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  • 本文脉络:logistic回归模型的含义logistic模型的决策边界函数分析logistic模型的参数最优化logistic回归模型与感知机模型的比较总结logistic回归模型的含义我们把分类模型分成两个阶段,推断阶段和决策...

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    logistic回归模型是一种线性生成模型。本文将介绍logistic回归模型相关的知识,为了更好地理解模型的决策边界函数,本文同时分析了多元变量的协方差对概率分布的影响。

    本文脉络:

    1. logistic回归模型的含义
    2. logistic模型的决策边界函数分析
    3. logistic模型的参数最优化
    4. logistic回归模型与感知机模型的比较
    5. 总结

    logistic回归模型的含义

    我们把分类模型分成两个阶段,推断阶段和决策阶段,推断阶段对联合概率分布建模,然后归一化,得到后验概率。决策阶段确定每个新输入x的类别。

    我们用推断阶段的方法来推导logistic回归模型,首先对类条件概率密度

    和类先验概率分布
    建模,然后通过贝叶斯定理计算后验概率密度。

    考虑二分类的情形,类别C1的后验概率密度;


    则:

    式中的

    就是logistic函数

    因此,logistic回归的值等于输入变量为x的条件下类别为C1的概率

    (1) 当

    分类结果为C1

    (2) 当
    分类结果为C2

    结论:logistic回归值表示所属类的后验概率,无论是二分类还是多分类,分类结果都是后验概率最大所对应的类。

    logistic的决策边界函数分析

    决策边界函数,简而言之,就是函数的两侧是不同的分类结果。

    可定性的分析协方差的三种情况与分布图的关系。

    (a) 图表示正常的协方差矩阵的高斯分布图。
    (b) 图表示协方差矩阵是对角矩阵的高斯分布图。
    (c) 图表示协方差矩阵是对角矩阵且对角元素都相等的高斯分布图。

    ad9ea359bb47cbb3bdc7c6c39423ac09.png

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    e72da02aba4ffe7419fd159bd952c814.png

    logistic的决策边界函数分析

    logistic曲线如下图,红色直线(a=0)表示决策边界函数:

    9e5bce09408da618c19fa9acd4a11618.png

    假设类条件概率密度是高斯分布,即P(x|Ck),然后求解后验概率的表达式,即P(Ck|x)。我们知道,logistic回归值就是所求的后验概率。

    假设类条件概率密度的协方差相同,类条件概率密度为:

    由上面的推导公式得后验概率为:

    其中:

    由后验概率

    的表达式可知,当类条件的协方差矩阵相等时,决策边界函数是随x线性变化的直线。

    结论:如下图,若两类的条件概率密度的协方差相同时(如C1和C2的协方差相同),则决策边界函数是直线;若两类的条件概率密度的协方差不相同时(如C1和C3,C2和C3),则决策边界函数是曲线。判断协方差矩阵是否相同可以根据分布图形形状是否相同来判断,如C1和C2的协方差相同,C3和C1、C2的协方差不相同。

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    假设类条件概率密度符合高斯分布且具有相同的协方差矩阵,则决策边界函数是一条直线;若类条件概率密度符合更一般的指数分布且缩放参数s相同,决策边界函数仍然是一条直线。

    logistic模型的参数最优化

    logistic模型损失函数

    logistic回归模型的含义是后验概率分布,因此可以从概率的角度去设计损失函数。

    考虑两分类情况,假设有N个训练样本,logistic模型是

    表示后验概率y=1的概率,则
    表示y=0的概率,变量
    取值1或0,且分别代表模型

    因此,似然函数

    损失函数

    logistic模型的参数最优化

    损失函数最小化等价于模型参数的最优化,如下图:

    利用梯度下降法求最优解,学习速率

    :

    具体求法本文不介绍,只给出算法的思想。
    为了避免过拟合问题,则在原来的损失函数增加正则项,然后利用梯度下降法求最优解,这里也不展开。

    logistic模型与感知机模型的比较

    logistic模型与感知机模型的相同点

    由上面的分析可知,假设类条件概率分布的协方差相同,则logistic模型的决策边界函数是随x线性变化的直线,因此,感知机模型与logistic模型的分类策略一样,即决策边界函数是一样的。如下图:

    09fc61613a115014cafb7dd150d85481.png

    感知机模型:当点落在直线上方,y>0,则分类结果为C1;反之为C2。
    logistic模型:当点落在上方,y>0,则后验概率P(C1|X)>0.5,分类结果为C1;反之为C2。

    考虑到对输入变量x进行非线性变换

    ,感知机和logistic模型的分类策略仍一样,决策边界函数相同,如下图:

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    感知机模型:当点落在圆外,y>0,则分类结果为C1;反之为C2。
    logistic模型:当点落在圆外,y>0,则后验概率P(C1|X)>0.5,分类结果为C1;反之为C2。

    logistic模型与感知机模型的异同点

    (1) logistic回归模型限制值的范围在0~1,感知机模型对值范围没有限制,因此logistic模型相比感知机模型,对异常点有更强的鲁棒性。如下图,当有异常数据时,logistic模型要好于感知机模型。

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    (2) 感知机模型用误分类点到超平面的距离衡量损失函数,而logistic模型则从概率角度去衡量损失函数。

    总结

    logistic回归的含义是后验概率分布,用概率的角度去设计似然函数,logistic模型相比于感知机模型对异常数据具有更好的鲁棒性。

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  • 在我们做统计分析之前,面对大量杂乱无章的数字往往会做个散点图,以对数据有直观的了解。例如,某超市的销售主管想要知道,顾客的收入水平是否对购买新的智能手机有影响。...因此可得以下回归直线:P=...

    在我们做统计分析之前,面对大量杂乱无章的数字往往会做个散点图,以对数据有直观的了解。例如,某超市的销售主管想要知道,顾客的收入水平是否对购买新的智能手机有影响。为此,他选择了12为顾客,调查他们的月收入(X)以及是否购买了新的手机,购买记为{Y=1},未购买记为{Y=0}。调查结果为12位受访者有7位购买了新手机。

    我们的第一想法就是试试用线性回归看能否较好地描述这个问题。

    因此可得以下回归直线:P=-0.749+0.0003358*X。这里的Y值可表示为购买手机的概率,但是这里出现了两个问题:一是当收入很小时,P值可为负,当收入很大时,P值会大于1;二是当购买概率接近于1或0时,概率对自变量(收入水平)的变化就不是很敏感,即这附近,收入需要很大的变化,才能引起概率P的变化(系数很小)。既然如此,我们如何去修正呢?我们就需要引入logit变换的概念。

    Logistic变换

    Logistic回归不是估计二元因变量的观察值,而是要推导出这些观察值出现的概率。为了能确定事件Y发生的概率,我们假设存在一个关于概率p的函数Ɵ=f(p),此函数形式简单,且为单调函数。根据数学中导数的定义,以f'(p)反映在p附近的变化,同时,在p=0或1附近时,f'(p)有较大的值,于是取函数f'(p)(公式1),即f(p)(公式2),称此式为Logistic变换。

    可以看出当f'(p)>0时,Ɵ=f(p)为p的增函数,且当p从0至1变化时,Ɵ在(-∞,+∞)上变化,这一变换也解决了上述出现的两个问题,在数据处理上也带来了很多方便。

    为了建立因变量P与自变量X之间的合理的变化关系,我们令

    754af70a134eb57bdc14506a071146ed.png

    经过换算,则顾客手机购买概率:

    4e3410f11b13054ade206bef3b3af235.png

    一般的,Y 是0,1变量,X是任意k个变量,那么变量Y关于变量X的k元logistic回归模型为公式3,其中,对于二值变量Y关于变量X的一元logistic回归模型即公式4:

    其中α和β是未知参数或待估计的回归系数,该模型描述了y取某个值(这里y=1)的概率P与自变量X之间的关系。

    小结:本期,我们从一个小的案例出发,逐步分析,利用数学知识描述了从简单线性回归到logistic回归的过程,下期我们将简要介绍logistic回归系数的相关问题,以期对模型有更深的认识。

    关于Logistic回归概述,小伙伴们可以回顾本系列的第一篇推文《Logistic回归系列(一)——Logistic回归概述》。

    本期参考:

    1. 《Logistic回归入门》[美]Fred C. Pampel著,周穆之译,陈伟校;
    2. 《Logistic回归模型分析综述及应用研究》 [硕士论文] 尹建杰,黑龙江大学 ,2011
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  • 用R语言建立logistic回归模型

    万次阅读 多人点赞 2019-02-20 22:13:32
    用R语言建立logistic回归模型 公式:fm<-glm(formula,family=binomial(link=logit),data=data.frame) 其中:link=logit可以不写。 函数 用途 summary() 展示拟合模型的详细结果 coefficients() 列...

