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  • 初等多值函数
    2014-03-12 10:05:00

    0. 引言

    (1) 单值函数 (通常的函数), 多值函数 (如 $\sqrt[n]{z}$, $\Arg z$).

    (2) 单叶函数: $$\bex f\mbox{ 在区域 }D \mbox{ 内单叶: } z_1\neq z_2\ra f(z_1)\neq f(z_2). \eex$$ 而也称 $D$ 为 $f$ 的单叶性区域.

    例: $w=z^2$ 在 $\bbC$ 上不是单叶的, 但在 $\Im z>0$ 上是单叶的.

     

    1. 根式函数

    (1) 定义: $$\bex z=re^{i\tt}\ra w=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\tt}{n}} \cdot e^{i\frac{2k\pi}{n}}\quad(k=0,1,2,\cdots,n-1). \eex$$

    (2) 怎么使 $w=\sqrt[n]{z}$ 是单值函数呢?

    a. $z=re^{i\tt}$, 把 $\tt$ 范围定下来 (使其不相差 $2\pi$ 的整数倍). 比如沿负实轴割开 $z$ 平面, 则 $$\bex -\pi<\Arg z\leq \pi (\mbox{主辐角}),\mbox{ 或 } -\pi\leq \tt<\pi; \eex$$ 按照上下左右岸来定 $=$.

    b. 把 $k$ 定下来, 称为 $\sqrt[n]{z}$ 的第 $k$ 个单值解析分支.

    (3) 例: 设 $w=\sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=-i$. 求 $w(-i)$.

    解:

    a. 沿负实轴割破 $z$ 平面 $\ra -\pi <\Arg z\leq \pi$.

    b. $$\bex -i=w(i)=\sqrt[3]{i}=\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{2}}} =e^{i\frac{\pi}{6}} \cdot e^{i\frac{2k\pi}{3}}\ra k=2. \eex$$

    c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]{r}e^{i\frac{\tt}{3}}\cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}\quad(z=re^{i\tt}),\\ w(-i)&=w(e^{-i\frac{\pi}{2}})=e^{i\sex{\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}+\frac{4\pi}{3}}} =e^{i\frac{7\pi}{6}}. \eea \eeex$$

    (4) 例: 设 $w=\sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(-1)=-1$, 这里 $-1$ 是边界上岸的点. 求 $w(-i)$.

    解:

    a. 沿负实轴割破 $z$ 平面 $\ra -\pi <\Arg z\leq \pi$.

    b. $$\bex -i=w(-1)=w(e^{i\pi}) =e^{i\frac{\pi}{3}}\cdot e^{i\frac{2k\pi}{3}}\ra k=1. \eex$$

    c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]{r}e^{i\frac{\tt}{3}}\cdot e^{i\frac{2\pi}{3}}\quad(z=re^{i\tt}),\\ w(-i)&=w(e^{-i\frac{\pi}{2}}) =e^{i\sex{\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}+\frac{2\pi}{3}}} =e^{i\frac{\pi}{2}}=i. \eea \eeex$$

    (5) 例: 设 $w=\sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着正实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=-i$. 求 $w(-i)$.

    解:

    a. 沿正实轴割破 $z$ 平面 $\ra 0<\Arg z\leq 2\pi$ 或 $0\leq \Arg z<2\pi$.

    b. $$\bex -i=w(i)=\sqrt[3]{i}=\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{2}}} =e^{i\frac{\pi}{6}} \cdot e^{i\frac{2k\pi}{3}}\ra k=2. \eex$$

    c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]{r}e^{i\frac{\tt}{3}}\cdot e^{i\frac{4\pi}{3}}\quad(z=re^{i\tt}),\\ w(-i)&=w(e^{i\frac{3\pi}{2}}) =e^{i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{i\frac{4\pi}{3}} =e^{i\frac{11\pi}{6}}. \eea \eeex$$

     

    2. 对数函数

    (1) 定义: 把 $e^w=z$ 的反函数称为对数函数 $w=\Ln z$.

