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  • VAR向量自回归模型 万次阅读 多人点赞
    2020-06-14 10:03:34

    一、简介

    1.1 内生变量与外生变量

    内生变量

    • 内生变量是具有某种概率分布的随机变量,它的参数是联立方程系统估计的元素,是由模型系统决定的,同时也对模型系统产生影响。
    • 内生变量–般都是明确经济意义变量。
    • 一般情况下,内生变量与随机项相关,即 C o v ( Y i , ε i ) ≠ 0 Cov\left( Y_i,\varepsilon _i \right) \ne 0 Cov(Yi,εi)=0
    • 在联立方程模型中,内生变量既作为被解释变量,又可以在不同的方程中作为解释变量。

    外生变量

    • 外生变量一般是确定性变量,或者是具有临界概率分布的随机变量,其参数不是模型系统研究的元素。
    • 外生变量影响系统,但本身不受系统的影响。
    • 外生变量一般是经济变量、政策变量、虚拟变量。
    • 一般情况下,外生变量与随机项不相关。

    注意:一个变量是内生变量还是外生变量,由经济理论和经济意义决定,不是从数学形式决定。

    1.2 VAR模型概念

    向量自回归模型,简称VAR模型,是AR 模型的推广,是一种常用的计量经济模型。在一定的条件下,多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型。

    VAR模型是用模型中所有当期变量对所有变量的若干滞后变量进行回归。

    向量自回归模型把系统中每-一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型,从而实现了将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。

    VAR模型常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响,主要应用于宏观经济学。是处理多个相关经济指标的分析与预测中最容易操作的模型之一。

    由于向量自回归模型把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型,从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。

    1.3 VAR模型结构

    单变量的时间序列的分析模式可以推广到多变量时间序列,建立向量自回归模型。向量自回归模型通常用于描述多变量时间序列之间的变动关系,不需要经济理论作为基础,从数据出发建立模型,是一种非结构化的模型。

    非限制性向量自回归模型的一般表达式如下:

    模型的基本形式是弱平稳过程的自回归表达式,描述的是在同一样本期间内的若干变量可以作为它们过去值的线性函数。

    Y t = Φ 0 + Φ 1 Y t − 1 + ⋯ + Φ p Y t − p + B X t + ε t  ,  t = 1 , 2 , ⋯   , T Y_t=\varPhi _0+\varPhi _1Y_{t-1}+\cdots +\varPhi _pY_{t-p}+BX_t+\varepsilon _t\ \text{,\ }t=1,2,\cdots ,T Yt=Φ0+Φ1Yt1++ΦpYtp+BXt+εt  t=1,2,,T

    其中
    Y t = ( y 1 t y 2 t ⋮ y k t ) , ε t = ( ε 1 t ε 2 t ⋮ ε k t ) , Φ 0 = ( ϕ 10 ϕ 20 ⋮ ϕ k 0 ) Y_t=\left( \begin{array}{c} y_{1t}\\ y_{2t}\\ \vdots\\ y_{kt}\\ \end{array} \right) \text{,}\varepsilon _t=\left( \begin{array}{c} \varepsilon _{1t}\\ \varepsilon _{2t}\\ \vdots\\ \varepsilon _{kt}\\ \end{array} \right) \text{,}\varPhi _0=\left( \begin{array}{c} \phi _{10}\\ \phi _{20}\\ \vdots\\ \phi _{k0}\\ \end{array} \right) Yt=y1ty2tyktεt=ε1tε2tεktΦ0=ϕ10ϕ20ϕk0

    Φ i = ( ϕ 11 ( i ) ϕ 12 ( i ) ⋯ ϕ 1 k ( i ) ϕ 21 ( i ) ϕ 22 ( i ) ⋯ ϕ 2 k ( i ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ϕ k 1 ( i ) ϕ k 2 ( i ) ⋯ ϕ k k ( i ) )    ,    i = 1 , 2 , ⋯   , p \varPhi _i=\left( \begin{matrix} \phi _{11}\left( i \right)& \phi _{12}\left( i \right)& \cdots& \phi _{1k}\left( i \right)\\ \phi _{21}\left( i \right)& \phi _{22}\left( i \right)& \cdots& \phi _{2k}\left( i \right)\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \phi _{k1}\left( i \right)& \phi _{k2}\left( i \right)& \cdots& \phi _{kk}\left( i \right)\\ \end{matrix} \right) \,\,\text{,\,\,}i=1,2,\cdots ,p Φi=ϕ11(i)ϕ21(i)ϕk1(i)ϕ12(i)ϕ22(i)ϕk2(i)ϕ1k(i)ϕ2k(i)ϕkk(i)i=1,2,,p

    • Y t Y_t Yt 表示 k 维内生变量列向量
    • Y t − i , i = 1 , 2 , ⋯   , p Y_{t-i}\text{,}i=1,2,\cdots ,p Ytii=1,2,,p 为滞后的内生变量
    • X t X_t Xt 表示 d 维外生变量列向量,它可以是常数变量、线性趋势项或者其他非随机变量
    • p 是滞后阶数
    • T 为样本数目
    • Φ i \varPhi _i Φi Φ 1 , Φ 2 ⋯   , Φ p \varPhi _1,\varPhi _2\cdots ,\varPhi _p Φ1,Φ2,Φp k × k k\times k k×k 维的待估矩阵
    • B 为 k × d k\times d k×d 维的待估矩阵
    • ε t ∼ N ( 0 , Σ ) \varepsilon _t\sim N\left( 0,\varSigma \right) εtN(0,Σ) 为 k 维白噪声向量,它们相互之间可以同期相关,但不与自己的滞后项相关(诸 ε t \varepsilon _t εt 独立同分布,而 ε t \varepsilon _t εt 中的分量不要求相互独立),也不与上式中右边的变量相关。 Σ \varSigma Σ ε t \varepsilon _t εt 的协方差矩阵, 是一个 k × k k\times k k×k 的正定矩阵。.