    用R语言建立logistic回归模型

    公式:fm<-glm(formula,family=binomial(link=logit),data=data.frame)
    其中:link=logit可以不写。

    函数 用途
    summary() 展示拟合模型的详细结果
    coefficients() 列出拟合模型的模型参数(截距项和斜率)
    fitted() 列出拟合模型的预测值
    confint() 提供参数的置信区间
    residuals() 列出拟合模型的残差值
    anova() 生成一个拟合模型的方差分析表,或者比较两个或更多拟合模型的方差分析表
    vcov() 列出模型参数的协方差矩阵
    AIC() 输出赤池信息统计量
    plot() 生成评价拟合模型的诊断图
    predict() 用拟合模型对新的数据集预测响应变量值

    以R语言中Affairs数据集作为实验

    数据加载中

    install.packages("AER")
    library(AER)
    data("Affairs")
    head(Affairs)
    

    在这里插入图片描述
    变量解释说明:
    响应变量是affairs(是否为婚外情,0表示无,否则有)
    自变量即为 gender(性别) age(年龄) yearsmarried (结婚时长)children(是否有小孩) religiousness(信仰宗教) education(受教育程度) occupation(职位) rating(不太清楚)

    数据处理

    # 查看数据响应数据的各个取值的占比情况
    table(Affairs$affairs)
    

    在这里插入图片描述
    结果显示,有婚外情的有出现过1次,2次等等多次的,他们都属于属于婚外情,所以,我们需要构建一个新变量将其组合在一起。

    Affairs$ynaffair <- ifelse(Affairs$affairs==0,0,1)
    table(Affairs$ynaffair)
    

    在这里插入图片描述观察到数据分布还行,不至于差异特别大(比如婚外情的占了90%以上,如果是这样的话,我们需要进行类失衡处理,这个还可以)

    对相应变量进行因子转化

    Affairs$ynaffair <- factor(Affairs$ynaffairs,lecels=c(1,0),labels=c('yes','no'))
    

    建模

    glm(formula = ynaffair ~ gender + age + yearsmarried + children + 
        religiousness + education + occupation + rating, family = binomial(), 
        data = Affairs)
    summary(fit.ful)
    

    在这里插入图片描述

    模型优化

    红框框起来的即为通过模型的,其他的变量不合格,我们需要丢弃

    fit.reduced <- glm(ynaffair ~  age + yearsmarried + religiousness + rating,family=binomial(),data=Affairs)
    summary(fit.reduced)
    

    模型中的变量均显示显著性检验,都通过了,模型构建成功
    在这里插入图片描述

    使用前面表格的函数

    anova(fit.ful,fit.reduced,test="Chisq")# 模型是否有差异
    

    前后两个模型的方差检验,看优化前后模型是否有差别,因p值=0.2108>0.05,所以两者还是有区别的;统计学知识(logistic回归用卡方检验)
    在这里插入图片描述

    # logistics回归方程模型的系数展示
    coef(fit.reduced)
    

    在这里插入图片描述
    #这个是以控制变量的形式,一个变量变,其他的不变,都取平均值,以此来判断随着这个变量的变化,相应变量是如何变的。比如:随着年龄的增大,婚外情发生的概率是变小的。

    testdata <- data.frame(rating=c(1,2,3,4,5),age=mean(Affairs$age),yearsmarried=mean(Affairs$yearsmarried,religiousness=mean(Affairs$religiousness)))
    testdata
    testdata$prob <- predict(fit.reduced,newdata=testdata,type="response")
    testdata2<-data.frame(rating=mean(Affairs$rating),age=seq(17,57,10),yearsmarried=mean(Affairs$yearsmarried),religiousness=mean(Affairs$religiousness))
    testdata2$prob <- predict(fit.reduced,newdata=testdata2,type="response")
    testdata2
    

    在这里插入图片描述

    # 协方差矩阵
    vcov(fit.reduced)
    

    在这里插入图片描述

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  • 因变量为无序多分类资料,或者因变量虽为有序多分类但不满足比例优势假定(平行性检验P>0.05),可采用无序多分类的logistic...无序多分类的logistic回归模型与有序多分类的logistic回归模型不同。有序多分类的logi...