    (2) 设 $z=re^{i\tt}$, $w=u+iv$, 则 $$\beex \bea &\quad e^u\cdot e^{iv}=re^{i\tt}\\ &\ra e^u=r,\quad v=\tt+2k\pi\\ &\ra w=\ln r+i(\tt+2k\pi). \eea \eeex$$

    (3) 怎么使 $w=\Ln z$ 为单值函数呢?

    a. 把 $\tt$ 的范围定下 (割破 $z$ 平面). 同 $\sqrt[n]{z}$ 的讨论.

    b. 把 $k$ 定住, 称为 $\Ln z$ 的第 $k$ 个单值解析分支.

    (4) 例: 设 $w=\Ln z$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=\cfrac{5\pi i}{2}$. 求 $w(-i)$.

    解:

    a. $-\pi<\Arg z<\pi$.

    b. $$\bex \frac{5\pi i}{2}=w(i)=w(e^{i\frac{\pi}{2}}) =i\sex{\frac{\pi}{2}+2k\pi}\ra k=1. \eex$$

    c. $$\beex \bea w(z)&=\ln r+i(\tt+2\pi)\quad(z=re^{i\tt}),\\ w(-i)&=w(e^{-i\frac{\pi}{2}}) =i\sex{-\frac{\pi}{2}+2\pi} =\frac{3\pi i}{2}. \eea \eeex$$

     

    3. 幂函数、一般指数函数: $$\bex w=z^\alpha=e^{\alpha\Ln z},\quad w=a^z=e^{z\Ln a}. \eex$$

     

    作业: P 92 T 22, T 23. 

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    关于什么是初等函数

    以高等数学,或者更高一级的解析数学的角度看,所谓的初等函数是由 「幂函数 (power function)」「指数函数 (exponential function)」「 对数函数 (logarithmic function)」「三角函数 (trigonometric function)」「反三角函数 (inverse trigonometric function)」与常数经过有限次的有理运算(比如,加、减、乘、除、乘方、开方运算等)及有限次函数复合产生,并能用一个解析式表示的函数。

    自然,复变函数的初等函数也是遵循上述规则,只不过参与演算的数从原来的实数域扩展至了复数域,于是被称为——「初等复变函数」。在大学里所涉及的复变函数的「初等复变函数」主要有四类,即指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数。

    现在我们来逐一分析。

    指数函数

    《复变函数 —— 0. 连接复数与三角函数的欧拉公式》《复变函数 —— 1. 复数的定义》 我们分别用泰勒展开和球坐标公式,证明了重要的欧拉公式,而 欧拉公式 本身也是复变函数中极为重要的初等复变函数。

    现在我们来讨论稍微一般点的情形,即如果有复函数 z = x + j y z = x + j y z=x+jy,那么可以得到

    f ( z ) = e z = e x + j y = e x ( cos ⁡ y + j sin ⁡ y ) f(z) = e^z = e^{x + j y} = e^{x}( \cos y + j \sin y) f(z)=ez=ex+jy=ex(cosy+jsiny)

    通常如果不特别指定,我们可以假定它的模长 ∣ e 2 k π j ∣ = ∣ e x ∣ = 1 |e^{2 k \pi j}| = |e^x| = 1 e2kπj=ex=1,而且函数的周期是 2 k π j 2 k \pi j 2kπj。此外,指数函数有如下一些基本性质。

    • ( e z ) ′ = e z (e^z)' = e^z (ez)=ez
    • ∣ e z ∣ = e x |e^z| = e^x ez=ex,它的幅角函数 arg ⁡ e z = y + 2 k π \arg e^z = y + 2 k \pi argez=y+2kπ
    • e z + 2 k π j = e z e^{z + 2k\pi j} = e^z ez+2kπj=ez,即 e z e^z ez 是以 2 k π j 2 k \pi j 2kπj 为周期的周期函数。

