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  • 第五章 插值与逼近-笔记总结
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    2020-12-05 12:50:26

    5.1 引言

    5.1.1 插值问题

    已知函数 f ( x ) f(x) fx在【a,b】上n+1个互异点 x 0 , x 1 , . . . , x n x_0,x_1,...,x_n x0x1...xn处的函数值和导数值
    f ( x 0 ) , f ′ ( x 0 )   , . . . , f ( α 0 − 1 ) ( x 0 ) f ( x 1 ) , f ′ ( x 1 )   , . . . , f ( α 1 − 1 ) ( x 1 ) . . . f ( x n ) , f ′ ( x n )   , . . . , f ( α n − 1 ) ( x n ) (5-1) f(x_0), f'(x_0) \ , ... , f^{(α_0-1)}(x_0) \\ f(x_1), f'(x_1) \ , ... , f^{(α_1-1)}(x_1) \\ ... \\ f(x_n), f'(x_n) \ , ... , f^{(α_n-1)}(x_n) \tag{5-1} f(x0),f(x0) ,...,f(α01)(x0)f(x1),f(x1) ,...,f(α11)(x1)...f(xn),f(xn) ,...,f(αn1)(xn)(5-1)

    其中 α i α_i αi为正整数,构造一个简单易算的函数p(x),使其满足下述条件:

    p ( μ i ) ( x i ) = f ( μ i ) ( x i ) , μ i = 0 , 1 , . . . α i − 1 ; i = 0 , 1 , . . . , n (5-2) p^{(μ_i)}(x_i)=f^{(μ_i)}(x_i),μ_i=0,1,...α_i-1;i=0,1,...,n\tag{5-2} p(μi)(xi)=f(μi)(xi),μi=0,1,...αi1;i=0,1,...,n(5-2)
    以上问题称为插值问题 x 0 , x 1 , . . . , x n x_0,x_1,...,x_n x0x1...xn称为插值节点
    p ( x ) p(x) px称为 f ( x ) f(x) fx关于节点组 x 0 , x 1 , . . . , x n x_0,x_1,...,x_n x0x1...xn插值函数
    (5-2)为插值条件 f ( x ) f(x) fx被插值函数

    5.1.2 插值函数的存在唯一性、插值基函数

    定义5.1 φ 0 ( x ) , φ 1 ( x ) , . . . , φ n ( x ) φ_0(x),φ_1(x),...,φ_n(x) φ0(x)φ1(x)...φn(x)是【a,b】上的函数,并且对【a,b】上的任意n+1个互异点 x 0 , x 1 , . . . , x n x_0,x_1,...,x_n x0x1...xn,行列式
    D [ x 0 , x 1 , . . . , x n ] = ∣ φ 0 ( x 0 ) φ 1 ( x 0 ) . . . φ n ( x 0 ) φ 0 ( x 1 ) φ 1 ( x 1 ) . . . φ n ( x 1 ) . . φ 0 ( x n ) φ 1 ( x n ) . . . φ n ( x n ) ∣ ≠ 0 D[x_0,x_1,...,x_n]= \begin{vmatrix} φ_0(x_0) & φ_1(x_0) &... &φ_n(x_0) & \\ φ_0(x_1) & φ_1(x_1) &... &φ_n(x_1) & \\ ..\\ φ_0(x_n) & φ_1(x_n) &... &φ_n(x_n) & \\ \end{vmatrix}≠0 D[x0x1...xn]=φ0(x0)φ0(x1)..φ0(xn)φ1(x0)φ1(x1)φ1(xn).........φn(x0)φn(x1)φn(xn)=0
    则称 φ 0 ( x ) , φ 1 ( x ) , . . . , φ n ( x ) φ_0(x),φ_1(x),...,φ_n(x) φ0(x)φ1(x)...φn(x)在【a,b】满足Haar条件
    定理5.1
    推论5.1
    推论5.2
    定理5.2

