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  • 一元线性回归模型

    2020-03-26 17:23:29
    一元线性回归模型 参考文献 ols估计量的期望值和方差.ppt 逻辑 目的:求解一元线性回归模型的 β0\beta_0β0​, β1\beta_1β1​. 方法:(1)矩方法(2)公式方法 目的 一元线性回归模型:有 111 个解释变量 xxx ...

    一元线性回归模型

    参考文献

    ols估计量的期望值和方差.ppt

    逻辑

    1. 目的:求解一元线性回归模型的 β0\beta_0, β1\beta_1.
    2. 方法:(1)矩方法(2)公式方法

    目的

    一元线性回归模型:有 11 个解释变量 xx 的线性回归模型。
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述

    方法

    法1(矩方法):

    在这里插入图片描述
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    法2(公式方法):

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  • 基于修正的一元线性回归模型的企业利润预测研究,张琛,那宝贵,本文针对一元线性回归模型进行研究,用马尔可夫链状模型对一元线性回归模型进行修正和改进,使得修正后的一元线性回归模型更加的
  • python-一元线性回归模型.ipynb
  • 一元线性回归模型与最小二乘法及其C++实现,
  • 一元线性回归模型和最小二乘法

    千次阅读 2019-10-08 19:27:05
    一元线性回归模型 参数估计(最小二乘法) 最小二乘法c++实现 导言 监督学习中,预测的变量是离散的,则称分类 otherwise 连续的变量称回归。 回归中只包含一个自变量和因变量,二者为线性关系,则为一元线性...

    目录

    导言

     

    一元线性回归模型

    参数估计(最小二乘法)

    最小二乘法c++实现


    导言

    监督学习中,预测的变量是离散的,则称分类   otherwise  连续的变量称回归。

    回归中只包含一个自变量和因变量,二者为线性关系,则为一元线性模型。

    如果自变量大于等于两个,则为多元(线性模型)。

     

    一元线性回归模型

     总体回归函数中Y与X的关系可是线性的,也可是非线性的。对线性回归模型的“线性”有两种解释:
          (1)就变量而言是线性的,Y的条件均值是 X的线性函数
         (2)就参数而言是线性的,Y的条件均值是参数的线性函数
    线性回归模型主要指就参数而言是“线性”,因为只要对参数而言是线性的,都可以用类似的方法估计其参数。
     

     

    参数估计(最小二乘法)

    平面上n个点,找到一个一元线性函数来拟合它们,使得总的拟合误差(总残差最小),三个标准可以选择:

         (1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
            (2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
            (3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。
     

    最小二乘法(Least Square)使残差平方和达到最小。

    样本regression  模型

        \LARGE Y_i=\hat{\beta_1}+\hat{\beta_2} X_i+e_i       

          即      \LARGE e_i=Y_i-\hat{\beta_1}-\hat{\beta_2} X_i

     

    残差平方和函数Q

     \LARGE \boldsymbol{Q}=\sum_{i=1}^{n} e_i^2=\sum_{i=1}^{n} \left (Y_i-\hat{Y}_i \right )^2=\sum_{i=1}^{n} \left (Y_i-\hat{\beta_1}-\hat{\beta_2X_i}\right )^2

    为使Q  最小, 需要对Q求导,Q对两个待估参数的偏导数为

     

    \LARGE \frac{\partial Q}{\partial \beta_1}=2\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\hat{\beta_1}-\hat{\beta_2 }X_i)(-1)=0

    \LARGE \frac{\partial Q}{\partial \beta_2}=2\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\hat{\beta_1}-\hat{\beta_2 }X_i)(-X_i)=0

    解得

    \LARGE \hat{\beta }_1 = \frac{\sum X_i^2 \sum Y_i-\sum X_i\sum X_iY_i }{n\sum X_i^2- (\sum X_i)^2}

    \LARGE \hat{\beta }_2 = \frac{n\sum X_iY_i-\sum X_i\sum Y_i }{n\sum X_i^2- (\sum X_i)^2}

     

     