    「arg(x)」即所谓的 幅角 函数。在数学中,它是指复数在复平面上对应的向量和正向实数轴所成的有向角。
    在这里插入图片描述

    对数函数

    如同在实域的「对数」是「指数」的反函数,在复数域里,也自然存在「复指数函数」的反函数「复对数函数」,因此当 e ω = z e^{\omega} = z eω=z 时,自然就有 ω = ln ⁡ z = ln ⁡ ∣ z ∣ + j arg ⁡ ( z ) \omega = \ln z = \ln |z| + j \arg(z) ω=lnz=lnz+jarg(z)

    这个没什么好再说的,所以我们直接看看一些例题。

    例1

    ln ⁡ ( 1 + j ) \ln(1 + j) ln(1+j)

    解:我们直接代入公式 ln ⁡ z = ln ⁡ ∣ z ∣ + j arg ⁡ ( z ) \ln z = \ln |z| + j \arg(z) lnz=lnz+jarg(z),于是有

    ln ⁡ ( 1 + j ) = ln ⁡ ∣ 1 + j ∣ + j arg ⁡ ( 1 + j ) \ln(1 + j) = \ln |1 + j| + j \arg(1 + j) ln(1+j)=ln1+j+jarg(1+j)

    1 + j 1 + j 1+j 的绝对值可以通过先转换为复平面向量,再求模长的方式得到,于是:

    ∣ 1 + j ∣ ⇒ ( 1 , 1 j ) ⇒ 1 2 + 1 2 = 2 |1 + j| \Rightarrow (1, 1j) \Rightarrow \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} 1+j(1,1j)12+12 =2

    然后关于幅角 arg ⁡ ( 1 + j ) \arg(1 + j) arg(1+j),又要怎么处理呢,首先它的实轴长度为1,虚轴长度为1,即 x > 0 x>0 x>0 y > 0 y>0 y>0,根据弧角与arctan函数之间的关系,

    arg ⁡ z = { arctan ⁡ y x x > 0 π 2 x = 0 ,   y > 0 − π 2 x = 0 ,   y < 0 arctan ⁡ y x + π x < 0 ,   y ≥ 0 arctan ⁡ y x − π x < 0 ,   y < 0 \arg z = \left \{ \begin{matrix} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, \ y> 0 \\ \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0, \ y < 0 \\ \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0, \ y \ge 0 \\ \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0, \ y < 0 \end{matrix} \right. argz=arctanxy2π2πarctanxy+πarctanxyπx>0x=0, y>0x=0, y<0x<0, y0x<0, y<0

    所以,我们可以得到 arg ⁡ ( 1 + j ) = arctan ⁡ 1 1 = arctan ⁡ 1 = 4 5 ∘ = π 4 \arg(1 + j) = \arctan \frac{1}{1} = \arctan 1 = 45^\circ = \frac{\pi}{4} arg(1+j)=arctan11=arctan1=45=4π,于是有

    ln ⁡ ( 1 + j ) = 2 + j π 4 \ln(1 + j) = \sqrt{2} + j \frac{\pi}{4} ln(1+j)=2 +j4π

    到这一步基本结束,不过你还可以利用 ln ⁡ x a = a ln ⁡ x \ln x^a = a \ln x lnxa=alnx,于是可得到

    ln ⁡ ( 1 + j ) = 1 2 ln ⁡ 2 + j π 4 \ln(1 + j) = \frac{1}{2} \ln 2 + j \frac{\pi}{4} ln(1+j)=21ln2+j4π

    幂函数

    如果存在一个复变的幂函数表示为 a b a^b ab,那么它也可以改写为e为底的幂函数,即

    a b = e b ln ⁡ a a^b = e^{b \ln a} ab=eblna

    这也没啥好解释的,直接看一些例题:

    例1

    ( − 1 ) j (-1)^j (1)j 的值

    解,代入上式,于是可以直接得到

    ( − 1 ) j = e j ln ⁡ ( − 1 ) (-1)^j = e^{j \ln (-1)} (1)j=ejln(1)

