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  • 赋范空间X的一个真闭子空间M称为Riesz子空间,如果存在y∈XM,使得对任何x∈M都有1。讨论了Riesz子空间与可逼近子空间的关系;用Riesz子空间刻划了实Banach空间的自反性,进一步得到Pettis定理的一个逆定理。定理1可逼近...
  • 在度量空间中,我们重点关注的是两个元素之间的距离,而这一部分要引出来的赋范空间中,则对每个元素本身也赋予了“范数”,也就是“长度”。 文章目录1. 线性空间2. 赋范空间与Banach空间3. 有限维赋范空间4. 有界...

    在度量空间中,我们重点关注的是两个元素之间的距离,而这一部分要引出来的赋范空间中,则对每个元素本身也赋予了“范数”,也就是“长度”。

    1. 线性空间

    线性空间,可以简单理解为对线性运算封闭的集合。那么线性运算的形式是什么呢?常见的线性运算可以写为 T ( x ; a ) = ∑ i a i x i T(x;a)=\sum_i a_ix_i T(x;a)=iaixi,因此可以看出来包含了数乘加法两种基本运算,因此线性空间必然需要对数乘和加法封闭,除此之外,为了保证运算体系的自洽性,我们还需要规定一些其他的运算规则。最后,给出来线性空间的定义:

    考虑 K = C   o r   R , X ≠ ∅ , ∀ x , y ∈ X , ∀ λ ∈ K \mathbb{K=C\ or\ R}, X\ne \varnothing,\forall x,y\in X,\forall \lambda\in\mathbb{K} K=C or R,X=,x,yX,λK,可以定义 x + y ∈ X , λ x ∈ X x+y\in X,\lambda x\in X x+yX,λxX,如果满足

    1. x + y = y + x x+y=y+x x+y=y+x
    2. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (x+y)+z=x+(y+z) (x+y)+z=x+(y+z)
    3. ∃ 0 ∈ X , ∀ x ∈ X , x + 0 = 0 + x = x \exists 0\in X,\forall x\in X, x+0=0+x=x 0X,xX,x+0=0+x=x
    4. ∀ x , ∃ ! y ∈ X , x + y = 0 , y = − x \forall x,\exists! y\in X,x+y=0,y=-x x,!yX,x+y=0,y=x
    5. α ( β x ) = ( α β ) x \alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x α(βx)=(αβ)x
    6. 1 x = x 1x=x 1x=x
    7. ( α + β ) x = α x + β x (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x (α+β)x=αx+βx
    8. α ( x + y ) = α x + α y \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y α(x+y)=αx+αy

    则称 X X X K \mathbb{K} K 上的线性空间

    例子 1 S = { ( x n ) n ≥ 1 , x n ∈ K } S=\{(x_n)_{n\ge1},x_n\in\mathbb{K} \} S={(xn)n1,xnK},定义加法 ( x n ) n ≥ 1 + ( y n ) n ≥ 1 = ( x n + y n ) n ≥ 1 ∈ S (x_n)_{n\ge1}+(y_n)_{n\ge1}=(x_n+y_n)_{n\ge1}\in S (xn)n1+(yn)n1=(xn+yn)n1S,定义数乘 λ ( x n ) n ≥ 1 = ( λ x n ) n ≥ 1 ∈ S \lambda(x_n)_{n\ge1}=(\lambda x_n)_{n\ge1}\in S λ(xn)n1=(λxn)n1S,那么可以验证 S S S 为线性空间。

    例子 2 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b],定义 ( f + g ) ( t ) = f ( t ) + g ( t ) , ( λ f ) ( t ) = λ f ( t ) (f+g)(t)=f(t)+g(t), (\lambda f)(t)=\lambda f(t) (f+g)(t)=f(t)+g(t),(λf)(t)=λf(t),可以验证 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 为线性空间。

    定义 X X X K \mathbb{K} K 上的线性空间, Y ⊂ X Y\subset X YX,称 Y Y Y X X X 的线性子空间,若 ∀ x , y ∈ Y , ∀ λ ∈ K \forall x,y\in Y,\forall \lambda\in\mathbb{K} x,yY,λK,有 x + y ∈ Y , λ x ∈ Y x+y\in Y,\lambda x\in Y x+yY,λxY,并且 Y Y Y 本身也是线性空间。

    例子 3 ℓ ∞ ⊂ S \ell^\infty \subset S S 是线性空间。

    例子 4 ℓ p ⊂ S , 1 ≤ p < ∞ \ell^p \subset S,1\le p < \infty pS,1p< 是线性空间。

    例子 5 ℓ p ⊂ c 0 ( x n → 0 的 序 列 { ( x n ) } ) ⊂ c ( x n 收 敛 的 序 列 ) ⊂ ℓ ∞ ⊂ S ( 无 穷 维 序 列 ) \ell^p \subset c_0(x_n\to0的序列\{(x_n)\}) \subset c(x_n收敛的序列) \subset \ell^\infty\subset S(无穷维序列) pc0(xn0{(xn)})c(xn)S(),每一个都是线性空间。

    例子 6 P P P 所有多项式的集合, P ⊂ C [ a , b ] P\subset C[a,b] PC[a,b] 也是线性空间。

    命题:若 X X X 为线性空间, ( Y i ) i ∈ I (Y_i)_{i\in I} (Yi)iI X X X 的一族线性子空间,则 Y = ⋂ i ∈ I Y i Y=\bigcap_{i\in I}Y_i Y=iIYi 仍然是 X X X 的线性子空间。

