多元线性回归模型 订阅
多元线性回归模型,(multivariable linear regression model )在实际经济问题中,一个变量往往受到多个变量的影响。例如,家庭消费支出,除了受家庭可支配收入的影响外,还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响。 展开全文
多元线性回归模型,(multivariable linear regression model )在实际经济问题中,一个变量往往受到多个变量的影响。例如,家庭消费支出,除了受家庭可支配收入的影响外,还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响。
信息
影响因素
多个变量影响
β    j
偏回归系数
k
回归系数
中文名
多元线性回归模型
应    用
家庭消费支出等
外文名
multivariable linear regression model
多元线性回归模型表达式
多元线性回归模型的一般形式为Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki+μi i=1,2,…,n其中 k为解释变量的数目,βj(j=1,2,…,k)称为回归系数(regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXkiβj也被称为偏回归系数(partial regression coefficient)
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  • 多元线性回归模型

    万次阅读 多人点赞 2019-07-02 19:22:12
    多元线性回归模型通常用来研究一个应变量依赖多个自变量的变化关系,如果二者的以来关系可以用线性形式来刻画,则可以建立多元线性模型来进行分析。 1.模型简介 1.1模型的结构 多元线性回归模型通常用来描述变脸y和x...

    多元线性回归模型通常用来研究一个应变量依赖多个自变量的变化关系,如果二者的以来关系可以用线性形式来刻画,则可以建立多元线性模型来进行分析。
    1.模型简介
    1.1模型的结构
    多元线性回归模型通常用来描述变量y和x之间的随机线性关系,即:
    在这里插入图片描述
    如果对y和x进行了x次观测,得到n组观察值yi,x1i,…,xki(i=1,2,…,n),他们满足一下关系式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    1.2模型参数的检验
    在正态假定下,如果X是列满秩的,则普通线性回归模型的参数最小二乘估计为:
    在这里插入图片描述
    于是y的估计值为:
    在这里插入图片描述
    (1)回归方程的显著性检验
    在这里插入图片描述
    (2)回归系数的显著性检验
    在这里插入图片描述
    2.建模步骤
    (1)根据数据建立回归模型
    (2)对模型进行显著性检验
    (3) 对模型进行回归诊断
    3.建模

    library(car)
    a=read.table("C:/Users/MrDavid/data_TS/reg.csv",sep=",",header=T)
    a
    lm.salary=lm(锘縴~x1+x2+x3+x4,data=a)
    summary(lm.salary)
    #注:锘縴是y乱码之后的结果
    

    在这里插入图片描述
    发现x2,x3,x4系数不显著。
    (2)对变量进行选择

    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    

    在这里插入图片描述
    如果去掉变量x2,AIC的值为648.49,如果去掉变量x3,AIC的值为650.85,如果去掉变量x1,AIC的值为715.19,所以在这里去掉x2.
    进行下一轮的计算:

    lm.salary=lm(锘縴~x1+x3+x4,data=a)
    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    

    在这里插入图片描述
    发现去掉x3,AIC 的值为647.64,所以去掉x3.
    单独对x1和x4,进行拟合。

    lm.salary=lm(锘縴~x1+x4,data=a)
    summary(lm.salary)
    

    在这里插入图片描述
    可以看出F检验P值小于0.05显著,各个参数系数也是显著的。
    (3)对上述回归模型进行回归残差诊断

    算出模型的标准化残差

    library(TSA)
    y.rst=rstandard(lm.step)
    y.rst
    

    在这里插入图片描述
    画出其残差散点图:
    在这里插入图片描述
    很明显发现4和35号点异常,将这两个点去除。

    lm.salary=lm(log(锘縴)~x1+x2+x3+x4,data=a[-c(4,35),])
    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    y.rst=rstandard(lm.step)
    y.fit=predict(lm.step)
    plot(y.rst~y.fit)
    

    去除两点后的结果:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    绘制模型诊断图:

    par(mfrow=c(2,2))
    plot(lm.step)
    influence.measures(lm.step)
    

    在这里插入图片描述
    残差拟合图基本上呈现随机分布模式,正态Q-Q图基本落在直线上,表明残差服从正态分布;大小-位置图和残差-杠杆图以小组的形式存在并且离中心不远。这说明3,4,35号观测值可能是异常点和强影响点。

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  • 多元线性回归模型是社会科学中常用的模型,但其实这个模型有很多的要求,在应用模型前必须要了解背后的假设,然后来判断在自己的变量上应用这个模型是否适切,如果某些地方有违背,我们可以通过一些统计的方法来修正...

