述为
    ab=i,j=1naiδijbj \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}

    2 推论

    2.1 Equivalence Property

    δ(i,j)=δ(ij,0) \delta(i,j) = \delta(i - j,0)

    2.2 Sifting Property

    jZj ∈ ℤ,有
    i=aiδij=aj. \sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} =a_j.

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  • Kronecker delta,即克罗内克函数(又称克罗内克δ函数、克罗内克δ、克罗内克符号)δij是一个二元函数,得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量(输入值)一般是两个整数,如果两者相等,则其...

    Kroneker Tensor,克罗内克张量

    Kroneker张量源自Kronecker delta函数。Kronecker delta,即克罗内克函数(又称克罗内克δ函数、克罗内克δ、克罗内克符号)δij是一个二元函数,得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量(输入值)一般是两个整数,如果两者相等,则其输出值为1,否则为0。

    克罗内克函数的值一般简写为δij。

    克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号,但是克罗内克δ用的时候带两个下标,而狄拉克δ函数则只有一个变量。

    另一种标记方法是使用艾佛森括号(得名于肯尼斯·艾佛森):

    同时,当一个变量为0时,常常会被略去,记号变为δi

    线性代数中,克罗内克函数可以被看做一个张量,写作\delta ^{_{i}^{j}} 

     

    克罗内克函数有筛选性:对任意 :

    如果将整数看做一个装备了计数测度测度空间,那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的。

    实际上,狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中,两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定为连续的情况(狄拉克函数) ,而使用ijklm, and n 等变量一般是在 离散的情况下(克罗内克函数)。

    线性代数中的应用

    线性代数中,单位矩阵可以写作。

    在看做是张量时(克罗内克张量),可以写作 。

    这个(1,1)向量表示:

    作为线性映射的单位矩阵。 迹数。 内积 映射,将数量乘积表示为外积的形式。

     

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  • 克罗内克符号kronecker_delta

    千次阅读 2018-11-21 22:43:00
    Kronecker delta 克罗内克函数 Wiki 维基百科 Kronecker delta 定义 \[\delta _{{ij}}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}\] Python3 代码实现 函数设计 kronecker_...

    Kronecker delta 克罗内克函数

    Wiki

    维基百科

    Kronecker delta 定义

    \[\delta _{{ij}}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}\]

    Python3 代码实现

    函数设计

    kronecker_delta_ij = lambda i, j: 1 if i==j else 0

    函数使用

    kronecker_delta_ij(1, 1)  # 结果为 1
    kronecker_delta_ij(1, 3)  # 结果为 0

    \(\delta_{ij}\)张量定义

    def delta_ij(n):
        Delta_ij = []
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                Delta_ij.append(kronecker_delta_ij(i, j))
        return [Delta_ij[:3], Delta_ij[3:6], Delta_ij[-3:]]

    example:

    deltaij = delta_ij(3)
    print(deltaij)
    
    结果:
    [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

    关于克罗内克符号的补充

    构造方法1

    import numpy as np
    n = 3
    i, k = np.ogrid[:n, :n]
    res = np.zeros((n, n, n, n), int)
    res[i, i, k, k] = 1
    print(res)

    Result:

    [[[[1 0 0]
       [0 1 0]
       [0 0 1]]
    
      [[0 0 0]
       [0 0 0]
       [0 0 0]]
    
      [[0 0 0]
       [0 0 0]
       [0 0 0]]]
    
    
     [[[0 0 0]
       [0 0 0]
       [0 0 0]]
    
      [[1 0 0]
       [0 1 0]
       [0 0 1]]
    
      [[0 0 0]
       [0 0 0]
       [0 0 0]]]
    
    
     [[[0 0 0]
       [0 0 0]
       [0 0 0]]
    
      [[0 0 0]
       [0 0 0]
       [0 0 0]]
    
      [[1 0 0]
       [0 1 0]
       [0 0 1]]]]

    构造方法2

    import numpy as np
    n = 3
    i = np.aragne(3)
    res = np.zeros((3,3,3), int)
    res[i, i, i] = 1
    print(res)

    1372901-20181121224458867-535758943.jpg

    总结

    本次分享的知识虽小,但是五脏皆全。涉及到了lambda表达式,三元表达式,for循环,函数定义,以及numpy库的知识。

    转载于:https://www.cnblogs.com/brightyuxl/p/9998403.html

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  • Happiness is to find someone who can give you warm and share your life ...数理统计中常用函数、概率分布函数总结克罗内克函数(Kornecker delta)δ(n)={01if i≠jif i=j \delta(n)=\begin{cases} 0& \text{if

    Happiness is to find someone who can give you warm and share your life together.

