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用牛顿法

// An highlighted block
 syms x
 f(x) = x^3-3*x-1;;
 g = diff(f);
 %h = diff(g);
 x = zeros(10,1);
 x(1) = pi/2;
 i = 1;
 while 1
     x(i+1) =-f(x(i))/feval(g,x(i))+x(i);
     i= i+1;
     if(abs(x(i)-1.895494)<0.5*1e-6)
         break
     end
 end
 x

用xuan截法

// An highlighted block
 syms x
  clear all
 format long
 syms x
 f = @(x) x^3-3*x-1;
%g = @(x) 3*x^2-3;
 x = zeros(10,1);
 x(1) = 2;
 x(2) = 1.9;
 i = 2;
 while abs(x(i)-1.8794)>=0.5*1e-4
     g = (f(x(i))-f(x(i-1)))/(x(i)-x(i-1));
     x(i+1) =-f(x(i))/g+x(i);
     i= i+1;
 end
 x

用抛物线法

抛物线法
f(x1,x2) 和 f(x1,x2,x3)的求法见
link.

// An highlighted block
clear
clc
syms x
%f= inline('x*exp(x)-1');
f=inline('x.^3-3*x-1');
x0=1;
x1=3;
x2=2;
%eps=10^(-3);
N=10000;
n=2;
for n=3:N
    h1=x1-x0;
    h2=x2-x1;
    %h3=x2-x0; 
    d1=(feval(f,x1)-feval(f,x0))/h1;
    d2=(feval(f,x2)-feval(f,x1))/h2;
    %d3=(feval(f,x2)-feval(f,x0))/h3;
    %a=(d1-d2)/(h2+h1);
    a = (d2-d1)/(h2+h1);
    b=d2+a*h2;
    c=feval(f,x2);
    t=x2-(2*c)/(b+sign(b)*sqrt(b^2-4*a*c))
    s=feval(f,t);
    if abs(t-1.8794)<0.5*1e-4
        break
    else
        x0=x1;
        x1=x2;
        x2=t;
    end
end
X=t
n

求解答案为
t =

1.893149823923446

t =

1.879135257176037

t =

1.879385296219176

X =

1.879385296219176

n =

 5

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普通牛顿法

// An highlighted block
 syms x
 f(x) = (sin(x)-x/2)^2;
 g = diff(f);
 h = diff(g);
 x = zeros(10,1);
 x(1) = pi/2;
 i = 1;
 while 1
     %x(i+1) = x(i)-f(x(i))*feval(g,x(i))/(feval(g,x(i))^2-f(x(i))*feval(h,x(i)));%重根求解
     x(i+1) =-f(x(i))/feval(g,x(i))+x(i);
     i= i+1;
     if(abs(x(i)-1.895494)<0.5*1e-6)
         break
     end
 end
 x

加m牛顿法

// An highlighted block
 syms x
 f(x) = (sin(x)-x/2)^2;
 g = diff(f);
 h = diff(g);
 x = zeros(10,1);
 x(1) = pi/2;
 i = 1;
 while 1
     %x(i+1) = x(i)-f(x(i))*feval(g,x(i))/(feval(g,x(i))^2-f(x(i))*feval(h,x(i)));%重根求解
     x(i+1) =-2*f(x(i))/feval(g,x(i))+x(i);
     i= i+1;
     if(abs(x(i)-1.895494)<0.5*1e-6)
         break
     end
 end
 x

求重根迭代法法

// An highlighted block
 syms x
 f(x) = (sin(x)-x/2)^2;
 g = diff(f);
 h = diff(g);
 x = zeros(10,1);
 x(1) = pi/2;
 i = 1;
 while 1
     x(i+1) = x(i)-f(x(i))*feval(g,x(i))/(feval(g,x(i))^2-f(x(i))*feval(h,x(i)));%重根求解
     %x(i+1) =-f(x(i))/feval(g,x(i))+x(i);
     i= i+1;
     if(abs(x(i)-1.895494)<0.5*1e-6)
         break
     end
 end
 x

# 写于2021.01.06
# 教材《数值分析》 第五版 李庆扬 王能超 易大义
# 只总结了考试需要的内容：①LU分解求解线性方程组 ②向量矩阵的范数 ③矩阵的条件数
# 总结不易 望赞鼓励

0 内容串联

1. 误差分析：https://blog.csdn.net/wistonty11/article/details/111550700
2. 插值法：https://blog.csdn.net/wistonty11/article/details/112131217
3 曲线拟合的最小二乘法
4 数值积分和数值微分
5 解线性方程组的直接方法

1 相关知识

• 高斯消去和LU就是教你解方程组的
• 向量矩阵的范数 ③矩阵的条件数 是为了误差分析

2 高斯消去

2.1 高斯消去法

【例1】


可求出x3, 再得x2 ,最后确定x1

2.2 注意

也就是在消去过程中，可能因为精度问题 出现解xk=0的情况，解决办法就是换行

2.3 高斯消去求逆矩阵

3 LU形式

3.1 思想

• 相求Ax=b 不好求（可能数据非常多）
• 使得A=LU
  
• 当解出LU后 ，变为LUx=b,把Ux=y;变形为Ly=b, 解出y
• Ux = y; 解出x

3.2 公式推导和例题

① A的第一行第一列可写为

【例子】


① A的第二行第二列可写为


① A的第三行第三列可写为

4 向量矩阵的范数

4.1 向量范数

【关系】

【例1】

4.2 矩阵范数

【定义与性质】

【定理】

【矩阵范数】

【例2】

4.3 误差分析

4.3.1 右端B的扰动对解的影响

4.3.2 系数矩阵A的扰动对解的影响

总结：无论什么扰动，其实就是和上面那个数值有关，看看有没有超

4.3.3 条件数

【性质】

【例3】

• 算条件数时，我们要格外注意是非奇异矩阵还是对称阵，所用的公式不一样
• 这里时对称阵 ，所以：
  
  【关于扰动】
  ① 这是给出的条件：
  
  ② 通过这个算出扰动后的精确解：
  

再求，结果不好。注意是谁比谁**，是扰动后/不扰动的**