    比如 1 维 p 阶 向量自回归模型

    { y 1 t = ϕ 10 + ϕ 11 ( 1 ) y 1 , t − 1 + ϕ 12 ( 1 ) y 2 , t − 1 + ⋯ + ϕ 1 n ( 1 ) y n , t − 1          + ϕ 11 ( 2 ) y 1 , t − 2 + ϕ 12 ( 2 ) y 2 , t − 2 + ⋯ + ϕ 1 n ( 2 ) y n , t − 2          + ⋯          + ϕ 11 ( p ) y 1 , t − p + ϕ 12 ( p ) y 2 , t − p + ⋯ + ϕ 1 n ( p ) y n , t − p + ε t \left\{ \begin{array}{l} y_{1t}=\phi _{10}+\phi _{11}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{12}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\cdots +\phi _{1n}\left( 1 \right) y_{n,t-1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{11}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\phi _{12}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{1n}\left( 2 \right) y_{n,t-2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{11}\left( p \right) y_{1,t-p}+\phi _{12}\left( p \right) y_{2,t-p}+\cdots +\phi _{1n}\left( p \right) y_{n,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right. y1t=ϕ10+ϕ11(1)y1,t1+ϕ12(1)y2,t1++ϕ1n(1)yn,t1        +ϕ11(2)y1,t2+ϕ12(2)y2,t2++ϕ1n(2)yn,t2        +        +ϕ11(p)y1,tp+ϕ12(p)y2,tp++ϕ1n(p)yn,tp+εt

    不含常数项或线性趋势项的向量自回归模型表达式为:

    Y t = Φ 1 Y t − 1 + ⋯ + Φ p Y t − p + ε t  ,  t = 1 , 2 , ⋯   , T Y_t=\varPhi _1Y_{t-1}+\cdots +\varPhi _pY_{t-p}+\varepsilon _t\ \text{,\ }t=1,2,\cdots ,T Yt=Φ1Yt1++ΦpYtp+εt  t=1,2,,T

    1.4 VAR模型的特点

    1. 不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事:①共有哪些变量是相互有关系的,把有关系的变量包括在VAR模型中;②确定滞后期 p。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。
    2. VAR模型对参数不施加零约束。(对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除,不分析回归参数的经济意义。)
    3. VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量,所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在(主要是参数估计量的非一致性问题)。
    4. VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个VAR模型含有三个变量,最大滞后期 p=3,则有27个参数需要估计。当样本容量较小时,多数参数的估计量误差较大。
    5. 无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量,这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。
    6. 用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时,则只能预测出变动的趋势,而对短期波动预测不理想。

    二、模型的定阶(滞后阶数检验)

    滞后阶数检验需要考虑两个问题:

    • 第一,如果滞后阶数 p 比较小,那么随机误差项会出现自相关的问题;
    • 第二,在实际应用中,通常希望滞后阶数 p 足够大,进而能够更好的体现所构造的模型的动态特征,但是如果滞后阶数 p 过大时,那么模型所需要估计的参数就越多,将存在自由度太小的问题,如果没有足够多的样本数量,就会造成所需要估计参数不能有效的计算出来。

    所以,在做滞后阶数检验之前,需要把各种因素都考虑在内,这样才能保证检验结果是有效的。

    有两种方法可以做滞后阶数检验:

    • 第–种方法,分析各种准则,最后确定滞后阶数,AIC准则、SC准则、HQ准则、LogL准则、最终预测误差(FPE);.
    • 第二种方法,分析似然比(LR),这种方法不会出现第一-种方法的无效结果。

    第一种方法被学者们用的最多。.第一种方法中的五个指标在各个阶数的估计值,选取五个检验准则最小值数量最多的阶数即为模型的滞后期数。

    比如

    在这里插入图片描述

    三、模型的系数估计

    对于向量自回归模型系统中的每一个方程都可以采用OLS(最小二乘估计)方法进行估计,同时估计量具有一致性和无偏性。

    一个 k 维 p 阶向量自回归模型中,各方程中所有解释变量的滞后期是相同的,都为滞后 p 期,因此共估计得到 p × k 2 + k p\times k^2+k p×k2+k 个系数。

    四、单位根检验

    时间序列平稳性是指–组数列的统计值与时间无关,不会随时间推移而变化,它通常是以因果关系为基础的数学模型的假设条件。

    • 如果时间序列 y t y_t yt 是一组平稳序列,那么经过计算分析得到其均值 E ( y t ) E\left( y_t \right) E(yt) 不随时间变化而变化,其方差 V a r ( y t ) Var\left( y_t \right) Var(yt) 也不受时间的影响。
    • 如果时间序列 y t y_t yt 不是一组平稳序列,那么它的均值和方差都会受到时间t影响,随之改变。

    在VAR模型中,必须保证时间序列稳定。如果不能保证时间序列稳定,那么会导致两种结果:

    第一,向量自回归系数的估计值是负数,做完 t 检验后,得到的结果是无效的;
    第二,两个独立变量的相关关系或者回归关系是假的,使得模型的结果无效。

    (1)DF 检验

    DF 检验只适用于一阶自回归过程的平稳性检验

    在一阶自回归序列中,
    y t = ϕ 1 y t − 1 + ε t   ,   ε t ∼ N ( 0 , σ ε 2 ) y_t=\phi _1y_{t-1}+\varepsilon _t\ ,\ \varepsilon _t\sim N\left( 0,\sigma _{\varepsilon}^2 \right) yt=ϕ1yt1+εt , εtN(0,σε2)
    该序列的特征方程为:

    λ − ϕ 1 = 0 \lambda -\phi _1=0 λϕ1=0

    特征根为:
    λ = ϕ 1 \lambda =\phi _1 λ=ϕ1
    当特征根在单位圆内时: ∣ ϕ 1 ∣ < 1 \left| \phi _1 \right|<1 ϕ1<1,该序列平稳
    当特征根在单位圆上或单位圆外时: ∣ ϕ 1 ∣ ≥ 1 \left| \phi _1 \right|\ge 1 ϕ11,该序列非平稳

    所以可以通过检验特征根是在单位圆内还是在单位圆上(外),来检验序列的平稳性,这种检验就称为单位根检验。

    由于现实生活中绝大多数序列都是非平稳序列,所以单位根检验的原假设定为:

    H 0 : 序列  y t  非平稳 ⇔ H 0 : ∣ ϕ 1 ∣ ≥ 1 H_0:\text{序列\ }y_t\ \text{非平稳}\Leftrightarrow H_0:\left| \phi _1 \right|\ge 1 H0:序列 yt 非平稳H0:ϕ11

    相应的备择假设为: H 1 : 序列  y t  平稳 ⇔ H 1 : ∣ ϕ 1 ∣ < 1 H_1:\text{序列\ }y_t\ \text{平稳}\Leftrightarrow H_1:\left| \phi _1 \right|<1 H1:序列 yt 平稳H1:ϕ1<1
    检验统计量为: t ( ϕ 1 ) = ϕ ^ 1 − ϕ 1 S ( ϕ ^ 1 ) t\left( \phi _1 \right) =\frac{\hat{\phi}_1-\phi _1}{S\left( \hat{\phi}_1 \right)} t(ϕ1)=S(ϕ^1)ϕ^1ϕ1
    拒绝原假设,认为序列 y t y_t yt 显著平稳

    (2)ADF 检验

    因为 DF 检验只适用于1阶自回归过程的平稳性检验,但实际上绝大多数时间序列都不会是一个简单的AR(1)过程。为了使DF检验能适用于AR( p )过程的平稳性检验,对其进行了一定的修正,得到增广DF检验(augmented Dickey-Fuller),简记为ADF检验。

    对任一 AR ( p ) 过程

    y t = ϕ 1 y t − 1 + ⋯ + ϕ p y t − p + ε t y_t=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}+\varepsilon _t yt=ϕ1yt1++ϕpytp+εt

    特征方程:
    λ p − ϕ 1 λ p − 1 − ϕ 2 λ p − 2 − ⋯ − ϕ p = 0 \lambda ^p-\phi _1\lambda ^{p-1}-\phi _2\lambda ^{p-2}-\cdots -\phi _p=0 λpϕ1λp1ϕ2λp2ϕp=0

    如果该方程所有的特征根都在单位圆内,即 ∣ λ i ∣ < 1 , i = 1 , 2 , ⋯   , p \left| \lambda _i \right|<1\text{,}i=1,2,\cdots ,p λi<1i=1,2,,p

    则序列 y t y_t yt 平稳

    如果有一个单位根存在,不妨设
    λ 1 = 1 \lambda _1=1 λ1=1

    则序列 y t y_t yt 非平稳,且自回归系数之和恰好等于1:
    { λ p − ϕ 1 λ p − 1 − ⋯ − ϕ p λ p − p = 0 ⇒ λ = 1 1 − ϕ 1 − ⋯ − ϕ p = 0 ⇒ ϕ 1 + ϕ 2 + ⋯ + ϕ p = 1 \left\{ \begin{array}{l} \lambda ^p-\phi _1\lambda ^{p-1}-\cdots -\phi _p\lambda ^{p-p}=0\\ \\ \xRightarrow{\lambda =1}\\ \\ 1-\phi _1-\cdots -\phi _p=0\\ \\ \Rightarrow\\ \\ \phi _1+\phi _2+\cdots +\phi _p=1\\ \end{array} \right. λpϕ1λp1ϕpλpp=0λ=1 1ϕ1ϕp=0ϕ1+ϕ2++ϕp=1

    因而,对于AR( p )过程,可以通过检验自回归系数之和是否等于1来考察该序列的平稳性.

    将.上述推广到 VAR( p ) 模型中,如果特征方程
    ∣ I N λ p − Φ 1 λ p − Φ 2 λ p − ⋯ − Φ p ∣ = 0 \left| I_N\lambda ^p-\varPhi _1\lambda ^p-\varPhi _2\lambda ^p-\cdots -\varPhi _p \right|=0 INλpΦ1λpΦ2λpΦp=0

    的所有特征根都落在单位圆内,即 ∣ λ i ∣ < 1 , ( i = 1 , 2 , ⋯   , p ) \left| \lambda _i \right|<1\text{,}\left( i=1,2,\cdots ,p \right) λi<1(i=1,2,,p),那么就说 VAR( p ) 模型是协方差稳定的。

    引入延迟算子B,如果 VAR( p ) 模型满足
    ∣ I N − Φ 1 B − Φ 2 B 2 − ⋯ − Φ p B p ∣ = 0 \left| I_N-\varPhi _1B-\varPhi _2B^2-\cdots -\varPhi _pB^p \right|=0 INΦ1BΦ2B2ΦpBp=0

    的所有根都在单位圆外,模型也是协方差稳定的。


    y t = ϕ 1 y t − 1 + ⋯ + ϕ p y t − p + ε t y_t=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}+\varepsilon _t yt=ϕ1yt1++ϕpytp+εt
    进行等价变换:
    y t − y t − 1 = ϕ 1 y t − 1 + ⋯ + ϕ p y t − p − y t − 1 + ε t y_t-y_{t-1}=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}-y_{t-1}+\varepsilon _t ytyt1=ϕ1yt1++ϕpytpyt1+εt

    整理得
    ▽ y t = ( ϕ 1 + ⋯ + ϕ p − 1 ) y t − 1 − ( ϕ 2 + ⋯ + ϕ p ) ▽ y t − 1 − ⋯ − ϕ p ▽ y t − p + 1 + ε t \triangledown y_t=\left( \phi _1+\cdots +\phi _{p-1} \right) y_{t-1}-\left( \phi _2+\cdots +\phi _p \right) \triangledown y_{t-1}-\cdots -\phi _p\triangledown y_{t-p+1}+\varepsilon _t yt=(ϕ1++ϕp1)yt1(ϕ2++ϕp)yt1ϕpytp+1+εt
    简记为
    ▽ y t = α y t − 1 + β 1 ▽ y t − 1 + ⋯ + β p − 1 ▽ y t − p + 1 + ε t \triangledown y_t=\alpha y_{t-1}+\beta _1\triangledown y_{t-1}+\cdots +\beta _{p-1}\triangledown y_{t-p+1}+\varepsilon _t yt=αyt1+β1yt1++βp1ytp+1+εt
    式中
    { α = ϕ 1 + ϕ 2 + ⋯ ϕ p − 1 β j = − ϕ j + 1 − ϕ j + 2 − ⋯ − ϕ p  ,  j = 1 , 2 , ⋯   , p − 1 \left\{ \begin{array}{l} \alpha =\phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p-1\\ \\ \beta _j=-\phi _{j+1}-\phi _{j+2}-\cdots -\phi _p\ \text{,\ }j=1,2,\cdots ,p-1\\ \end{array} \right. α=ϕ1+ϕ2+ϕp1βj=ϕj+1ϕj+2ϕp  j=1,2,,p1