    5.2 多项式插值与Hermite插值

    5.2.1 Lagrange插值公式

    Lagrange插值基函数
    Lagrange插值多项式

    5.2.2 Newton插值公式

    定义5.2

    5.2.3 插值余项

    定理5.3

    5.2.4 Hermite插值

    定理5.4

    5.2.5 分段低次插值

    5.3 三次样条插值

    5.3.1 样条函数

    定义5.3
    定理5.5
    定理5.6

    5.3.2 三次样条插值及其收敛性

    5.4 B-样条函数

    5.5 正交函数族在逼近中的应用

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  • 插值与逼近 一、

    插值与逼近

    --------本章节总体逻辑:

    • 对于在实验中获得的数据来说,通常时候需要拟合成函数的形式,这样方便计算、预测等。
    • 对于两个点、三个点可以采用最简单的Lagrange插值多项式的方法进行拟合,分别为线性差值多项式和抛物线插值多项式。
    • 当实验数据多的时候,也就意味着需要进行插值的被插值函数的自变量很多,即n+1个不共线的点,可以通过通过插值生成n次Lagrange插值多项式。
    • 但这种情况下,每增加一个点,都需要重新计算一下这n+1次的插值多项式,很不方便,基于这个,提出了通过差商表示的Newton插值多项式,这种插值多项式的形式,可以很好的实现增加一个点之后生成新的插值多项式。
    • 但是无论是Lagrange插值多项式,还是Newton插值多项式的条件都是连接点处函数值相等,因此插值后的多项式很可能会出现多个不可导点,基于这种原因,提出了Hermite插值多项式。
    • 但随着n的增大,多项式的次数过高,在远离插值节点的地方波动、偏差会特别大,即会出现龙格(Runge)现象。这时,我们就可以讨论分段插值的方法。
    • 分段插值即是按照原n个插值节点分割成n-1个区间,对每个区间分别采用Lagrange插值多项式,Hermite插值多项式的方法。
    • 分段插值虽然在计算层面有很好的提高,同时避免了Runge现象的发生,但是它很难解决插值函数不光滑的问题,这时,提出了三次样条插值多项式。
    • 三次样条插值方法根据,已知条件是一阶导数、二阶导数分为了三转角方法、三弯矩方法。每种方法分别对三种补充条件(已知端点处的一阶导数、已知端点处的二阶导数、端点处的一阶导二阶导相等)分别讨论。
    • 上述多种插值方法都属于对目标函数的逼近,插值方法也是要求严格的经过被插值函数的每一个节点。除了这种逼近函数的方法,还有一种逼近函数的方法——拟合。
    • 最小二乘法,即是通过平方范数对函数的一种逼近,这种拟合的方法不要求严格经过被插值函数的每一个节点,只要求函数与拟合结果的函数的差值向量的平方范数达到最小值。

    --------以下为各部分具体知识点:

    一、多项式插值问题

    1. 定义:通过已知数据得到函数的近似解析表达式。
    2. 相关概念:被插值函数、插值函数、插值节点、插值条件、插值方法
    3. 性质:给定n+1个互异节点的函数值,则满足函数值相等的插值条件的n次插值多项式是唯一存在的。

    二、Lagrange插值多项式

    1. 线性插值多项式
      线性插值多项式
    2. 抛物线插值多项式
      抛物线插值多项式
    3. n次Lagrange插值多项式
      (1)为了方便多项式形式的统一表达,引入如下定义:
      方便多项式形式的统一表达
      (2)节点基函数
      节点基函数
    4. Lagrange插值余项
      Lagrange插值余项