    然后再代入对数函数的计算式,有 ln ⁡ z = ln ⁡ ∣ z ∣ + j arg ⁡ z \ln z = \ln |z| + j \arg z lnz=lnz+jargz,于是

    ( − 1 ) j = e j ln ⁡ ( − 1 ) = e j [ ln ⁡ ∣ − 1 ∣ + j arg ⁡ ( − 1 ) ] = e j [ 0 + j arg ⁡ ( − 1 ) ] = e − arg ⁡ ( − 1 ) (-1)^j = e^{j \ln (-1)} = e^{j [\ln|-1| + j \arg (-1)]} = e^{j [0 + j\arg(-1)]} = e ^{-\arg(-1)} (1)j=ejln(1)=ej[ln1+jarg(1)]=ej[0+jarg(1)]=earg(1)

    由于 x = − 1 < 0 x = -1 < 0 x=1<0 y = 0 y = 0 y=0,我们根据条件得到 arctan ⁡ y x + π = π \arctan \frac{y}{x} + \pi = \pi arctanxy+π=π,再由复角的定义,最终得到

    ( − 1 ) j = e − ( π + 2 k π ) (-1)^j = e^{- (\pi + 2k\pi)} (1)j=e(π+2kπ)

    三角函数

    复变三角函数相对比较复杂,因为复变函数的本质是复数空间内的周期函数,在实轴上的投影是余弦函数,而在复轴上则是正弦函数。

    在这里插入图片描述
    由欧拉方程我们可以知道

    e j θ = cos ⁡ θ + j sin ⁡ θ e^{j \theta} = \cos \theta + j \sin \theta ejθ=cosθ+jsinθ

    那么当 e − j θ e^{-j \theta} ejθ 时,就可以得到

    e − j θ = cos ⁡ θ − j sin ⁡ θ e^{-j \theta} = \cos \theta - j \sin \theta ejθ=cosθjsinθ

    于是

    e j θ + e − j θ = 2 cos ⁡ θ e j θ − e − j θ = 2 j sin ⁡ θ e^{j \theta} + e^{-j \theta} = 2\cos \theta \\ e^{j \theta} - e^{-j \theta} = 2 j \sin \theta ejθ+ejθ=2cosθejθejθ=2jsinθ

    于是可以得到关于复变函数的三角函数式:

    sin ⁡ z = e j z − e − j z 2 j cos ⁡ z = e j z + e − j z 2 sin ⁡ j y = e − y − e y 2 j cos ⁡ j y = e − y + e y 2 \sin z = \frac{e^{jz} - e^{-jz}}{2 j} \\ \cos z = \frac{e^{jz} + e^{-jz}}{2} \\ \sin jy = \frac{e^{-y} - e^y}{2j} \\ \cos jy = \frac{e^{-y} + e^y}{2} sinz=2jejzejzcosz=2ejz+ejzsinjy=2jeyeycosjy=2ey+ey

    然后我们可以直接把三角函数的相关规则套用进来,并且可以很容易的套用《数学基础知识总结 —— 3. 常用三角函数公式表》推导出各种不同形式的「复变三角函数」形式。

    另外关于这部分内容,我发现在某乎上有个哥们写的比我要详细的多,有兴趣做进一步扩展的,可以参考

    inversioner,复变函数学习笔记(2),https://zhuanlan.zhihu.com/p/114214745

    一些可能是废话的废话

    不知道你发现没有,在复数域上,当我们讨论复变函数以及复变函数的初等形式时,它们往往都会和自然数产生联系,并且或多或少出现了有周期性这么个特征。这在一定程度上不免让人联想到了极坐标系的情况。

    从我个人的经验来看似乎是这么一回事,当我们把问题从传统的实数域范畴,映射到了复数域之后,问题在很大程度上就会从类似于幅值大小的问题,变成了快慢频率问题。

    复数域与复变函数确实相较于高数之前的数学要难上许多,尽管高数已经非常困难让人畏惧而且厌恶,但是我个人认为当你具备以足够高的角度去考虑问题的能力时,才能开始慢慢体会到数学背后的美。

