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  • 多元函数的切向量和法向量

    万次阅读 多人点赞 2017-12-13 11:25:33
    有一个很有启发性的说法:考虑描述曲面的隐函数F(x,y,z)=0 其全微分dF=F'xdx+F'ydy+F'zdz=0 即(F'x,F'y,F'z)(dx,dy,dz)=0 (F'x,F'y,F'z)是曲线的法向量,(dx,dy,dz)则是曲线的切向量。 1 对曲面而言...

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    有一个很有启发性的说法:考虑描述曲面的隐函数F(x,y,z)=0
    其全微分dF=F'xdx+F'ydy+F'zdz=0   即(F'xF'yF'z)(dx,dy,dz)=0

    F'x,F'y,F'z)是曲线的法向量,(dx,dy,dz)则是曲线的切向量。

     

    1 对曲面而言,求各变量在某一点的偏导数,即为这一点的法向量。


    切向量我们假设以x为变量(参数),则切向量为(1,0,Zx)。以y为变量,则切向量为(0,1,Zy)。

    验证以x为参数的切向量(1,0,Zx):因为Zx = -Fx/Fz,而法向量为(Fx,Fy,Fz)。所以 1*Fx + 0 * Fy + (-Fx/Fz) * Fz  = 0,所以两者正交,证毕。
    其余同理。

    2 而对于平面曲线而言,我们可以考虑其为,缺少的那一维向量的无限延伸,这样无论是封闭曲线还是不封闭曲线都可以抽象成一个曲面,这样求各变量的在某一点的偏导数既为这一点的法向量。(内外法向加一个正负进行区分)

    而平面曲线的切向量可以按照这种方法去考虑:把x看做变量,y为因变量,然后求y对x的偏导数,则切向量即为(1,Yx)。

    3 对于空间曲线,只考虑两个曲面给出一个方程组的形式。 F1(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0。

    切线求法1:可以将x理解为自变量,y和z为x的因变量(自变量可以随便去选),然后分别求因变量关于自变量的偏导数,然后得出一点的切线向量(1,Yx, Zx)。(三种形式)

     

     

    切线求法2:求出两个曲面的法向量,然后做差乘(向量积),结果也是切线向量。

     

     

     

    求x^2-y+z^2=1和x+y^2+z=-1两曲面的交线在p(-1,1,-1)处的切向量?

     

    只需要让两个式子对x求导即可。因为我们需要知道(dx,dy,dz)与dx的关系。

     

    联立两个方程 2x-dy/dz+2zdz/dx=0和1+2ydy/dx+dz/dx=0得到dy=0*dx  dz=-1*dx

    则切向量为(dx,0,-dx)---(1,0,-1)

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  • 多元函数的泰勒级数

    千次阅读 2021-02-11 22:40:47
    一元函数的泰勒公式或者可以写成:二元函数的泰勒级数对 二元函数 f(x, y), 考虑在点 (a, b) 附近方向 (u, v) 有微小增量 f(a + tu, b + tv), 定义函数:此时 是对 t 的单变量函数,利用上面的 一元函数的泰勒公式,...

    一元函数的泰勒公式

    equation?tex=f%28x%29+%3D+f%28a%29%2B%7B%5Cfrac+%7Bf%27%28a%29%7D%7B1%21%7D%7D%28x-a%29%2B%7B%5Cfrac+%7Bf%27%27%28a%29%7D%7B2%21%7D%7D%28x-a%29%5E%7B2%7D%2B%7B%5Cfrac+%7Bf%27%27%27%28a%29%7D%7B3%21%7D%7D%28x-a%29%5E%7B3%7D%2B%5Ccdots+%5Ctag%7B1%7D+

    或者可以写成:

    equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Csum+_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac+%7Bf%5E%7B%28n%29%7D%28a%29%7D%7Bn%21%7D%7D%28x-a%29%5E%7Bn%7D+%5Ctag%7B2%7D

    二元函数的泰勒级数

    对 二元函数 f(x, y), 考虑在点 (a, b) 附近方向 (u, v) 有微小增量 f(a + tu, b + tv), 定义函数:

    equation?tex=%5Cphi%28t%29+%3A%3D+f%28a+%2B+tu%2C+b+%2B+tv%29+%5Cquad+%280+%5Cle+t+%5Cle+1%29%5C%5C