    定义 X X X 为线性空间, M ⊂ X M\subset X MX 非空,令 E \mathcal{E} E 为所有包含 M M M 的线性子空间,那么一定有 X ∈ E X\in\mathcal{E} XE,因此 E \mathcal{E} E 一定非空。令 Z = ⋂ Y ∈ E Y Z=\bigcap_{Y\in\mathcal{E}}Y Z=YEY 也一定是 X X X 的线性子空间,记 Z = span ( M ) Z=\text{span}(M) Z=span(M) 称为 M M M 生成的线性子空间

    命题:若 M ⊂ X M\subset X MX 非空,那么 Z = span ( M ) = { ∑ i n λ i x i , n ≥ 1 , x i ∈ M , λ i ∈ K } Z=\text{span}(M) = \{\sum_i^n \lambda_i x_i,n\ge1,x_i\in M,\lambda_i\in\mathbb{K}\} Z=span(M)={inλixi,n1,xiM,λiK} 为包含 M M M X X X最小线性子空间

    证明:略。

    例子 1 X = S , e n = ( 0 , ⋯   , 0 , 1 , 0 , ⋯   ) ∈ S , M = { e n , n ≥ 1 } ⊂ S X=S,e_n=(0,\cdots,0,1,0,\cdots)\in S, M=\{e_n,n\ge1\}\subset S X=S,en=(0,,0,1,0,)S,M={en,n1}S,则 span ( M ) = c 00 \text{span}(M)=c_{00} span(M)=c00(只有有限个元素非零的无穷维序列)。

    定义 M ⊂ X M\subset X MX线性无关的,若 ∀ x 1 , . . . , x n ∈ M \forall x_1,...,x_n\in M x1,...,xnM 两两不等,都有 x 1 , . . . , x n x_1,...,x_n x1,...,xn 都线性无关(也即任意有限个元素都线性无关)。

    例子 2 X = C [ a , b ] , α 1 < α 2 < ⋯ < α n ≤ ⋯   , f n = e α n t ∈ C [ a , b ] X=C[a,b],\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n\le\cdots, f_n=e^{\alpha_n t}\in C[a,b] X=C[a,b],α1<α2<<αn,fn=eαntC[a,b],那么取 M = { f 1 , f 2 , ⋯   } M=\{f_1,f_2,\cdots\} M={f1,f2,} 是线性无关的    ⟺    ∀ n ≥ 1 , f 1 , . . . , f n \iff \forall n\ge1, f_1,...,f_n n1,f1,...,fn 线性无关。

    证明:利用线性相关的定义,重复求导、相减的过程,细节略。

    定义 X X X 为线性空间,若 X X X 中存在 n n n 个元素线性无关,但任意 n + 1 n+1 n+1 个元素都线性相关,则称 X X X n n n 的,记为 dim X = n \text{dim}X=n dimX=n。若 ∀ n ≥ 1 , ∃ x ! , . . . , x n \forall n\ge1,\exists x_!,...,x_n n1,x!,...,xn 线性无关,则称 X X X无穷维的。

    命题 dim X = n , ∀ x ∈ X \text{dim}X=n,\forall x\in X dimX=n,xX 都存在唯一的系数 a 1 , . . . , a n a_1,...,a_n a1,...,an 使得 x = a 1 x 1 + ⋯ + a n x n x=a_1x_1+\cdots+a_nx_n x=a1x1++anxn

    证明:略。

    对于复空间 C n \mathbb{C}^n Cn,认为 dim C n = 2 n \text{dim}\mathbb{C}^n=2n dimCn=2n

    定义 X X X 为线性空间, M ⊂ X M\subset X MX 线性无关,若 span ( M ) = X \text{span}(M)=X span(M)=X,则称 M M M X X XHamel 基

    命题 ∀ x ∈ X \forall x\in X xX,则 ∃ x 1 , . . . , x n ∈ M \exists x_1,...,x_n\in M x1,...,xnM 两两不等, ∃ λ 1 , . . . , λ n ∈ K \exists \lambda_1,...,\lambda_n\in\mathbb{K} λ1,...,λnK 均不为 0,使得 x = λ 1 x 1 + . . . + λ n x n x=\lambda_1 x_1+...+\lambda_n x_n x=λ1x1+...+λnxn,并且上述表示唯一

    证明:略。

    例子 1 { e 1 , e 1 , . . . } \{e_1,e_1,...\} {e1,e1,...} c 00 c_{00} c00 的 Hamel 基。

    定理 X X X 为线性空间, M ⊂ X M\subset X MX 线性无关,则 ∃ N \exists N N X X X 的 Hamel 基,使得 M ⊂ N M\subset N MN

    小结:这一部分主要是讲解了线性空间的定义,最关键的概念就在于

    1. 对于加法和数乘封闭;
    2. 可以找到一组基,任意向量都可以用基的线性组合来表示,并且表示方法唯一。

    2. 赋范空间与Banach空间

    假设 X X X K \mathbb{K} K 上的线性空间,定义范数运算 ∥ ⋅ ∥ : X → R \Vert\cdot\Vert:X\to \mathbb{R} :XR,满足如下条件:

    1. ∥ x ∥ ≥ 0 \Vert x\Vert \ge 0 x0
    2. ∥ x ∥ = 0    ⟺    x = 0 \Vert x\Vert =0\iff x=0 x=0x=0
    3. ∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ⋅ ∥ x ∥ \Vert\lambda x\Vert=|\lambda|\cdot\Vert x\Vert λx=λx
    4. ∀ x , y ∈ X , ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \forall x,y\in X, \Vert x+y\Vert\le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert x,yX,x+yx+y

