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  • 内容多元函数的导(雅克比);多元函数的方向导;多元函数的二阶导(赫森);牛顿法;共轭方向法。(本文粗体小写字母表示向量。粗体大写字母表示矩阵,有必要时用下标注明矩阵维度。细体小写希腊字母表示标量——...

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    内容
    • 多元函数的导(雅克比);
    • 多元函数的方向导;
    • 多元函数的二阶导(赫森);
    • 牛顿法;
    • 共轭方向法。

    本文粗体小写字母表示向量。粗体大写字母表示矩阵,有必要时用下标注明矩阵维度。细体小写希腊字母表示标量——实数)。


    一、多元函数的导

    如果我们有函数:

    的映射。说
    在点
    可导是指能够用一个仿射函数(affine function) 在
    附近的小区域内很好地拟合
    。这里提到“仿射函数”和“很好地拟合”,这两个概念需要解释。

    如果函数

    满足:

    其中

    是标量。则
    是一个线性函数。如果
    是线性的,那么可以找到一个矩阵
    来表示它。即存在一个矩阵
    使:

    为什么线性函数有此特性?任何一个

    元向量
    都可以被
    维线性空间
    的标准基线性表出:

    是第
    个元素为
    其余元素为
    的列向量。
    构成
    的标准基。其中
    是向量
    个元素。因为
    是线性的,有:

    其中

    元向量,是对标准基的第
    个向量
    施加
    的结果。
    是以
    为系数对
    的线性组合。将
    作为列组成一个
    的矩阵
    ,显然有:

    所以一切线性函数

    都可以用一个矩阵
    表示。
    的列是对自变量空间的标准基施加
    的结果。对
    施加
    等于用
    左乘

    如果

    的线性函数,那么
    的矩阵就是一个
    矩阵,也就是一个行向量
    。有:

    的图形是
    维空间中一张超平面(hyperplane)。如果自变量是
    维则
    的图形是
    维空间中一张平面。线性函数一定过原点,因为:

    把一个线性函数加上一个常向量

    就形成了一个仿射函数:

    如果仿射函数

    的,则它的图形是
    维空间中一个(
    不一定过原点的)平面。

    上面说

    可导是指
    附近可以被一个仿射函数很好地近似,这个“很好”是在极限的意义上说的。即:

    随着

    靠近(即
    ),
    与仿射函数
    之间的差距消失得更快。为满足这个极限必须有:

    于是这个近似仿射函数是:

    相等。在其他点可以不相等。但随着向
    靠近,它们之间的差距消失,且消失得比自变量点靠近得要快。还差一个问题:矩阵
    是什么?

    选取某一个坐标轴

    。让自变量点沿着坐标轴
    靠近
    。由可导的定义,有:

    只要将 [1.10] 中的

    替换为
    容易得到 [1.13] 。随着
    取值变化,自变量
    沿着坐标轴
    运动。
    是矩阵
    的第
    列。[1.13] 表明:
    的第
    列是
    的各个分量
    对第
    个自变量
    的在
    的偏导数组成的列向量:

    于是

    就由
    的各个分量
    的个分量
    的偏导数组成:

    矩阵称作
    的雅克比矩阵(jacobi matrix)。它就是多元函数的导“数”。由于各个偏导数在
    是唯一的,所以雅克比矩阵是唯一的。如果
    的,那么它的雅克比矩阵是只有一行的矩阵,或者说行向量。这个行向量的转置称为
    的梯度(gradient)。

    多元复合函数的求导链式法则与一元函数相同,仍是将多个函数的导“数”连乘 —— 多元情况下是将雅克比矩阵连乘。例如有两个函数

    ,其雅克比矩阵为
    ,其雅克比矩阵为
    。则复合函数
    的雅克比矩阵为

    接下来的小节只讨论

    的函数。这样的函数的雅克比矩阵是
    的行向量,其转置是梯度。梯度与函数的方向导数有关。下文详述。

    二、方向导数

    函数

    的自变量
    个分量
    点的偏导数是
    。用文字来说就是当把除
    外的其他分量视作常数时,
    点对
    的瞬时变化率。用数学语言表述就是:

    个分量的偏导数是
    分别沿
    个坐标轴的变化率。标准基向量
    是指向第
    坐标轴正方向的单位向量。
    中方向无数,不拘于坐标轴方向。取指向任一方向的单位向量
    替换进 [2.1] ,得到:

    这个极限是,以单位向量

    指向的方向为正方向(
    可以想象相当于指定了一个新的坐标轴)时
    的变化率。也可以这样看待 [2.2] : 以
    为自变量的函数
    的导数。将这个函数视作复合函数:

    其中

    。它的雅克比是
    矩阵(
    元列向量)。容易看出这个雅克比矩阵就是向量
    。根据链式法则,有:

    所以

    点的导数,也就是
    点沿
    方向的方向导数,是
    的梯度
    方向做投影的长度。梯度向某方向的投影的长度等于函数沿着该方向的方向导数。如果梯度向坐标轴
    做投影,得到的是梯度的第
    个元素,就是函数对第
    个自变量的偏导数,也是函数沿着坐标轴
    的方向导数。

    注意:

    注意这里省略了梯度的下标,表示可以是任一点的梯度。第二个等号是因为

    是单位向量,长度(
    )为 1 。
    是梯度与
    之间的夹角。可见当夹角为
    ,即
    与梯度同方向时
    方向导数最大(
    ),增速最高。在与梯度相反的方向上
    的方向导数最小(
    ),下降最快。这也就是梯度下降法的依据。在与梯度垂直的方向上
    的方向导数为
    ,即增速为
    注意这是瞬时性质)。如果
    在某一点的梯度本身是
    向量,那么
    沿任何方向的方向导数(
    瞬时增速)都为
    。梯度为
    的点是
    点的驻点(stationary point ,
    又叫 critical point 。不是拐点,虽然现在新闻中有很多误用)。局部极小 / 极大点、鞍点都是驻点。

    总结一下:

    1. 在某点的导,是一个
      的矩阵(
      雅克比矩阵),该矩阵的转置是一个
      元向量,是
      在该点的梯度。
    2. 在某点沿着某个方向的瞬时变化率是
      在该方向的方向导数,
      在某点的各个偏导数是沿着各个坐标轴方向的方向导数。
    3. 在某点沿某方向的方向导数等于
      在该点的梯度向那个方向的投影长度,沿着梯度本身方向,方向导数最大。沿着梯度相反方向,方向导数最小。垂直于梯度方向,方向导数为

    三、二阶导

    二阶导是导函数的导函数。函数

    的导函数是将
    映射到
    的函数。不必在乎因变量是横排还是竖排,总之是
    个数。也就是说
    的导函数是一个
    的函数。
    的二阶导应该是一个
    的矩阵,其第
    列由
    的各分量对
    的偏导构成:

    称为
    的赫森矩阵。
    表示
    的偏导数再对
    做偏导。有一个结论:如果
    都在
    是连续的,那么它们相等。也就是说在满足连续性的前提下,二阶偏导不依赖求偏导的次序。以下我们都假设满足连续性。如此
    是对称矩阵:

    的方向导数是
    在某方向的变化率。那么如何求得
    在某方向上的二阶变化率 —— 二阶导呢?

    [3.2] 极限的分子上相减的两项是

    两个点上的沿
    方向的方向导数。该极限就是
    方向上的二阶导。同时这个式子也是
    作为
    的函数,在
    的导数。仍将其视为一个复合函数:

    这是一个

    的函数。对这个函数运用链式法则求导,得到:

    所以函数

    在某点沿着
    方向的二阶导数是
    在该点的赫森矩阵
    的一个二次型

    刚才说

    是一个对称矩阵。对称矩阵可以进行谱分解(spectrum decomposition):

    是一个
    的对角阵,对角线元素是
    个特征值
    是正交矩阵
    。它的列是
    个特征值对应的
    个特征向量。它们构成
    维空间的一组基。对于任意一个方向
    ,其方向上
    的二阶导是:

    如果:

    1. 半正定(
      特征值都非负),那么在
      朝任何方向
      的二阶导数都是非负;
    2. 正定(
      特征值都为正),那么在
      朝任何方向
      的二阶导数都是正数;
    3. 负定或半负定与正定或半正定情况下类似;
    4. 不定,有些方向上
      二阶导为正,有些方向上
      二阶导为负。

    梯度和赫森矩阵是分析函数直到二阶的特性的工具。看一个二次函数:

    的梯度是
    ,赫森矩阵在所有点都是
    。假设
    是正定的。
    的唯一驻点是
    在任何一点朝任何方向的二阶导数都为正,方向导数都要变大。所以
    是唯一的驻点,是
    唯一的全局最小点。

    二次型

    有这样的性质:

    使

    达到最大的单位向量是
    的最大特征值
    对应的单位特征向量
    。在与
    正交的前提下使
    达到最大的单位向量是
    的第二大特征值
    对应的单位特征向量
    。依此类推。

    看以下这个二次函数:

    70da7f31d8b27e59bb62e16bc3f1204e.png
    图 1

    它的式子是:

    原点是它的唯一驻点(全局最小点)。它的赫森矩阵是

    的最大特征值是
    ,特征方向是
    轴;最小特征值是
    ,特征方向是
    轴。所以在原点可以看到:沿
    轴方向图形向上弯曲最强烈;沿
    方向图形向上弯曲最平缓。

    梯度下降法只基于函数一阶信息,有时候做不出最佳选择。因为梯度反方向虽然是函数下降最快的方向,但是如果这个方向上二阶导数很大,方向导将很快上升。沿着该方向前进一小步也许函数值不降反升。接下来我们看一看利用了函数二阶信息的优化算法。


    四、牛顿法

    在某一点

    可以对函数
    进行二阶泰勒展开(taylor expansion):

    上式最后的余项

    的高阶无穷小,在极靠近
    的区域可将其忽略。也就是说在极其靠近
    的区域内可以用一个二次函数近似表示
    。如果这个二次函数的赫森矩阵
    是正定的,那么该二次函数具有唯一全局最小点,也就是它唯一的驻点:

    在这个新的点

    上重复这个过程。这就是寻找函数最优点的牛顿法。用语言描述就是:在任意起始点附近用二次函数拟合原函数。计算该二次函数的最小点。再以这个最小点为起始点重复此过程。牛顿法迭代公式如下:

    如果

    本身就是一个凸二次函数(
    赫森矩阵正定),那么在任何一点对
    进行二阶泰勒展开得到的就是
    本身。在这种情况下牛顿法一步就能找到
    的全局最小点。

    注意,对于二次函数,只有当赫森矩阵正定时,才存在唯一全局最小点,故上述讨论,都是在赫森矩阵正定的前提下。运用牛顿法需要求赫森矩阵的逆,其计算量有时是不可承受的。人们提出了一些拟牛顿法,例如 BFGS ,LBFGS 等,本文不做介绍。


    五、共轭方向法

    对于一个二次函数

    ,其赫森矩阵为
    。选一个随机的起始点
    和一个随机的起始方向
    用一个单位向量来指示方向)。令自变量沿着
    变化:

    代入
    处的二阶泰勒展开。因为
    是二次函数,该展开就是
    本身,所以第二个等号成立。
    是关于
    的二次函数。它有全局最小点:

    因为

    沿着
    方向的最小点,所以在
    沿
    方向的导数为
    。即:

    现在假设有另一方向

    满足:

    关于
    共轭(conjugate)。我们看当自变量从任一点出发沿
    运动时
    沿着
    方向的导数的变化率(
    二阶导)如何:

    上式第一步对一个三层的复合函数运用了链式法则。[5.4] 表明自变量沿着

    方向运动时,
    沿
    方向的二阶导为
    。也就是
    沿着
    方向的导数无变化。那么如果从 [5.2] 中的
    出发沿着
    运动,则在此运动过程中
    沿着
    方向的导数保持为
    。也就是运动过程中,沿着
    方向
    保持是最小点。所以可以首先沿着
    使
    达到该方向的最小,之后沿着
    寻找最小,同时能保持
    沿
    方向是最小。

    之后可以再寻找一个方向

    关于
    都共轭。那么
    沿着
    运动时,在
    方向上二阶导都为
    。如果之前已经沿着
    方向找到了
    在相应方向的最小,则沿着
    寻找时在
    方向
    仍保持最小。

    如果有

    个方向
    关于
    是两两共轭的,那么它们是线性无关的。因为假如存在一组系数
    满足:

    那么对任何一个

    有:

    正定,则
    。于是必有
    。这对所有
    都成立,所以
    线性独立。它们构成
    的一组基。

    当沿上述

    个共轭方向依次完成最小值搜索,就沿着
    的所有方向搜索到了
    的全局最小点。这就是共轭方向法。对于凸二次函数(
    赫森矩阵正定),共轭方向法用
    步找到全局最小点。对于图 1 中的二次函数,若选择
    轴作为第一个方向,将沿着
    轴运动到
    轴上。 然后以
    轴为第二个共轭方向运动到原点 —— 全局最小点。

    如果

    的标准正交基,任取其中两个,有:

    所以

    就是一组关于
    的共轭方向。

    对非二次函数

    仍然可以运用共轭方向法。计算某一点
    的赫森矩阵得到
    个共轭方向(
    赫森矩阵的特征向量),进行
    次线性搜索,找到一个新的点
    ,就是
    点的近似二次函数的全局最小点(
    牛顿法可以一步找到它)。然后以
    为初始点重复本过程。

    共轭方向法可以选择任意

    个共轭方向,不一定是
    个特征向量。比如可以从任一点选择该点的梯度反方向。这就是共轭梯度法,本文不详述。

    可见,基于二阶的优化算法利用了函数局部的二阶特性。相比梯度下降法,它们参考了更多的信息。但是计算赫森矩阵的计算量是巨大的。虽然有一些二阶方法避免了赫森矩阵的计算,但是对于像神经网络训练这样的复杂非凸优化问题,二阶方法并不能保证有更好的优化性能。目前在深度学习中基于梯度的方法仍是主流。


    六、参考书目
    最优化导论 (豆瓣)book.douban.com
    7330ff1bf0b0a70cd6de5e29950aa33c.png
    深度学习 (豆瓣)book.douban.com
    75fd717d671855d9c27b9d4623e4f61c.png
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  • 今天讲《多元函数微分学及其应用》章节之2.1向量代数与空间解析几何01课程介绍1、20余年授课经验双一流高校大学教授,汇总30余所高校历年试卷,提炼重要知识点,常考题型汇总,非常精华; 考研名师郭啸龙亲授(可...

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    01

    课程介绍

    1、20余年授课经验双一流高校大学教授,汇总30余所高校历年试卷,提炼的重要知识点,常考题型汇总,非常精华;     考研名师郭啸龙亲授(可自行百度),授课幽默,轻松易懂.2、为期末复习专门研发的课程,课程主旨是听完课,会做题;     全是干货,及其精华.

    02

    听课方法

    1、此次按主流教材顺序复习,若与你的教材顺序不同,可跟着公众号的节奏走,每个章节都会讲到;注:部分院校或专业,高数属于少学时;       可对照自己的教材,无需听你自己学校未讲的内容;      尤其后面的微分方程,重积分的应用等模块,如果自己学校没有讲的内容,期末无需复习.2、一定要做笔记,高数不要只停留在听懂,会做题很重要,课程已经精简到全是重点,老师讲的例题,要在不看答案的情况下,完整的写出来,做正确.此课全部听懂会做85分没有问题,若想满分,再可拿自己学校历年期末试卷做演练.3、提供答疑,单击菜单栏中“数学答疑”,或公众号中回复“答疑”,进入答疑社区答疑,答疑分“互助答疑”和“请教老师”;注:有小额收费;但都会超值,快速答疑,大部分情况下无需等待.fd64fe20c84dd57732b5746209c05ce6.gif

    本章课程目录

    2.1、向量代数与空间解析几何

    2.2、空间平面

    2.3、空间直线

    2.4、空间曲线的切平面与法线

    2.5、空间曲线的切平面与法平面

    2.6、常见的空间图形

    2.7、方向导数与梯度

    2.8、多元函数极值--无条件极值

    2.9、多元函数极值--条件极值

    2.10、多元函数极值--最值

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    End

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  • 梯度梯度的定义为:根据梯度的定义式,函数沿单位向量的方向导数为从上式可以看出,函数在处,沿方向的方向导数最大,从而梯度的方向就是函数在该...回归本质我们考虑沿某单位方向函数的变化令,由展式我们知道由于...

    d4c0c5d782b057ecdfca13a42741de2e.png

    梯度

    梯度的定义为:

    根据梯度的定义式,函数

    沿单位向量
    的方向导数为

    从上式可以看出,函数在

    处,沿
    方向的方向导数最大,从而梯度的方向就是函数在该点增加最快的方向.

