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2022-04-30 15:31:22
坐标变换的艺术—高频注入法公式推导
PMSM无位置传感器技术总体而言可分为两个部分，第一部分获知位置误差信号然后输入位置观测器进行处理，使得位置信号收敛，第二部分是极性判断。本文着重讲解第一部分中位置误差信号的获取，至于后续的观测器、极性判断等环节，以及另外的感应电机的无速度传感器技术会在文末给出学习资料。
PMSM高频模型的由来
PMSM在旋转轴系的电压为
[ u d u q ] = R [ i d i q ] + d d t [ ψ d ψ q ] + ω e [ − ψ q ψ d ] (1) \tag{1} \left[ \begin{array}{c} u_d\\ u_q\\ \end{array} \right] =R\left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} \psi _d\\ \psi _q\\ \end{array} \right] +\omega _e\left[ \begin{array}{c} -\psi _q\\ \psi _d\\ \end{array} \right] [uduq]=R[idiq]+dtd[ψdψq]+ωe[−ψqψd](1)
在零低速工况，基于一些假设，公式 ( 1 ) (1) (1)被进一步简化，习惯将简化后的方程称之为高频模型。通常，电机的电路模型视为R-L电路，控制回路中注入高频信号，此时电路中占据主导地位的是电感项，又因为电机运行于零低速，因此旋转电压方程中的第一项和第三项可忽略，则PMSM的高频电压模型为
[ u d h u q h ] = d d t [ ψ d ψ q ] = [ L d 0 0 L q ] d d t [ i d h i q h ] (2) \tag{2} \left[ \begin{array}{c} u_{dh}\\ u_{qh}\\ \end{array} \right] =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} \psi _d\\ \psi _q\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_q\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{dh}\\ i_{qh}\\ \end{array} \right] [udhuqh]=dtd[ψdψq]=[Ld00Lq]dtd[idhiqh](2)
高频电压模型是高频注入法的核心所在，由此衍生出了旋转高频注入法、脉振高频注入法（脉振正弦和脉振方波）。公式推导
为了便于公式推导，将式 ( 2 ) (2) (2)转换成电流微分表达式，可得：
d d t [ i d h i q h ] = [ 1 L d 0 0 1 L q ] [ u d h u q h ] (3) \tag{3} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{dh}\\ i_{qh}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}& 0\\ 0& \frac{1}{L_q}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_{dh}\\ u_{qh}\\ \end{array} \right] dtd[idhiqh]=[Ld100Lq1][udhuqh](3)
所有的高频方波注入法遵循坐标变换理论，各坐标系间的关系如下图所示，
估计轴系至旋转轴系的坐标变换矩阵满足
P γ δ / d q = [ cos θ ~ sin θ ~ − sin θ ~ cos θ ~ ] (4) \tag{4} P_{\gamma \delta /dq}=\left[ \begin{matrix} \cos \tilde{\theta}& \sin \tilde{\theta}\\ -\sin \tilde{\theta}& \cos \tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] Pγδ/dq=[cosθ~−sinθ~sinθ~cosθ~](4)静止轴系至旋转轴系的坐标变换矩阵满足
P α β / d q = [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] (5) \tag{5} P_{\alpha \beta /dq}=\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] Pαβ/dq=[cosθe−sinθesinθecosθe](5)
上述 ( 4 ) (4) (4)、 ( 5 ) (5) (5)是单位正交矩阵，满足
P − 1 = P T (6) \tag{6} P^{-1}=P^T P−1=PT(6)为了读者更好的理解下文各高频注入法的公式推导过程，现将各方法的信号注入、响应信号提取轴系罗列成表，作为推导线索。
算法名称 高频电压信号注入轴系 高频电流提取轴系 旋转高频注入法 两相静止轴系 两相静止轴系 脉振高频正弦注入法 估计轴系 估计轴系 脉振高频方波注入法 估计轴系 静止轴系 旋转高频注入法
旋转高频注入法在静止轴系完成信号注入、响应信号提取过程，依据坐标变换理论，可得：
[ i d h i q h ] = [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] [ i α i β ] (7) \tag{7} \left[ \begin{array}{c} i_{dh}\\ i_{qh}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] [idhiqh]=[cosθe−sinθesinθecosθe][iαiβ](7)[ u d h u q h ] = [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] [ u α u β ] (8) \tag{8} \left[ \begin{array}{c} u_{dh}\\ u_{qh}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_{\alpha}\\ u_{\beta}\\ \end{array} \right] [udhuqh]=[cosθe−sinθesinθecosθe][uαuβ](8)
结合式 ( 7 ) (7) (7)，对式 ( 3 ) (3) (3)中等式左边的微分项化简，可得：