    则称 ∥ ⋅ ∥ \Vert\cdot\Vert X X X 上的范数, ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,)赋范空间

    定义:在赋范空间中, ∀ x , y ∈ X \forall x,y\in X x,yX,若定义 d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ d(x,y)=\Vert x-y\Vert d(x,y)=xy,那么该方法定义的 d ( x , y ) d(x,y) d(x,y) 也是度量,称为 ∥ ⋅ ∥ \Vert\cdot\Vert 诱导的度量。若此时 ( X , d ) (X,d) (X,d)完备空间,则称 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,)Banach 空间(即完备的赋范空间)。

    :由于范数的定义中第 3 条存在,以及诱导度量只有 x − y x-y xy 决定,使得诱导度量相比于一般定义的度量还具有一些特别性质,例如:

    • 平移不变性 d ( x + a , y + a ) = d ( x + y ) d(x+a,y+a)=d(x+y) d(x+a,y+a)=d(x+y)
    • 齐次性 d ( λ x , λ y ) = ∣ λ ∣ d ( x , y ) d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda| d(x,y) d(λx,λy)=λd(x,y)

    例子 1 ( K n , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) , ( K n , ∥ ⋅ ∥ p ) , ( ℓ ∞ , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) , ( ℓ p , ∥ ⋅ ∥ p ) , ( c 0 , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) , ( c , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (\mathbb{K}^n,\Vert\cdot\Vert_\infty),(\mathbb{K}^n,\Vert\cdot\Vert_p),(\ell^\infty,\Vert\cdot\Vert_\infty),(\ell^p,\Vert\cdot\Vert_p),(c_{0},\Vert\cdot\Vert_\infty),(c,\Vert\cdot\Vert_\infty) (Kn,),(Kn,p),(,),(p,p),(c0,),(c,) 均为 Banach 空间。

    例子 2 S = { ( x n ) n ≥ 1 , x n ∈ K } , d ( x , y ) = ∑ n 1 2 n ∣ x n − y n ∣ 1 + ∣ x n − y n ∣ S=\{(x_n)_{n\ge1},x_n\in\mathbb{K}\},d(x,y)=\sum_n \frac{1}{2^n}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|} S={(xn)n1,xnK},d(x,y)=n2n11+xnynxnyn不存在 S S S 上的范数 ∥ ⋅ ∥ \Vert\cdot\Vert 使 d d d 被诱导出,因为 d d d 不满足齐次性。

    例子 3 ( C [ a , b ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (C[a,b],\Vert\cdot\Vert_\infty) (C[a,b],) 为 Banach 空间, ( C [ a , b ] , ∥ ⋅ ∥ p ) (C[a,b],\Vert\cdot\Vert_p) (C[a,b],p) 不是 Banach 空间。

    例子 4:离散度量不满足齐次性,因此不可能由范数诱导出。

    命题 1 ( X , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (X,\Vert\cdot\Vert_\infty) (X,) 为赋范空间, Y Y Y X X X 的线性子空间。若 Y Y Y 为 Banach 空间,则 Y Y Y X X X 中必为闭集。

    命题 2 ( X , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (X,\Vert\cdot\Vert_\infty) (X,) 为 Banach 空间, Y ⊂ X Y\subset X YX 为闭集线性子空间,则 Y Y Y 必为 Banach 空间。

    证明:赋范空间的线性子空间仍然是赋范空间,完备空间一定要是闭集。细节略。

    只需要掌握关键点,那么上面的命题都可以由下面的关键点轻松导出:

    1. 完备空间一定是闭集;完备空间的子空间也完备    ⟺    \iff 该子空间为闭集;
    2. 赋范空间 + 完备性 = Banach 空间。

    命题:若 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,) 为 Banach 空间, x n ∈ X x_n\in X xnX,且 ∑ n ∞ ∥ x n ∥ < ∞ \sum_n^\infty \Vert x_n\Vert < \infty nxn<,则 ∑ ∞ x n \sum^\infty x_n xn 收敛。

    证明:完备空间中,证明序列收敛可以证明序列是柯西列。

    定义 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,) 为赋范空间, e n ∈ X ( n ≥ 1 ) e_n\in X(n\ge 1) enX(n1),称 ( e n ) n ≥ 1 (e_n)_{n\ge1} (en)n1 X X X 的一组 Schauder 基,若 ∀ x ∈ X , ∃ ! λ n , x = ∑ n ∞ λ n e n \forall x\in X, \exists ! \lambda_n,x=\sum^\infty_n \lambda_n e_n xX,!λn,x=nλnen

    命题:若 X X X 有 Schauder 基,那么 X X X 一定是可分的。

    证明:可以取 M = { ∑ i = 1 n x i e i ∈ X , n ≥ 1 , x i ∈ Q } M=\{\sum^n_{i=1}x_ie_i \in X, n\ge1, x_i\in\mathbb{Q} \} M={i=1nxieiX,n1,xiQ},是可数个可数集的并。

    Hamel 基与 Schauder 基的区别:

    1. 最主要的区别是 Hamel 基可以是有限维也可以是无穷维的,这由集合 X X X 的维数决定,而 Schauder 基则只定义在无穷维上;
    2. 前者针对线性空间,后者针对 Banach 空间。

