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  • 三大分布

    千次阅读 2015-12-05 16:47:44
    三大抽样分布  编辑 三大抽样分布一般是指卡方分布(χ2分布)、t分布和F分布。 简介 编辑 如图   三大抽样分布 (5张) χ2分布编辑 定义: 设 X1,X2,.......

    三大抽样分布

      编辑
    三大 抽样分布一般是指卡方分布(χ2分布)、t分布和F分布。
    简介

    编辑

    如图
      
    三大抽样分布
    三大抽样分布  (5张)

    χ2分布编辑

    定义: 设 X 1,X 2,......X n相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称 随机变量χ 2=X 1 2+X 2 2+......+X n 2所服从的分布为自由度为 n 的χ2分布.
    期望E(χ 2)=n 方差D(χ 2)=2n
    χ2分布具有可加性。若χ 1 22(n),χ 2 22(m),且二者相互独立,则χ 1 22 22(n+m)。

    t分布编辑

    定义:设X1服从标准正态分布N(0,1),X2服从自由度为n的χ2分布,且X1、X2相互独立,则称变量t=X1/(X2/n) 1/2 所服从的分布为自由度为n的t分布。
    t分布 t分布
    期望 E(T)=0 方差 D(T)=n/(n-2),n>2

    F分布编辑

    定义:设X1服从自由度为m的χ2分布,X2服从自由度为n的χ2分布,且X1、X2相互独立,则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布,其中第一自由度为m,第二自由度为n.
    F分布 F分布
    性质:1.期望E(F)=n/(n-2),方差D(F)=2n^2(m+n-2)/m(n-2)^2(n-4)
    2.若F~F(m,n),则1/F~F(n,m)
    3.若F~F(1,n),T~T(n),则F=T^2




    百度百科http://baike.baidu.com/view/4672140.htm?fr=aladdin
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  • 数理统计三大分布:卡方分布、t分布、F分布正态分布卡方分布定义概率密度函数性质t分布定义概率密度函数性质F分布定义概率密度函数性质Attention 正态分布 由于χ2\chi^2χ2(chi-squard)分布、t分布、F分布都是由...

    正态分布

    由于 χ 2 \chi^2 χ2(chi-squard)分布、t分布、F分布都是由正态分布构造的,首先对正态分布密度函数定义有

    P ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ − ( x − μ ) 2 2 σ 2 P(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} P(x)=2π σ1exp2σ2(xμ)2

    而标准化的正态分布为

    P ( x ) = 1 2 π exp ⁡ − x 2 2 P(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp^{-\frac{x^2}{2}} P(x)=2π 1exp2x2

    卡方分布

    定义

    X 1 , X 2 , . . . . . . , X n X_1,X_2,......,X_n X1,X2,......,Xn相互独立并且都满足标准正态分布(0,1),则称 r . v . r.v. r.v.
    Y = ∑ i = 1 n X i 2 Y = \sum_{i=1}^{n}X_i^2 Y=i=1nXi2 服从自由度为 n n n χ 2 \chi^2 χ2分布,记为 Y ∼ χ 2 ( n ) Y \sim \chi^2(n) Yχ2(n)

    概率密度函数

    f ( x ; n ) = 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − x 2 ( x > 0 ) f(x;n)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}(x>0) f(x;n)=22nΓ(2n)1x2n1e2xx>0
    其中 Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ e − t t s − 1 d t ( s > 0 ) \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{s-1}dt(s>0) Γ(s)=0etts1dt(s>0),对于伽马函数 Γ ( ⋅ ) \Gamma(·) Γ()先挖个坑(可以暂时先看这个也挺不错的)
    对于不同参数的密度函数有:
    来源:https://www.zhihu.com/question/304500591/answer/729785501

    性质

    t分布

    定义

    r . v . Z , Y r.v.Z,Y r.v.Z,Y,其中 Z ∼ N ( 0 , 1 ) , X ∼ χ 2 ( n ) Z\sim N(0,1),X\sim \chi^2(n) ZN(0,1),Xχ2(n),则定义 r . v . T = Z X / n r.v.T = \frac{Z}{\sqrt{X/n}} r.v.T=X/n Z为服从自由度为n的t分布。
    对于不同参数的t分布密度函数有图如下:
    在这里插入图片描述