    这就像是攀登高峰,过程之中极尽曲折,但是当你逐渐攀上山顶,波澜壮阔的云山雾罩也才能尽收眼前。

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  • 基本初等函数

    千次阅读 2021-06-26 08:56:48
    初等函数   基本初等函数分为如下5类: 幂函数,如y=xμy = x^{\mu}y=xμ。 指数函数,如y=axy = a^xy=ax。 对数函数,如y=logaxy = log_{a}xy=loga​x。 三角函数,如y=sin  xy = sin \; xy=sinx。 反三角函数...

    初等函数

      基本初等函数分为如下5类:

    1. 幂函数,如 y = x μ y = x^{\mu} y=xμ
    2. 指数函数,如 y = a x y = a^x y=ax
    3. 对数函数,如 y = l o g a x y = log_{a}x y=logax
    4. 三角函数,如 y = s i n    x y = sin \; x y=sinx
    5. 反三角函数,如 y = a r c s i n    x y = arcsin \; x y=arcsinx

      初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

    二次函数

      一般地,把形如 y = a x 2 + b x + c    ( a ≠ 0 ) y = ax^2 + bx + c \; (a \neq 0) y=ax2+bx+c(a=0)的函数叫做二次函数,其中 a a a称为二次项系数 b b b一次项系数 c c c常数项x为自变量,y为因变量。
      二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路径,我们把它叫做抛物线。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最高点或最低点。
      当 a > 0 a > 0 a>0时,抛物线 y = a x 2 y = ax^2 y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,开口向上,顶点是抛物线的最低点, a a a越大,抛物线的开口越小。
      当 a < 0 a < 0 a<0时,抛物线 y = a x 2 y = ax^2 y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,开口向下,顶点是抛物线的最高点, ∣ a ∣ \left | a \right | a越大,抛物线的开口越小。
      抛物线 y = a x 2 + k y = ax^2 + k y=ax2+k的图像可由 y = a x 2 y = ax^2 y=ax2图像向上或向下平移得到:当 k > 0 k > 0 k>0,向上平移;当 k < 0 k < 0 k<0,向下平移。
      抛物线 y = a x 2 + k y = ax^2 + k y=ax2+k的性质:

    1. a > 0 a > 0 a>0时,开口向上;当 a < 0 a < 0 a<0时,开口向下。
    2. 对称轴是y轴。
    3. 顶点坐标是 ( 0 ,    k ) (0, \; k) (0,k)
    4. ∣ a ∣ \left | a \right | a越大,开口越小。

      抛物线 y = a ( x − h ) 2 y = a(x - h)^2 y=a(xh)2的性质:

    1. a > 0 a > 0 a>0时,开口向上;当 a < 0 a < 0 a<0时,开口向下。
    2. 对称轴是 x = h x = h x=h
    3. 顶点坐标是 ( h ,    0 ) (h, \; 0) (h,0)
    4. ∣ a ∣ \left | a \right | a越大,开口越小。

      抛物线左右移动的原则是左加右减

    1. 把抛物线 y = − 1 2 x 2 \displaystyle{y = -\frac{1}{2}x^2} y=21x2向左平移1个单位,就得到抛物线 y = − 1 2 ( x + 1 ) 2 \displaystyle{y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2} y=21(x+1)2
    2. 把抛物线 y = − 1 2 x 2 \displaystyle{y = -\frac{1}{2}x^2} y=21x2向右平移1个单位,就得到抛物线 y = − 1 2 ( x − 1 ) 2 \displaystyle{y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2} y=21(x1)2

      抛物线 y = a ( x − h ) 2 + k y = a(x - h)^2 + k y=a(xh)2+k的性质:

    1. a > 0 a > 0 a>0时,开口向上;当 a < 0 a < 0 a<0时,开口向下。
    2. 对称轴是 x = h x = h x=h
    3. 顶点坐标是 ( h ,    k ) (h, \; k) (h,k)
    4. ∣ a ∣ \left | a \right | a越大,开口越小。