    因变量为无序多分类资料,或者因变量虽为有序多分类但不满足比例优势假定(平行性检验P>0.05),可采用无序多分类的logistic回归进行分析。当然当结局变量无序,自变量只有一个且为分类变量时,可以直接采用卡方检验;结局变量有序,自变量只有一个且为分类变量时,可以直接采用非参数检验。

    无序多分类的logistic回归模型与有序多分类的logistic回归模型不同有序多分类的logistic回归采用的是累积logit模型,进行logit变换的是因变量有序取值水平的累积概率;而无序多分类的logistic回归采用的是广义logit模型,是用因变量的各个水平(除参照水平外)与参照水平比值的自然对数来建立模型方程,当水平数为2时,该模型等价于二分类资料的logistic回归,因此该模型可以看做是二分类logistic回归模型的扩展。因变量y是有n个水平的无序多分类变量,进行无序多分类的logistic回归时可以产生n-1个广义logit模型。参照水平R的阳性概率记为πR第k个水平(k=1,2,…n)的阳性概率分别为πk,则有π12+…πn=1。自变量x有m个,第k个水平第i个自变量(i=1,2,…m)Xi系数为βki

    4b8a0465309d619b9ad17af0d084d5a7.png

    以因变量为4水平(第4水平为参照水平),自变量有m个为例,模型可以表示为:

    91d7f816673bdb14013e0d9238c9531c.png

    显然π1234=1,如希望比较1和2,可以将相应的两个公式相减即可得到相应的函数,同理可以比较1和3,或者2和3。当然我们也可以直接对参照水平进行修改。

    示例:某研究人员欲了解不同社区和性别之间成年居民获取健康知识途径是否不同,对2个社区的314名成人进行了调查,结果见下表。变量赋值为:社区(社区A=0,社区B=1)、性别(男=0,女=1)、获取健康知识途径(传统大众媒介=1,网络=2,社区宣传=3)。请拟合社区和性别对居民获取健康知识途径的多分类logistic回归模型。f2f02f647e274e5ac2a55670042b9b6c.png

    1、数据录入

    c319d0f174c63ed8cd2431d79d8af8c5.png

    6d8df2d7ab947e9f8ad32318ab984b4f.png

    2、数据加权Data>>Weight Cases…,将[频数]进行加权

    7e1a49df47d19e363a923a19c7e4784d.png

    3、多变量回归分析Analyze>>Regression>>Multinomial Logistic…

    l 因变量:获得途径

    l 因素:社区、性别

    因变量和因素必须是分类变量,协变量是试验设计中不为研究者关注但对结果会产生影响的独立解释变量,可以分类变量也可以是连续型变量。在[因变量]下方的[参考类别(Reference Category…)]中可以对参考类别和类别顺序进行设置,默认的参考类别是最后一个类别,默认的类别顺序为升序。升序时因变量取值最小的为第一类别,而降序则将取值最小的为最后一类。

    052599028a032a80205f8135a1740cba.png

    【模型】:可以指定分析的模型,默认是只分析主效应,也可以进行全因素分析(主效应+交互作用),当然也可以进行自定义分析。选中自定义/逐步(Custom/Stepwise)后,除了可以自定义模型外,还可以实现变量的筛选,类似于二分类logistics回归的Block和Method。本例取默认的主效应分析。

    【统计量】:除默认选项,同时选中信息准则(输出AIC和BIC)、单元格概率、分类表及拟合优度检验。定义子总体默认选项为对所有的自变量和协变量计算单元格概率并进行拟合优度检验。

    ab9e344fde631ad8e012144b85ea4331.png

    【收敛准则】:主要对迭代进行设置。

    【选项】:可对进入和剔除标准及其检验方法进行设置。【保存】:可以保存新变量[估计反应概率]、[预测分类]、[预测分类概率]、[实际分类概率]4、结果

    【案例处理概要】:分析示例的基本情况。

    67d47f47d8b3c0cb435871349beb5db6.png

    【模型拟合信息】:与只含常数项的初始模型相比,最终模型的AIC(Akaike信息准则)、BIC(贝叶斯信息准则)、负2倍的对数似然值(-2LL)均有下降。-2LL值从80.877下降至36.821,下降了44.056(卡方值),似然比卡方检验具有统计学意义(P<0.001),说明模型纳入性别和社区两个变量中至少有一个偏回归系数不为0。