    概率密度函数

    性质

    t分布主要是检验均值是否相同,在小样本中有着广泛的应用。同时t分布有着厚尾性质,对于一些性质不那么好的点比较宽容(比如t-SNE对于SNE的改进)。
    特别值得注意的是,t(1)为Cauchy分布,就是那个令人讨厌的没有高阶矩的可恶的家伙,而当 n → ∞ n \rightarrow \infty n时候,t分布就趋向于正态分布。

    F分布

    定义

    假设 r . v . X , Y r.v. X,Y r.v.X,Y分别满足 X ∼ χ 2 ( n 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n 2 ) X\sim \chi^2(n_1),Y \sim\chi^2(n_2) Xχ2(n1),Yχ2(n2),则称 r . v . Z = X / n 1 Y / n 2 r.v. Z = \frac{X/n_1}{Y/n_2} r.v.Z=Y/n2X/n1为F分布

    概率密度函数

    对于不同参数的F分布密度函数有图如下:
    在这里插入图片描述

    性质

    我个人对F分布第一次有深刻印象是在方差检验中,现在回头来看F检验的定义,确定F检验是用来检验方差是否不同。

    Attention

    这三个分布是数理统计常用的分布,但特别要注意的是,t分布和F分布只能用来检验连续性数据,所以当检验数据特别稀疏的时候容易导致误判,而 χ 2 \chi^2 χ2分布都可以。

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  • matlab计算三大分布

    千次阅读 2019-11-08 20:39:42
    matlab的卡方分布: x=chi2inv(1-a,n) 卡方分布(n)的上侧a分位数 比如,我要求a=0.05,n=6的检测值,则,这样输入:chi2inv(0.95,6)=12.5916,若是这样输入chi2inv(0.05,6)=1.6354, 对比卡方分布表,可知,前者...

    matlab的卡方分布:

    x=chi2inv(1-a,n)   卡方分布(n)的上侧a分位数
    比如,我要求a=0.05,n=6的检测值,则,这样输入:chi2inv(0.95,6)=12.5916,若是这样输入chi2inv(0.05,6)=1.6354,
    对比卡方分布表,可知,前者结果是对的,而后者是错误的。
    

    matlab的t分布:

    x=tinv(1-a,n)  t(n)分布的上侧a分位数
    比如,我要求a=0.05,n=6的检测值,则,这样输入:tinv(0.95,6)=1.9432,若是这样输入tinv(0.05,6)=-1.9432,
    对比t分布表,可知,前者结果是对的,而后者是错误的。
    

    matlab的F分布:

    x=finv(1-a,n1,n2)    f(n1,n2)分布的上侧a分位数
    比如,我要求a=0.05,n1=6,n2=6的检测值,则,这样输入:finv(0.95,6,6)=4.2839,若是这样输入finv(0.05,6,6)=0.0062,
    对比f分布表,可知,前者结果是对的,而后者是错误的。
    

    转载于https://blog.csdn.net/qq_27690393/article/details/90643282

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  • 统计三大分布 1. χ2\chi^2χ2分布 本质:χ2\chi^2χ2分布是由正态分布派生出来的一种分布 定义:设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1​,X2​,...,Xn​相互独立,都服从正态分布N(0,1)N(0,1)N(0,1),则称随机变量:...

    统计三大分布

    1. χ 2 \chi^2 χ2分布

    • 本质: χ 2 \chi^2 χ2分布是由正态分布派生出来的一种分布

    • 定义:设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,都服从正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),则称随机变量:
      χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + X n 2 \chi^2=X_1^2+X_2^2+···+X_n^2 χ2=X12+X22++Xn2
      所服从的分布为自由度为n的 χ 2 \chi^2 χ2分布。记为: χ 2 \chi^2 χ2~ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)

      χ 2 \chi^2 χ2分布的密度函数为:
      f ( x ; n ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e x p ( − x 2 ) x > 0 0 其 他 f(x;n)= \begin{cases} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}exp(-\frac{x}{2}) & x>0 \\ 0 & 其他 \end{cases} f(x;n)={2n/2Γ(2n)1x2n1exp(2x)0x>0
      在这里插入图片描述