    三、Newton插值多项式

    1. 差商
      (1)定义(一阶差商,二阶差商,k阶差商)
      差商定义
      (2)性质
    • k阶差商可以表示成函数值的线性组合
      k阶差商可以表示成函数值的线性组合
    • 差商对节点具有对称性
      差商对节点具有对称性
    • n次多项式f(x)的k阶差商,当k≤n时,是一个关于x的n-k次多项式;当k>n时,恒等于0。
    • 若f(x)具有k阶连续导数,则:
      若f(x)具有k阶连续导数
    1. Newton插值多项式
      Newton插值多项式
    2. Newton插值余项与Lagrange插值余项
      Newton插值余项与Lagrange插值余项

    四、Hermite插值多项式

    1. 定义:不仅要求在节点处函数值相同,还要求在部分或全部节点处具有相同的导数值
    2. 方法:承袭法,基函数法
      例:
      Hermite插值多项式例题
      (1)承袭法

    承袭法
    (2)基函数法

    在这里插入图片描述

    1. Hermite插值多项式
      Hermite插值多项式
    2. Hermite插值余项
      Hermite插值余项

    五、分段插值多项式

    根据插值条件构建插值多项式时,插值多项式的次数随着节点个数的增加而升高,而实际应用上,很少采用高于七次的插值多项式。因此,为了提高多项式的逼近精度,就需要引进分段插值方法。

    1. 分段线性插值
      分段线性插值公式
    2. 分段二次插值
      分段二次插值公式
    3. 分段三次Hermite插值
      分段三次Hermite插值公式
    4. 误差分析:
      (1)分段线性插值
      分段线性插值误差分析
      (2)分段二次插值
      分段二次插值误差分析
      (3)分段三次Hermite插值
      分段三次Hermite插值误差分析

    六、三次样条插值多项式

    1. 定义:每个小区间上S(x)为三次多项式,且二阶连续可微。在两端点各加一个条件称为边界条件。具体包括以下三种。根据初始方程的未知数不同,可分为三转角方法和三弯矩方法。
      (1)两端点的一阶导数值已知。
      (2)两端点的二阶导数值已知。
      (3)函数为周期函数,即两端点的一阶导数值、二阶导数值相等。
    2. 三转角方法:未知数为一阶导数
      三转角方法(一)三转角方法(二)
    3. 三弯矩方法:未知数为二阶导数
      三弯矩方法(一)
      三弯矩方法(二)
    4. 不同边界条件两种方法的未知数角标
    三次样条插值函数方法两端点一阶导已知两端点二阶导已知周期函数
    三转角方法1~n-10~n1~n
    三弯矩方法0~n1~n-11~n

    七、正交多项式

    1. 定义:由线性无关函数组经过Schemite正交化过程得到的多项式称为[a,b]上的正交多项式。
      内积与二范数
    2. 重要概念:权函数(见“1”)
    3. 例题
      正交多项式例题

    八、数据拟合的最小二乘法

    1. 定义:采用函数系(多项式函数系,三角函数系,指数函数系,正交多项式等)求得的拟合曲线称为多项式拟合曲线。在计算误差向量的范数时,采用2-范数的方法即为最小二乘法。
    2. 计算方法:
      最小二乘法(一)
      最小二乘法(二)
      最小二乘法(三)

    九、常考题型及解题思路

    1. 求插值多项式
    • 套公式即可
    • 或设相应的函数方程,之后代入已知点,求解系数
    1. 求近似函数值,并求相应误差界
    • 求插值多项式(见题型1)
    • 套公式求误差界
    1. Lagrange相关证明
    • 想定义
    • 构造函数
    1. 差商相关证明
    • 想数学归纳法
    • 想高阶差商与拉格朗日插值余项的关系
    1. 求差商表、Newton插值多项式
    • 一步步求就好了
    1. 求三次Hermite插值多项式
    • 构造基函数
    • 求相应的函数表达式
    1. 最小二乘法求方程组近似解
    • 构造平方和形式(向量二范数)
    • 偏导等于0,求极值点及相应极值

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    1 插值

    1.1 多项式插值

    1.1.1 Lagrange插值

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述插值误差的事后估计:用两个结果的差来估计插值误差
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    使用注意
    当插值点x位于插值区间的节点附近时,插值误差较小,而距离节点较远处插值误差较大
    采用较小的区间可以得到更好的估计值