    此时

    equation?tex=%5Cphi%28t%29 是对 t 的单变量函数,利用上面的 一元函数的泰勒公式, 把

    equation?tex=%5Cphi%28t%29 在 t = 0 处展开:

    equation?tex=+%5Cphi%28t%29+%3D+%5Cphi%280%29+%2B+%5Cphi%27%280%29+t+%2B+%5Cfrac%7B%5Cphi%27%27%280%29%7D%7B2%21%7D+t%5E2+%2B+%5Ccdots+%5C+%5C%5C

    取 t = 1:

    equation?tex=%5Cphi%281%29+%3D+%5Cphi%280%29+%2B+%5Cphi%27%280%29+%2B+%5Cfrac%7B%5Cphi%27%27%280%29%7D%7B2%21%7D+%2B+%5Ccdots++%5C%5C

    明显:

    equation?tex=%5Cphi%28t%29+%3D+f%28a+%2B+tu%2C+b+%2Btv%29+%5C%5C

    根据链式法则:

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdt%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x%7D+%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D+%2B++%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%7D+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D+%5C%5C

    有:

    equation?tex=+%5Cbegin%7Balign%7D+%5Cphi%27%28t%29+%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cphi%28t%29+%26%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7Df%28a+%2Btu%2C+b%2B+tv%29+%3D+f_x%28a+%2B+tu%2C+b+%2B+tv%29u+%2B+f_y%28a+%2Btu%2C+b%2Btv%29v+%5C+%5Cend%7Balign%7D+%5C%5C

    所以

    equation?tex=%5Cphi%27%280%29+%3D+f_x%28a%2C+b%29u+%2B+f_y%28a%2C+b%29v . 再次运用 链式法则 求导:

    equation?tex=+%5Cbegin%7Balign%7D+%5Cphi%27%27%28t%29+%26%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cbig%28f_x%28a+%2B+tu%2C+b+%2B+tv%29u+%2B+f_y%28a+%2Btu%2C+b%2Btv%29v%5Cbig%29+%5C%5C+%26%3D+f_%7Bxx%7D%28a%2Btu%2C+b%2Btv%29u%5E2+%2B+2f_%7Bxy%7D%28a%2Btu%2C+b%2Btv%29uv+%2B+f_%7Byy%7D%28a%2Btu%2C+b%2Btv%29v%5E2+%5C+%5Cend%7Balign%7D+

    所以

    equation?tex=%5Cphi%27%27%280%29+%3D+f_%7Bxx%7D%28a%2Cb%29u%5E2+%2B+2f_%7Bxy%7D%28a%2Cb%29uv+%2B+f_%7Byy%7D%28a%2Cb%29v%5E2 , 可以继续求得更高阶的导数,最终代回

    equation?tex=+t+%3D+1+%5C%5C+u+%3D+x+-+a+%5C%5C+v+%3D+y+-+b++%5C%5C

    可得二元函数在 (a,b) 的 泰勒级数展开:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x%2Cy%29+%3D+%26f%28a%2Cb%29+%2B+f_x%28a%2Cb%29%28x+-+a%29+%2B+f_y%28y-b%29+%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%5Bf_%7Bxx%7D%28x-a%29%5E2+%2B+2f_%7Bxy%7D%28a%2Cb%29%28x-a%29%28y-b%29%2Bf_%7Byy%7D%28y-b%29%5E2%5D%2B+%5Ccdots+%5Cend%7Balign%7D

    所以有时候我也看到这种写法:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x_0+%2B+%5CDelta+x%2C+y_0+%2B+%5CDelta+y%29+%26%3D+f%28x_0%2C+y_0%29+%2B+%28%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D+%2B+%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29+f%28x_0%2C+y_0%29+%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%28%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D+%2B+%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5E2+f%28x_0%2C+y_0%29+%2B+%5Ccdots+%5Cend%7Balign%7D+%5C%5C

    第一次看到这种写法还真是让我疑惑了一会,o(╯□╰)o, 但是其实展开,是一样的:

    equation?tex=%28%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D+%2B+%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5E2++%3D+%5CDelta+x+%5E2+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D+%7B%5Cpartial+x%5E2%7D++%2B+2+%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D+%2B+%5CDelta+y%5E2+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+%7D%7B%5Cpartial+y%5E2%7D+%5C%5C+

    或者写成:

    equation?tex=f%28x%2C+y%29+%3D++%5Csum+_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D+%28%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D+%2B+%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5En+f%28x_0%2C+y_0%29%5C%5C