      其中,伽马函数 Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x)通过积分
      Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ e x p ( − t ) t x − 1 d t x > 0 \Gamma(x)=\int_0^{\infty}exp(-t)t^{x-1}dt \quad x>0 Γ(x)=0exp(t)tx1dtx>0
      Γ \Gamma Γ函数的性质:
      Γ ( a + 1 ) = a Γ ( a ) Γ ( 1 ) = Γ ( 0 ) = 1 Γ ( n + 1 ) = n ! Γ ( 1 2 ) = ( π ) \Gamma(a+1)=a\Gamma(a) \\ \Gamma(1)=\Gamma(0)=1 \\ \Gamma(n+1)=n! \\ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt(\pi) Γ(a+1)=aΓ(a)Γ(1)=Γ(0)=1Γ(n+1)=n!Γ(21)=( π)

    • χ 2 \chi^2 χ2分布性质

      1. X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立,都服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2),则

        χ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 \chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 χ2=σ21i=1n(Xiμ)2~ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)

      2. X 1 X_1 X1$\chi^2(n_1)$,$X_2$ χ 2 ( n 2 ) \chi^2(n_2) χ2(n2),且 X 1 X_1 X1, X 2 X_2 X2相互独立,则 X 1 + X 2 X_1+X_2 X1+X2~ χ 2 ( n 1 + n 2 ) \chi^2(n_1+n_2) χ2(n1+n2)

        这个性质叫 χ 2 \chi^2 χ2分布的可加性

      3. X X X~ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n),则 E ( X ) = n , D ( X ) = 2 n E(X)=n, D(X)=2n E(X)=n,D(X)=2n

        推论:应用中心极限定理得,若 X X X~ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n),则当n充分大时, X − n 2 n \frac{X-n}{\sqrt{2n}} 2n Xn的分布近似正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)

      4. χ 2 \chi^2 χ2分布的分位点:对于给定的正数 α ( 0 < α < 1 ) , \alpha(0<\alpha<1), α(0<α<1),称满足条件

      P { χ 2 > χ α 2 ( n ) } = ∫ χ α 2 ( n ) + ∞ f ( y ) d y = α P\{\chi^2>\chi_\alpha^2(n)\}=\int_{\chi_\alpha^2(n)}^{+\infty}f(y)dy=\alpha P{χ2>χα2(n)}=χα2(n)+f(y)dy=α

      ​ 的点 χ α 2 ( n ) \chi_\alpha^2(n) χα2(n) χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)分布上的 α \alpha α分位点, α \alpha α是概率

      在这里插入图片描述

    2. t分布(学生氏分布)

    • 定义:设 X X X$N(0,1)$,$Y$ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n),且X与Y相互独立,则称变量 T = X Y / n T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} T=Y/n X所服从的分布为自由度为n的t分布。记为 T T T~ t ( n ) t(n) t(n).

      T T T的密度函数为:
      f ( x ; n ) = Γ ( n + 1 ) / 2 Γ ( n / 2 ) n π ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 f(x;n)=\frac{\Gamma(n+1)/2}{\Gamma(n/2)\sqrt{n\pi}}(1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} f(x;n)=Γ(n/2)nπ Γ(n+1)/2(1+nx2)2n+1
      具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为:
      E ( T ) = 0 ; D ( T ) = n n − 2 , ( n > 2 ) E(T)=0;D(T)=\frac{n}{n-2}, \quad(n>2) E(T)=0;D(T)=n2n,(n>2)
      t分布的密度函数关于x=0对称,且
      l i m ∣ x ∣ → ∞ f ( x ; n ) = 0 lim_{|x|\to \infty}f(x;n)=0 limxf(x;n)=0
      当n充分大时,其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。

    在这里插入图片描述

    ​ 不难看出,当n充分大时,t分布近似 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)分布。但对于较小的n,t分布与 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)分布相差很大