    若序列 y t y_t yt 平稳,则 ϕ 1 + ϕ 2 + ⋯ ϕ p < 1 \phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p<1 ϕ1+ϕ2+ϕp<1等价于 α<0

    若序列 y t y_t yt 非平稳,则至少存在一个单位根,有
    ϕ 1 + ϕ 2 + ⋯ ϕ p = 1 \phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p=1 ϕ1+ϕ2+ϕp=1
    等价于 α=0

    则AR( p )过程单位根检验的假设条件可以确定为:
    H 0 : α = 0 ( 序列非平稳 ) ⟷ H 1 : α < 0 ( 序列平稳 ) H_0:\alpha =0\left( \text{序列非平稳} \right) \longleftrightarrow H_1:\alpha <0\left( \text{序列平稳} \right) H0:α=0(序列非平稳)H1:α<0(序列平稳)

    构造ADF检验统计量:

    τ = α ^ S ( α ^ ) \tau =\frac{\hat{\alpha}}{S\left( \hat{\alpha} \right)} τ=S(α^)α^

    S ( α ^ ) S\left( \hat{\alpha} \right) S(α^) 为参数 α 的样本标准差

    通过蒙特卡洛方法,可以得到r检验统计量的临界值表,显然DF检验是ADF检验在自相关阶数为1时的一个特例,所以统称为ADF检验

    利用 EVIEWS 可以进行平稳性检验

    五、格兰杰因果检验

    在有些情况下,时间序列分析也会出现伪相关问题,也就是可以计算出较大的相关系数的变量实际上并不相关。

    针对此问题,格兰杰因果检验由此而生。格兰杰因果检验用于检验时间序列之间是否存在相关关系,它是能否建立脉冲函数的前提。

    在VAR模型中,格兰杰检验的因果关系不是通常所说的因果关系(并非真正汉语意义上的“因果关系”),而是说先发生的事情后发生的事情有–定的影响,或者说某个变量是否可以用来提高对其他相关变量的预测能力。所以,“格兰杰因果关系的实质是一-种“预测”关系

    其实质是考量一个变量的滞后量能否加入到其他变量的公式中。当一个变量确实受到其他变量的滞后量影响时,可以称这两个变量具有格兰杰因果关系。

    格兰杰因果检采取以下方式验证是否是真正的相关关系

    (1)估计当前的Y值被Y本身滞后期取值所能解释的程度;
    (2)检验加入X的滞后期后,Y的被解释程度是否提高;
    (3)如果满足条件(2),则X是Y的格兰杰成因,此时X的滞后期系数具有统计显著性。

    具体是通过在向量自回归模型系统中考察序列滞后项的系数是否全为零来进行检验。以一个2维p阶平稳向量自回归模型为例

    { y 1 t = ϕ 10 + ϕ 11 ( 1 ) y 1 , t − 1 + ϕ 11 ( 2 ) y 1 , t − 2 + ⋯ + ϕ 11 ( p ) y 1 , t − p          + ϕ 12 ( 1 ) y 2 , t − 1 + ϕ 12 ( 2 ) y 2 , t − 2 + ⋯ + ϕ 12 ( p ) y 2 , t − p + ε t \left\{ \begin{array}{l} y_{1t}=\phi _{10}+\phi _{11}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{11}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\cdots +\phi _{11}\left( p \right) y_{1,t-p}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{12}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\phi _{12}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{12}\left( p \right) y_{2,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right. {y1t=ϕ10+ϕ11(1)y1,t1+ϕ11(2)y1,t2++ϕ11(p)y1,tp        +ϕ12(1)y2,t1+ϕ12(2)y2,t2++ϕ12(p)y2,tp+εt
    { y 2 t = ϕ 20 + ϕ 21 ( 1 ) y 1 , t − 1 + ϕ 21 ( 2 ) y 1 , t − 2 + ⋯ + ϕ 21 ( p ) y 1 , t − p          + ϕ 22 ( 1 ) y 2 , t − 1 + ϕ 22 ( 2 ) y 2 , t − 2 + ⋯ + ϕ 22 ( p ) y 2 , t − p + ε t \left\{ \begin{array}{l} y_{2t}=\phi _{20}+\phi _{21}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{21}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\cdots +\phi _{21}\left( p \right) y_{1,t-p}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{22}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\phi _{22}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{22}\left( p \right) y_{2,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right. {y2t=ϕ20+ϕ21(1)y1,t1+ϕ21(2)y1,t2++ϕ21(p)y1,tp        +ϕ22(1)y2,t1+ϕ22(2)y2,t2++ϕ22(p)y2,tp+εt

