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  • MATLAB卷积

    千次阅读 2019-04-14 10:35:42
    文章目录卷积相关卷积定理卷积与互相关,自相关函数的关系卷积原理卷积矩阵表达形式基于MATLAB的不用卷积函数conv求卷积的三种方法 卷积 输入信号:x,系统响应h,输出信号y 卷积:conv(x,h)=y或conv(h,x)=y ...

    卷积的物理意义

    输入信号通过一个新兴因果移不变系统后的输出为信号与该系统的冲击响应的卷积。任何一个信号都可以表示为单位冲击信号之和。

    相关卷积定理

    卷积与互相关,自相关函数的关系

    条件:假设系统的输入,输出,和单位脉冲响应分别为x(n), y(n), h(n).
    Rxy(m) = Rxx(m)*h(m)
    对上式进行傅里叶变换,得:
    Sxy(w) = Sxx(w)*H(jw)

    卷积与单位脉冲响应的关系

    x(t)*δ(t) = x(t)
    x(t)*δ(t-t0) = x(t-t0)

    卷积的计算

    卷积向量表示形式

    一方不动,另一方前后倒置,从左向右移动,每次移动后重叠部分的乘积,再组合起来即输出信号

                      h1  h2  h3
    x4  x3  x2  x1
    

    已知:
    输入信号:x=[x1,x2,x3,x4] 维度:4
    系统响应:h=[h1,h2,h3] 维度:3
    输出信号:y=[y1,y2,y3,y4,y5,y6] 维度:4+3-1=6

    其中:

    y1=x1*h1
    y2=x1*h2+x2*h1
    y3=x1*h3+x2*h2+x3*h1
    y4=x2*h3+x3*h2+x4*h1
    y5=x3*h3+x4*h2
    y6=x4*h3
    

    卷积矩阵表达形式

    将上式写成矩阵形式:
    法一:
    在这里插入图片描述
    法二 :
    在这里插入图片描述

    基于法一,用MATLAB求X矩阵的三种方法

    
    % 功能:用上述的法一用三种方法求X大矩阵
    
    % 编辑者:lily
    % 日期:2019,4,14
    
    clear;
    clc;
    close all;
    % ======================= input signal ==========================
    x=[1,2,3,4];
    h=[5,6,7];
    %求矩阵的向量个数
    xn=size(x,2);%求矩阵列数,即几个
    hn=size(h,2);
    % ============================ 方法1 ====================================
    % 原理:按列放
    X=zeros(xn+hn-1, hn);%初始化大矩阵
     
    % 观察列的补0规律,求大矩阵X
    for  ind=1:hn
          xi= [zeros(hn-ind,1);x';zeros(ind-1,1)];
          X(:,ind)=xi;
    end
     
    Y_noconv=X*rot90(h);
    Y_noconv = Y_noconv';
    conv=conv(x,h);
    % ============================ 方法2 ====================================
    % 原理:元素一个一个放
    X=zeros(xn+hn-1, hn);%初始化大矩阵
    for c = hn:-1:1       % 换列
      s = hn - c + 1;     % 从第几行开始放
      m = 1;
      for r = s:s + xn - 1 % 换行放元素
        X(r,c) = x(m);
        m = m + 1;
      end
    end
    % ============================ 方法3 ====================================
    % 原理:circshift(x, A).将列矩阵往下移动A个数,将其挪到上面
    
    %第一列的0的个数
    Mzeros=zeros(1, hn-1);
    %第一列元素
    Xvec=[Mzeros, x]';
    %构造大矩阵
    Xmat = [Xvec];
    for c = 1:hn-1
      Xvec_shift = circshift(Xvec, -c);
      Xmat = [Xmat,Xvec_shift];
    end
    
    

    线性系统三个参数,已知两个求另外一个

    条件:假设系统的输入,输出,和单位脉冲响应分别为x(n), y(n), h(n).