      把函数 y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y=ax2+bx+c通过配方法变成顶点式 y = a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a \displaystyle{y = ax^2 + bx + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}} y=ax2+bx+c=a(x+2ab)2+4a4acb2,其中对称轴是 x = − b 2 a \displaystyle{x = -\frac{b}{2a}} x=2ab,顶点是 ( − b 2 a ,    4 a c − b 2 4 a ) \displaystyle{(-\frac{b}{2a}, \; \frac{4ac - b^2}{4a})} (2ab,4a4acb2)
      二次函数 y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的个数:

    1. 如果 b 2 − 4 a c > 0 b^2 - 4ac > 0 b24ac>0,则有2个交点。
    2. 如果 b 2 − 4 a c = 0 b^2 - 4ac = 0 b24ac=0,则有1个交点。
    3. 如果 b 2 − 4 a c < 0 b^2 - 4ac < 0 b24ac<0,则没有交点。

    指数函数

      一般地,函数 y = a x    ( a > 0 且 a ≠ 1 ) y = a^x \; (a > 0且a \neq 1) y=ax(a>0a=1)叫做指数函数,函数的定义域是R。指数函数都经过点 ( 0 ,    1 ) (0, \; 1) (0,1)
      当 a > 1 a > 1 a>1时,指数函数都是增函数;当 0 < a < 1 0 < a < 1 0<a<1时,指数函数都是减函数。

    幂函数

      一般地,函数 y = x α y = x^\alpha y=xα称为幂函数,其中x是自变量, α \alpha α是常量。
      当 α > 0 \alpha > 0 α>0时,幂函数 y = x α y = x^\alpha y=xα有下列性质:

    1. 图像都经过点 ( 1 ,    1 ) (1, \; 1) (1,1) ( 0 ,    0 ) (0, \; 0) (0,0)
    2. 函数的图像在区间 [ 0 ,    + ∞ ) [0, \; +\infty) [0,+)上是增函数。

      当 α < 0 \alpha < 0 α<0时,幂函数 y = x α y = x^\alpha y=xα有下列性质:

    1. 图像都经过点 ( 1 ,    1 ) (1, \; 1) (1,1)
    2. 函数的图像在区间 ( 0 ,    + ∞ ) (0, \; +\infty) (0,+)上是减函数。

      当 α \alpha α为奇数时,幂函数是奇函数;当 α \alpha α为偶数时,幂函数是偶函数。

    对数函数

      一般地,函数 y = l o g a x    ( a > 0 且 a ≠ 1 ) y = log_{a}x \; (a > 0且a \neq 1) y=logax(a>0a=1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是 ( 0 ,    + ∞ ) (0, \; +\infty) (0,+),值域为R。指数函数过点 ( 0 ,    1 ) (0, \; 1) (0,1)
      当 a > 1 a > 1 a>1时,具有如下性质:

    1. 0 < x < 1 0 < x < 1 0<x<1时, y < 0 y < 0 y<0;当 x > 1 x > 1 x>1时, y > 0 y > 0 y>0
    2. ( 0 ,    + ∞ ) (0, \; +\infty) (0,+)上是增函数。

      当 0 < a < 1 0 < a < 1 0<a<1时,具有如下性质:

    1. 0 < x < 1 0 < x < 1 0<x<1时, y > 0 y > 0 y>0;当 x > 1 x > 1 x>1时, y < 0 y < 0 y<0
    2. ( 0 ,    + ∞ ) (0, \; +\infty) (0,+)上是减函数。

    反函数

      设函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)的定义域是D,值域是f(D),如果对于值域f(D)中的每一个y,在D中有且只有一个x使得 g ( y ) = x g(y) = x g(y)=x,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数,并把该函数称为函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)反函数,记为 x = f − 1 ( y ) ,    y ∈ f ( D ) x = f^{-1}(y), \; y \in f(D) x=f1(y),yf(D)
      函数 f f f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数 f − 1 f^{-1} f1的值域和定义域,并且 f − 1 f^{-1} f1的反函数就是 f f f,也就是说,函数 f f f f − 1 f^{-1} f1互为反函数。
      相对于反函数 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f1(x)来说,原来的函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线 y = x y = x y=x对称。