    可以写成
    ∣ [ y 1 t y 2 t ] = [ ϕ 10 ϕ 20 ] + [ ϕ 11 ( 1 ) ϕ 12 ( 1 ) ϕ 21 ( 1 ) ϕ 22 ( 1 ) ] [ y 1 , t − 1 y 2 , t − 1 ] + [ ϕ 11 ( 2 ) ϕ 12 ( 2 ) ϕ 21 ( 2 ) ϕ 22 ( 2 ) ] [ y 1 , t − 2 y 2 , t − 2 ]                 + ⋯ + [ ϕ 11 ( p ) ϕ 12 ( p ) ϕ 21 ( p ) ϕ 22 ( p ) ] [ y 1 , t − p y 2 , t − p ] + [ ε 1 t ε 2 t ] \left| \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} y_{1t}\\ y_{2t}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \phi _{10}\\ \phi _{20}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( 1 \right)& \phi _{12}\left( 1 \right)\\ \phi _{21}\left( 1 \right)& \phi _{22}\left( 1 \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-1}\\ y_{2,t-1}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( 2 \right)& \phi _{12}\left( 2 \right)\\ \phi _{21}\left( 2 \right)& \phi _{22}\left( 2 \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-2}\\ y_{2,t-2}\\ \end{array} \right]\\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( p \right)& \phi _{12}\left( p \right)\\ \phi _{21}\left( p \right)& \phi _{22}\left( p \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-p}\\ y_{2,t-p}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \varepsilon _{1t}\\ \varepsilon _{2t}\\ \end{array} \right]\\ \end{array} \right. [y1ty2t]=[ϕ10ϕ20]+[ϕ11(1)ϕ21(1)ϕ12(1)ϕ22(1)][y1,t1y2,t1]+[ϕ11(2)ϕ21(2)ϕ12(2)ϕ22(2)][y1,t2y2,t2]               ++[ϕ11(p)ϕ21(p)ϕ12(p)ϕ22(p)][y1,tpy2,tp]+[ε1tε2t]

    检验原假设: H 0 :   y 2 t 不是 y 1 t 的格兰杰原因 H_0:\ y_{2t}\text{不是}y_{1t}\text{的格兰杰原因} H0: y2t不是y1t的格兰杰原因

    则通过F检验来检验联合假设
    ϕ 12 ( 1 ) = ϕ 12 ( 2 ) = ⋯ = ϕ 12 ( p ) = 0 \phi _{12}\left( 1 \right) =\phi _{12}\left( 2 \right) =\cdots =\phi _{12}\left( p \right) =0 ϕ12(1)=ϕ12(2)==ϕ12(p)=0

    若检验结果拒绝原假设,即拒绝 y 2 t y_{2t} y2t 不是 y 1 t y_{1t} y1t 的格兰杰原因,则通常称 y 2 t y_{2t} y2t y 1 t y_{1t} y1t 的格兰杰原因。

    由于格兰杰因果关系检验是在向量自回归模型的基础上进行的,因此向量自回归模型本身的合理性对格兰杰因果关系检验的结果也是非常重要的。例如,向量自回归模型本身应当具有恰当的滞后期。

    六、脉冲响应分析

    在VAR模型中,脉冲响应分析的作用是可以分析某个变量对另一个变量的影响时间和幅度。研究当扰动项发生变化时,对整个模型系统产生的影响,用来描述一个变量的变动怎样影响模型其他所有的变量。

    如果时间序列是稳定的,虽然前几期受到外部冲击的影响,该变量会处于一个变化的状态,但经过一段时间,最终会处于-一个平稳的状态。

    由于向量自回归模型表达式中所需要估计的参数非常多,并且一个系数只能反应局部关系。

    也就是,VAR模型中的各个等式中的系数并不是研究者最终关注的对象,对模型表达式中的系数的研究意义并不大。但是如果考虑一个扰动项变动,或者受到一个干扰或冲击,各个变量之间的动态关系,也就是系统的动态反应,是具有–定意义的。

    脉冲响应函数

    在参数估计量的评价标准中,一般包含无偏性、有效性、相合性和一致性,而VAR模型参数的普通最小二乘法估计量只具有–致性,因此要解释复杂的经济问题,单个参数估计值是很难完成的。

    一个有效的对VAR模型进行分析的方法就是脉冲响应函数。

    脉冲响应函数研究的是随机干扰项遭受冲击后内生变量的反应,用来描述对随机干扰项施加一一个冲击后对内生变量的当期值和未来值造成的影响

    在实际的应用中,由于VAR模型是一种非理论性的模型,因此在对VAR模型的分析中,很少研究一个变量的变化对另-一个变量的影响,而是专注于当一个随机误差项变化时(对随机误差项施加冲击),对系统的动态影响。

    七、方差分解

    在VAR模型中,得到了某个变量对另一个变量的解释度后,能够分析出该变量的重要性。变量会产生一些随机误差项,这些随机误差项都包含着重要的信息,方差分解的结果能够把这些信息全部说明出来。方差分解的作用非常大,这个过程的作用是能够分析某个变量对另-一个变量的解释度。

    如果说脉冲响应函数是来描述数学模型中的任一内生变量的正交冲击对其他变量造成的影响,那么方差分解就是分析各个内生变量的正交冲击对目标内生变量冲击的贡献比例,进而判断分析各个变量的重要性。

    参考:

    《浅析中国对美贸易额的影响因素》_张康琦
    《基于VAR模型的GDP和CPI对居民生活水平的影响分析》_陈小龙
    《向量自回归模型扰动分布的光滑检验及其应用》_钟嫕姝

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  • 向量自回归模型VAR

    2013-11-20 10:33:09
    向量自回归是一种很好的模型研究,要好好把握好,不然就很难做回归
  • 1 自回归模型 给定多元时间序列数据,对于任意第t个时间间隔,有: 换一个角度看,可以看成是个input 为N维,output为N维的fully-connectedlayer 2 自回归模型 最优解 我们令 则自回归模型可以改写为...

    1 向量自回归模型 

    时间序列分析从单一时间序列 拓展到了多元时间序列,在任意第t 个时刻,观测样本从 一维变成了N维 

    给定多元时间序列数据Y \in R^{N\times T},对于任意第t个时间间隔,有:

     

     换一个角度看A_k,可以看成是个input 为N维,output为N维的fully-connected layer

    2 自回归模型 最优解

    我们令

     

    则自回归模型可以改写为:

     

    将向量拼成矩阵,有:

    其中

     

    对此采用最小二乘法,可以求得系数矩阵A的最优解

    其中 第一行<——>第二行的推导可见

    参考资料

    时间序列分析 | 向量自回归模型 - 知乎 (zhihu.com)

    展开全文
  • 详细讲解向量自回归的历史发展作用和实战应用,有着非常丰富的逻辑脉络和实战案例
  • 向量自回归 (VAR) 是一种用于多变量时间序列分析的统计模型,尤其是在变量具有相互影响关系的时间序列中,本视频中我们介绍了向量自回归并在R软件中进行实现。 视频:向量自回归VAR数学原理及R软件经济数据脉冲...

