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  • MATLAB计算常规矩阵函数 eAt sinA

    千次阅读 2020-12-28 13:06:52
    矩阵指数 计算和比较A的指数和A的矩阵指数。 A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1]; exp(A) ans = 3×3 2.7183 2.7183 1.0000 1.0000 1.0000 7.3891 1.0000 1.0000 0.3679 expm(A) ans = 3×3 2.7183 1.7183 1.0862...

    矩阵指数

    计算和比较 A 的指数和 A 的矩阵指数。

    A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
    exp(A)
    ans = 3×3
    
        2.7183    2.7183    1.0000
        1.0000    1.0000    7.3891
        1.0000    1.0000    0.3679
    
    expm(A)
    ans = 3×3
    
        2.7183    1.7183    1.0862
             0    1.0000    1.2642
             0         0    0.3679
    

    请注意,两种结果的对角线元素相等,这对于任何三角矩阵都是如此。非对角线元素(包括对角线下方的元素)则不相同。

    funm

    计算常规矩阵函数

    语法

    F = funm(A,fun)
    F = funm(A,fun,options)
    F = funm(A,fun,options,p1,p2,...)
    [F,exitflag] = funm(...)
    [F,exitflag,output] = funm(...)

    说明

    F = funm(A,fun) 计算在方阵参数为 A 时用户定义的函数 funF = fun(x,k) 必须接受向量 x 和整数 k,返回大小相同的 x 的向量 f,其中 f(i) 是在 x(i) 条件下计算的函数 fun 的第 k 个导数。fun 表示的函数必须包含具有无限收敛半径的泰勒级数,被视为特殊情况的 fun = @log 除外。

    您也可以使用 funm 计算下表中列出的特殊函数在 A 处的值。

    函数

    计算矩阵 A 处的函数的语法

    exp

    funm(A, @exp)

    log

    funm(A, @log)

    sin

    funm(A, @sin)

    cos

    funm(A, @cos)

    sinh

    funm(A, @sinh)

    cosh

    funm(A, @cosh)

    对于方阵根,请改用 sqrtm(A)。对于矩阵指数,expm(A) 和 funm(A, @exp) 哪一个更准确取决于矩阵 A

    fun 表示的函数必须包含具有无限收敛半径的泰勒级数。例外是被视为特殊情况的 @log参数化函数 解释如何在必要情况下向函数 fun 提供其他参数。

    F = funm(A,fun,options) 将算法的参数设置为结构体 options 中的值。

    下表列出了 options 的字段。

    字段

    说明

    options.Display

    显示级别

    'off'(默认值)、'on''verbose'

    options.TolBlk

    阻止 Schur 表的容差

    正标量。默认值为 0.1

    options.TolTay

    计算对角线块的泰勒级数的终止容差

    正标量。默认值为 eps

    options.MaxTerms

    泰勒级数项的最大数目

    正整数。默认值为 250

    options.MaxSqrt

    计算对数时,逆缩放和二乘法中计算的最大平方根数。

    正整数。默认值为 100

    options.Ord

    指定 Schur 表 T 的排序方式。

    长度为 length(A) 的向量。options.Ord(i) 是 T(i,i) 所放置到的块的索引。默认值为 []

    F = funm(A,fun,options,p1,p2,...) 向函数传递额外的输入 p1,p2,...

    [F,exitflag] = funm(...) 返回用于描述 funm 的退出条件的 exitflagexitflag 可以具有下列值:

    • 0 - 算法成功。

    • 1 - 一次或多次泰勒级数计算未收敛,在使用对数的情况下,需要的平方根太多。但是,F 的计算值可能仍然正确。

    [F,exitflag,output] = funm(...) 返回包含以下字段的结构体 output

    字段

    说明

    output.terms

    一个向量,其中 output.terms(i) 是在计算第 i 个块时所使用的泰勒级数的项数,或者在使用对数的情况下,维度大于 2 的矩阵的平方根数。

    output.ind

    重新排序的 Schur 因子 T 的 (i,j) 块为 T(output.ind{i}, output.ind{j}) 的元胞数组。

    output.ord

    传递到 ordschur 时对 Schur 表排序

    output.T

    重新排序的 Schur 表

    如果 Schur 表为对角线,则 output = struct('terms',ones(n,1),'ind',{1:n})