    3. 有限维赋范空间

    有限维赋范空间相比于一般的赋范空间有很多很好的性质,比如所有范数等价、有限维赋范空间都是 Banach 空间。

    假设 X X X K \mathbb{K} K 上的线性空间,并且存在两个范数 ∥ ⋅ ∥ 1 , ∥ ⋅ ∥ 2 \Vert\cdot\Vert_1,\Vert\cdot\Vert_2 1,2,称二者等价,若
    ∃ α , β > 0 , ∀ x ∈ X , α ∥ x ∥ 1 ≤ ∥ x ∥ 2 ≤ β ∥ x ∥ 2 \exists \alpha,\beta > 0,\forall x\in X,\quad \alpha\Vert x\Vert_1\le \Vert x\Vert_2\le \beta\Vert x\Vert_2 α,β>0,xX,αx1x2βx2
    此时 ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) , ( X , ∥ ⋅ ∥ 2 ) (X,\Vert\cdot\Vert_1),(X,\Vert\cdot\Vert_2) (X,1),(X,2) 有:

    • 相同的收敛列、柯西列;
    • 相同的开集、闭集、闭包、内部;
    • ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) (X,\Vert\cdot\Vert_1) (X,1) Banach    ⟺    ( X , ∥ ⋅ ∥ 2 ) \iff (X,\Vert\cdot\Vert_2) (X,2) Banach;

    引理 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,) Y ⊂ X Y\subset X YX 为有限维线性子空间,设 e 1 , . . . , e n e_1,...,e_n e1,...,en Y Y Y 的一组基,则 ∃ c > 0 , ∀ λ 1 , . . . , λ n ∈ K \exists c > 0,\forall \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{K} c>0,λ1,...,λnK,有
    c ( ∣ λ 1 ∣ + ⋯ + ∣ λ n ∣ ) ≤ ∥ λ 1 e 1 + ⋯ + λ n e n ∥ ≤ max ⁡ i ∥ e i ∥ ( ∣ λ 1 ∣ + ⋯ + ∣ λ n ∣ ) c(|\lambda_1|+\cdots+|\lambda_n|) \le \Vert\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_n\Vert \le \max_i\Vert e_i\Vert (|\lambda_1|+\cdots+|\lambda_n|) c(λ1++λn)λ1e1++λnenimaxei(λ1++λn)
    证明:需要用到 Bolzano-Weierstrass 定理,即有界列存在收敛子列。反证法,证明略。

    定理:若 dim X < ∞ \text{dim}X<\infty dimX<,则 X X X 上的范数互相等价,且均为 Banach 空间。

    证明:只需要证明所有范数与 ∥ ⋅ ∥ 1 \Vert\cdot\Vert_1 1 范数等价,且 ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) (X,\Vert\cdot\Vert_1) (X,1) 构成 Banach 空间。

    推论 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,),若 Y ⊂ X Y\subset X YX 为有限维线性子空间,则 Y Y Y 为闭集。

    有限维赋范空间除了这个良好的性质(一定是 Bananch 空间)之外,还有其他的好性质。下面引入紧集的概念。

    定义 ( X , d ) (X,d) (X,d) M ⊂ X M\subset X MX 为紧集,若 ∀ x n ∈ M , ∃ n k ↑ ∞ , ∃ x ∈ M , x n k → x ( k → ∞ ) . \forall x_n\in M,\exists n_k\uparrow \infty,\exists x\in M, x_{n_k}\to x(k\to \infty). xnM,nk,xM,xnkx(k).

    实际上,紧集的概念跟完备性的概念有点像,前者是任意序列一定存在收敛子列,后者说明柯西列一定是收敛列。他们都跟序列的收敛性有关,后面也可以看到,他们都跟闭集有一定的关系。

    实际上,紧集一定是有界闭集,但是闭集不一定是紧集。不过对于有限维赋范空间来说,二者等价,后面会有定理专门证明。

    定理 ( X , d ) (X,d) (X,d),若 M ⊂ X M\subset X MX紧集,则 M M M 一定完备,并且一定是有界闭集

    定理 ( X , d ) (X,d) (X,d) M ⊂ X M\subset X MX 为紧集, N ⊂ M N\subset M NM,则 N N N 为紧集    ⟺    N \iff N N 为闭集。

    证明:略。

    定理 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,) dim X = n < ∞ \text{dim}X=n<\infty dimX=n< M ⊂ X M\subset X MX 为紧集    ⟺    M \iff M M 为有界闭集。

    证明:必要性易证,充分性证明的关键是首先找到 Hamel 基表示,将在 M M M 中寻找收敛子列的任务分解到对每一个坐标维度上寻找收敛子列,而这可以根据 Bolzano-Weiertrass 定理得到,然后再根据每个坐标为度上的收敛子列得到 M M M 中的收敛子列。证毕。

    引理 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,) M ⊊ X M\subsetneq X MX 为闭集线性子空间,对于 ∀ 0 < θ < 1 \forall 0 < \theta < 1 0<θ<1 ∃ z ∈ X , ∥ z ∥ = 1 , ∀ y ∈ M , ∥ z − y ∥ ≥ θ . \exists z\in X,\Vert z\Vert =1,\forall y\in M,\Vert z-y\Vert \ge \theta. zX,z=1,yM,zyθ.

