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  • 多元线性回归分析

    2020-01-20 23:07:17
    多元线性回归分析及自定义代码实现算法 一.算法推导: 1.首先定义多元线性回归的函数: f(x1,x2...xn)=α0+α1x1+α2x2+...+αnxn=α0+∑i=1nαixi f\left( x_1,x_2...x_n \right) =\alpha _0+\alpha _1x_1+\alpha _2x...

    多元线性回归分析及自定义代码实现算法

    一.算法推导:

    1.首先定义多元线性回归的函数:
    f(x1,x2...xn)=α0+α1x1+α2x2+...+αnxn=α0+i=1nαixi f\left( x_1,x_2...x_n \right) =\alpha _0+\alpha _1x_1+\alpha _2x_2+...+\alpha _nx_n=\alpha _0+\sum_{i=1}^n{\alpha _ix_i}
    此时残差的表达式可以写成:
    εi=(yiα0j=1nαjxij) \varepsilon _i=\left( y_i-\alpha _0-\sum_{j=1}^n{\alpha _jx_{ij}} \right) ①
    其中xij表示第i行所有元素,aj表示a的第j行元素,具体形式如下
    mxn的数据矩阵:
    [x11x12...x1nx21x22...x2n............xm1xm2...xmn] \left[ \begin{matrix} x_{11}& x_{12}& ...& x_{1n}\\ x_{21}& x_{22}& ...& x_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ x_{m1}& x_{m2}& ...& x_{mn}\\ \end{matrix} \right]
    系数矩阵:
    [α1α2...αn] \left[ \begin{array}{c} \alpha _1\\ \alpha _2\\ ...\\ \alpha _n\\ \end{array} \right]
    将①式矢量化为:
    ε=y[1x11...x1n1x21...x2n............1xm1...xmn][α0α1...αn] \vec{\varepsilon}=\vec{y}-\left[ \begin{matrix} 1& x_{11}& ...& x_{1n}\\ 1& x_{21}& ...& x_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& x_{m1}& ...& x_{mn}\\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \alpha _0\\ \alpha _1\\ ...\\ \alpha _n\\ \end{array} \right]
    左侧矩阵叫设计矩阵用A表示,右侧为系数矩阵用a向量表示

    ε=yAα \vec{\varepsilon}=\vec{y}-A\vec{\alpha}
    同样用最小二法确定多元回归模型的系数:
    εε=ε2=<Aαy,Aαy>=<Aα,Aα>2<y,Aα>+<y,y> \vec{\varepsilon}\cdot \vec{\varepsilon}=\lVert \vec{\varepsilon} \rVert ^2=\left< A\vec{\alpha}-\vec{y},A\vec{\alpha}-\vec{y} \right> =\left< A\vec{\alpha},A\vec{\alpha} \right> -2\left< \vec{y},A\vec{\alpha} \right> +\left< \vec{y},\vec{y} \right>
    对上式求导:
    <εε>α=2ATy+(ATA)α+(ATA)Tα=2ATy+2ATAα \frac{\partial \left< \vec{\varepsilon}\cdot \vec{\varepsilon} \right>}{\partial \vec{\alpha}}=-2A^T\vec{y}+\left( A^TA \right) \vec{\alpha}+\left( A^TA \right) ^T\vec{\alpha}=-2A^T\vec{y}+2A^TA\vec{\alpha}
    函数存在极值,则导函数为0
    2ATy+2ATAα=0 -2A^T\vec{y}+2A^TA\vec{\alpha}=0
    ATy=ATAα A^T\vec{y}=A^TA\vec{\alpha}
    (ATA)1ATAα=(ATA)1ATy \left( A^TA \right) ^{-1}A^TA\vec{\alpha}=\left( A^TA \right) ^{-1}A^T\vec{y}

    重要公式:

    α=(ATA)1ATy\vec{\alpha}=\left( A^TA \right) ^{-1}A^T\vec{y}

    帮助公式:

    内积的对称性:<Aα,y>=<y,Aα> \left< A\vec{\alpha},\vec{y} \right> =\left< \vec{y},A\vec{\alpha} \right>
    内积式求导:
    <Aα,y>α=ATy \frac{\partial \left< A\vec{\alpha},\vec{y} \right>}{\partial \vec{\alpha}}=A^T\vec{y} ①
    <Aα>α=A \frac{\partial \left< A\vec{\alpha} \right>}{\partial \vec{\alpha}}=A
    <Aα,α>α=ATα+Aα \frac{\partial \left< A\vec{\alpha},\vec{\alpha} \right>}{\partial \vec{\alpha}}=A^T\vec{\alpha}+A\vec{\alpha}
    <Aα,Aα>=<α,ATAα> \left< A\vec{\alpha},A\vec{\alpha} \right> =\left< \vec{\alpha},A^TA\vec{\alpha} \right>