    最小二乘法c++实现

    #include<iostream>
    #include<fstream>
    #include<vector>
    
    using namespace std;
    
    class LeastSquare{
    
    double a,b;
    public:
            LeastSquare(const vector<double> &x,const vector<double>& y){
                double t1=0,t2=0,t3=0,t4=0;
                for(int i=0;i<x.size();++i)
                {
        
    			    t1 += x[i]*x[i];
    
    			    t2 += x[i];
    
    			    t3 += x[i]*y[i];
    
    			    t4 += y[i];
                }
    
     	    	a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);
    		    b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);
            }
        
            double getY(const double x) const
            {
                return a*x+b;
            }
    
    
            void print() const
            {
    
    	    	cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";
    
    	    }
    
    };
    
    
    
    int main(int argc,char *argv[])
    {
        vector<double> x;
        ifstream in(argv[1]);
        for(double d; in>>d)
                x.push_back(d);
        int len=x.size();
    
        vector<double> y(x.begin()+len/2,x.end());
        x.resize(len/2);
        LeastSquare ls(x,y);
        ls.print();
        
        cout<<"Input x=:\n";
        double x0;
        while(cin>>x0)
            {
                cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;
                cout<<"Input x:\n";
            }
        return 0;
    }
    
    
    
    
    

     

     

     

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  • 一元线性回归模型显著性检验方法的改进一元线性回归模型显著性检验方法的改进一元线性回归模型显著性检验方法的改进一元线性回归模型显著性检验方法的改进
  • 1.一元线性回归模型 #一元线性回归模型 import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns #导入数据集 E:\app\Anaconda\数据挖掘\数据挖掘源代码\第7章 线性回归模型 #导入数据集 E...

    回归线性模型的操作

    1.一元线性回归模型

    #一元线性回归模型
    
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt   
    import seaborn as sns
    
    #导入数据集    E:\app\Anaconda\数据挖掘\数据挖掘源代码\第7章 线性回归模型
    #导入数据集    E:\jupyter.notebook
    income  =  pd.read_csv (r'E:\jupyter.notebook\Salary_Data.csv')
    # 绘制散点图
    sns.lmplot(x = 'YearsExperience', y = 'Salary', data = income, ci = None)
    # 显示图形
    plt.show()
    

    2.拟和线的求解

    #拟合线的求解
    
    # 简单线性回归模型的参数求解
    
    # 样本量
    n = income.shape[0]
    # 计算自变量、因变量、自变量平方、自变量与因变量乘积的和
    sum_x = income.YearsExperience.sum()
    sum_y = income.Salary.sum()
    sum_x2 = income.YearsExperience.pow(2).sum()
    xy = income.YearsExperience * income.Salary
    sum_xy = xy.sum()
    # 根据公式计算回归模型的参数
    b = (sum_xy-sum_x*sum_y/n)/(sum_x2-sum_x**2/n)
    a = income.Salary.mean()-b*income.YearsExperience.mean()
    # 打印出计算结果
    print('回归参数a的值:',a)
    print('回归参数b的值:',b)
    

    结果显示为:

    回归参数a的值: 25792.200198668666
    回归参数b的值: 9449.962321455081

    3.导入第三方库

    # 导入第三方模块
    import statsmodels.api as sm
    
    # 利用收入数据集,构建回归模型
    fit = sm.formula.ols('Salary ~ YearsExperience', data = income).fit()
    # 返回模型的参数值
    fit.params

    结果显示为:
    Intercept          25792.200199
    YearsExperience     9449.962321
    dtype: float64

     

    关于这个的学习是一点点来的,在CSDN中来记录自己的成长进步

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  • 机器学习(一元线性回归模型

    千次阅读 2020-01-22 20:50:54
    模型:一元线性回归模型 回归分析:建立方程模拟两个或者多个变量之间是如何相互关联,被预测的变量称为因变量(结果),用来进行预测的变量称为 自变量(输入参数),当输入参数只有一个(输出1个)时,称为一元...

