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  • 皮尔逊pearson相关系数和斯皮尔曼spearman等级相关系数。它们可用来衡量两个变量之间的相关性的大小,根据数据满足的不同条件,我们要选择不同的相关系数进行计算和分析(建模论文中最容易用错的方法)。 基本概念 ...

    皮尔逊pearson相关系数和斯皮尔曼spearman等级相关系数。它们可用来衡量两个变量之间的相关性的大小,根据数据满足的不同条件,我们要选择不同的相关系数进行计算和分析(建模论文中最容易用错的方法)。

    一、基本概念

    总体——所要考察对象的全部个体叫做总体.
    我们总是希望得到总体数据的一些特征(例如均值方差等)
    样本——从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本

    计算这些抽取的样本的统计量来估计总体的统计量:
    例如使用样本均值、样本标准差来估计总体的均值(平均水平)和总体的标准差(偏离程度)

    假设检验:参阅《概率论与数理统计》第八章

    二、皮尔逊Pearson相关系数

    就是概率论学的相关系数。一般我们认为不加前缀说明的相关系数都是皮尔逊相关系数

    首先我们要理解协方差
    在这里插入图片描述关于协方差:如果X、Y(相对于均值)变化方向相同则乘积为正,反之为负

    注:协方差的大小和两个变量的量纲有关,因此不适合做比较。
    所以我们引入皮尔逊相关系数剔除了量纲的影响,即将X和Y标准化后的协方差

    (1)总体皮尔逊相关系数
    在这里插入图片描述(2)样本皮尔逊相关系数
    在这里插入图片描述

    一些误区

    以上的相关系数只是用来来衡量两个变量线性相关程度的指标;即我们必须先确认这两个变量是线性相关的,然后这个相关系数才能告诉你他俩相关程度如何(先画散点图)
    eg.形式上必须大致满足 Y = a*X+b
    例如下面几个错误示例
    在这里插入图片描述
    总结:

    1. 如果两个变量本身就是线性的关系,那么皮尔逊相关系数绝对值大的就是相关性强,小的就是相关性弱;
    2. 在不确定两个变量是什么关系的情况下,即使算出皮尔逊相关系数,发现很大,也不能说明那两个变量线性相关,甚至不能说他们相关,我们一定要画出散点图来看才行。

    相关系数的显著性

    在这里插入图片描述
    一般相关系数大小与相关性的参照如上。**但是!!!**上表所定的标准从某种意义上说是武断的和不严格的。对相关系数的解释是依赖于具体的应用背景和目的的。

    所以,比起相关系数的大小,我们往往更关注的是显著性。(假设检验)

    1. 用绘制散点图观察是否为线性(SPSS更为方便)
    2. 对数据进行描述性统计(每个指标的最小值、最大值、均值、中位数值、偏度、峰度、标准差等)
    3. 计算相关系数矩阵(corrcoef)。可以对其进行数据可视化处理(Excel)
    4. 对皮尔逊相关系数进行假设检验:
      (1)查表法
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    注:
    在数理统计中,第二步的原假设和备择假设中的𝑟应该改为𝜌, 其中𝜌为未知的总体相关系数,实际上我们关心的是总体的统计特征。(意思喃大概就是这么个意思,深究我就看不懂了)
    t分布表:https://wenku.baidu.com/view /d94dbd116bd97f192279e94a.html

    (2)p值判断法
    这种方法要简单一点
    在这里插入图片描述
    补充:0.5、0.5* 、0.5**、0.5***的含义(显著性标记)

    一般我们默认的置信水平是95%(即显著性水平是5%

    计算各列之间的相关系数以及p值matlab代码

    [R,P] = corrcoef(Test)  
    %R返回的是相关系数表,P返回的是对应于每个相关系数的p值
    

    皮尔逊相关系数假设检验的条件

    第一、 实验数据通常假设是成对的来自于正态分布的总体。因为我们在求皮尔逊相关性系数以后,通常还会用t检验之类的方法来进行皮尔逊相关性系数检验,而t检验是基于数据呈正态分布的假设的。
    第二、实验数据之间的差距不能太大。皮尔逊相关性系数受异常值的影响比较大。
    第三、每组样本之间是独立抽样的。构造 t 统计量时需要用到