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    多元线性回归模型是社会科学中常用的模型,但其实这个模型有很多的要求,在应用模型前必须要了解背后的假设,然后来判断在自己的变量上应用这个模型是否适切,如果某些地方有违背,我们可以通过一些统计的方法来修正。

    多元线性回归模型的假设

    比较重要的假设有5个,至少要同时满足这5个才是一个好的多元线性回归模型。

    1. 既然是线性模型,那关系必然是线性的。
    2. 误差与自变量不相关
    3. 方差齐性 homoscedasticity (equal variance of ui)
    4. 误差之间不相关
    5. 误差正态分布 normality disturbance

    下面逐个解释

    1.自变量与因变量呈线性关系

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    通过散点图可以大致看出,左图是个曲线,但是右图可能是直线。因此右图就更加适合线性模型。如果非把曲线关系用线性模型来呈现,那么这个斜率其实是没有意义的,因为曲线模型的斜率一直是变化的,我们做这个模型预测得出的因变量会非常不准确。

    2.误差项(u)与自变量不相关

    误差项是自变量以外,解释因变量变异的部分。因为我们无法测量,所以称为误差。

    导致误差项和自变量相关的几种情况:

    • 影响因变量的自变量没有放入模型中
    • 因果关系倒置(reverse causation): 因变量成了自变量,可不就与误差相关了吗?因为误差本来就是解释因变量变异的
    • 自变量的测量误差(measurement erros): 没有完美的测量工具,measurement error必然存在,只有当测量误差比较大,或与自变量相关时,才有问题。例如,

    误差项与自变量相关会导致什么问题?

    3.方差齐性

    不同的自变量X取值,对应的因变量Y的变化,应该是类似的,也就是Y的方差变化不能太大。如果因变量方差变化太大,也就是方差不齐,会导致几个后果: 1)斜率没有偏倚unbiased,但是斜率的误差变大了。 2)统计检验会出问题

    4.不同个案之间的误差不相关 errors across cases are not correlated

    也就是说,个案之间是相互独立,互不影响的。常见的影响个案独立性的群组效应,例如同一个班级的学生对某位老师的看法可能类似、同一个家庭的生活习惯也可能相似。追踪数据也会出现观察值之间有关联的问题,因为毕竟都是同一个人的数据,一个人在不同时期的体重可能具有很高的相关度。

    如果个案之间相互影响,斜率依然没有偏倚unbiased,但是斜率的误差会变大(通常是变小),也会带来统计检验的问题。(why???)

    5.正态分布

    误差是正态分布的。

    多元线性回归模型的检验 Detection of assumption violation

    具体解释:

    1.检验线性关系

    1)偏回归图: 在简单线性回归(一个X一个Y)中,我们画出自变量和因变量的散点图大致可以判断是否为线性关系。但是在多元线性回归中,我们不能再用这种一个自变量和一个因变量的bivariate plot,因为它没有控制其他自变量的影响,而是应该用偏回归图。什么是偏回归图?partial regression plots (residuals of Y on the remaining explanatory variables vs residuals of the target explanatory variable on the remaining explanatory variables)

    2) 检验多项式; 如果X的平方、X的三次方在多元线性回归方程中也显著,说明X和Y不是线性关系。

    3) 检验虚拟变量dummy variables: 把X划分为几个虚拟变量,然后检验这几个虚拟变量和Y的关系如何。如果虚拟变量和Y的关系类似,那么比较有可能是线性,如果几个虚拟变量和Y之间的关系差异比较大,那么X和Y之间更有可能是非线性关系。例如,探讨年龄和幸福感之间的关系,把年龄分为6-19儿童,20-40青年,41-60中年,61以上老年几个年龄段,儿童的幸福感随着年龄的增长而提高,但青年和中年的幸福感可能随着时间而降低,老年时人的幸福感可能又会提高。

    2.自变量与误差不相关

    理论与逻辑推断

    3.检验方差齐性

    1) 偏回归图;

    2) 自变量和因变量的散点图

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    如图就是一个方差不齐的例子,可以看到点越来越分散了,离散程度越来越大。

    3)在stata中检验方差是否整齐:

    • Breusch-Pagan test, stata 命令: hettest (只用于检验线性的方差异质性)
    • White's general test, stata命令:首先ssc install whitetest 安装程序,然后whitetst.( 除了可以检验线性的异质性,还可以检验曲线的方差的异质性,也就是检验X平方、X三次方的方差是否整齐)

    4.误差之间不相关

    注意时间序列数据、群组数据,这些数据可能会有误差相关的问题

    多元线性回归模型的修正 Remedies of assumption violation

    1.线性关系:用正确的模型,如果是曲线关系应该用log转化,或平方项,或虚拟变量(见用多元线性回归模型表示曲线关系)

    2.误差与自变量不相关:

    1)增加遗漏的变量

    2)如果有因果倒置reverse causation的问题: 2SLS

    3)如果有measurement errors, multilevel models

    3. 方差不齐:

    robust standard error:也就是用white standard error, 在stata中只要reg y x1 x2, robust即可(具体原理待补充)

    加权最小二乘法weighted least square:如果方差是整齐的,那么每一个数据都是被同等对待的,权重是一样的;如果方差不齐,那么我们就给方差小的数据更多的权重,给方差大的数据更少的权重(因为方差大意味着偏离整体的程度高)

    4. 误差不相关:

    1)multilevel/mixed model

    2)autoregressive model

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  • 多元线性回归是什么什么是多元线性回归?多元线性回归:在回归分析中,如果自变量...因此,多元线性回归模型的意义相对来说会更好一些。什么情况下做多元线性回归?多元线性回归,通常是指某种市场现象受两个或者多...
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    多元线性回归是什么

    什么是多元线性回归?