    问题?

    但是梯度这种方法并不总是奏效的,请看下题:

    ❝ 设
    ,其中
    ,求在
    处函数增长最快的方向.

    看到题目的第一眼,我们自然而然的想到要求梯度,但是

    哦豁,梯度法失效了,于是就需要我们另辟蹊径.

    回归本质

    我们考虑沿某单位方向

    函数
    的变化

    ,由
    展式我们知道

    由于

    ,且
    ,当
    充分小时,沿方向
    函数
    增加的最快.

    再多考虑一步

    根据多元函数的

    公式,我们知道

    其中

    矩阵.我们有如下定理

    「定理」 设二次连续可微函数

    点的梯度为零向量,但
    矩阵是非零矩阵,则
    增长最快的可能方向在
    的最大特征值对应的特征子空间中.如最大特征值对应的特征子空间为一维空间,则相应的方向就是
    增长最快的方向.

    为了证明这个定理,实际上我们只需要证明,二次型在其矩阵的最大特征值对应的特征向量处取得最大值即可,即

    「引理」

    阶实对称矩阵,记
    分别为
    中所有特征值中的最大值和最小值,则

    「证明」 因为

    是实对称矩阵,所以
    有由
    中标准正交基
    组成的特征向量(因为实对称矩阵必有
    个线性无关的向量,将这些向量施密特正交化后就得到了标准正交基)

    于是,对于

    中的任意向量
    ,都有

    展开全文
  • 还可以推广到自变量是矩阵的情形,即 ,以上函数的导数的定义会有不同,直观的理解就是导数由一个数变为了一个向量或一个矩阵。当然并不是所有的函数都可导,这是另一个话题。因为推广之后的函数由于教材的不同,描述的...

    函数值是实数

    当函数由一维推广到多维之后,即

    。虽然自变量由一个标量变为了一个向量,但是函数值都是实数,所以也称为
    实值函数。还可以推广到自变量是矩阵的情形,即
    ,以上函数的导数的定义会有不同,直观的理解就是导数由一个数变为了一个向量或一个矩阵。当然并不是所有的函数都可导,这是另一个话题。因为推广之后的函数由于教材的不同,描述的方式不一样,得到的导数的形式也不一样,因此在分析问题的时候需要结合上下文。不过,通用的做法是:对于实值函数,导数与自变量同型。意思是自变量是标量,那么导数也是标量;自变量是向量,导数也是向量,且维度与自变量一样,同理矩阵的情形也一样。

    那么关于
    的导数是

    还可以得到另外一个公式
    .

    教科书上的定义如下

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    6f2c413ad778f71bafd73df6dc505a7e.png