    % 功能:输入信号:x,系统响应h,输出信号y。根据两个求一个
    % 用conv,deconv函数,或者写出大矩阵,用矩阵乘法求解
    
    % 编辑者:lily
    % 日期:2019,4,14
    
    clear;
    clc;
    close all;
    % ============================ 已知x,h,求y ====================================
    
    x=[1,2,3,4];
    h=[5,6,7];
    y = conv(x,h);  % or y = conv(h,x);
    
    % ============================ 已知x,y,求h ====================================
    h1 = deconv(y,x);
    % ============================ 已知h,y,求x ====================================
    x1 = deconv(y,h);
    
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  • matlab计算连续函数卷积的表达式

    万次阅读 2018-11-11 19:05:32
    原文地址: ... 通过使用卷积定理和MATLAB符号函数, 便可以计算连续函数卷积表达式. 本文主要包括如下几个部分: 1. 利用符号函数计算Fourier变换和Fourier变换 2. 利用符号函数进行卷积计算...

    原文地址: https://www.computationalimaging.cn/2018/11/matlab.html

    卷积计算起来较为繁琐, 若能够用matlab辅助计算则会简单很多. 通过使用卷积定理和MATLAB符号函数, 便可以计算连续函数的卷积表达式.


    本文主要包括如下几个部分:
    1. 利用符号函数计算Fourier变换和Fourier反变换
    2. 利用符号函数进行卷积计算
    3. 以信号与系统考研题中的例题为例进行说明

    1. 利用符号函数计算Fourier变换和Fourier反变换


    Matlab提供了fourier 和 ifourier 两个内置函数.

    下面是fourier的帮助

     fourier Fourier integral transform.
        F = fourier(f) is the Fourier transform of the symbolic expression
        or function f with default independent variable x. If f does not
        contain x, then the default variable is determined by SYMVAR.
        By default, the result F is a function of w. If f = f(w), then F
        is returned as a function of the variable v, F = F(v).

        By definition, F(w) = c*int(f(x)*exp(s*i*w*x),x,-inf,inf).

        You can set the parameters c,s to any numeric or symbolic values
        by setting the preference SYMPREF('FourierParameters',[c,s]).
        By default, the values are c = 1 and s = -1.

        F = fourier(f,v) returns F as a function of the variable v
        instead of the default variable w:
            F(v) = c*int(f(x)*exp(s*i*v*x),x,-inf,inf).

        F = fourier(f,u,v) treats f as a function of the variable u instead
        of the default variable x:
            F(v) = c*int(f(u)*exp(s*i*v*u),u,-inf,inf).

        Examples:
         syms t v w x f(x)
         fourier(1/t)   returns   -pi*sign(w)*1i
         fourier(exp(-x^2),x,t)   returns   pi^(1/2)*exp(-t^2/4)
         fourier(exp(-t)*heaviside(t),v)   returns   1/(1+v*1i)
         fourier(diff(f(x)),x,w)   returns   w*fourier(f(x),x,w)*1i

    以及ifourier的帮助
    ifourier Inverse Fourier integral transform.
        f = ifourier(F) is the inverse Fourier transform of the symbolic
        expression or function F with default independent variable w. If
        F does not contain w, then the default variable is determined by
        SYMVAR. By default, the result f is a function of x.  If F = F(x),
        then f is returned as a function of the variable t, f = f(t).

        By definition,
            f(x) = abs(s)/(2*pi*c) * int(F(w)*exp(-s*i*w*x),w,-inf,inf).

        You can set the parameters c,s to any numeric or symbolic values
        by setting the preference SYMPREF('FourierParameters',[c,s]).
        By default, the values are c = 1 and s = -1.

        f = ifourier(F,u) returns f as a function of the variable u
        instead of the default variable x:
            f(u) = abs(s)/(2*pi*c) * int(F(w)*exp(-s*i*w*u),w,-inf,inf).

        f = ifourier(F,v,u) treats F as a function of the variable v
        instead of the default variable w:
            f(u) = abs(s)/(2*pi*c) * int(F(v)*exp(-s*i*v*u),v,-inf,inf).

        Examples:
         syms t u v w f(x)
         ifourier(w*exp(-3*w)*heaviside(w))  returns  1/(2*pi*(-3+x*1i)^2)
         ifourier(1/(1 + w^2),u)   returns   exp(-abs(u))/2
         ifourier(v/(1 + w^2),v,u)   returns   -(dirac(1,u)*1i)/(w^2+1)
         ifourier(fourier(f(x),x,w),w,x)   returns   f(x)
    显然, 有了这两个函数, 我们便可以利用符号变量计算Fourier变换和反变换.