    1.1.2 Newton插值

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    误差估计
    新增一个原始数据点, N n + 1 ( x ) = N n ( x ) + f [ x 0 , . . . , x n , a ] ( x − x 0 ) . . . ( x − x n ) N_{n+1}(x) = N_n(x) + f[x_0, ..., x_n, a](x-x_0)...(x-x_n) Nn+1(x)=Nn(x)+f[x0,...,xn,a](xx0)...(xxn) R n ( x ) = N n + 1 ( x ) − N n ( x ) R_n(x) = N_{n+1}(x) - N_n(x) Rn(x)=Nn+1(x)Nn(x)
    使用注意
    为了提高精度,可以继续增加节点
    应尽可能集中或靠近未知点的原始数据点
    n+1阶和n阶估计值之差小于真实误差,因此采用两次迭代结果之差无法 作为迭代的停止准则。实际上,高次多项式插值往往会发散

    1.1.3 Hermite插值

    在这里插入图片描述

    1.2 分段多项式插值

    1.2.1 分段线性插值
    1.2.2 分段三次插值
    1.2.3 三次样条插值

    2 拟合

    2.1 连续函数的最佳平方逼近

    2.1 离散函数的最佳平方逼近

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    插值条件

    φ(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,...,n

    唯一性定理

    给定 {(xi,yi)|i=0,1,...,n} ,则满足插值条件的 n 次多项式pn(x)唯一.

    n 次拉格朗日插值多项式

    Ln(x)=k=0nlk(x)yk

    Rn(x)=f(n+1)(ξx)(n+1)!ωn+1(x)

    ξx(a,b)x

    n 次拉格朗日基函数

    形式

    lk(x)=j=0jknxxjxkxj

    性质
    f(x)=xk,k=0,1,...i=0nli(x)xki=xk

    k=0,i=0nli(x)=1

    Newton插值多项式

    差商

    形式

    f[x0,x1]=f(x1)f(x0)x1x0

    ...

    f[x0,x1,...,xn]=f[x1,x2,...,xn]f[x0,x1,...,xn1]xnx0

    性质
    1.线性组合
    2.任意排列
    3. nk 时, f[x0,x1,...,xn1,x] nk 次多项式; n<k 时, f[x0,x1,...,xn1,x]=0
    4. f[x0,x1,...,xk]=f(k)(ξ)k!

    Newton插值多项式

    形式

    f(x)=Nn(x)+Rn(x)

    Nn(x)=f(x0)+(xx0)f[x0,x1]+...+(xx0)(xx1)...(xxn1)f[x0,x1,...,xn]

    Rn(x)=(xx0)(xx1)...(xxn)f[x0,x1,...,xn,x]

    f[x0,x1,...,xn,x]=f(n)(ξx)(n+1)!

    递推

    Nk+1(x)=Nk(x)+ωk+1(x)f[x0,x1,...,xk+1]

    Hermite插值

    待续。。。

    正则多项式

    待续。。。

    最小二乘法

    给定数据集 {(xi,yi)|i=0,1,...,m} ,经验函数 y=nj=0φj(x)aj ,则 φj=(φj(x0),φj(x1),...,φj(xm))T f=(y0,y1,...,ym)T (φj,φk)=mi=0ρ(xi)φj(xi)φk(xi) (f,φj)=mi=0ρ(xi)φj(xi)yi
    正则方程组为

    (φ0,φ0)(φ1,φ0)...(φn,φ0)(φ0,φ1).....................(φ0,φn)......(φn,φn)a0a1...an=(f,φ0)(f,φ1)...(f,φn)

    拟合曲线
    φ(x)=pn(x)=i=0nφi(x)ai

    均方误差
    δ2=[i=0mρi(φ(xi)yi)2]12

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