    当然最让我亲切的写法还是跟 一元函数 类比/类似的写法。

    一元函数线性近似

    equation?tex=f%28x%29+%5Capprox+f%28a%29+%2B+f%27%28a%29%28x-a%29%5C%5C二次近似

    equation?tex=f%28x%29+%5Capprox+f%28a%29+%2B+f%27%28a%29%28x-a%29+%2B+%5Cfrac%7Bf%27%27%28a%29%7D%7B2%21%7D%28x-a%29%5E2%5C%5C

    二元函数线性近似

    equation?tex=f%28x%2Cy%29+%5Capprox+f%28x_0%2Cy_0%29+%2B+f_x%28x_0%2Cy_0%29%28x-x_0%29+%2B+f_y%28x_0%2Cy_0%29%28y-y_0%29+%5C%5C

    写成招人喜欢的向量形式:

    equation?tex=f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Capprox+f%28%5Cmathbf%7Ba%7D%29+%2B+%5Cnabla+f%28%5Cmathbf%7Ba%7D%29+%5Ccdot+%28%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Ba%7D%29%5C%5C二次近似

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x%2Cy%29++%26%5Capprox++f%28x_0%2Cy_0%29+%2B+f_x%28x_0%2Cy_0%29%28x-x_0%29+%2B+f_y%28x_0%2Cy_0%29%28y-y_0%29+%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df_%7Bxx%7D%28x_0%2Cy_0%29%28x+%E2%88%92+x_0+%29%5E2+%2B+f_%7Bxy%7D%28x-x_0%29%28y-y_0%29%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df_%7Byy%7D%28x_0%2Cy_0%29%28y+%E2%88%92+y_0+%29%5E2%5C%5C+%5Cend%7Balign%7D+

    同样写成向量形式:

    equation?tex=f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Capprox+f%28%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29+%2B+++%5Cnabla+f%28%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29+%5Ccdot+%28%5Cmathbf%7Bx%7D+-+%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%5Cmathbf%7Bx%7D+-+%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29%5ETH%28%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29%28%5Cmathbf%7Bx%7D+-+%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29%5C%5C

    H 为 Hessian 矩阵:

    equation?tex=H+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D+%26++%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x+%5Cpartial+y%7D+%5C%5C++%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y+%5Cpartial+x%7D+%26++%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%5E2%7D+++%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C

    可以做简单的验证:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+-+x_0+%26+y+-+y_0+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+f_%7Bxx%7D+%26++f_%7Bxy%7D+%5C%5C++f_%7Byx%7D+%26+f_%7Byy%7D++%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+-+x_0+%5C%5C+y+-+y_0+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5C%5C+%26%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%28x+-+x_0%29f_%7Bxx%7D+%2B+%28y+-+y_0%29f_%7Byx%7D+%26++%28x+-+x_0%29f_%7Bxy%7D+%2B+%28y+-+y_0%29f_%7Byy%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+-+x_0+%5C%5C+y+-+y_0+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5C%5C+%26%3D+%28x+-+x_0%29%5E2f_%7Bxx%7D+%2B+%28y+-+y_0%29%28x-x_0%29f_%7Byx%7D+%2B++%28x+-+x_0%29%28y-y_0%29f_%7Bxy%7D+%2B+%28y+-+y_0%29%5E2f_%7Byy%7D+%5C%5C+%26%3D+%28x+-+x_0%29%5E2f_%7Bxx%7D+%2B++2%28x+-+x_0%29%28y-y_0%29f_%7Bxy%7D+%2B+%28y+-+y_0%29%5E2f_%7Byy%7D+%5Cend%7Balign%7D+%5C%5C

    推广到变量更多的情况,写法也是多种多样,o(╯□╰)o:

    比如写成这样:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x_1%2C+x_2%2C+%5Ccdots%2C+x_m%29+%26%3D+f%28x_1%5E0%2C+x_2%5E0%2C+%5Ccdots%2C+x_m%5E0%29++%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%21%7D+%28%5CDelta+x_1+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x_1%7D+%2B+%5CDelta+x_2+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D+%2B+%5Ccdots+%2B+%5CDelta+x_m+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x_m%7D%29+f%28x_1%5E0%2C+x_2%5E0%2C+%5Ccdots%2C+x_m%5E0%29+%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%28%5CDelta+x_1+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x_1%7D+%2B+%5CDelta+x_2+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D+%2B+%5Ccdots+%2B+%5CDelta+x_m+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x_m%7D%29+%5E2+f%28x_1%5E0%2C+x_2%5E0%2C+%5Ccdots%2C+x_m%5E0%29+%5C%5C+%26%2B+%5Ccdots+%5Cend%7Balign%7D%5C%5C

    其中

    equation?tex=%5CDelta+x_k+%3D+x_k+-+x_k%5E0 .