    证明:固定 ∀ v ∈ Y c \forall v\in Y^c vYc,令 a = inf ⁡ y ∈ Y ∥ v − y ∥ a=\inf_{y\in Y}\Vert v-y\Vert a=infyYvy,那么 a > 0 a>0 a>0,否则的话与 Y Y Y 是闭集相矛盾。因此存在 y 0 ∈ Y y_0\in Y y0Y 使得 a ≤ ∥ v − y 0 ∥ ≤ a / ε a\le \Vert v-y_0\Vert \le a/\varepsilon avy0a/ε。那么我们就可以把这个 v v v 平移到 0 0 0 点附近,同时也把对应的 y 0 y_0 y0 平移到原点附近,也就是取 y = v − y 0 ∥ v − y 0 ∥ y=\frac{v-y_0}{\Vert v-y_0\Vert} y=vy0vy0,那么 ∥ y ∥ = 1 \Vert y\Vert=1 y=1,并且可以验证 ∀ z ∈ X \forall z\in X zX,都有 ∥ y − z ∥ ≥ ε . \Vert y-z\Vert \ge \varepsilon. yzε. 证毕。

    定理(F.Riesz): ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,),则 dim X < ∞    ⟺    B ˉ ( 0 , 1 ) \text{dim}X<\infty \iff \bar{B}(0,1) dimX<Bˉ(0,1) 为紧集。

    证明:必要性易证。充分性可以利用反证法,若维度无穷,则可以构造出特殊的序列,使得序列中任意两个元素的距离都大于 1 / 2 1/2 1/2(这要用到上一个引理),从而不存在收敛子列,即 B ˉ ( 0 , 1 ) \bar{B}(0,1) Bˉ(0,1) 不是紧集。证毕。

    推论 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,),则 dim X < ∞    ⟺    S ( 0 , 1 ) = { x : ∥ x ∥ = 1 } \text{dim}X<\infty\iff S(0,1)=\{x:\Vert x\Vert=1\} dimX<S(0,1)={x:x=1} 为紧集。

    定义 ( X , d ) (X,d) (X,d) M ⊂ X M\subset X MX 非空, x 0 ∈ X x_0\in X x0X,令
    ρ ( x 0 , M ) = inf ⁡ y ∈ M d ( x 0 , y ) \rho(x_0, M) = \inf_{y\in M} d(x_0, y) ρ(x0,M)=yMinfd(x0,y)
    称为 x 0 x_0 x0 M M M 的距离。若 ∃ y 0 ∈ M \exists y_0\in M y0M,使得 ρ ( x 0 , M ) = d ( x 0 , y 0 ) \rho(x_0,M)=d(x_0,y_0) ρ(x0,M)=d(x0,y0),则称 y 0 y_0 y0 x 0 x_0 x0 M M M 中的最佳逼近元。

    命题:设 M M M 为非空紧集,则 ∀ x 0 ∈ X \forall x_0 \in X x0X x 0 x_0 x0 M M M 中的最佳逼近元存在。

    命题 ( X , d ) , M (X,d), M (X,d),M X X X 的有限维线性子空间, ∀ x 0 ∈ X , ρ ( x 0 , M ) = inf ⁡ y ∈ M { ∥ x 0 − y ∥ } \forall x_0\in X, \rho(x_0,M)=\inf_{y\in M}\{\Vert x_0-y\Vert\} x0X,ρ(x0,M)=infyM{x0y},则 x 0 x_0 x0 M M M 中的最佳逼近元一定存在。

    证明:略。

    小结:本部分主要证明了有限维赋范空间的良好性质:

    1. 有限维赋范空间所有范数等价,且均为 Banach 空间
    2. 有限维赋范空间紧集(即任意序列存在收敛子列)    ⟺    \iff 有界闭集

    4. 有界线性算子

    4.1 线性算子

    定义 X , Y X,Y X,Y K \mathbb{K} K 上的线性子空间, D ( T ) ⊂ X D(T)\subset X D(T)X 为线性子空间, T : D ( T ) → Y T:D(T)\to Y T:D(T)Y线性算子,若 ∀ x , y ∈ D ( T ) , ∀ λ ∈ K \forall x,y\in D(T),\forall \lambda \in \mathbb{K} x,yD(T),λK,都有
    T ( x + y ) = T x + T y , T ( λ x ) = λ T x    ⟺    T ( λ x + μ y ) = λ T x + μ T y . T(x+y)=Tx+Ty,\quad T(\lambda x)=\lambda Tx \\ \iff T(\lambda x+\mu y) = \lambda Tx + \mu Ty. T(x+y)=Tx+Ty,T(λx)=λTxT(λx+μy)=λTx+μTy.
    定义:零空间 N ( T ) = ker ( T ) = { x ∈ D ( T ) , T x = 0 } = T − 1 ( 0 ) , N(T)=\text{ker}(T)=\{x\in D(T), Tx=0\}=T^{-1}(0), N(T)=ker(T)={xD(T),Tx=0}=T1(0), 像空间 R ( T ) = { T x , x ∈ D ( T ) } . R(T)=\{Tx, x\in D(T)\}. R(T)={Tx,xD(T)}.