    原文链接:http://tecdat.cn/?p=9368

    原文出处:拓端数据部落公众号

    向量自回归 (VAR) 是一种用于多变量时间序列分析的统计模型,尤其是在变量具有相互影响关系的时间序列中,本视频中我们介绍了向量自回归并在R软件中进行实现。

    视频:向量自回归VAR数学原理及R软件经济数据脉冲响应分析实例

    【视频】向量自回归VAR数学原理及R语言软件经济数据脉冲响应分析实例

    ,时长12:01

    为什么用向量自回归

    为了能够理解几个变量之间的关系。允许动态变化。

    为了能够得到更好的预测。

    一组时间序列由多个单一序列组成。

    我们在建立时间序列模型时说,简单的单变量ARMA 模型可以很好地进行预测。那么,为什么我们需要多个序列?

    例子如:CPI反映的是通胀,CPI高了,通胀风险大,而抑制通胀最重要的手段就是加息,反之,当CPI很低,就说明经济不景气,那么就需要降息。降息之后刺激经济增长。因此,可能需要一个联合的动态模型来了解动态的相互关系 并可能做一个更好的预测工作。

    在观察 ARMA 和 GARCH 模型时,您会立即注意到估计和预测是针对一个变量进行的。在现实生活中,这并不成立。实际上,还有许多其他变量可能会影响其他变量。市场参与者和经济学家总是对宏观经济变量与他们有兴趣购买的资产之间的动态关系感兴趣。此操作可以帮助他们预测市场上可能发生的潜在情况。

    使用 VAR 模型的基本要求是:

    具有至少两个变量的时间序列。

    变量之间存在动态关系。

    它被认为是一个自回归模型,因为模型所做的预测取决于过去的值,这意味着每个观测值都被建模为其滞后值的函数。

    ARIMA 和 向量自回归 模型之间的基本区别在于,所有 ARIMA 模型都用于单变量时间序列,其中 向量自回归 模型适用于多变量时间序列。此外,ARIMA 模型是单向模型,这意味着因变量受其过去值或滞后值本身的影响,其中 向量自回归 是双向模型,这意味着因变量受其过去值或另一个变量值的影响或受这两件事的影响。 

    什么是向量自回归

    向量自回归模型是统计分析中经常使用的模型,它探索了几个变量之间的相互关系。

    在开始建模部分之前,让我们先了解一下模型背后的数学。

    单变量时间序列的典型自回归模型 (AR(p)) 可以表示为 

    其中

    y t -i  表示较早时期的变量值。

    A是一个时不变的 ( k × k ) 矩阵。

    e t是一个误差项。

    c是模型的截距。

    这里的阶数 p 的意思是,最多使用 y 的 p滞后。

    众所周知,向量自回归模型处理的是多元时间序列,这意味着会有两个或多个变量相互影响。因此,向量自回归 模型方程随着时间序列中变量数量的增加而增加。

    假设有两个时间序列变量 y1 和 y2,因此要计算 y1(t),向量自回归 模型将使用两个时间序列变量的滞后。 

    例如,具有两个时间序列变量(y1 和 y2)的 VAR(1) 模型的方程如下所示:

    其中,Y{1,t-1} 是 y1 的第一个滞后值,Y{2,t-1} 是 y2 的第一个滞后值。 

    我们可以清楚地了解模型的方程将如何随着变量和滞后值的增加而增加。例如,具有 3 个时间序列变量的 VAR(3) 模型方程如下所示。

    所以这就是 p 值将如何增加模型方程的长度,而变量的数量将增加方程的高度。

    选择模型的滞后数

    有两种主要方法可以选择模型的滞后数:

    经验方法,我们使用信息标准

    推理方法包括使用假设检验

    我们只考虑信息标准。有 3 个流行的信息标准,即:

    赤池信息准则 (AIC)

    施瓦茨-贝叶斯 (BIC)

    汉南-奎恩 (HQ)

    实际上,最佳滞后数是信息标准最小的滞后数。然后,我们估计 p=0,...,pmax 的 VAR(p) 并选择最小化 AIC、BIC 或 HIQ 的值 p。

    向量自回归模型的估计包括以下步骤:

    选择最佳滞后长度

    信息标准 (IC) 用于确定最佳滞后长度。最常用的是 Akaike IC、Hannah-Quinn 准则和 Schwarz 准则。

    平稳性检验

    下一步是估计变量的平稳性。一种广泛使用的估计平稳性的方法是增广迪基-富勒检验和菲利普斯-佩隆检验。如果变量是非平稳的,则应采用一阶差分并以相同的方式测试平稳性。

    协整检验

    变量可能是非平稳的,但具有相同阶数的积分。在这种情况下,可以使用矢量纠错模型 (VECM) 而不是 向量自回归 来分析它们。如果变量是协整的,则在以下分析中应用 VECM 而不是 向量自回归 模型。VECM 应用于非变换的非平稳序列,而 向量自回归 使用变换的或平稳的输入。

    模型估计

    使用选择的滞后数和具有标准误差的系数运行 向量自回归 模型,并计算相应的 t 统计量以评估统计显着性。

    诊断测试

    接下来,使用 Breusch-Godfrey 检验对模型进行序列相关性检验,使用 Breusch-Pagan 检验检验异方差性和稳定性。

    脉冲响应函数 (IRF)

    IRF 用于以图形方式表示 向量自回归 模型的结果,并预测变量对彼此的影响。

    格兰杰因果检验

    这些变量可能是相关的,但它们之间可能不存在因果关系,或者影响可能是双向的。Granger 检验表明变量之间的因果关系,并根据 向量自回归 系统中一对变量的当前值和过去值的交互作用显示因果关系的方向。

    向量自回归 在以下几种情况下很有用

    向量自回归 面临的一个批评是它们是非理论的。也就是说,它们不是建立在某些将理论结构强加于方程的经济理论之上。假设每个变量都会影响系统中的所有其他变量,这使得对估计系数的直接解释变得困难。尽管如此,向量自回归 在以下几种情况下很有用:

    1. 在不需要明确解释的情况下预测相关变量的集合;

    2. 测试一个变量是否对预测另一个变量有用(格兰杰因果检验的基础);

    3. 脉冲响应分析,分析一个变量对另一个变量突然但暂时变化的响应;

    4. 预测误差方差分解,其中每个变量的预测方差比例归因于其他变量的影响。

    R语言用向量自回归(VAR)进行经济数据脉冲响应研究分析

    自从Sims(1980)发表开创性的论文以来,向量自回归模型已经成为宏观经济研究中的关键工具。这篇文章介绍了VAR分析的基本概念,并指导了简单模型的估算过程。

    单变量自回归

    VAR代表_向量自回归_。为了理解这意味着什么,让我们首先来看一个简单的单变量(即仅一个因变量或内生变量)自回归(AR)模型,其形式为yt=a1yt−1+et。

    平稳性

    在估算此类模型之前,应始终检查所分析的时间序列是否稳定,即它们的均值和方差随时间变化是恒定的,并且不显示任何趋势行为。

    有一系列统计检验,例如Dickey-Fuller,KPSS或Phillips-Perron检验,以检验序列是否稳定。另一种非常常见的做法是绘制序列并检查其是否围绕恒定的平均值(即水平线)移动。如果是这种情况,它很可能是稳定的。

    自回归滞后模型

    像AR(p)模型一样,仅凭其自身的滞后对宏观经济变量进行回归可能是一种限制性很大的方法。通常,更合适的假设是还有其他因素。通过包含因变量的滞后值以及其他(即,外生)变量的同期和滞后值的模型来实现这种想法。同样,这些外生变量应该是稳定的。对于内生变量yt和外生变量xt例如_自回归分布滞后_或ADL,模型可以写成

    yt=a1yt−1+b0xt+b1xt−1+et.

    这种ADL模型的预测性能可能会比简单的AR模型更好。但是,如果外生变量也依赖于内生变量的滞后值怎么办?这意味着xt也是内生的,还有进一步的空间可以改善我们的预测。

    向量自回归模型

    因此,如上所述,VAR模型可以重写为一系列单独的ADL模型。实际上,可以通过分别估计每个方程来估计VAR模型。

    标准VAR模型的协方差矩阵是_对称的_,即,对角线右上角的元素(“上三角”)将对角线左下角的元素(“下三角”)镜像。这反映了这样一种想法,即内生变量之间的关系仅反映相关性,并且不允许做出因果关系的陈述,因为在每个方向上的影响都是相同的。

    在所谓的_结构化_ VAR(SVAR)模型的背景下分析了同时因果关系,或更确切地说,是变量之间的结构关系,该模型对协方差矩阵施加了限制 。

    在本文中,我考虑VAR(2)过程。

    此示例的人工样本是在R中生成的

    set.seed(123) # 由于可复制性的考虑,重置随机数发生器
    
    # 生成样本
    t <- 200 # 时间序列观察数
    k <- 2 # 内生变量数
    p <- 2 # 滞后阶数
    
    # 生成系数矩阵
    A.1 <- matrix(c(-.3, .6, -.4, .5), k) # 滞后系数矩阵1
    A.2 <- matrix(c(-.1, -.2, .1, .05), k) # 滞后系数2
    A <- cbind(A.1, A.2) # 系数矩阵
    
    # 生成序列
    
    series <- matrix(0, k, t + 2*p) # 带有0的原始序列
    for (i in (p + 1):(t + 2*p)){ # 生成e ~ N(0,0.5)的序列
      series[, i] <- A.1%*%series[, i-1] + A.2%*%series[, i-2] + rnorm(k, 0, .5)
    }
    
    series <- ts(t(series[, -(1:p)])) # 转换为时间序列格式
    names <- c("V1", "V2") # 重命名变量
    
    plot.ts(series) # 绘制序列

    估算值

    简单VAR模型的参数和协方差矩阵的估计很简单。

    为了估计VAR模型,加载并指定数据(y)和 模型。

    比较

    VAR分析中的一个中心问题是找到滞后的阶数,以产生最佳结果。模型比较通常基于信息标准,例如AIC,BIC或HQ。通常,由于是小样本预测,AIC优于其他标准。但是,BIC和HQ在大型样本中效果很好 。

    可以计算标准信息标准以找到最佳模型。在此示例中,我们使用AIC:

    通过查看,summary我们可以看到AIC建议使用2的阶数。

    summary(var.aic)

    ## VAR Estimation Results:
    ## ========================= 
    ## Endogenous variables: Series.1, Series.2 
    ## Deterministic variables: none 
    ## Sample size: 200 
    ## Log Likelihood: -266.065 
    ## Roots of the characteristic polynomial:
    ## 0.6611 0.6611 0.4473 0.03778
    ## Call:
    ## VAR(y = series, type = "none", lag.max = 5, ic = "AIC")
    ## 
    ## 
    ## Estimation results for equation Series.1: 
    ## ========================================= 
    ## Series.1 = Series.1.l1 + Series.2.l1 + Series.1.l2 + Series.2.l2 
    ## 
    ##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    ## Series.1.l1 -0.19750    0.06894  -2.865  0.00463 ** 
    ## Series.2.l1 -0.32015    0.06601  -4.850 2.51e-06 ***
    ## Series.1.l2 -0.23210    0.07586  -3.060  0.00252 ** 
    ## Series.2.l2  0.04687    0.06478   0.724  0.47018    
    ## ---
    ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    ## 
    ## 
    ## Residual standard error: 0.4638 on 196 degrees of freedom
    ## Multiple R-Squared: 0.2791,  Adjusted R-squared: 0.2644 
    ## F-statistic: 18.97 on 4 and 196 DF,  p-value: 3.351e-13 
    ## 
    ## 
    ## Estimation results for equation Series.2: 
    ## ========================================= 
    ## Series.2 = Series.1.l1 + Series.2.l1 + Series.1.l2 + Series.2.l2 
    ## 
    ##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    ## Series.1.l1  0.67381    0.07314   9.213  < 2e-16 ***
    ## Series.2.l1  0.34136    0.07004   4.874 2.25e-06 ***
    ## Series.1.l2 -0.18430    0.08048  -2.290   0.0231 *  
    ## Series.2.l2  0.06903    0.06873   1.004   0.3164    
    ## ---
    ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    ## 
    ## 
    ## Residual standard error: 0.4921 on 196 degrees of freedom
    ## Multiple R-Squared: 0.3574,  Adjusted R-squared: 0.3443 
    ## F-statistic: 27.26 on 4 and 196 DF,  p-value: < 2.2e-16 
    ## 
    ## 
    ## 
    ## Covariance matrix of residuals:
    ##          Series.1 Series.2
    ## Series.1  0.21417 -0.03116
    ## Series.2 -0.03116  0.24154
    ## 
    ## Correlation matrix of residuals:
    ##          Series.1 Series.2
    ## Series.1    1.000   -0.137
    ## Series.2   -0.137    1.000`
    