    模型:一元线性回归模型

    回归分析:建立方程模拟两个或者多个变量之间是如何相互关联,被预测的变量称为因变量(结果),用来进行预测的变量称为

    自变量(输入参数),当输入参数只有一个(输出1个)时,称为一元回归,反之当输入有多个(输出1个),称为多元回归;

    一元线性回归模型如下所示:(我们只需确定此方程的两个参数即可)

    第一个参数为截距,第二个参数为斜率(我们只需根据大量的数据集通过训练求解即可^_^)

    为了求解上述参数(或许求解的参数更多)我们在这里引入代价函数(cost function),在这里以一元线性回归模型为例

    上述式子不难理解,为真实值与预测值之间的差值的平方(当然也可以取绝对值,但为便于后续数值操作取其平方),最后

    取所有训练集个数的平均值。而我们就是在取某个(些)参数时,使得上述函数取得最小值(误差最小!)结合下图直观理解。

     上述由一些参数构成的函数称为代价函数,我们的目标就是求解对应的参数使得代价函数达到最小值,最后确定模型;

    梯度下降法(确定所要求解的参数,在神经网络模型中也会有所应用): 其具体步骤如下图所示

    使用此方法最重要的就是确定代价函数,且此函数可以收敛到最小值(凸函数),对于初始化操作,一般情况下赋值为0即可

    所谓的梯度优化,就是不断的更改参数值,使之最后到达一个全局(局部)最小值,参数更新过程如下;

    一般情况下的参数求解,对每个参数求偏导数;

    这一个参数更新要求是同步更新,即最后在对参数进行更新,这里的α为学习率,通常取值为0.01,0.001,0.03,0.003等

    学习率不易过高也不能过低,当过高是会导致永远到达不了收敛点(发散),当过低时会导致收敛过慢,影响收敛速度;

    在这里的一元线性回归模型我们确定的参数只有两个,其参数求解方式如下图所示:

    实战 (fight)

    在这里我们以一个生产成本对月产量的影响为例,确定两者之间的线性关系(当然未必一定是线性)

     下图红色部分是通过梯度下降求解出的拟合直线,蓝色为通过python自带的库sklearn拟合出的直线(两者大体相同)

    import numpy as np  #导入numpy
    import matplotlib.pyplot as plt #导入图像绘制库
    from sklearn.linear_model import LinearRegression  #线性回归库

     上述为我们常用的三个库文件的导入方式,numpy(矩阵运算),pyplot(图像绘制),sklearn

    #训练集,以及相关参数
    dataX=[]# X数据集
    dataY=[]# Y数据集
    with open('DataSet') as f:
        for line in f:
            line=line.strip('\n').split(' ')
            dataX.append(float(line[0]))
            dataY.append(float(line[1]))
    
    k=0 # 斜率
    b=0 # 截距  初始化参数
    learnrate= 0.03 # 学习率
    step = 50 # 学习次数
    #梯度下降法求解参数
    for i in range(step):
        temp1=0
        temp0=0
        for j in range(len(dataX)):
            temp0=temp0+(k*dataX[j]+b-dataY[j])/len(dataX)
            temp1=temp1+(k*dataX[j]+b-dataY[j])*dataX[j]/len(dataX)
        k=k-learnrate*temp1
        b=b-learnrate*temp0 #求解参数
    #通过sklearn库训练数据
    model=LinearRegression()
    model.fit(np.array(dataX).reshape(-1,1),np.array(dataY).reshape(-1,1))
    plt.plot(dataX,model.predict(np.array(dataX).reshape(-1,1)),'b')
    #绘制散点以及拟合直线图像
    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('Y')# 设置横纵坐标
    plt.scatter(dataX,dataY)# 绘制散列表
    plt.plot(dataX,k*np.array(dataX)+b,'r')# 绘制拟合直线
    plt.show()
    

    这里的scatter传入的参数为X和Y坐标列表,要求X和Y列表内元素个数相同,plot用于绘制曲线第一个参数为X坐标,第二

    个参数为函数方程(Y坐标),第三个参数为曲线的颜色。

    拟合出的一元线性回归方程为:y=1.274974x+0.879003;

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一元线性回归模型