    检验样本是否符合正态分布
    (1)JB检验(雅克‐贝拉检验) :大样本 n>30
    在这里插入图片描述
    峰度和偏度:
    在这里插入图片描述峰度就是样本的三阶矩,偏度是四阶矩。偏度左正右负,峰度越大越尖

    x = normrnd(2,3,100,1); 
    % 生成100*1的随机向量,每个元素是均值为2,标准差为3的正态分布
    skewness(x) %偏度
    kurtosis(x) %峰度
    

    matlab在的JB检验函数

    [h,p] = jbtest(x,alpha)
    %当输出h等于1时,表示拒绝原假设;h等于0则代表不能拒绝原假设。
    %alpha就是显著性水平,一般取0.05,此时置信水平为1‐0.05=0.95
    %x就是我们要检验的随机变量,注意这里的x只能是向量。
    

    (2)Shapiro-wilk检验(夏皮洛‐威尔克检验):小样本: 3 < n < 50
    在这里插入图片描述这个通过SPSS较为方便
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述得到的这个表只用看最后一列就好啦
    这样检验的话还可以得到一些QQ图

    (3)Q-Q图
    在统计学中,Q‐Q图(Q代表分位数Quantile)是一种通过比较两个概率分布的分位数对这两个概率分布进行比较的概率图方法。
    首先选定分位数的对应概率区间集合,在此概率区间上,点(x,y)对应于第一个分布的一个分位数x和第二个分布在和x相同概率区间上相同的分位数。
    这里,我们选择正态分布和要检验的随机变量,并对其做出QQ图,可想而知,如果要检验的随机变量是正态分布,那么QQ图就是一条直线。要利用Q‐Q图鉴别样本数据是否近似于正态分布,只需看Q‐Q图上的点是否近似地在一条直线附近。(要求数据量非常大!!!)

    qqplot(Test(:,1))
    

    三、斯皮尔曼相关系数

    在这里插入图片描述
    注:另一种定义:等级之间的皮尔逊相关系数
    这个是可以证明的,但是实际应用中结果可能与第一种定义有所不同(因为这个规定:如果有的数值相同,则将它们所在的位置取算术平均)。如果数据没有相同的则理论上与第一种定义结果相等。

    metlab斯皮尔曼相关系数的句法:

    (1)corr(X , Y , 'type' , 'Spearman')
    %这里的X和Y必须是列向量
    (2)corr(X , 'type' , 'Spearman')
    %这时计算X矩阵各列之间的斯皮尔曼相关系数
    %matlab用的是第二种定义
    

    斯皮尔曼相关系数的假设检验

    (1)小样本(𝒏 < 𝟑𝟎) :直接查临界值表
    临界值表

    (2)大样本情况(n > 30): P 值法
    在这里插入图片描述

    % 直接给出相关系数和p值
    [R,P]=corr(Test, 'type' , 'Spearman')
    

    四、两种相关系数的比较

    皮尔逊相关系数:
    在这里插入图片描述斯皮尔曼相关系数:
    在这里插入图片描述

    斯皮尔曼相关系数和皮尔逊相关系数选择:
    1.连续数据,正态分布,线性关系,用pearson相关系数是最恰当,当然用spearman相关系数也可以, 就是效率没有pearson相关系数高。
    2.上述任一条件不满足,就用spearman相关系数,不能用pearson相关系数。
    3.两个定序数据之间也用spearman相关系数,不能用pearson相关系数。

    注:(1)定序数据是指仅仅反映观测对象等级、顺序关系的数据,是由定序尺度计量形成的,表现为类别,可以进行排序,属于品质数据。
    eg. 优良差用123表示,加减乘除没有意义。定序数据最重要的意义代表了一组数据中的某种逻辑顺序
    (2)斯皮尔曼相关系数的适用条件比皮尔逊相关系数要广,只要数据满足单调关系(例如线性函数、指数函数、对数函数等)就能够使用