    幸福就是找一个温暖的人过一辈子。

    数理统计中常用函数、概率分布函数总结

    克罗内克函数(Kornecker delta)

    δ(i,j)={01if ijif i=j

    伯努利分布函数(Bernoulli distribution)

    又名两点分布或0-1分布。

    • 如果试验E是一个伯努利试验,将E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
    • 进行一次伯努利试验,成功(X=1)概率为p(0<=p<=1),失败(X=0)概率为1-p,则称随机变量X服从伯努利分布。
      伯努利分布是离散型概率分布,概率分布函数为:
      f(x)=px(1p)1x=p1p0if x=1if x=0otherwise

    二项分布(Binomial distribution)

    二项分布是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。

    • 如果试验E是一个n重伯努利试验,每次伯努利试验的成功概率为p,X代表成功的次数,则X的概率分布是二项分布,记为X~B(n,p),其概率质量函数为:
      P{X=k}=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,3...,n.

      k=0nP{X=k}=1
    • 伯努利分布是二项分布在n=1时的特例。
    • 二项分布名称的由来,是由于其概率质量函数中使用了二项系数,该系数是二项式定理中的系数,二项式定理由牛顿提出:
      (x+y)n=Cknxkynk

    多项分布(Multinomial distribution)

    多项式分布是二项式分布的推广。二项式做n次伯努利实验,规定了每次试验的结果只有两个,如果现在还是做n次试验,只不过每次试验的结果可以有多m个,且m个结果发生的概率互斥且和为1,则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。多项式分布的质量函数如下:

    P{X1=k1,X2=k2,......,Xn=kn}=n!k1!k2!...Kn!i=1nPkii,wherei=0nki=n.

    贝塔分布(Beta distribution)

    先了解一下先验概率、后验概率、似然函数以及共轭分布的概念。

    • 先验概率 事情尚未发生前,我们对该事发生概率的估计。利用过去历史资料计算得到的先验概率,称为客观先验概率; 当历史资料无从取得或资料不完全时,凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率,称为主观先验概率。例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5,这就是主观先验概率。
    • 后验概率 指通过调查或其它方式获取新的附加信息,利用贝叶斯公式对先验概率进行修正,而后得到的概率。
    • 先验概率和后验概率的区别 先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的,而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的;后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料,既有先验概率资料,也有补充资料。另外一种表述:先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量;而后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率。
    • 似然函数 一种关于统计模型参数的函数。给定输出x时,关于参数θ的似然函数L(θ|x)(在数值上)等于给定参数θ后变量X的概率:L(θ|x)=P(X=x|θ)。
    • 似然和概率的区别 概率用于在已知一些参数的情况下,预测接下来的观测所得到的结果,而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物的性质的参数进行估计。
    • 共轭分布 后验概率分布函数与先验概率分布函数具有相同形式

    首先考虑在试验数据比较少的情况下,直接用最大似然法估计二项分布的参数可能会出现过拟合的现象(比如,扔硬币三次都是正面,那么最大似然法预测以后的所有抛硬币结果都是正面)。为了避免这种情况的发生,可以考虑引入先验概率分布来控制参数,防止出现过拟合现象。

    先验概率和后验概率的关系如下:

    posterior=likelihoodprior

    二项分布的似然函数为(指二项分布除归一参数的部分,似然函数不是概率分布函数是由于似然函数不需要归一化):
    μm(1μ)n
    如果选择的先验概率也与和次方的乘积的关系,那么后验概率分布的函数形式就会跟它的先验函数形式一样了。具体来说,选择prior的形式是
    w1μa(1μ)b
    ,那么posterior就会变成
    w2μa+m(1μ)n+b
    ,w1,w2(为概率分布函数的归一化参数),所以posterior和prior具有相同的函数形式(都是也与和次方的乘积),这样先验概率与后验概率就是共轭分布了。
    通常选择贝塔分布作为先验概率分布函数,形式如下:
    Beta(μ|a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)μa1(1μ)b1,where0<μ<1,Γ(n)=(n1)!,n=1,2,3...

    狄利克雷分布(Dirichlet distribution)

    狄利克雷分布是多项分布的共轭分布,与多项式分布具有相同的形式。

    概率分布函数如下:

    P(p1,...,pn;α1,...,αn)=1B(α)i=1npki1i,whereB(α)=ni=1Γ(αi)Γ(ni=1αi)

    欢迎参考本人博客:https://smj2284672469.github.io/

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  • Kronecker delta

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空空如也

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克罗内克函数