    • t分布的分位点

      对于给定的 α ( 0 < a < 1 ) \alpha(0<a<1) α(0<a<1),称满足条件
      P { t > t α ( n ) } = ∫ t α ( n ) + ∞ h ( t ) d t = α P\{t>t_\alpha(n)\}=\int_{t_\alpha(n)}^{+\infty}h(t)dt=\alpha P{t>tα(n)}=tα(n)+h(t)dt=α
      的点 t α ( n ) t_\alpha(n) tα(n) t ( n ) t(n) t(n)分布的上 α \alpha α分位点, α \alpha α是概率。

    在这里插入图片描述

    由t分布上 α \alpha α分位点的定义及 h ( t ) h(t) h(t)图像的对称性可知
    t 1 − α ( n ) = − t α ( n ) t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n) t1α(n)=tα(n)

    3.F分布

    • 定义:设 X X X$\chi^2(n_1)$,$Y$ χ 2 ( n 2 ) \chi^2(n_2) χ2(n2),X与Y相互独立,则称统计量 F = X / n 1 Y / n 2 F=\frac{X/n_1}{Y/n_2} F=Y/n2X/n1,服从自由度为 n 1 n_1 n1 n 2 n_2 n2的F分布, n 1 n_1 n1称为第一自由度, n 2 n_2 n2称为第二自由度,记作 F F F~ F ( n 1 , n 2 ) F(n_1,n_2) F(n1,n2)

      由定义可见, 1 F = Y / n 2 X / n 1 \frac{1}{F}=\frac{Y/n_2}{X/n_1} F1=X/n1Y/n2~ F ( n 2 , n 1 ) F(n_2,n_1) F(n2,n1)

      若X~ F ( n 1 , n 2 ) F(n_1,n_2) F(n1,n2),X的概率函数为
      f ( x ; n 1 , n 2 ) = { Γ ( n 1 + n 2 2 ) Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 2 ) ( n 1 n 2 ) ( n 1 n 2 x ) n 1 2 − 1 ( 1 + n 1 n 2 x ) − n 1 + n 2 2 x ≥ 0 0 x < 0 f(x;n_1,n_2)= \begin{cases} \frac{\Gamma(\frac{n_1+n_2}{2})}{\Gamma(\frac{n_1}{2})\Gamma(\frac{n_2}{2})}(\frac{n_1}{n_2})(\frac{n_1}{n_2}x)^{\frac{n_1}{2}-1}(1+\frac{n_1}{n_2}x)^{-\frac{n_1+n_2}{2}} & x\geq 0 \\ 0 & x<0 \end{cases} f(x;n1,n2)={Γ(2n1)Γ(2n2)Γ(2n1+n2)(n2n1)(n2n1x)2n11(1+n2n1x)2n1+n20x0x<0
      X的数学期望为
      E ( X ) = n 2 n 2 − 2 若 n 2 > 2 E(X)=\frac{n_2}{n_2-2} \quad 若n_2>2 E(X)=n22n2n2>2
      即它的数学期望并不依赖于第一自由度 n 1 n_1 n1.

      若随机变量X服从分布 F ( n , n ) F(n,n) F(n,n),则

    P { X ≤ 1 } = P { X ≥ 1 } = 0.5 P\{X\leq1\}=P\{X\geq 1\}=0.5 P{X1}=P{X1}=0.5

    • F分布的分位点

      对于给定的 α ( 0 < α < 1 ) \alpha(0<\alpha<1) α(0<α<1),称满足条件
      P { F > F α ( n 1 , n 2 ) } = ∫ F α ( n 1 , n 2 ) + ∞ h ( t ) d t = α P\{F>F_\alpha(n_1,n_2)\}=\int_{F_{\alpha}(n_1,n_2)}^{+\infty}h(t)dt=\alpha P{F>Fα(n1,n2)}=Fα(n1,n2)+h(t)dt=α
      的点 F α ( n 1 , n 2 ) F_\alpha(n_1,n_2) Fα(n1,n2) F ( n 1 , n 2 ) F(n_1,n_2) F(n1,n2)分布的上 α \alpha α分位点, α \alpha α是概率

    在这里插入图片描述
    关于F分布的上 α \alpha α分位点的性质:
    F 1 − α ( n 1 , n 2 ) = 1 F α ( n 2 , n 1 ) F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)} F1α(n1,n2)=Fα(n2,n1)1