    2.自定义函数实现算法:

    #1.导包
    import numpy as np
    import pandas as pd
    from sklearn.metrics import mean_squared_error,r2_score
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    from sklearn import linear_model
    from scipy import linalg
    from sklearn.datasets import make_regression
    
    #2.自定义函数实现回归系数的求解
    def OLS_function(X,y):#X数据集,y是目标集
        data_matrix = np.column_stack((np.ones(len(X)),X))#为数据集加上1列形成设计矩阵
        if np.abs(linalg.det(data_matrix.T@data_matrix))<10**(-14): #ATA求逆的前提条件是,ATA的行列式不为0
            return 'No solution'
           tita=linalg.inv(data_matrix.T@data_matrix)@(data_matrix.T@y)#a=(ATA)-1Ay
        return tita
    
    #3.生成回归数据集并拆分训练和测试集
     data_2 = make_regression(6000,2,2,1,0.12,noise=0.6,random_state=121)
    
    #4.调用函数求解回归
    OLS_function(X_train,y_train)
    

    #array([ 0.12809328, 85.82056618, 35.33386918])
    第一给参数为截距,后两个为斜率

    #5.利用回归系数预测测试集
    coef=OLS_function(X_train,y_train)#回归系数
    data_matrix1 = np.column_stack((np.ones(len(X_test)),X_test))#将测试集做成设计矩阵
    y_pre1=data_matrix1@coef
    y_pre1
    
    #5.利用sklearn中的线性模型生成回归系数做对比
    lin=linear_model.LinearRegression()
    lin.fit(X_train,y_train)
    lin.coef_,lin.intercept_
    y_pre=lin.predict(X_test)#返回测试集的预测值
    

    #(array([85.82056618, 35.33386918]), 0.1280932773964853)

    
    #6.模型评判
    r2_score(y_test,y_pre1)#自定义算法的预测值
    r2_score(y_test,y_pre)#sklearn算法的预测值
    

    #0.9999570694281368
    #0.9999553900491037
    通过对比回归系数,和模型评判分数,可知自定义算法实现的与sklearn库中的线性回归模型具有相同的效果.

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  • 用R进行多元线性回归分析建模

    万次阅读 多人点赞 2016-05-31 22:20:37
    概念:多元回归分析预测法,是指通过对两个或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析,建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时,称为多元线性回归分析

    概念:多元回归分析预测法,是指通过对两个或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析,建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时,称为多元线性回归分析。

     

    下面我就举几个例子来说明一下

     

    例一:谋杀率与哪些因素有关

    变量选择

    states<-as.data.frame(state.x77[,c('Murder','Population','Illiteracy','Income','Frost')])
    cor(states)#查看变量相关系数
                   Murder Population Illiteracy     Income      Frost
    Murder      1.0000000  0.3436428  0.7029752 -0.2300776 -0.5388834
    Population  0.3436428  1.0000000  0.1076224  0.2082276 -0.3321525
    Illiteracy  0.7029752  0.1076224  1.0000000 -0.4370752 -0.6719470
    Income     -0.2300776  0.2082276 -0.4370752  1.0000000  0.2262822
    Frost      -0.5388834 -0.3321525 -0.6719470  0.2262822  1.0000000

    我们可以明显的看出谋杀率与人口,文盲率相关性较大

    将它们的关系可视化

    library(car)
    scatterplotMatrix(states,spread=FALSE)

    还可以这么看

    fit<-lm(Murder~Population+Illiteracy+Income+Frost,data = states)
    summary(fit)
    
    Call:
    lm(formula = Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost, 
        data = states)
    
    Residuals:
        Min      1Q  Median      3Q     Max 
    -4.7960 -1.6495 -0.0811  1.4815  7.6210 
    
    Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    (Intercept) 1.235e+00  3.866e+00   0.319   0.7510    
    Population  2.237e-04  9.052e-05   2.471   0.0173 *  
    Illiteracy  4.143e+00  8.744e-01   4.738 2.19e-05 ***
    Income      6.442e-05  6.837e-04   0.094   0.9253    
    Frost       5.813e-04  1.005e-02   0.058   0.9541    
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    
    Residual standard error: 2.535 on 45 degrees of freedom
    Multiple R-squared:  0.567,	Adjusted R-squared:  0.5285 
    F-statistic: 14.73 on 4 and 45 DF,  p-value: 9.133e-08

    还可以这么看

    #install.packages('leaps')
    library(leaps)
    leaps<-regsubsets(Murder~Population+Illiteracy+Income+Frost,data = states,nbest = 4)
    plot(leaps,scale = 'adjr2')


     

    最大值0.55是只包含人口,文盲率这两个变量和截距的。

     

    还可以这样,比较标准回归系数的大小

     

    zstates<-as.data.frame(scale(states))#scale()标准化
    zfit<-lm(Murder~Population+Illiteracy+Income+Frost,data = zstates)
    coef(zfit)
     (Intercept)    Population    Illiteracy        Income         Frost 
    -2.054026e-16  2.705095e-01  6.840496e-01  1.072372e-02  8.185407e-03 

     

     

     

    通过这几种方法,我们都可以明显的看出谋杀率与人口,文盲率相关性较大,与其它因素相关性较小。

    回归诊断

    > confint(fit)
                        2.5 %       97.5 %
    (Intercept) -6.552191e+00 9.0213182149
    Population   4.136397e-05 0.0004059867
    Illiteracy   2.381799e+00 5.9038743192
    Income      -1.312611e-03 0.0014414600
    Frost       -1.966781e-02 0.0208304170

    标记异常值

    qqPlot(fit,labels = row.names(states),id.method = 'identify',simulate = T)

    图如下,点一下异常值然后点finish就可以了

    查看它的实际值11.5与拟合值3.878958,这条数据显然是异常的,可以抛弃

    > states['Nevada',]
           Murder Population Illiteracy Income Frost
    Nevada   11.5        590        0.5   5149   188
    > fitted(fit)['Nevada']
      Nevada 
    3.878958 
    > outlierTest(fit)#或直接这么检测离群点
           rstudent unadjusted p-value Bonferonni p
    Nevada 3.542929         0.00095088     0.047544
    

    car包有多个函数,可以判断误差的独立性,线性,同方差性

    library(car)
    durbinWatsonTest(fit)
    crPlots(fit)
    ncvTest(fit)
    spreadLevelPlot(fit)

     

    综合检验

     

    #install.packages('gvlma')
    library(gvlma)
    gvmodel<-gvlma(fit);summary(gvmodel)

    检验多重共线性

    根号下vif>2则表明有多重共线性

    > sqrt(vif(fit))
    Population Illiteracy     Income      Frost 
      1.115922   1.471682   1.160096   1.443103

    都小于2所以不存在多重共线性

     

     

     

     

    例二:女性身高与体重的关系

    attach(women)
    plot(height,weight)

    通过图我们可以发现,用曲线拟合要比直线效果更好

    那就试试呗

     

    fit<-lm(weight~height+I(height^2))#含平方项
    summary(fit)
    
    Call:
    lm(formula = weight ~ height + I(height^2))
    
    Residuals:
         Min       1Q   Median       3Q      Max 
    -0.50941 -0.29611 -0.00941  0.28615  0.59706 
    
    Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    (Intercept) 261.87818   25.19677  10.393 2.36e-07 ***
    height       -7.34832    0.77769  -9.449 6.58e-07 ***
    I(height^2)   0.08306    0.00598  13.891 9.32e-09 ***
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    
    Residual standard error: 0.3841 on 12 degrees of freedom
    Multiple R-squared:  0.9995,    Adjusted R-squared:  0.9994 
    F-statistic: 1.139e+04 on 2 and 12 DF,  p-value: < 2.2e-16 

    效果是很不错的,可以得出模型为

    把拟合曲线加上看看

    lines(height,fitted(fit))


    非常不错吧

    还可以用car包的scatterplot()函数

    library(car)
    scatterplot(weight~height,spread=FALSE,pch=19)#19实心圆,spread=FALSE删除了残差正负均方根在平滑曲线上
    展开的非对称信息,听着就不像人话,你可以改成TRUE看看到底是什么,我反正不明白。
    

     

     

     

    例三:含交互项

    <strong>attach(mtcars)
    fit<-lm(mpg~hp+wt+hp:wt)
    summary(fit)
    Call:
    lm(formula = mpg ~ hp + wt + hp:wt)
    