d d t [ i d h i q h ] = d d t { [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] [ i α i β ] } = [ − sin θ e cos θ e − cos θ e − sin θ e ] ω e [ i α i β ] + [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] d d t [ i α i β ] (9) \tag{9} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{dh}\\ i_{qh}\\ \end{array} \right] =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] \right\} =\left[ \begin{matrix} -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ -\cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \end{matrix} \right] \omega _e\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] dtd[idhiqh]=dtd{[cosθe−sinθesinθecosθe][iαiβ]}=[−sinθe−cosθecosθe−sinθe]ωe[iαiβ]+[cosθe−sinθesinθecosθe]dtd[iαiβ](9)
分析式 ( 9 ) (9) (9)，展开式中的第一项含有速度项，因电机运行于零低速工况，故第一项略去，保留第二项，可得：
d d t [ i d h i q h ] = [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] d d t [ i α i β ] (10) \tag{10} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{dh}\\ i_{qh}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] dtd[idhiqh]=[cosθe−sinθesinθecosθe]dtd[iαiβ](10)
将 ( 8 ) (8) (8)、 ( 10 ) (10) (10)带入式 ( 3 ) (3) (3)，结合式 ( 6 ) (6) (6)，式 ( 3 ) (3) (3)可重写为
d d t [ i α h i β h ] = [ cos θ e − sin θ e sin θ e cos θ e ] [ 1 L d 0 0 1 L q ] [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] [ u α h u β h ] (11) \tag{11} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha h}\\ i_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}& 0\\ 0& \frac{1}{L_q}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_{\alpha h}\\ u_{\beta h}\\ \end{array} \right] dtd[iαhiβh]=[cosθesinθe−sinθecosθe][Ld100Lq1][cosθe−sinθesinθecosθe][uαhuβh](11)
对式 ( 11 ) (11) (11)中等式右边的矩阵乘积因子化简，可得：
[ cos θ e − sin θ e sin θ e cos θ e ] [ 1 L d 0 0 1 L q ] [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] ⇒ [ 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) + 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) cos 2 θ e 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ e 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ e 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) cos 2 θ e ] (12) \tag{12} \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}& 0\\ 0& \frac{1}{L_q}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \cos 2\theta _e& \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\theta _e\\ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\theta _e& \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \cos 2\theta _e\\ \end{matrix} \right] \end{aligned} ⇒[cosθesinθe−sinθecosθe][Ld100Lq1][cosθe−sinθesinθecosθe]⎣⎡21(Ld1+Lq1)+21(Ld1−Lq1)cos2θe21(Ld1−Lq1)sin2θe21(Ld1−Lq1)sin2θe21(Ld1+Lq1)−21(Ld1−Lq1)cos2θe⎦⎤(12)
注入的高频信号满足下式
[ u α h u β h ] = [ V h cos ω h t V h sin ω h t ] (13) \tag{13} \left[ \begin{array}{c} u_{\alpha h}\\ u_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} V_h\cos \omega _ht\\ V_h\sin \omega _ht\\ \end{array} \right] [uαhuβh]=[VhcosωhtVhsinωht](13)
将式 ( 12 ) (12) (12)、 ( 13 ) (13) (13)带入式 ( 11 ) (11) (11)，可得：