    例如, 对于奥本海姆<信号与系统(第2版)>习题4.1(b)

    计算$f(t)=e^{-2|t-1|}$的傅里叶变换

    我们便可利用MATLAB进行计算:

    syms t
    fourier(exp(-2*abs(t-1)))

    得到如下结果:
    >> fourier(exp(-2*abs(t-1)))

    ans =

    - exp(-w*1i)/(- 2 + w*1i) + exp(-w*1i)/(2 + w*1i)

    本题的参考答案为:

    对比可知, 通过MATLAB得到的结果与实际结果相同.

    同理, 我们也可以计算Fourier的反变换. 如下所示
    >> syms w
    >> ifourier(dirac(w))

    ans =

    1/(2*pi)

    2. 利用符号函数进行卷积计算


    通过计算Fourier变换和反变换, 我们便可以结合卷积定理, 如式\ref{eq1}所示, 求出任意两个函数的卷积.
    $$x(t)*h(t)=F^{-1}(X(jw)\dot H(jw)) \tag{1} \label{eq1}$$

    例如, 我们用$x(t)=e^{cos(3t+\frac{1}{4}\pi)}$与$\delta(t-3)$的卷积进行验证, 有dirac函数的性质, 结果显然应为$x(t)=e^{cos(3(t-3)+\frac{1}{4}\pi)}$

    syms t
    >> xt = exp((cos(3*t + 0.25*pi)))

    xt =

    exp(cos(3*t + pi/4))

    >> f_xt=fourier(xt)

    f_xt =

    fourier(exp(cos(3*t + pi/4)), t, w)

    >> f_ht=fourier(dirac(t-3))

    f_ht =

    exp(-w*3i)

    >> result = ifourier(f_xt * f_ht)

    result =

    exp(cos(3*x + pi/4 - 9))

    结果正确.

    3. 以信号与系统考研题中的例题为例进行说明


    题目为:
    若$x(t)=\frac{sint}{t}$, 则积分$\int_{-\pi}^{\pi}[x^2(t)*sin(t+\frac{\pi}{3})]dt$的值为多少?

    正解为0, 方法是求出$x^2(t)$和$sin(t+\frac{\pi}{3})$的Fourier变换, 通过卷积定理, 再利用三角函数的周期性即可得到结果为0. (欢迎补充更简单的方法~)

    用MATLAB则可通过如下代码求解:
    syms t
    ft = sin(t)*sin(t)/(t*t);
    ft = sin(t)*sin(t)/(t*t);
    vt = sin(t+pi/3);
    f_ft = fourier(ft);
    f_vt = fourier(vt);
    f_anss = f_ft * f_vt;
    fv = ifourier(f_anss);
    result = int(fv, [-pi, pi])

    输出为:
    result =

    0

    可见, 利用MATLAB能够比较好地计算连续函数卷积结果的表达式, 并可以用来解决实际的问题. 其中, dirac函数, li表示的虚部, 以及fourier和ifourier函数都是之前没用过的新函数. 




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    Matlab使用初步及信号描述与变换

    9.1 Matlab使用初步及信号描述与变换

    (1)弄清原理,说明信号描述、信号运算及变换方法。

    描述信号的基本方法是写出它的数学表达式,该表达式是一个或若干个自变量的函数或序列的形式。

    信号运算有:信号的叠加与相乘、信号的反褶、信号的时间平移、信号的时间展缩、卷积运算等。

    (2)编写程序

    syms t;

    f1 = sym('3*sin(pi / 2 * t)');

    subplot(4,3,1),ezplot(f1,[-5,5]),grid on

    f2 = sym('3*sin(pi * t)');

    subplot(4,3,2),ezplot(f2,[-5,5]),grid on

    f3 = sym('3*sin(3 * pi / 2 * t)');

    subplot(4,3,3),ezplot(f3,[-5,5]),grid on

    f4 = subs(f1,t,-t);

    subplot(4,3,4),ezplot(f4,[-5,5]),grid on

    f5 = subs(f2,t,-t);

    subplot(4,3,5),ezplot(f5,[-5,5]),grid on

    f6 = subs(f3,t,-t);