    Residuals:
        Min      1Q  Median      3Q     Max 
    -3.0632 -1.6491 -0.7362  1.4211  4.5513 
    
    Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    (Intercept) 49.80842    3.60516  13.816 5.01e-14 ***
    hp          -0.12010    0.02470  -4.863 4.04e-05 ***
    wt          -8.21662    1.26971  -6.471 5.20e-07 ***
    hp:wt        0.02785    0.00742   3.753 0.000811 ***
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    
    Residual standard error: 2.153 on 28 degrees of freedom
    Multiple R-squared:  0.8848,	Adjusted R-squared:  0.8724 
    F-statistic: 71.66 on 3 and 28 DF,  p-value: 2.981e-13</strong>

    其中的hp:wt就是交互项,表示我们假设hp马力与wt重量有相关关系,通过全部的三个星可以看出响应/因变量mpg(每加仑英里)与预测/自变量都相关,也就是说mpg(每加仑英里)与汽车马力/重量都相关,且mpg与马力的关系会根据车重的不同而不同。


     

     

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  • 回归分析的定义:回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析...如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。多元线性回归在医...

    回归分析的定义:回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛。其表达形式为y = w'x+e,e为误差服从均值为0的正态分布。回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。

    多元线性回归在医学上有着广泛的应用

    1:影响因素分析,大多数疾病都有多种致病原因,疾病的预后也是由多种因素决定的。

    2:估计与预测。

    3:统计控制,给定应变量y指定一个确定值或在一定范围内波动,通过控制自变量的值来实现。

    多元线性回归分析的数据结构

    实验对象

    Y(因变量)

    X1(自变量)

    X2

    ……

    Xm

    1

    Y1

    X11

    X12

    ……

    X1m

    2

    Y2

    X21

    X22

    ……

    X2m

    3

    ……

    ……

    ……

    ……

    ……

    4

    yn

    Xn1

    Xn2

    ……

    Xnm

    其中y取值服从正态分布

    多元线性回归分析方程:

    y=b0+b1x1+b2x2+……+bmxm+e

    其中b0为截距,b1b2……为偏回归系数,e表示去除m个自变量对y的影响后的随机误差,也称为残差。bi表示当其他p-1个变量的作用加以固定后,xi改变一个单位,y改变bi个单位。多元线性回归模型要满足以下条件:

    1yx之间有线性关系

    2:各观测值y之间相互独立

    3:残差e服从均数为0,方差为σ2的正态分布,即对任意一组自变量x值,应变量y具有相同的方差,并服从正态分布。

    例子:27名糖尿病患者的血清总胆固醇、甘油三酯、空腹胰岛素、糖化血红蛋白、空腹血糖测量值如下表,建立血糖与其他几个指标的多元线性回归方程。

    447ac0ed5baeb90df91d257af41d5b2d.png

    stata命令:regress y x1 x2 x3x4

    结果:

    0ad4129ec390d0f39c9d48a54269390c.png

    F值=8.28,p值=0.0003,说明该回归方程具有统计学意义。与空腹血糖有相关意义的指标为x3,x4(p<0.05).胰岛素和糖化血红蛋白。

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  • 当影响因变量的因素是多个时候,这种一个变量同时与多个变量的回归问题就是多元回归,分为:多元线性回归和多元非线性回归。这里直说多元线性回归。对比一元线性回归:1.1多元回归模型:1.2多元回归方程1.3估计的...

    当影响因变量的因素是多个时候,这种一个变量同时与多个变量的回归问题就是多元回归,分为:多元线性回归和多元非线性回归。这里直说多元线性回归。对比一元线性回归:

    1.1多元回归模型:

    1.2多元回归方程

    1.3估计的多元回归方程

    2.1**对参数的最小二乘法估计:** 和一元线性回归中提到的最小二乘法估计一样、这不过这里的求导变量多了点、原理是一样的、这里需要借助计算机求导、就不写了。

    3 回归方程的拟合优度:

    3.1

    多重判定系数:(Multiple coefficient of determination)

    注解:

    (1

    )对于多重判定系数有一点特别重要的需要说明:自变量个数的增加将影响到因变量中被估计的回归方程所解释的变量数量。当增加自变量时,会使预测误差变得较小,从而减小残差平方和SSE。自然就会是SSR变大。自然就会是R2变大。这就会引发一个问题。如果模型中增加一个自变量,即使这个自变量在统计上并不显著,R2的值也会变大。因此为了避免这个问题。提出了调整的多种判定系数(adjusted

    multiple coefficient of

    determination):