    另:对数据的可视化(相关系数矩阵)

    在这里插入图片描述

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  • AR模型中的自相关系数和偏自相关系数

    万次阅读 多人点赞 2018-07-20 18:08:44
    转:https://blog.csdn.net/WMN7Q/article/details/70174300自相关系数 ...这组数据是求滞后数为2的自相关系数,则变成求{x1,x2,...,x8}和{x3,x4,...,x10}两者的“相关系数”,相关系数打引号是因为这个相关系数的公...

    转:https://blog.csdn.net/WMN7Q/article/details/70174300
    自相关系数
    其实自相关系数可以这么理解:把一列数据按照滞后数拆成两列数据,在对这两列数据做类似相关系数的操作。
    看一个例子:

    这组数据是求滞后数为2的自相关系数,则变成求{x1,x2,...,x8}和{x3,x4,...,x10}两者的“相关系数”,相关系数打引号是因为这个相关系数的公式和以往的有点不一样。下面看一下公式的对比:

    要注意的是在计算自相管系数的时候 是使用的总体的均值, 可以看到他们除了 取得不一样, 几乎就是一样的。
    所以,我们可以这么理解自相关系数, 她就是用来表达一组数据前后数据 (自己和自己) 的相关性的

    在mathematica中,求自相关系数的函数为 CorrelationFunction[]

     

    偏自相关系数

    偏自相关系数在网上能查到的很少,我就详细的讲一下。

    首先是定义:

    但是上面这个式子不能进行计算,我们经过化简,可以得到下面的等价的式子:下面矩阵中的pi就是滞后为i的自相关系数

    至于化简的过程,可以查阅一下相关的资料,用到了k阶自回归拟合,还是有点复杂的。

    我们可以将上面的过程用mma实现,当然mma中是有现成的函数的,我们就全当验证一下公式是否正确。

    我们来计算一下{2,3,4,3,7}的滞后系数为3的偏自相关系数

     

    1.首先计算他的1,2,3阶滞后的自相关系数

     

    xs = CorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, #] & /@ {1, 2, 3}

     

     

    2.接着生成如上的k*k的矩阵D和对于的Dk

     

    
     
    1. <span style="font-size:18px;">x = Array[

    2. CorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, Abs[#1 - #2]] &, {3, 3}];

    3. x // MatrixForm</span>

     

     

    
     
    1. <span style="font-size:18px;">xk = x;

    2. xk[[All, 3]] = xs;

    3. xk // MatrixForm</span>

    3.计算Dk/D

    
     
    1. <span style="font-size:18px;">PartialCorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, 3]

    2. Det[xk]/Det[x]</span>

     


     

     

    上面的过程其实可以帮助我们更好的理解偏自相关系数的计算,我们把上面的过程总结成一个函数

     

    
     
    1. <span style="font-size:18px;">pcorr[h_, list_] := Block[{xs, x, xk, lh},

    2. lh = Length[list];

    3. xs = CorrelationFunction[list, #] & /@ Range[lh - 1];

    4. x = Array[CorrelationFunction[list, Abs[#1 - #2]] &, {h, h}];

    5. xk = x;

    6. xk[[All, h]] = xs[[;; h]];

    7. Print["D矩阵: ", MatrixForm[x]];

    8. Print["Dk矩阵: ", MatrixForm[xk]];

    9. Print["使用自编函数: " <> ToString[N@Det[xk]/Det[x]]];

    10. Print["使用系统函数: " <> ToString[N@PartialCorrelationFunction[list, h]]];

    11. ]</span>

    这样在计算偏自相关系数的时候可以返回两个矩阵D和Dk,我们看一下效果

     

    可以看到两者计算的结果是一样的,并且输出了两个矩阵。

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  • 相关性模型-相关系数

    千次阅读 2019-10-05 16:11:55
    相关系数可用来衡量两个变量之间的相关性大小,根据数据满足的不同条件,选择不同的相关系数进行计算分析。 两种常用的相关系数:皮尔逊person和斯皮尔曼spearman。 总体和样本: 皮尔逊相关系数:(要求数据...