d d t [ i α h i β h ] = [ 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) + 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) cos 2 θ e 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ e 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ e 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) cos 2 θ e ] [ V h cos ω h t V h sin ω h t ] (14) \tag{14} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha h}\\ i_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \cos 2\theta _e& \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\theta _e\\ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\theta _e& \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \cos 2\theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} V_h\cos \omega _ht\\ V_h\sin \omega _ht\\ \end{array} \right] dtd[iαhiβh]=⎣⎡21(Ld1+Lq1)+21(Ld1−Lq1)cos2θe21(Ld1−Lq1)sin2θe21(Ld1−Lq1)sin2θe21(Ld1+Lq1)−21(Ld1−Lq1)cos2θe⎦⎤[VhcosωhtVhsinωht](14)通过积分运算，两相静止轴系的高频响应电流为：
[ i α h i β h ] = [ 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) V h ω h sin ω h t − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h sin ( − ω h t + 2 θ e ) − 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) V h ω h cos ω h t + 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h cos ( 2 θ e − ω h t ) ] (15) \tag{15} \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha h}\\ i_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\sin \omega _ht-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\sin \left( -\omega _ht+2\theta _e \right)\\ -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\cos \omega _ht+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\cos \left( 2\theta _e-\omega _ht \right)\\ \end{array} \right] [iαhiβh]=⎣⎡21(Ld1+Lq1)ωhVhsinωht−21(Ld1−Lq1)ωhVhsin(−ωht+2θe)−21(Ld1+Lq1)ωhVhcosωht+21(Ld1−Lq1)ωhVhcos(2θe−ωht)⎦⎤(15)将高频电流变换至高频轴系，可得：
[ i d h ′ i q h ′ ] = [ cos ω h t sin ω h t − sin ω h t cos ω h t ] [ i α h i β h ] (16) \tag{16} \left[ \begin{array}{c} i_{dh}^{'}\\ i_{qh}^{'}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \omega _ht& \sin \omega _ht\\ -\sin \omega _ht& \cos \omega _ht\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha h}\\ i_{\beta h}\\ \end{array} \right] [idh′iqh′]=[cosωht−sinωhtsinωhtcosωht][iαhiβh](16)
则高频轴系的响应电流为
[ i d h ′ i q h ′ ] = [ − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h sin ( − 2 ω h t + 2 θ e ) − 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) V h ω h + 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h cos ( − 2 ω h t + 2 θ e ) ] (17) \tag{17} \left[ \begin{array}{c} i_{dh}^{'}\\ i_{qh}^{'}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\sin \left( -2\omega _ht+2\theta _e \right)\\ -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\cos \left( -2\omega _ht+2\theta _e \right)\\ \end{array} \right] [idh′iqh′]=⎣⎡−21(Ld1−Lq1)ωhVhsin(−2ωht+2θe)−21(Ld1+Lq1)ωhVh+21(Ld1−Lq1)ωhVhcos(−2ωht+2θe)⎦⎤(17)在高频轴系，使用高通滤波器滤波，然后电流变换至两相静止轴系，可得：
[ i α h ∗ i β h ∗ ] = [ cos ω h t − sin ω h t sin ω h t cos ω h t ] H P F { [ i d h ′ i q h ′ ] } (18) \tag{18} \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha h}^{*}\\ i_{\beta h}^{*}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \omega _ht& -\sin \omega _ht\\ \sin \omega _ht& \cos \omega _ht\\ \end{matrix} \right] HPF\left\{ \left[ \begin{array}{c} i_{dh}^{'}\\ i_{qh}^{'}\\ \end{array} \right] \right\} [iαh∗iβh∗]=[cosωhtsinωht−sinωhtcosωht]HPF{[idh′iqh′]}(18)
此时，两相静止轴系的高频电流变为