    subplot(4,3,6),ezplot(f6,[-5,5]),grid on

    f7 = subs(f1,t,t-2);

    subplot(4,3,7),ezplot(f7,[-5,5]),grid on

    f8 = subs(f2,t,t-2);

    subplot(4,3,8),ezplot(f8,[-5,5]),grid on

    f9 = subs(f3,t,t-2);

    subplot(4,3,9),ezplot(f9,[-5,5]),grid on

    f10 = subs(f1,t,1-2*t);

    subplot(4,3,10),ezplot(f10,[-5,5]),grid on

    f11 = subs(f2,t,1-2*t);

    subplot(4,3,11),ezplot(f11,[-5,5]),grid on

    f12 = subs(f3,t,1-2*t);

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  • 3. 掌握序列的相加、相乘、移位、褶等基本运算及计算机实现与作用 4. 掌握线性卷积软件实现的方法 5. 掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用 6. 通过编程,上机调试程序,进一步增强使用MATLAB的...

    实验目的和要求
    1. 掌握各种常用的序列,理解数学表达式和波形表示
    2. 掌握在计算机中生成及绘制数字信号波形的方法
    3. 掌握序列的相加、相乘、移位、反褶等基本运算及计算机实现与作用
    4. 掌握线性卷积软件实现的方法
    5. 掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用
    6. 通过编程,上机调试程序,进一步增强使用MATLAB的能力

    实验内容和原理
    这里写图片描述

    主要仪器设备
    装有MATLAB的计算机一台
    操作方法和实验步骤
    1.根据课堂展示过的范例,更改采样频率为100Hz,采样信号重新设定,在MATLAB中输入指令如下即可得到采样图形。
    直接在命令行中运行结果如下:

    >> fs=1000;
    >> t=0:1/fs:1;
    >> x=sin(100*pi*t)+2*sin(240*pi*t);
    >> stem(t(1:200),x(1:200),'filled');
    >> axis([0 0.1 -3 3])
    

    查看并保存图像。

    2.要得到方波序列,可以先利用square(T)函数产生方波,在对其进行采样得到对应的方波序列,在MATLAB里输入help square 即可查看函数的使用方法,了解到它的周期和sin一样是2*pi,要使周期为5,则参数应该定为0.4*pi,写出代码如下:

    >> fs=1;
    >> t=0:1/fs:10;
    >> x=square(0.4*pi*t);
    >> stem(t,x,'filled')
    

    查看并保存图像。
    3.由plot函数可以画出连续信号,根据题目要求可以写出如下代码:

    >> x=2*sin(2*pi/7*t-pi/8);
    >> plot(t,x);
    >> title('初始信号');
    >> xlabel('t')
    

    查看并保存图像。
    (1)根据题中所给取值范围和采样间隔,可以知道t从0开始到10,采样频率为1Hz,则可以写出如下代码:

    >> t=0:1:10;
    >> x=2*sin(2*pi/7*t-pi/8);
    >> stem(t,x,'filled')
    

    查看并保存图像。
    2)同理可知,t从0到10,采样频率为10Hz,则代码如下:

    >> t=0:0.1:10;
    >> x=2*sin(2*pi/7*t-pi/8);
    >> stem(t,x,'filled')
    

    查看并保存图像.

    实验结果与分析
    1.运行代码后可以得到图像如下
    1.2
    2.运行代码后得到图像如下:
    1.3
    可见其为周期性的方波序列。
    3.根据表达式用plot函数得到图像如下:
    1.4
    以1Hz采样频率采样得到的序列如下:
    这里写图片描述
    目测大致也是可以看出轮廓为正弦函数,可见周期为7
    这里写图片描述
    十分清晰的轮廓,没有任何困难就可以辨认出是正弦图像,由图像可见周期为7
    注:
    1. 由于实验在MATLAB中进行,几乎不需要成本,所以可以尽可能多的多做尝试,充分了解MATLAB的指令语言以及功能。
    2. 使用分号结尾可以暂时不显示代码运行结果,最后采用回车即可得到最终结果,使得代码之间较为紧凑,输入也可以变得更快。

    展开全文
  • 数字信号处理中常用的matlab函数

    千次阅读 2011-05-24 10:03:00
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