    R2a同时考虑了样本量(n)和模型中自变量的个数(k)的影响,这就使得R2a的值永远小于R2,而且R2a的值不会因为模型中自变量的个数增多而逐渐接近于1. (2

    )R2的平方根成为多重相关系数,也称为复相关系数,它度量了因变量同k个自变量的相关程度。 3.2 估计标准误差

    4. 显著性检验

    在此重点说明,在一元线性回归中,线性关系的检验(F检验)和回归系数的检验(t检验)是等价的。

    但是在多元回归中,线性关系的检验主要是检验因变量同多个自变量线性关系是否显著,在k个自变量中,只要有一个自变量与因变量的线性关系显著,F检验就能通过,但这不一定意味着每个自变量与因变量的关系都显著。回归系数检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验,它主要用于检验每个自变量对因变量的影响是否都显著。如果某个自变量没有通过检验,就意味着这个自变量对因变量的影响不显著,也许就没有必要将这个自变量放进回归模型中。 4.1 线性关系的检验

    步骤: (1):提出假设

    (2):计算检验的统计量F.

    (3):作出统计决策。 4.2 线性关系的检验

    步骤: (1):提出假设

    (2):计算检验的统计量F.

    (3):作出统计决策。

    5.1 多重共线性

    多重共线性:当回归模型中两个或两个以上的变量彼此相关时,则称回归模型中存在多重共线性。 多重共线性的判别:

    (1)模型中中各对自变量之间显著相关 (2)当模型的线性关系检验(F检验)显著时,几乎所有的回归系数βi的t检验却不显著。 (3)回归系数的正负号与预期的相反。 (4)容忍度(tolerance) 与 方差扩大因子(variance inflation factor,

    VIF). 容忍度:某个变量的容忍度等于 1

    减去该自变量为因变量而其他k−1个自变量为预测变量时所得到的线性回归模型的判定系数。即1−R2i。

    容忍度越小,多重共线性越严重。通常认为 容忍度小于 0.1 时,存在严重的多重共线性。 方差扩大因子:容忍度的倒数。 因此,VIF越大,多重共线性越严重,一般认为VIF的值大于10时,存在严重的多重共线性。

    5.2 多重共线性的处理

    常见的两种办法: (1)将一个或多个相关的自变量从模型中剔除,使保留的自变量尽可能不相关。 (2)如果要在模型中保留所有的自变量,那么应该: (2.1)避免根据t统计量对单个参数β进行检验, (2.2)对因变量y值的推断(预测和估计)限定在自变量样本值的范围内。

    5.3选择变量避免共线性的几种方式,

    在建立回归模型时,我们总是希望用最少的变量来说明问题,选择自变量的原则通常是对统计量进行显著性检验,检验的根据是:将一个或一个以上的自变量引入回归模型中时,是否使残差平方和(SSE)显著减少,如果增加一个自变量使残差平方和(SSE)显著减少,则说明有必要将这个变量引入回归模型中,否则,没有必要将这个变量引入回归模型中。确定在模型中引入自变量xi是否使残差平方和(SSE)显著减少的方法,就是使用F统计量的值作为一个标准,以此来确定在模型中增加一个自变量,还是从模型中剔除一个自变量。 变量选择方式:

    5.3.1 向前选择;

    第一步:

    对k个自变量分别与因变量y的一元线性回归模型,共有k个,然后找到F统计量的值最大的模型及其自变量xi并将其首先引入模型。 第二步:

    在已经引入模型的xi的基础上,再分别拟合xi与模型外的k−1个自变量的线性回归模型,挑选出F值最大的含有两个自变量的模型,

    依次循环、直到增加自变量不能导致SSE显著增加为止, 5.3.2向后剔除

    第一步:先对所有的自变量进行线性回归模型。然后考察p

    第二步:考察p−1个再去掉一个自变量的模型,使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来从模型中剔除,直到剔除一个自变量不会使SSE值显著减小为止,这时,模型中的所剩自变量自然都是显著的。 5.3.3逐步回归

    是上面两个的结合、考虑的比较全,以后就用这个就可以。

    具体的分析过程、咱们以spss的多元回归分析结果为例。

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空空如也

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