    命题 N ( T ) N(T) N(T) D ( T ) D(T) D(T) 的线性子空间, R ( T ) R(T) R(T) Y Y Y 的线性子空间。

    命题 T T T 为单射 N ( T ) = { 0 } N(T)=\{0\} N(T)={0}

    命题 M ⊂ D ( T ) M\subset D(T) MD(T) n n n 维线性子空间,则 dim T ( M ) ≤ n \text{dim} T(M) \le n dimT(M)n

    证明:略。

    4.2 算子范数

    定义:对于线性算子,若 ∃ c ≥ 0 , ∀ x ∈ D ( T ) , ∥ T x ∥ Y ≤ c ∥ x ∥ X \exists c\ge 0,\forall x\in D(T), \Vert Tx\Vert_Y \le c\Vert x\Vert_X c0,xD(T),TxYcxX,则称 T T T有界的。使该式成立的最小 c c c 称为 T T T范数,等价于
    ∥ T ∥ = sup ⁡ x ∈ D ( T ) , x ≠ 0 ∥ T x ∥ ∥ x ∥ = sup ⁡ x ∈ D ( T ) , ∥ x ∥ ≤ 1 ∥ T x ∥ ∥ x ∥ = sup ⁡ x ∈ D ( T ) , ∥ x ∥ < 1 ∥ T x ∥ ∥ x ∥ \Vert T\Vert = \sup_{x\in D(T),x\ne 0} \frac{\Vert Tx\Vert}{\Vert x\Vert} = \sup_{x\in D(T),\Vert x\Vert \le 1} \frac{\Vert Tx\Vert}{\Vert x\Vert} = \sup_{x\in D(T),\Vert x\Vert < 1} \frac{\Vert Tx\Vert}{\Vert x\Vert} T=xD(T),x=0supxTx=xD(T),x1supxTx=xD(T),x<1supxTx
    例子 1 X = Y = C [ 0 , 1 ] , ( T x ) ( t ) = ∫ 0 t x ( τ ) d τ X=Y=C[0,1],(Tx)(t)=\int_0^t x(\tau)d\tau X=Y=C[0,1],(Tx)(t)=0tx(τ)dτ,则 ∥ T ∥ = 1 , x ( t ) ≡ 1 \Vert T\Vert = 1, x(t)\equiv1 T=1,x(t)1 时取到。

    例子 2 X = C [ − 1 , 1 ] , f ( x ) = ∫ − 1 0 x ( t ) d t − ∈ 0 1 x ( t ) d t , ∣ f ( x ) ∣ ≤ 2 ∥ x ∥ ∞ X=C[-1,1],f(x)=\int_{-1}^0x(t)dt - \in_0^1x(t)dt,|f(x)|\le 2\Vert x\Vert_\infty X=C[1,1],f(x)=10x(t)dt01x(t)dt,f(x)2x,但是 2 2 2 取不到。

    例子 3 T : C 1 [ 0 , 1 ] → C [ 0 , 1 ] , T ( x ) = x ′ T:C^1[0,1]\to C[0,1],T(x)=x' T:C1[0,1]C[0,1],T(x)=x,那么 T T T 为线性无界算子。令 x n ( t ) = t n , t ∈ [ 0 , 1 ] x_n(t)=t^n,t\in[0,1] xn(t)=tn,t[0,1],则 ( T x n ) ( t ) = n t n − 1 . (Tx_n)(t)=nt^{n-1}. (Txn)(t)=ntn1.

    例子 4 A = ( a i j ) n × n , a i j ∈ K , T x = A x . ∥ T ∥ = ? A=(a_{ij})_{n\times n},a_{ij}\in\mathbb{K},Tx=Ax.\Vert T\Vert=? A=(aij)n×n,aijK,Tx=Ax.T=?

    定理 X , Y X,Y X,Y K \mathbb{K} K 上的赋范空间,假设 dim X = n < ∞ \text{dim}X=n<\infty dimX=n< T : X → Y T:X\to Y T:XY 是线性算子,那么 T T T 一定是有界的。

    证明:用基来表示 X X X 中的元素,并利用性质 ∥ λ 1 e 1 + ⋯ + λ n e n ∥ ≥ c ( ∣ λ 1 ∣ + ⋯ + ∣ λ n ∣ ) \Vert\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_n\Vert \ge c(|\lambda_1|+\cdots+|\lambda_n|) λ1e1++λnenc(λ1++λn) 即可得证。证毕。

    定理 X , Y X,Y X,Y K \mathbb{K} K 上的赋范空间, T : X → Y T:X\to Y T:XY 是线性算子,那么以下命题等价

    1. T T T 有界
    2. T T T 处处连续
    3. T T T X X X 上某一点连续

    证明 ( 1 ) → ( 2 ) , ( 2 ) → ( 3 ) (1)\to(2),(2)\to(3) (1)(2),(2)(3) 易证;

    ( 2 ) → ( 1 ) (2)\to(1) (2)(1):由于 T T T 连续,在 x = 0 x=0 x=0 点附近,存在 δ > 0 , ∀ x ∈ B ( 0 , δ ) \delta>0, \forall x \in B(0,\delta) δ>0,xB(0,δ),有 ∥ T x ∥ ≤ 1 \Vert Tx\Vert\le1 Tx1,因而 ∥ T x ∥ ≤ 2 δ ∥ x ∥ \Vert Tx\Vert \le \frac{2}{\delta}\Vert x\Vert Txδ2x

    ( 3 ) → ( 2 ) (3)\to(2) (3)(2):由于 T T T 为线性算子,那么只要在任一 x 0 x_0 x0 点处连续,经过平移可以得到 T T T 在任意一点处都连续。

    证毕。

    推论 X , Y X,Y X,Y K \mathbb{K} K 上的赋范空间, T : X → Y T:X\to Y T:XY 线性有界,那么 N ( T ) N(T) N(T) X X X 的闭集线性子空间。