    仔细观察结果,我们可以将真实值 与模型的参数估计值进行比较:
    

    真实值

    A
    ##      [,1] [,2] [,3] [,4]
    ## [1,] -0.3 -0.4 -0.1 0.10
    ## [2,]  0.6  0.5 -0.2 0.05
    # Extract coefficients, standard errors etc. from the object
    # produced by the VAR function
    est_coefs <- coef(var.aic)
    
    # 仅提取两个因变量的系数,并将它们组合为一个矩阵
    
    # 输出四舍五入的估计值
    round(est_coefs, 2)
    ##      Series.1.l1 Series.2.l1 Series.1.l2 Series.2.l2
    ## [1,]       -0.20       -0.32       -0.23        0.05
    ## [2,]        0.67        0.34       -0.18        0.07

    所有估计值都有正确的符号,并且相对接近其真实值。

    脉冲响应

    一旦我们确定了最终的VAR模型,就必须解释其估计的参数值。由于VAR模型中的所有变量都相互依赖,因此单个参数值仅提供 有限信息。为了更好地了解模型的动态行为,使用了脉冲响应(IR)。可以绘制因变量的轨迹,产生在许多宏观论文中都可以找到的那些波浪曲线。

    在下面的示例中,我们想知道受到冲击后序列2的行为。指定了我们想要脉冲响应的模型和变量后,我们将时间范围设置n.ahead为20。该图给出了序列2的响应。

    # 计算脉冲响应
    
    # 绘制脉冲响应
    plot(ir.1)

    请注意,_正交_选项很重要,因为它说明了变量之间的关系。在我们的示例中,我们已经知道不存在这样的关系,因为真正的方差-协方差矩阵(或简称协方差矩阵)在非对角元素中是对角为零的对角线。但是,由于具有200个观测值的有限时间序列数据限制了参数估计的精度,因此协方差矩阵的非对角元素具有正值,这意味着 非零同时效应。为了在IR中排除这种情况,我们设置了ortho = FALSE。结果是,脉冲响应在周期0中从零开始。也可以尝试另一种方法并进行设置ortho = TRUE,那么绘图从零开始。

    要了解这一点,还可以计算并绘制_累积_脉冲响应函数,以了解 总体长期影响:

    # 计算脉冲响应
    
    # 绘图
    plot(ir.2)

    我们看到,尽管序列2对序列1中的 反应在某些时期是负面的,但总体效果却是显着正面。

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    Vector autoregressive model 是多元时间序列分析中最基础的一族模型之一,我们可以从两个角度来理解它,

    从纵向比较来看,它是单变量时间序列Autoregressive(AR)模型在多元时间序列上的衍生;

    从横向比较来看,它和它的其他小伙伴VMA,VARMA等都是在用线性关系刻画一个平稳的系统;

    下面我们主要阐述 VAR的性质,内生变量与外生变量,VAR的应用(厉害在哪里)

    1)VAR的性质

    向量自回归模型的数学表达如下,Zt是多元变量在t时刻的取值,通过时间推移算子可以将向量自回归的过程紧凑的表达出来;

    就像我们可以轻易的从单变量回归走向多变量回归,从AR过程走向VAR过程的数学推导也是类似的;

    我们在做参数估计的时候也需要用到 Yule-walker 方程:

    当然,最小二乘也是可以的,并且当模型不平稳时最小二乘法估计出来的参数还可以保持一致性;

    2) 内生变量与外生变量

    内生变量就是参与模型并由模型体系内决定的变量,外生变量时由模型外的因素决定的变量,我们举一个例子便于理解:

    下图是一个VARMA模型的部分表达形式,公式本身经过了变换不易于理解,但是我们从图中可以看到Z2是由Z1决定而Z1仅仅由a(随机扰动决定),那么在这个方程组里,Z1是外生的,Z2是内生的;

    VAR模型本身,从数学角度上来说并没有强制要求所有的变量均为内生变量,例子如下:

    在上图的 VAR(1) model里,完全可以强制要求Z2仅仅由Z1决定,而第一个方程中的第二个系数为0,也就是说其中一个变量是完全独立的AR过程,而另一个变量受它的影响。python,R等等很多函数都提供了外生变量的接口,如下图:

    你可以选择一部分变量作为exog,其实质是在进行参数估计前早已经将那一部分参数设置为0;

    当然,在大部分日常模型中,既然用VAR,就假定是一个相互影响的关系,都是内生或者用模型估计参数时没有绝对的0出现也是很正常的。

    3)VAR 的应用

    多元时间序列分析在现实中有很多应用,比如经济,商业,社会科学,地球物理,环境科学,工程学等等;

    比如,我们可能需要研究压力,温度之间随着时间的动态关系;如下图:

    但凡涉及到多元时间序列分析,第一个就想到VAR和它的变体们,有如下几点原因:

    第一,在平稳的条件下,VAR模型的参数估计与最小二乘估计是一致的,并且有许许多多统计上的优良性质,便于区间估计,误差分析和模型诊断等;

    第二,VAR可以刻画变量之间相互影响的动态线性相关关系,不论是用在预测,解释还是敏感性分析都明确'的方式;

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