    多元线性回归:在回归分析中,如果自变量的个数是两个或是两个以上,就被称之为多元回归。实际分析当中,一种现象往往是与多种因素相互联系的,多个自变量的最优组合对因变量进行估计或者预测,往往比只用一个自变量估计或预测会更加有效,也比较符合实际情况。因此,多元线性回归模型的意义相对来说会更好一些。

    什么情况下做多元线性回归?

    多元线性回归,通常是指某种市场现象受两个或者多种因素的影响,同学们需要挑选合适的变量进行搭配,然后建立多元线性回归模型。同时,同学们需要注意变量的选取是否合适?变量之间有无影响?做好多元线性回归模型之后,也要做相应的检验,进而判断模型的搭建是否合理。

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    什么情况下做多元线性回归

    在Stata中如何做多元线性回归模型?具体操作步骤是什么?

    打开stata软件,将准备好的数据输入进去:粘贴复制(点击Data Editor,将准备好的时间序列数据、截面数据粘贴进去即可),关于如何在Stata中输入数据,大家可以在百度上搜索相应的视频进行观看。对输入的数据进行命名,点击右上角Variables中的变量,然后在下方的Name中进行新的命名。命名完成之后,可在主页面看到新的命名已经生成。在Command栏中,输入回归指令regress,可简写为reg。与一元线性回归(reg Y X1)类似的是,这里要添加多个变量:reg Y X1 X2 X3 X4 X5 X6,回车就可以了。最后,结果会在result中显示出来。变量选取的恰当与否,决定着多元回归模型的拟合程度高低。需要注意的是:多元线性回归模型也要进行相应的检验。比如说:异方差的检验、多重共线性的检验、序列相关性的检验,千万不要忘了哦。

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    Stata中如何进行多元线性回归步骤

    以上就是小王关于多元线性回归模型的思考与实践体会。相信同学们在今后的学习当中会逐渐接触到多元线性回归模型,到时候不妨一起分享一下学习体会哦?期待您的回复~

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  • 一、要点1、多元线性回归模型2、古典假定3、修正的可决系数二、多元线性回归模型及古典假定(一)多元线性回归模型(二)多元线性回归模型的矩阵形式Y=Xβ+u(三)多元线性回归模型的古典假定1、随机误差项的零均值假设2、...

    一、要点

    1、多元线性回归模型

    2、古典假定

    3、修正的可决系数

    二、多元线性回归模型及古典假定

    (一)多元线性回归模型

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    (二)多元线性回归模型的矩阵形式

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    Y=Xβ+u

    (三)多元线性回归模型的古典假定

    1、随机误差项的零均值假设

    2、随机误差项的同方差假设

    3、随机误差项无自相关

    4、随机误差项m与解释变量X之间不相关

    5、无多重共线性

    6、随机误差项服从正态分布

    三、多元线性回归模型的估计

    (一)多元线性回归模型参数的最小二乘估计

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    (二)参数最小二乘估计的性质

    1、线性特征

    2、无偏特征

    3、最小方差特征

    (三)OLS估计的分布性质

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    (四)随机扰动项方差的估计

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    (五)多元线性回归模型参数的区间估计

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    四、多元线性回归模型的检验

    (一)拟合优度检验

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      多重可决系数是模型中解释变量个数的不减函数,这给对比不同模型的多重可决系数带来缺陷,所以需要修正。

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    可决系数必定非负,但修正的可决系数可能为负值,这时规定修正的可决系数为零。

    (二)回归方程的显著性检验

    在多元回归中有多个解释变量,需要说明所有解释变量联合起来对应变量影响的总显著性,或整个方程总的联合显著性。对方程总显著性检验需要在方差分析的基础上进行F检验。

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    给定显著性水平α,查F分布表得临界值Fα(k-1,n-k)

    如果F> Fα(k-1,n-k),拒绝H0,说明回归模型有显著意义,即所有解释变量联合起来对Y有显著影响。

    如果F< Fα(k-1,n-k),接受H0,说明回归模型没有显著意义,即所有解释变量联合起来对Y没有显著影响。

    (三)回归参数的显著性检验

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    给定显著性水平α,查t分布表得临界值tα/2(n-k)

    如果ttα/2(n-k)t> tα/2(n-k),拒绝H0,说明βj所对应的解释变量对Y的影响是显著的。

    如果-tα/2(n-k) tα/2(n-k),接受H0,说明βj所对应的解释变量对Y的影响不显著。

    五、多元线性回归模型的预测

    (一)点预测

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    (二)平均值的区间预测

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    (三)个别值的区间预测

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