[ i α h ∗ i β h ∗ ] = [ − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h sin ( − ω h t + 2 θ e ) 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h cos ( − ω h t + 2 θ e ) ] (19) \tag{19} \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha h}^{*}\\ i_{\beta h}^{*}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\sin \left( -\omega _ht+2\theta _e \right)\\ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\cos \left( -\omega _ht+2\theta _e \right)\\ \end{array} \right] [iαh∗iβh∗]=⎣⎡−21(Ld1−Lq1)ωhVhsin(−ωht+2θe)21(Ld1−Lq1)ωhVhcos(−ωht+2θe)⎦⎤(19)
通过外差法可得位置误差信号
i α h ∗ cos ( − ω h t + 2 θ ^ e ) + i β h ∗ sin ( − ω h t + 2 θ ^ e ) ⇒ − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h sin ( − ω h t + 2 θ e ) cos ( − ω h t + 2 θ ^ e ) + 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h cos ( − ω h t + 2 θ e ) sin ( − ω h t + 2 θ ^ e ) ⇒ − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h sin ( 2 θ e − 2 θ ^ e ) ≈ − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h ( 2 θ e − 2 θ ^ e ) = ( 1 L q − 1 L d ) V h ω h ( θ e − θ ^ e ) (20) \tag{20} \begin{aligned} &i_{\alpha h}^{*}\cos \left( -\omega _ht+2\hat{\theta}_e \right) +i_{\beta h}^{*}\sin \left( -\omega _ht+2\hat{\theta}_e \right) \\ \Rightarrow& -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\sin \left( -\omega _ht+2\theta _e \right) \cos \left( -\omega _ht+2\hat{\theta}_e \right) +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\cos \left( -\omega _ht+2\theta _e \right) \sin \left( -\omega _ht+2\hat{\theta}_e \right) \\ \Rightarrow& -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\sin \left( 2\theta _e-2\hat{\theta}_e \right) \approx -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\left( 2\theta _e-2\hat{\theta}_e \right) =\left( \frac{1}{L_q}-\frac{1}{L_d} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\left( \theta _e-\hat{\theta}_e \right) \end{aligned} ⇒⇒iαh∗cos(−ωht+2θ^e)+iβh∗sin(−ωht+2θ^e)−21(Ld1−Lq1)ωhVhsin(−ωht+2θe)cos(−ωht+2θ^e)+21(Ld1−Lq1)ωhVhcos(−ωht+2θe)sin(−ωht+2θ^e)−21(Ld1−Lq1)ωhVhsin(2θe−2θ^e)≈−21(Ld1−Lq1)ωhVh(2θe−2θ^e)=(Lq1−Ld1)ωhVh(θe−θ^e)(20)脉振高频正弦注入法
脉振高频正弦注入法在估计轴系完成信号注入、响应信号提取过程，参考旋转高频注入法
（可结合前文的各轴系的空间关系图理解），可得：d d t [ i γ h i δ h ] = [ cos θ ~ − sin θ ~ sin θ ~ cos θ ~ ] [ 1 L d 0 0 1 L q ] [ cos θ ~ sin θ ~ − sin θ ~ cos θ ~ ] [ u γ h u δ h ] (21) \tag{21} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{\gamma h}\\ i_{\delta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \tilde{\theta}& -\sin \tilde{\theta}\\ \sin \tilde{\theta}& \cos \tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}& 0\\ 0& \frac{1}{L_q}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \tilde{\theta}& \sin \tilde{\theta}\\ -\sin \tilde{\theta}& \cos \tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_{\gamma h}\\ u_{\delta h}\\ \end{array} \right] dtd[iγhiδh]=[cosθ~sinθ~−sinθ~cosθ~][Ld100Lq1][cosθ~−sinθ~sinθ~cosθ~][uγhuδh](21)
注入的信号满足下式
[ u γ h u δ h ] = [ V h cos ω h t 0 ] (22) \tag{22} \left[ \begin{array}{c} u_{\gamma h}\\ u_{\delta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} V_h\cos \omega _ht\\ 0\\ \end{array} \right] [uγhuδh]=[Vhcosωht0](22)
将式 ( 22 ) (22) (22)带入 ( 21 ) (21) (21)，参考式 ( 14 ) (14) (14)，化简结果可写为