    注意多维函数梯度与导数的异同,虽然定义上与梯度一样都是行向量,但是一般情况下会把多元函数的一阶导数写为列向量,原因不知。

    函数值是向量

    5174038802115d68999841936cb8ab28.png

    有上面的图可以知道向量值函数

    6c0615b94e4cfe7297a277bb550fc752.png

    d8784c46a5d765bee3b0682be2fd5f7a.png

    ,这是雅各比矩阵,也就是平时说的导数

    ,这是梯度矩阵,一般用于二阶taylor展开时用,

    顺便提一下,多元函数Taylor展开不要用数学分析里面的额公式,看不懂,不好用

    用这个

    dce73da500fa287509d6deb9a3c11e21.png

    至于两者如何转化的,慢慢琢磨吧。

    展开全文
  • 一、一元随机变量与概率分布函数二、概率分布函数的类型三、随机变量的数字特征四、一些重要的一元分布 一,多元概率分布一个向量,若它的分量都是随机变量,则称之为随机向量1、多元概率分布函数随机向量 的概率分布...
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  • 8.6多元函数微分学几何应用1. 空间曲线切线与法平面求法设空间曲线方程及其上一点对应于则曲线在处切线方程为:切向量为:法平面方程为:2. 例题1.求圆柱螺旋线在对应点处切线方程和法平面方程.课堂索引:...
  • 序言这一章标题是基于近似在策略预测(on-policy prediction with approximation)。...合起来就是估计策略 自身函数 (注意本章我们并没有谈到control,也就是求最优策略,这个我们放到下一章)。但是呢...
  • 一、多元函数求最值问题多元函数是高等数学中的重要概念之一,但随着新课程的改革,高中数学与大学数学知识的衔接,多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现。同时,多元函数最值问题中蕴含着丰富的...
  • 一元微分时候我们多次强调,微分本质是一种线性映射,所以我们来看一看多元线性映射是什么样。一元线性映射老简单了,粗暴理解为乘个系数就得了。放到多元里,“线性”长这个样子:然后再拿从n维欧氏空间...
  • 在机器学习微积分之前的文章中,我们讨论了区分单变量和多元函数的问题。另外,我们开发了演算工具箱来帮助我们导航高维空间。我们特别谈到了连锁规则。在用于机器学习的微积分第4部分中,我们将通过示例研究如何将...
  • 高数之降龙十八掌武功简介: 降龙十八掌是金庸武侠小说中绝顶武功,与“打狗棒法”并列丐帮两大镇帮神功,见于《射雕英雄传》《神雕侠侣》《倚天屠龙...第八式:或跃在渊第四章 空间解析几何和向量代数与多元函数...
  • 本期章节:第四章 向量代数和空间解析几何 第五章 多元函数微分学第四章知识导图本章考试大纲要求本章内容仅数一要求。理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合...
  • 写在前面 上周末和一位学金融师兄吃饭回来路上,偶然间聊到了深度学习中梯度下降方法,于是便有了下述对话。师兄:为什么要沿着梯度反方向更新参数?我:因为我们目标是使损失函数值最小,而梯度方向...
  • 函数1.1 凸函数定义一个函数是凸,如果定义域是凸集,并且对于所有,都有:凸优化里对凹凸定义和某些高等数学教材中对凹凸定义可能正好相反,这里说函数可能是某些高等数学教材中说凹函数。若 是凹...
  • 为了文章完整性和浓缩性,我把我文章《高等数学下册应背内容》中本章部分照片放在在下面作为本文开头:由于极限与连续不是本章主要内容,所以我们把这部分内容(照片中1.2.3.另外,下面出现4.5.6. ...
  • 事实上,所有机器学习算法本质都是数学问题,无论是支持向量机、主成分分析还是神经网络最终都归结为对偶优化、谱分解筛选和连续非线性函数组合等数学问题。只有彻底理解数学,才能正真掌握这些机器学习算法。...
  • 本文将以实例的形式,基于Wolfram Alpha计算搜索引擎,介绍高等数学、线性代数与空间解析几何中涉及的向量的描述、向量的属性,向量的基本运算,向量间的相互关系,向量的数量积、向量积、混合积的计算及它们的几何...
  • 多元微积分是很多人...在解释这样区别之前,需要首先认识这两者研究对象不同,前者研究是实数集上的函数,后者研究是欧氏空间上的函数。实数集与欧氏空间区别在于实数集作为一维欧氏空间,只有两个单...
  • 利用Matla绘制多元函数的梯度 梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。 下面在matlab里...
  • 【机器学习】多元函数梯度理解

    千次阅读 2020-05-17 15:05:21
    在多维空间中,梯度是一个向量表示某个函数在该点处方向导数沿着该方向取得最大值。 梯度是指增长最快方向,也就是梯度方向是方向导数中取到最大值方向,梯度值是方向导数最大值。 ...
  • 个人理解:向量函数的微分实际是多元函数的微分的向量表示。 我们知道 于是把 这就是向量数值函数(以向量为自变量,数值为因变量的函数)对向量自变量的微分 笔者将自己最近阅读学习的材...
  • 多元函数的微分包括“偏导数”和“全微分”,而“全微分”在满足一定条件时,通过“偏导数”的叠加来表示。这种叠加可以让人联想到“空间向量”与“直角坐标系”的各个分量之间的叠加。   偏导数(Partial ...
  • 方向导数,偏导数,全微分三者之间联系与区别 方向导数实质是函数 在某个点处沿某个向量方向关于距离变化率,其表达式为 而偏导数是函数 在某一点处沿 轴或者沿轴 方向方向导数,也可以说,偏导数是方向导数...

空空如也

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多元函数的向量表示