    相关系数可用来衡量两个变量之间的相关性大小,根据数据满足的不同条件,选择不同的相关系数进行计算分析。

    两种常用的相关系数:皮尔逊person和斯皮尔曼spearman。

    总体和样本:

      

    皮尔逊相关系数:(要求数据要都是符合正态分布的数据,而且数据需线性相关)

    必须先确认两个变量时线性相关的(画样本散点图先观察是否线性),然后此系数才能告诉他们相关程度如何。如果计算的相关系数为0,只能说明非线性相关。

     

     

    不能说协方差大的两个变量比协方差小的两个变量更相关,因为没有消除变量的量纲的影响。皮尔逊相关系数就是协方差消除量纲后的结果。

     

     

    样本皮尔逊相关系数同总体皮尔逊相关系数:

     

     

    由于皮尔逊相关系数只是衡量已知线性相关的两个变量的相关程度,其他情况不适用:

     

     

     

     对相关性大小的解释:

    根据具体事情具体分析,没有标准大小的阈值规定。比起相关系数大小,我们更关注其显著性。(假设检验)

     

    对皮尔逊相关系数进行假设检验:

    如:求出相关系数r=0.3,问是否和0(非线性相关)有显著差异?

    经假设检验求出03与0有显著差异的,就可说明变量的相关性是显著的;若求出0.3和0没有显著差异,可说明变量并不相关,相关系数不显著。

     步骤:

     

     

     

    对皮尔逊相关系数构造统计变量,知道统计量的分布,就可以画出统计变量的概率密度函数。将计算出的皮尔曼相关系数带入统计变量,得到一个检验值,根据置信水平画出统计变量接受域和拒绝域,看检验值是否落在接受域。

     

     

     

     

     

     

     

     除了根据表格找接受域拒绝域的临界值之外,更好用的方法:

     

     

     

     对皮尔逊相关系数假设检验的条件:

     

     

     

    检验数据是否是正态分布:

    ①JB检验:

     

     

     

     

     

    ②夏皮洛-威尔克检验 

     

     

     ③QQ图(要求数据量要非常大)

     

     

     

    斯皮尔曼相关系数:

     

     小样本情况:

     

     大样本情况:

     

     

     

    总结:

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/wisir/p/11543213.html

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  • 模型5.1——相关系数

    2020-08-16 10:31:42
    目录1.解决问题2.定义2.1 总体皮尔逊相关系数 1.解决问题 就是判断两个变量之间的相关性 2.定义 2.1 总体皮尔逊相关系数 也就是消除量纲影响,即将X和Y标准化后的协方差。

    1.解决问题

    在这里插入图片描述
    就是判断两个变量之间的相关性

    2.如何选择两种相关系数

    在这里插入图片描述

    2.定义

    2.1 总体皮尔逊相关系数(线性相关)

    也就是消除量纲影响,即将X和Y标准化后的协方差。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.步骤

    3.1 先对数据进行描述性统计

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    3.2 先画散点图判断是不是线性关系

    线性的关系才能判定皮尔逊相关系数

    matlab里面的plot函数
    最好用 spss 里面的工具;
    在这里插入图片描述

    3.3 计算皮尔逊相关系数(先进行正态检验)

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    美化相关系数表

    在这里插入图片描述

    3.4 解释相关系数

    在这里插入图片描述

    3.5 相关性的可视化操作

    在这里插入图片描述

    4.例子

    在这里插入图片描述

    题解

    1.对数据描述性统计(matlab / excel / spss)

    matlab操作

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    spss分析

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    结果:
    在这里插入图片描述

    2. 数据的散点图(判断线性)

    在这里插入图片描述
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    3.计算皮尔逊相关系数

    在这里插入图片描述

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