d d t [ i γ h i δ h ] = [ 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) + 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) cos 2 θ ~ 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ ~ 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ ~ 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) − 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) cos 2 θ ~ ] [ V h cos ω h t 0 ] (23) \tag{23} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{\gamma h}\\ i_{\delta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \cos 2\tilde{\theta}& \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\tilde{\theta}\\ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\tilde{\theta}& \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \cos 2\tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} V_h\cos \omega _ht\\ 0\\ \end{array} \right] dtd[iγhiδh]=⎣⎡21(Ld1+Lq1)+21(Ld1−Lq1)cos2θ~21(Ld1−Lq1)sin2θ~21(Ld1−Lq1)sin2θ~21(Ld1+Lq1)−21(Ld1−Lq1)cos2θ~⎦⎤[Vhcosωht0](23)
高频响应电流为
[ i γ h i δ h ] = [ 1 2 ( 1 L d + 1 L q ) V h ω h sin ω h t + 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) cos 2 θ ~ V h ω h sin ω h t 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ ~ V h ω h sin ω h t ] (24) \tag{24} \left[ \begin{array}{c} i_{\gamma h}\\ i_{\delta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}+\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\sin \omega _ht+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \cos 2\tilde{\theta}\frac{V_h}{\omega _h}\sin \omega _ht\\ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\tilde{\theta}\frac{V_h}{\omega _h}\sin \omega _ht\\ \end{array} \right] [iγhiδh]=⎣⎡21(Ld1+Lq1)ωhVhsinωht+21(Ld1−Lq1)cos2θ~ωhVhsinωht21(Ld1−Lq1)sin2θ~ωhVhsinωht⎦⎤(24)分析式 ( 24 ) (24) (24)可知， γ \gamma γ轴的电流分量存在位置误差信号，因此，通过幅值解调技术可得位置误差信号为
L P F ( i δ h × sin ω h t ) = L P F [ 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ ~ V h ω h sin ω h t sin ω h t ] = L P F [ 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) sin 2 θ ~ V h ω h 1 − cos 2 ω h t 2 ] = 1 4 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h sin 2 θ ~ ≈ 1 2 ( 1 L d − 1 L q ) V h ω h θ ~ (25) \tag{25} \begin{aligned} LPF\left( i_{\delta h}\times \sin \omega _ht \right) &=LPF\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\tilde{\theta}\frac{V_h}{\omega _h}\sin \omega _ht\sin \omega _ht \right] \\ &=LPF\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \sin 2\tilde{\theta}\frac{V_h}{\omega _h}\frac{1-\cos 2\omega _ht}{2} \right] \\ &=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\sin 2\tilde{\theta}\approx \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L_d}-\frac{1}{L_q} \right) \frac{V_h}{\omega _h}\tilde{\theta} \end{aligned} LPF(iδh×sinωht)=LPF[21(Ld1−Lq1)sin2θ~ωhVhsinωhtsinωht]=LPF[21(Ld1−Lq1)sin2θ~ωhVh21−cos2ωht]=41(Ld1−Lq1)ωhVhsin2θ~≈21(Ld1−Lq1)ωhVhθ~(25)脉振高频方波注入法
脉振高频方波注入法在估计轴系注入信号、两相静止轴系提取响应信号，式 ( 3 ) (3) (3)可写为
d d t [ i α h i β h ] = [ cos θ e − sin θ e sin θ e cos θ e ] [ 1 L d 0 0 1 L q ] [ cos θ ~ sin θ ~ − sin θ ~ cos θ ~ ] [ u γ h u δ h ] (26) \tag{26} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha h}\\ i_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}& 0\\ 0& \frac{1}{L_q}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \tilde{\theta}& \sin \tilde{\theta}\\ -\sin \tilde{\theta}& \cos \tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_{\gamma h}\\ u_{\delta h}\\ \end{array} \right] dtd[iαhiβh]=[cosθesinθe−sinθecosθe][Ld100Lq1][cosθ~−sinθ~sinθ~cosθ~][uγhuδh](26)