    分段函数

      分段函数:对于自变量x的不同的取值范围,有着不同的解析式的函数,例如 f ( x ) = { 1 0 x x ≤ 1 x x > 1 f(x) = \left\{\begin{matrix} 10^x & x \le 1 \\ x & x > 1 \end{matrix}\right. f(x)={10xxx1x>1。它是一个函数,而不是几个函数。
      分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。

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  • 初等函数组合的.py
  • 存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的),这里的一一对应是定义域和值域的一一对应 注意:上标"−1"指的并不是幂, 代表反函数 最具有代表性的反函数就是对数函数与指数...

    反函数

    1 ) 概念

    • 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y = f(x),则y = f(x)的反函数为 x = f(y) 或者 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f1(x) 后者为常用记发
    • 存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的),这里的一一对应是定义域和值域的一一对应
    • 注意:上标"−1"指的并不是幂, 代表反函数
    • 最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数,再比如: y = x 3 y = x^3 y=x3 y = x 3 y = \sqrt[3]{x} y=3x

    2 ) 性质

    • 函数f(x)与它的反函数 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f1(x)图象关于直线y = x对称
    • 函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
    • 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
    • 大部分偶函数不存在反函数(当函数y = f(x), 定义域是{0} 且 f(x) = C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} )。
    • 奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
    • 备注:奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称
    • 一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性
    • 严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数
    • 反函数是相互的且具有唯一性
    • 定义域、值域相反对应法则互逆(三反)

    六个基本初等函数

    1 ) 分类

    • 基本初等函数包括幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数常数函数

    2 ) 幂函数

    • 一般地, 形如 y = x a y=x^a y=xa(a为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数
    • 其中,a可为任何常数,但中学阶段仅研究a为有理数的情形
    • a为无理数时取其近似的有理数, 例如函数 y = x 0 、 y = x 1 、 y = x 2 、 y = x − 1 y = x^0 、y = x^1、y = x^2、y = x^{-1} y=x0y=x1y=x2y=x1
    • 注: y = x − 1 = 1 x y=x^{-1} = \frac{1}{x} y=x1=x1 ; y = x 0 y=x^0 y=x0时, x≠0 等都是幂函数

    3 ) 指数函数

    • 一般地,函数 y = a x y=a^x y=ax(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是R。对于一切指数函数来讲,值域为(0, +∞)。
    • 即: y = a x    ( a > 0 且 a ≠ 1 )    x ∈ R     y ∈ ( 0 , + ∞ ) y = a^x \ \ (a > 0 且 a \neq 1) \ \ x \in R \ \ \ y \in (0, +\infty) y=ax  (a>0a=1)  xR   y(0,+)
    • 指数函数中, 前面的系数为1。 如 : y = 1 0 x 、 y = π x y=10^x 、 y=\pi^x y=10xy=πx 都是指数函数; 而 y = 2 ∗ 3 x y = 2*3^x y=23x 不是指数函数

    指数函数的4个运算法则

    • a m + n = a m ∗ a n a^{m+n} = a^m * a^n am+n=aman
    • a m n = ( a m ) n a^{mn} = (a^m)^n amn=(am)n
    • a 1 n = a n a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} an1=na
    • a m − n = a m a n a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} amn=anam

    4 ) 对数函数

    • 对数函数是指数函数的反函数
    • y = l o g a x y = log_a x y=logax x ∈ ( 0 , + ∞ ) x \in (0, + \infty) x(0,+), y ∈ R y \in R yR,其中a为底数,a > 0 且 a ≠ 1,等价于 a y = x a^y = x ay=x
    • 当 a > 1时,递增;当 0 < a < 1时,递减