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  • 统计上的三大分布

    千次阅读 2018-10-30 21:10:00
    正态分布和两个重要的函数 设随机变量 X1,X2\bm{X}_1, \bm{X}_2X1​,X2​ 独立,且分别服从正态分布 N(μ1,σ12)\bm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)N(μ1​,σ12​) 和 N(μ2,σ22)\bm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)N(μ2​,σ...
  • 分析:何为分布律??由古典概型,可以研究的主要还是概率的概念,得出一系列的单个事件发生的概率问题,主要还是研究AUB的问题。 由条件概率的定义,可以得到全概率与贝叶斯公式,开始研究AB同时发生的问题。 ...
  • 设X1∼N(μ,σ2),X2∼N(μ,σ2),则(X1+X2)∼(μ,σ2∗2)X1+X22∼(μ,σ22) 设X_1\sim N(\mu,\sigma^2),X_2\sim N(\mu,\sigma^2),则(X_1+X_2)\sim(\mu,\sigma^2*2)\\ \frac{X_1+X_2}{2} \sim(\mu,\frac{\sigma^2}...
  • 以标准正态分布变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用,这是因为这三个统计量不仅有明确背景,而且其抽样分布的密度函数有显式表达式,它们被称为统计中的“三大抽样分布”。这三大抽样分布即为著名...
  • 三大抽样分布

    千次阅读 2018-10-10 23:24:46
    基于正态分布三大抽样分布以及正态总体的性质
  • 三大抽样分布——卡方分布、t分布、F分布

    万次阅读 多人点赞 2018-11-19 23:45:03
    卡方分布 定义 设(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)(X1​,X2​,...,Xn​)是来自总体X∼N(0,1)X\sim N(0,1)X∼N(0,1)的一个样本,则称统计量:χ2=∑i=1nXi2\chi^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2χ2=i=1∑n​Xi2​所服从的...
  • 抽样分布概念及其三大重要分布

    千次阅读 2019-12-14 19:23:55
    总体的容量很,我们需要从总体抽出的样本进行一些规律的分析,进而对总体的分布情况进行推断,因此抽样分布具有重要意义。 分析抽样样本规律的过程中,需要对抽样特征进行提取,进而对原始数据进行运算得出的具有...
  •   1、scipy库中各分布对应的方法   2、stats中各分布的常用方法及其功能   3、正态分布的概率密度函数及其图象    1)正态分布的概率密度函数及其图象    2)python绘制正态分布的概率密度函数图象   ...
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  • 二项分布 二项分布是一个离散概率分布 在n次独立的实验中, 事件A 发生的概率为p(不发生的概率则为1-p),那么最终事件A 发生k(k大于等于0,小于等于n)次的概率为: nCk * p^k * (1-p)^(n-k) 其中 nCk 的意思是 组合(n...
  • 一、正态分布 正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution),若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布,记为N(μ,σ^2)。...、t分布 四、F分布 ...
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  • 离散型概率分布——泊松分布

    千次阅读 2018-05-05 21:56:42
    满足以下个条件的分布就是泊松分布。(1)事件是独立的在概率论中,说两个事件是独立的,直觉上是指:在一次试验中,一个事件的发生不会影响到另一个事件发生的概率。定义:两个事件A和B是独立的,当且仅当P(A∩B...
  • 三大运营商2G3G4G频段分布

    千次阅读 2019-08-13 11:24:14
    中国移动: 2G:GSM900:890-909(上行)935-954(下行),GSM1800:1710-1725(上行)1805-1820(下行)。 3G:TDD\(TD-SCDMA) 1880MHz-1900MHz和2010MHz-2025MHz。 4G:1880-1900MHz、2320-2370 MHz、2575-2635 MHz。...
  • 自由度df愈,t分布曲线愈接近正态分布曲线,当自由度df=∞时,t分布曲线为标准正态分布曲线。  在 概率论 和统计学中, 学生 t -分布 (Student's  t -distribution)经常应用在对呈 正态分布 的总体的 均值 ...
  • 概率论6基本分布

    万次阅读 2017-12-26 20:16:09
    每天学习一点点: 概率论中的六种常用分布,即(0-1)分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布

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