    写成这样:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x_1%2C%5Cldots%2Cx_d%29+%26%3D+f%28a_1%2C+%5Cldots%2Ca_d%29+%2B+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ed+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%28a_1%2C+%5Cldots%2Ca_d%29%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D+%28x_j+-+a_j%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ed+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ed+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%28a_1%2C+%5Cldots%2Ca_d%29%7D%7B%5Cpartial+x_j+%5Cpartial+x_k%7D+%28x_j+-+a_j%29%28x_k+-+a_k%29+%5C%5C++%26+%5Cqquad+%5Cqquad+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ed%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ed%5Csum_%7Bl%3D1%7D%5Ed+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E3+f%28a_1%2C+%5Cldots%2Ca_d%29%7D%7B%5Cpartial+x_j+%5Cpartial+x_k+%5Cpartial+x_l%7D+%28x_j+-+a_j%29%28x_k+-+a_k%29%28x_l+-+a_l%29+%2B+%5Ccdots+%5Cend%7Balign%7D%5C%5C

    或者运用多重指标,写成上面的更加一元类似的形式:

    equation?tex=f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%3D+%5Csum_%7B%7C%5Calpha%7C+%5Cgeq+0%7D%5Cfrac%7B%28%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Ba%7D%29%5E%5Calpha%7D%7B%5Calpha+%21%7D+%5Cleft%28%7B%5Cmathrm%7B%5Cpartial%7D%5E%7B%5Calpha%7D%7Df%5Cright%29%28%5Cmathbf%7Ba%7D%29%5C%5C

    推导更多元函数的泰勒级数 也可以用类似 二元函数 用 方向导数 的方式推出这个结论。

    参考:托马斯微积分

    wikipedia

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  • 由s,t两个变量表示的三维向量 分别对s和t求偏导可以表示为 如何理解这个表达式 先通过图来看这种二维(t,s)到三维(x,y,z)的映射关系 增量ds在三维中的映射 在三维中,就变成了向量的加法运算 而s和t分量的...

    由s,t两个变量表示的三维向量

    分别对s和t求偏导可以表示为

    这里x(s,t),y(s,t),z(s,t)都是标量,乘以基向量才是向量
    在这里插入图片描述
    如何理解这个表达式

    先通过图来看这种二维(t,s)到三维(x,y,z)的映射关系
    在这里插入图片描述
    增量ds在三维中的映射

    在这里插入图片描述
    在三维中,就变成了向量的加法运算
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    而s和t分量的偏导,这两个向量的叉积,就是在求这两个向量围城的平行四边形的面积,而偏导实际上是无限小的,那这个面积也就无限小,再将这些面积积分,就是我们要求的总面积

    这个平行四边形我们用 d σ d\sigma dσ

    总面积即双重积分
    在这里插入图片描述
    而面积等于:
    在这里插入图片描述

    这个积分用双重积分下面加大写sigma表示

    在这里插入图片描述

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  • MATLAB多元函数导数求极值或最优值

    千次阅读 2021-04-25 00:01:00
    MATLAB多元函数导数求极值或最优值 实验六 多元函数的极值 【实验目的】 1. 多元函数偏导数的求法。 2. 多元函数自由极值的求法 3. 多元函数条件极值的求法. 4. 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 求...
  • 每次遇到向量表示多元的情况脑子就宕机了,这里决定做一个简单的梳理。 一个样本 从基本的一个样本开始。某一个样本可以表示为xi\boldsymbol {x_i}xi​,它默认是竖着写的列向量,在有ppp个特征(维度)的情况下是...
  • 多元函数的几何应用