对上式中的矩阵乘积因子化简，可得：
[ cos θ e − sin θ e sin θ e cos θ e ] [ 1 L d 0 0 1 L q ] [ cos θ ~ sin θ ~ − sin θ ~ cos θ ~ ] ⇒ [ 1 L d cos θ e cos θ ~ + 1 L q sin θ e sin θ ~ 1 L d cos θ e sin θ ~ − 1 L q sin θ e cos θ ~ 1 L d sin θ e cos θ ~ − 1 L q cos θ e sin θ ~ 1 L d sin θ e sin θ ~ + 1 L q cos θ e cos θ ~ ] (27) \tag{27} \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}& 0\\ 0& \frac{1}{L_q}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \tilde{\theta}& \sin \tilde{\theta}\\ -\sin \tilde{\theta}& \cos \tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}\cos \theta _e\cos \tilde{\theta}+\frac{1}{L_q}\sin \theta _e\sin \tilde{\theta}& \frac{1}{L_d}\cos \theta _e\sin \tilde{\theta}-\frac{1}{L_q}\sin \theta _e\cos \tilde{\theta}\\ \frac{1}{L_d}\sin \theta _e\cos \tilde{\theta}-\frac{1}{L_q}\cos \theta _e\sin \tilde{\theta}& \frac{1}{L_d}\sin \theta _e\sin \tilde{\theta}+\frac{1}{L_q}\cos \theta _e\cos \tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] \end{aligned} ⇒[cosθesinθe−sinθecosθe][Ld100Lq1][cosθ~−sinθ~sinθ~cosθ~][Ld1cosθecosθ~+Lq1sinθesinθ~Ld1sinθecosθ~−Lq1cosθesinθ~Ld1cosθesinθ~−Lq1sinθecosθ~Ld1sinθesinθ~+Lq1cosθecosθ~](27)将式 ( 27 ) (27) (27)带入式 ( 26 ) (26) (26)，可得：
d d t [ i α h i β h ] = [ 1 L d cos θ e cos θ ~ + 1 L q sin θ e sin θ ~ 1 L d cos θ e sin θ ~ − 1 L q sin θ e cos θ ~ 1 L d sin θ e cos θ ~ − 1 L q cos θ e sin θ ~ 1 L d sin θ e sin θ ~ + 1 L q cos θ e cos θ ~ ] [ u γ h u δ h ] (28) \tag{28} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha h}\\ i_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}\cos \theta _e\cos \tilde{\theta}+\frac{1}{L_q}\sin \theta _e\sin \tilde{\theta}& \frac{1}{L_d}\cos \theta _e\sin \tilde{\theta}-\frac{1}{L_q}\sin \theta _e\cos \tilde{\theta}\\ \frac{1}{L_d}\sin \theta _e\cos \tilde{\theta}-\frac{1}{L_q}\cos \theta _e\sin \tilde{\theta}& \frac{1}{L_d}\sin \theta _e\sin \tilde{\theta}+\frac{1}{L_q}\cos \theta _e\cos \tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_{\gamma h}\\ u_{\delta h}\\ \end{array} \right] dtd[iαhiβh]=[Ld1cosθecosθ~+Lq1sinθesinθ~Ld1sinθecosθ~−Lq1cosθesinθ~Ld1cosθesinθ~−Lq1sinθecosθ~Ld1sinθesinθ~+Lq1cosθecosθ~][uγhuδh](28)对于脉振高频方波注入法，可得电流增量信息为
[ Δ i α h Δ i β h ] = { [ ( 1 L d cos θ e cos θ ~ + 1 L q sin θ e sin θ ~ ) V h T s ( 1 L d sin θ e cos θ ~ − 1 L q cos θ e sin θ ~ ) V h T s ] , V i n > 0 [ − ( 1 L d cos θ e cos θ ~ + 1 L q sin θ e sin θ ~ ) V h T s − ( 1 L d sin θ e cos θ ~ − 1 L q cos θ e sin θ ~ ) V h T s ] , V i n < 0 (29) \tag{29} \left[ \begin{array}{c} \Delta i_{\alpha h}\\ \Delta i_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\begin{cases} \left[ \begin{array}{c} \left( \frac{1}{L_d}\cos \theta _e\cos \tilde{\theta}+\frac{1}{L_q}\sin \theta _e\sin \tilde{\theta} \right) V_hT_s\\ \left( \frac{1}{L_d}\sin \theta _e\cos \tilde{\theta}-\frac{1}{L_q}\cos \theta _e\sin \tilde{\theta} \right) V_hT_s\\ \end{array} \right] ,V_{in}>0\\ \left[ \begin{array}{c} -\left( \frac{1}{L_d}\cos \theta _e\cos \tilde{\theta}+\frac{1}{L_q}\sin \theta _e\sin \tilde{\theta} \right) V_hT_s\\ -\left( \frac{1}{L_d}\sin \theta _e\cos \tilde{\theta}-\frac{1}{L_q}\cos \theta _e\sin \tilde{\theta} \right) V_hT_s\\ \end{array} \right] ,V_{in}<0\\ \end{cases} [ΔiαhΔiβh]=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎣⎡(Ld1cosθecosθ~+Lq1sinθesinθ~)VhTs(Ld1sinθecosθ~−Lq1cosθesinθ~)VhTs⎦⎤,Vin>0⎣⎡−(Ld1cosθecosθ~+Lq1sinθesinθ~)VhTs−(Ld1sinθecosθ~−Lq1cosθesinθ~)VhTs⎦⎤,Vin<0(29)符号化处理，即乘以 s i g n ( V i n ) sign(V_{in}) sign(Vin)，上式可简化为