    常用对数运算

    • l o g a M N = l o g a M + l o g a N log_a {MN} = log_a M + log_a N logaMN=logaM+logaN

    • l o g a M N = l o g a M − l o g a N log_a {\frac{M}{N}} = log_a M - log_a N logaNM=logaMlogaN

    • l o g a a b = b log_a a^b = b logaab=b

    • a l o g a N = N a^{log_a N} = N alogaN=N

    • l o g 1 0 b = l g b log_10 b = lg b log10b=lgb

    • l o g e b = l n b log_e b = ln b logeb=lnb

    • l o g a b = l o g c b l o g c a log_a b = \frac{log_c b}{log_c a} logab=logcalogcb 换底公式

    • l o g a n b m = m n l o g a b log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b loganbm=nmlogab 指系公式

    • l o g a b = l n b l n a = 1 l n a l n b = 1 l o g b a log_a b = \frac{ln b}{ln a} = \frac{1}{\frac{ln a}{ln b}} = \frac{1}{log_b a} logab=lnalnb=lnblna1=logba1 倒数公式

    • l o g a b ∗ l o g c a = l n b l n a ∗ l n a l n c = l n b l n c = l o g c b log_a b * log_c a = \frac{ln b}{ln a} * \frac{ln a}{ln c} = \frac{ln b}{ln c} = log_c b logablogca=lnalnblnclna=lnclnb=logcb 链式公式

    5 ) 三角函数

    • 三角函数是基本初等函数之一
    • 是以角度(数学上最常用弧度制,下同)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
    • 也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。
    • 在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。
    • 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
    • 在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
    • 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。
    • 在直角三角形ABC中,角A为90度,设角B为 θ \theta θ, 边BC记为a, 边AC记为b, 边AB记为c
    • 勾股定理:直角三角形中 a 2 = b 2 + c 2 a^2 = b^2 + c^2 a2=b2+c2
    • s i n θ = b a < 1 sin \theta = \frac{b}{a} < 1 sinθ=ab<1 正弦函数
    • c o s θ = c a < 1 cos \theta = \frac{c}{a} < 1 cosθ=ac<1 余弦函数
    • t a n θ = b c tan \theta = \frac{b}{c} tanθ=cb 正切函数
    • c o t θ = c b cot \theta = \frac{c}{b} cotθ=bc 余切函数
    • s e c θ = a c sec \theta = \frac{a}{c} secθ=ca 正割函数
    • c s c θ = a b csc \theta = \frac{a}{b} cscθ=ba 余割函数
    • 一般我们可以将三角形放入直角坐标系中来处理

    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    上图和我们的假设条件不一致,仅作为参考

    以下为六种函数图像,均为周期函数,只展示一部分, 画图软件为Mac平台的Grapher


    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    相关公式非常之多,不再这里赘述

    6 ) 反三角函数

    • 反三角函数是一种基本初等函数。
    • 它是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称
    • 各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割,反余割为x的角。
    • 三角函数的反函数是个多值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。
    • 欧拉提出反三角函数的概念,并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。
    • 如果一个三角函数是: y = s i n x y = sin x y=sinx, 则其反三角函数为: y = a r c s i n x y = arc sin x y=arcsinx 因为不同的x可以对应同一个y值,属于多对一的现象,原则上是不存在反函数的
    • 我们在研究三角函数的反函数的时候可以设定一个区间,如[-π/2, π/2], 单调递增是有反函数的,值域范围在 [-1, 1],即:y = sinx, x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] x[2π,2π] y ∈ [ − 1 , 1 ] y \in [-1, 1] y[1,1] 单调递增
    • 则其反函数:y = arcsinx, x ∈ [ − 1 , 1 ] x \in [-1, 1] x[1,1], y ∈ [ − π 2 , π 2 ] y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] y[2π,2π]

    7 ) 常数函数

    • 在数学中,常数函数(也称常值函数)是指值不发生改变(即是常数)的函数。
    • 例如:y = 5
    • 常数函数都是偶函数
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