    3305968b70925549f4f4ed094d1b9367.png

    【拟合优度检验】:显示Pearson拟合优度检验和Deviance拟合优度检验结果。此两种方法实际是检验当前模型预测值与样本实测值的比较,两者结果P值均大于0.05,表示拟合良好。但要注意这两种方法对自变量的样本量有一定要求,当自变量较多或者含有连续变量时一般不采用这两种方法的检验结果。

    a551f36ee5f2eb65bc8dcdaa47505b9b.png

    【伪R2:输出三种伪决定系数。对分类数据的统计分析,不需要过于在意这三种伪决定系数过低的问题。

    ec76af7ad8788b59c2dea25ad75b9760.png

    【似然比检验】:表格显示最终模型的AIC、BIC、-2LL值(与【模型拟合信息】表的结果一致),以及简约模型(去掉某个自变量效应后的模型)的AIC、BIC、-2LL值,卡方检验统计量为简约模型与最终模型的-2LL差值。结果显示社区和性别对模型的贡献均有统计学意义。

    17d5ac37741302e382a3afe7ee308c32.png

    【参数估计】SPSS中因变量默认以取值高水平为参照水平(本例为社区宣传),如希望将其他取值水平作为参照水平,可在数据中修改因变量各水平的赋值,或者通过[参考类别(Reference Category…)]来指定。自变量也默认取值水平高的为参照水平,也可以修改自变量各水平的赋值来改变参照水平,如果将变量作为协变量纳入分析则低水平会被默认为参照水平。因此本例中社区B(社区=1)和女(性别=1)为参照水平,其参数值为0,一般是研究者不感兴趣的参数,即冗余参数。

    982dece4d7c3983d52a68517b24a28c7.png

    从结果来看,社区A(社区=0)的回归系数为负值,P=0.001<0.05,OR=0.370。具有统计学意义表明社区A回归系数不为0(社区B的回归系数为0)。回归系数为负,表明与社区宣传相比,社区A(比社区B)更不愿意通过传统大众传媒获得健康知识,或者说社区A更愿意通过社区宣传获得健康知识;OR=0.370,即相比社区宣传,社区A通过传统大众传媒获得健康知识是社区B的0.37倍,或者更符合表达逻辑的说法是社区A通过社区宣传获得健康知识是社区B的2.70倍(1/0.370),社区B通过传统大众传媒获得健康知识是社区A的2.70倍。当然严格来说OR的表达应该是:社区B选择传统大众传媒与选择社区宣传的比值 是 社区A相应比值的2.70倍。

    同理可知与社区宣传相比,男性(比女性)更愿意通过传统大众传媒获得健康知识,OR=3.410。与网络宣传相比,社区A(与社区B)在通过传统大众媒体获得健康知识方面没有统计过学差异(Wald χ2=1.7,P=0.192>0.05),但男性更倾向于选择网络获得健康知识(Wald χ2=8.126,P=0.004<0.05,OR=2.213)。

    8a8cac9a4acdb6920597f2459d336792.png

    如想比较传统大众媒介与网络,可直接将相应的模型方程相减,

    a75473ec0c839149d8653eaf2cc9817f.png

    大体可以判断与网络途径相比,社区A更不倾向传统大众传媒(也就是说更倾向于网络),男性更倾向传统大众传媒,但是否有统计学意义尚需进一步检验。可在多变量回归对话框中,通过[参考类别(Reference Category…)]将参考类别自定义为网络(Custom Value=2),可获得如下结果,同上述计算结果一致,解读略。

    ea6a326b728bc9a724d6f3f858d7979a.png

    另外,自变量为多分类时也要遵循同进同出的原则。

    【分类表】:观测频数与预测频数的差异。对角线为正确判断的频数,而非对角线为判断错误的个数。预测正确率一般,有待改善。

    5ae26b33bd96e0589343c48c7e88b3ac.png

    【观测频数和预测频数】:较为接近,拟合良好。

    471b9c96e64264d77679c4e9cd776445.png

    —— END ——

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