    示例

    示例 1

    以下命令计算 3×3 幻方矩阵的矩阵正弦值。

    F=funm(magic(3), @sin)
    
    F =
    
       -0.3850    1.0191    0.0162
        0.6179    0.2168   -0.1844
        0.4173   -0.5856    0.8185

    示例 2

    以下语句

    S = funm(X,@sin);
    C = funm(X,@cos);

    在舍入误差内生成与下面相同的结果

    E = expm(i*X);
    C = real(E);
    S = imag(E);
    

    在任一情况下,结果都满足 S*S+C*C = I,其中 I = eye(size(X))

    示例 3

    要使用一个对 funm 的调用计算函数 exp(x) + cos(x) 在 A 处的值,请使用

    F = funm(A,@fun_expcos)
    

    其中 fun_expcos 是以下函数。

    function f = fun_expcos(x, k)
    % Return kth derivative of exp + cos at X.
            g = mod(ceil(k/2),2);
            if mod(k,2)
               f = exp(x) + sin(x)*(-1)^g;
            else
               f = exp(x) + cos(x)*(-1)^g;
            end	

     A=\bigl(\begin{smallmatrix} 2&1 & -1\\ 1& 3 &-1 \\ 1& 2& 0 \end{smallmatrix}\bigr)_e{At},_e{A},sin{A}

    A=[2 1 -1
        1 3 -1
        1 2 0];
    A = sym(A);
    syms t;
    expm(A.*t)
    expm(A)
    funm(A, @exp)

     

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    函数名函数功能

    abs( ) 绝对值、负数的模、字符串的ASCII码值都可用来求字符串矩阵所

    对应的ASCII码数值矩阵double( )

    char( ) 可以把ASCII码数值矩阵转换为字符串矩阵

    fix( ) 向零方向取整

    floor( ) 不大于自变量的最大整数

    ceil( ) 不小于自变量的最小整数

    round( ) 四舍五入到最邻近的整数

    rem(x,y) 求余函数

    mod(x,y) %

    exp( ) 指数函数

    [ ] 空操作符

    format 格式符设置或改变数据输出格式 (其中格式符决定数据的输出格式)

    e1:e2:e3 冒号表达式可以产生一个行向量

    (其中e1为初始值,e2为步长,e3为终止值)

    linspace(a,b,n) 产生一个行向量

    (其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素,n是元素总数) [注:linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价]

    A(:,j) 表示取A矩阵的第j列全部元素

    A(i,:) 表示A矩阵第i行的全部元素

    A(i,j) 表示取A矩阵第i行、第j列的元素

    A(i:i+m,:) 表示取A矩阵第i~i+m行的全部元素

    A(:,k:k+m) 表示取A矩阵第k~k+m列的全部元素

    A(i:i+m,k:k+m) 表示取A矩阵第i~i+m行内,并在第k~k+m列中的所有元素

    zeros 产生全0矩阵(零矩阵)

    ones 产生全1矩阵(幺矩阵)

    eye 产生单位矩阵

    rand 产生0~1间均匀分布的随机矩阵

    randn 产生均值为0,方差为1的标准正态分布随机矩阵

    zeros(size(A)) 建立一个与矩阵A同样大小的零矩阵

    reshape(A,m,n) 在矩阵总元素保持不变的前提下,将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵magic(n) 生成一个n阶魔方矩阵(其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等)

    vander(V) 生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵(最后一列全为1,倒数第二列为一个指定的向量,其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积)

    hilb(n) 生成希尔伯特矩阵

    invhilb(n) 求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵

    (用一般方法求逆会因原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果)

    toeplitz(x,y) 生成一个以x为第1列,y为第1行的托普利兹矩阵(除第1行第1列外,

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