    千次阅读 2019-04-10 19:40:44
    多元函数的几何应用 向量值函数 将函数值化为n维向量。一元数量函数的推广为一元向量值函数。 终端曲线:向量的终点的轨迹。(感觉是数量函数的图形)也称为向量值函数的图形 包括极限、求导、连续在内的定义与数量...
  • 本篇内容为多元函数微分学的几何应用,当然,有几何应用就有相应的代数应用,不过不是本篇的内容。 回顾 在本篇内容正文之前先做一下相关内容的回顾,这里只是简单地提一下本篇需要用到的相关内容,更详细的内容可以...
  • 利用Matla绘制多元函数的梯度 梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。 下面在matlab里...
  • nnn 维空间多元函数的极限多元函数的连续性偏导数 多元函数的基本概念 多元的定义可以类似地由二元的定义写出,因此下面只写二元有关的定义 平面点集;nnn 维空间 下面首先将 R1\R^1R1 中两点间距离、区间、邻域...
  • 多元函数的泰勒展开式

    万次阅读 2017-10-26 21:31:09
    多元函数的泰勒展开式  本博客整理自:http://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/70260070。并在一些地方做出修改。  实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近...
  • (098.空间直角坐标系 ~ 140.重积分的应用2) 目录 7.1 空间直角坐标系 7.2 向量及其线性运算 ...7.2.1 向量 ...7.2.2 向量的线性运算 ...数乘(长度的伸缩)(单位向量,标准正交基) ...7.3 向量的数量积和向量积 7....
  • 多元函数的微分

    2021-05-17 10:51:52
    多元函数的微分 导数概念的形式化 一、总论 ​ 数值多元函数微分及其相关概念,如中值定理、泰勒展开是数值一元函数的一般化。更进一步说,最一般化的东西是向量值函数。我写这一节的目的是为了与书中特殊到一般的...
  • 我们要理解:导数的意义本身就是求的该点的变化率,无论是一元还是二元还是多元。 所以二元导数和一元导数一样,它同样具有方向,方向是沿着曲面上该点,并且下降幅度最大的方向,这点变化率最大,沿着这个幅度最大...
  • 找到多元函数jacobian向量(即目标函数对自变量的一阶偏导数向量)为0的那些点,即驻点; 将各驻点带入Hessian矩阵(即目标函数对各自变量的二阶偏导数组成的对称方阵,若有n个自变量,则Hessian矩阵为n×n),计算...
  • 数学分析 - 多元函数的微分学

    千次阅读 2020-05-02 18:45:46
    多元函数的可微性 可微性 || 定义一:可微性和全微分的定义 (注意:全增量—> 全微分) 偏导数 || 定义二:偏导数的定义 || 偏导数的几何意义: 可微性条件 || 定理1:可微的必要条件 || 全微分的新形式: ...
  • 1.1 什么是多元函数 设D为一个非空的n 元有序数组的集合, f为某一确定的对应规则。 若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D,通过对应规则f,都有唯一确定的实数y与之对应,则称对应规则f为定义在D上的n元函数。 ...
  • matlab实验六多元函数的极值.doc 实验六多元函数的极值【实验目的】1.了解多元函数偏导数的求法。2.了解多元函数极值的求法。3.了解多元函数条件极值的求法。4.学习、掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】求函数...
  • 支持向量回归(多核函数

    千次阅读 2017-12-18 00:15:00
    支持向量机之支持向量回归,SVR
  • 本博客对应我博客中的多变量微积分目录下的第二章,多元函数及其微分。 2. 多元函数及其微分——单变量函数的延拓 2.1 多元函数 多元函数一般是指某个定义域为 DDD 的函数 fff 有两个及以上的自变量,z=f(x1,x2,x3,....
  • 多元函数微分学的几何应用

    千次阅读 2020-03-11 12:45:25
    一、一元向量函数及其导数 二、空间曲线的切线和法平面 三、曲面的切平面和法线
  • matlab求解多元函数的偏导数diff

    千次阅读 2020-06-14 15:43:58
    本博文源于matlab求解多元函数导数。涉及求一阶/求多阶/求向量偏导数/求隐函数导数
  • 比如,求函数 f(x)=x2−2x+4f(x)=x^2-2x+4 的最小值,该问题我们可表示为: minx∈Rf(x)=x2−2x+4 \min_{x \in R} \ \ f(x) = x^2-2x+4 全局极小点、局部极小点 利用极值点一阶导数为零的特点,可以求出目标...
  • 回顾高等数学:多元数量函数的梯度回想高等数学中常见的多元数量函数$f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{1}$,我们可以把他的输入当作一个向量 $\bf{x}\in \mathbb{R}^{n}$,输出$y=f(\bf{x})\in \mathbb{R}...

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多元函数的向量表示