    用符号 B ( X , Y ) B(X,Y) B(X,Y) 来表示 X → Y X\to Y XY 的有界线性算子。

    定理:假设 X X X 为赋范空间, Y Y Y 为 Banach 空间,那么 B ( X , Y ) B(X,Y) B(X,Y) 为 Banach 空间。

    证明:略。

    小结:本部分定义了线性算子,以及有界线性算子的范数。由于有界线性算子等价于连续算子,今后主要研究的也是有界线性算子。

    5. 有界线性泛函

    从赋范空间 X X X K \mathbb{K} K 的线性算子称为 X X X 上的线性泛函

    定义 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,),用 X ′ X' X 表示 X X X 上所有有界线性泛函全体,称之为 X X X拓扑对偶空间

    X X X 上的一组基为 { e 1 , e 2 , ⋯   } \{e_1,e_2,\cdots\} {e1,e2,}(有限维或者无限维均可),那么 f : X → K f:X\to\mathbb{K} f:XK f ( e 1 ) , f ( e 2 ) , ⋯ f(e_1),f(e_2),\cdots f(e1),f(e2), 唯一确定。

    定义 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 赋范空间,若存在线性算子 T : X → Y T:X\to Y T:XY,并且 ∥ T x ∥ Y = ∥ x ∥ X , ∀ x ∈ X \Vert Tx\Vert_Y = \Vert x\Vert_X,\forall x\in X TxY=xX,xX,则称 X , Y X,Y X,Y等距同构的,因此可以视 X , Y X,Y X,Y 为同一空间。

    命题 ( K n , ∥ ⋅ ∥ 2 ) ′ = ( K n , ∥ ⋅ ∥ 2 ) (\mathbb{K}^n,\Vert\cdot\Vert_2)' = (\mathbb{K}^n,\Vert\cdot\Vert_2) (Kn,2)=(Kn,2)(此命题的含义为 ( K n , ∥ ⋅ ∥ 2 ) (\mathbb{K}^n,\Vert\cdot\Vert_2) (Kn,2) 的对偶空间等价于 n n n 维空间,也就是说每一个有界线性泛函都可以映射为 K n \mathbb{K}^n Kn 上的一个点/向量)

    证明:略。

    对于形如 ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) ′ = ( Y , ∥ ⋅ ∥ 2 ) (X,\Vert\cdot\Vert_1)' = (Y,\Vert\cdot\Vert_2) (X,1)=(Y,2) 的命题,证明思路如下。

    证明:要想证明两个空间等价,那么只需要找到一个线性映射 T : ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) ′ → ( Y , ∥ ⋅ ∥ 2 ) T:(X,\Vert\cdot\Vert_1)' \to (Y,\Vert\cdot\Vert_2) T:(X,1)(Y,2),使得映射前后在两个空间的范数相等。考虑对 ∀ f ∈ ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) ′ \forall f\in (X,\Vert\cdot\Vert_1)' f(X,1),取 f ↦ ( f ( e 1 ) , f ( e 2 ) , ⋯   , f ( e n ) ) f\mapsto (f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_n)) f(f(e1),f(e2),,f(en)),那么按照以下步骤证明:

    1. 证明对于任意 ∀ f ∈ ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) ′ \forall f\in (X,\Vert\cdot\Vert_1)' f(X,1),的确有 ( f ( e 1 ) , f ( e 2 ) , ⋯   , f ( e n ) ) ∈ Y (f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_n))\in Y (f(e1),f(e2),,f(en))Y,即映射的源空间和像空间的确是 X , Y X,Y X,Y
    2. 证明 T T T 为单射(即证明若 T f = T g Tf=Tg Tf=Tg,那么有 f = g f=g f=g);
    3. 证明 T T T 为满射,此时 T T T 为双射(即证明 ∀ α ∈ Y \forall \alpha \in Y αY,存在 f ∈ ( X , ∥ ⋅ ∥ 1 ) ′ f \in (X,\Vert\cdot\Vert_1)' f(X,1) 使得 T f = α Tf=\alpha Tf=α,一般需要构造线性算子 f f f);
    4. 证明 ∥ T f ∥ = ∥ f ∥ \Vert Tf\Vert = \Vert f\Vert Tf=f

    证毕。

    因此按照上面的方法,还可以证明如下几个命题。

    • ( K n , ∥ ⋅ ∥ p ) ′ = ( K n , ∥ ⋅ ∥ q ) , 1 p + 1 q = 1 (\mathbb{K}^n,\Vert\cdot\Vert_p)' = (\mathbb{K}^n,\Vert\cdot\Vert_q),\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 (Kn,p)=(Kn,q),p1+q1=1
    • ( c 0 , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) ′ = ( ℓ 1 , ∥ ⋅ ∥ 1 ) (c_0, \Vert \cdot\Vert_\infty)'=(\ell^1,\Vert \cdot\Vert_1) (c0,)=(1,1)
    • ( ℓ 1 , ∥ ⋅ ∥ 1 ) ′ = ( ℓ ∞ , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (\ell^1,\Vert \cdot\Vert_1)'=(\ell^\infty,\Vert \cdot\Vert_\infty) (1,1)=(,)
    • ( ℓ p , ∥ ⋅ ∥ p ) ′ = ( ℓ q , ∥ ⋅ ∥ q ) (\ell^p,\Vert \cdot\Vert_p)'=(\ell^q,\Vert \cdot\Vert_q) (p,p)=(q,q)

    小结:有界线性泛函可以映射到某个我们熟悉的空间,对于后面的处理很有用。

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    前面的一些博客链接如下
    泛函分析专栏
    泛函分析笔记 0:绪论
    泛函分析笔记 1:度量空间
    泛函分析笔记 2:赋范空间

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  • 度量空间,赋范空间

    2021-08-25 11:12:27
    无论是度量(distance)还是范数(norm),都是企图将任意的一个集合,通过定义关系,进而降维到我们熟知的实数空间进行研究。 度量空间 给定一个集合,原本是无序且元素之间是没有关系的,而度量(距离)给其定义了...