[ Δ i α h Δ i β h ] = [ ( 1 L d cos θ e cos θ ~ + 1 L q sin θ e sin θ ~ ) V h T s ( 1 L d sin θ e cos θ ~ − 1 L q cos θ e sin θ ~ ) V h T s ] (30) \tag{30} \left[ \begin{array}{c} \Delta i_{\alpha h}\\ \Delta i_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \left( \frac{1}{L_d}\cos \theta _e\cos \tilde{\theta}+\frac{1}{L_q}\sin \theta _e\sin \tilde{\theta} \right) V_hT_s\\ \left( \frac{1}{L_d}\sin \theta _e\cos \tilde{\theta}-\frac{1}{L_q}\cos \theta _e\sin \tilde{\theta} \right) V_hT_s\\ \end{array} \right] [ΔiαhΔiβh]=⎣⎡(Ld1cosθecosθ~+Lq1sinθesinθ~)VhTs(Ld1sinθecosθ~−Lq1cosθesinθ~)VhTs⎦⎤(30)位置误差足够小时，此时 θ ~ ≈ 0 \tilde{\theta}\approx 0 θ~≈0，可得：
[ Δ i α h Δ i β h ] = [ V h T s 1 L d cos θ e V h T s 1 L d sin θ e ] (31) \tag{31} \left[ \begin{array}{c} \Delta i_{\alpha h}\\ \Delta i_{\beta h}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} V_hT_s\frac{1}{L_d}\cos \theta _e\\ V_hT_s\frac{1}{L_d}\sin \theta _e\\ \end{array} \right] [ΔiαhΔiβh]=[VhTsLd1cosθeVhTsLd1sinθe](31)位置误差信号为
− Δ i α h sin θ ^ e + Δ i β h cos θ ^ e ⇒ − V h T s 1 L d cos θ e sin θ ^ e + V h T s 1 L d sin θ e cos θ ^ e ⇒ V h T s 1 L d sin ( θ e − θ ^ e ) ≈ V h T s L d ( θ e − θ ^ e ) (32) \tag{32} \begin{aligned} &-\Delta i_{\alpha h}\sin \hat{\theta}_e+\Delta i_{\beta h}\cos \hat{\theta}_e \\ \Rightarrow& -V_hT_s\frac{1}{L_d}\cos \theta _e\sin \hat{\theta}_e+V_hT_s\frac{1}{L_d}\sin \theta _e\cos \hat{\theta}_e \\ \Rightarrow& V_hT_s\frac{1}{L_d}\sin \left( \theta _e-\hat{\theta}_e \right) \approx \frac{V_hT_s}{L_d}\left( \theta _e-\hat{\theta}_e \right) \end{aligned} ⇒⇒−Δiαhsinθ^e+Δiβhcosθ^e−VhTsLd1cosθesinθ^e+VhTsLd1sinθecosθ^eVhTsLd1sin(θe−θ^e)≈LdVhTs(θe−θ^e)(32)参考文献
【1】袁雷. 现代永磁同步电机控制原理及 MATLAB 仿真[M]. 北京航空航天大学出版社, 2016.
【2】Yoon Y D, Sul S K, Morimoto S, et al. High-bandwidth sensorless algorithm for AC machines based on square-wave-type voltage injection[J]. IEEE transactions on Industry Applications, 2011, 47(3): 1361-1370.
拓展阅读
sensorless control of IM（感应电机）45
Jeong Y, Lorenz R D, Jahns T M, et al. Initial rotor position estimation of an interior permanent-magnet synchronous machine using carrier-frequency injection methods[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2005, 41(1): 38-45. ↩︎
刘颖, 周波, 李帅, 等. 转子磁钢表贴式永磁同步电机转子初始位置检测[J]. 中国电机工程学报, 2011, 31(18): 48-54. ↩︎
Holtz J. Acquisition of position error and magnet polarity for sensorless control of PM synchronous machines[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2008, 44(4): 1172-1180. ↩︎
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Holtz J. Sensorless control of induction machines—With or without signal injection?[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2006, 53(1): 7-30. ↩︎
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