    无论是度量(distance)还是范数(norm),都是企图将任意的一个集合,通过定义关系,进而降维到我们熟知的实数空间进行研究。

    度量空间

    给定一个集合,原本是无序且元素之间是没有关系的,而度量(距离)给其定义了2元关系。
    如果对于集合的元素,定义任何两个元素之间有距离,那么这个集合就是度量空间。这个距离的具体定义是:距离是一个实函数,其自变量就是集合中的任意两个元素,那么这个实函数定义的时候并不给出具体公式,而是给出实函数满足的性质,就是

    • 非负性(两个元素相等的时候,距离为0),
    • 对称性,
    • 三角不等式
      也就这3个性质。

    赋范空间

    范数是一定定是定义在线性空间上的,因为范数的三角形不等式需要有元素和,而和封闭是线性空间的一个重要性质。
    首先赋范线性空间第一是线性空间,一提到线性空间,马上明白这是一个定义了加法和数乘的集合,而赋范线性空间是定义了范数的线性空间,那么范数怎样定义的呢?具体是一个元素对应的实函数,具有非负性,一个元素的范数为0的充要条件是元素为0,齐次性以及三角不等式。

    只要线性空间的元素满足上面的性质的实函数就称为该元素的范数。我们关注对应的三角不等式是: ∣ ∣ x + y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣ ||x+y||\leq ||x||+||y|| x+yx+y

    我们比较距离和范数可以发现,距离指的是两个元素之间的关系,而范数指的是一个元素本身的性质。另外范数的三角不等式中 ∣ ∣ x + y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣ ||x+y||\leq ||x||+||y|| x+yx+y 之所以成立是因为赋范线性空间中定义了两个元素的相加,因此 x + y x+y x+y 是有意义的,但是在度量空间中, 其没有意义,因为度量空间没有定义任意两个元素之间的运算。

    距离、范数和测度都是定义在一个集合上的元素对应的实数,只不过定义测度的时候,其元素一定是集类中的集合,也就是一个集合对应一个实数,而距离和范数没有这个要求。

    线性空间+范数=赋范空间;

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/42381836

    Banach 空间

    赋范空间+完备=Banach 空间

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/87785242

    Hibert 空间

    完备内积空间, 而内积空间是 在向量空间(当集合的元素都是向量时)中定义 的内积,则为Hibert.
    https://blog.csdn.net/jiangxguang/article/details/108979227
    在这里插入图片描述

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  • 泛函分析 赋范空间 完备的赋范空间

    §2.2 

    , 
    . 
     
    线,. 
    线.. 
    ,, 
    ( 
    ). 
    . 

    2.2.1 

    2.2.1C[a,b].[a,b], 
    ,线.: 
    x=max atb |x(t)| 
    C[a,b]. 
    (1.1.51.3.191.4.11) 
    C(Ω),ΩR n ,. 
    :C(Ω)Ω, 
    x=max tΩ |x(t)| 
    C(Ω),. 

    2.2.2X[a,b],X 
    x 1 = b a |x(t)|dt(2.2.1) 
    线, 
     1 ,(X, 1 ). 
     
    d(x,y)=xy 1 = b a |x(t)y(t)|dt(2.2.2) 
    ((1.4.14)). 
    (X, 1 ). 
    [a,b]线,: 
    x 2 =[ b a |x(t)| 2 dt] 12  (2.2.3) 
    . 
    :,,. 

    2.2.2 

    ,, 
    (). 
    . 
    ,. 

    2.2.3. 

    . 
    :X,,X ˜ . 
    (:X ˜ ) 
    x ˜ ,y ˜ X ˜ ,x ˜ ={x n },y ˜ ={y n }XCauchy, 
    X ˜ 线 
    x ˜ +y ˜ ={x n +y n },αx ˜ ={αx n }(2.2.4) 
    x ˜ =lim n x n (2.2.5) 
    X ˜ Banach, 
    XX ˜ .X. 
    , 
    ,使Cauchy. 
    :X[a,b],X 
    x 1 = b a |x(t)|dt 
    (X, 1 )Banach,. 
    : 
    (X ˜ , 1 )={[a,b]} 
    ={x(t)| b a |x(t)|dt<} 
    C[a,b], 
    使Cauchy. 
    :线,(2.2.3),? 

    2.2.3L p  

    : 
    (1)L p .Ho ¨ lderMinkowski. 
    (2)L p . 
    (3)p=. 
    (4)L p l p ,Ho ¨ lderMinkowski. 

    L p [a,b](1p<): 
    2.2.4f(x)[a,b],1p<, 
    |f| p [a,b],fp.[a,b]p 
    ,L p [a,b],L p . 
    L p [a,b]={x(t)| b a |x(t)| p dt<}(2.2.6) 
    L p [a,b],: 
    x=( b a |x(t)| p dt) 1p  (2.2.7) 
    L p [a,b],4: 
    (i)x0; 
    (ii)x=0x(t)=0(a.e); 
    (iii)αx=|α|x, 
    ( b a |αx(t)| p dt) 1p  =|α|( b a |x(t)|