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  • matlab数值积分方法
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    2020-08-20 09:08:54

    MATLAB进行数值积分的主要函数:

    1.trapz 梯形法求解积分

    x=0:pi/10:pi; 
    y=sin(x); 
    trapz(x,y)
    

    2.quad 基于变步长simpso法求积分

    q = quad(fun,a,b,tol)
    

    其中fun是被积函数文件名或函数句柄,a, b是积分下限和积分上限,tol是积分精度

    3.dblquad 矩形区域二重数值积分

    q = dblquad(fun,a,b,c,d,tol) 
    

    其中fun是被积函数文件名或函数句柄,a, b是内积分下限和内积分上限,c, d是外积分下限,外积分上限,内积分x,外积分y,tol是积分精度。

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    1 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a, b]分成n个子区间[xi, xi+1],i=1,...

    1  数值积分基本原理

    求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。

    它们的基本思想都是将整个积分区间[a, b]分成n个子区间[xi, xi+1],i=1, 2,…, n,其中x1 = a,xn+1 = b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

    2  数值积分的实现方法

    2.1  变步长辛普生法

    基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为:

    [I, n] = quad('fname', a, b, tol, trace)

    其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。

    例1求定积分:

    be4613615cdd773a54e1ecc53a5891ae.png

    (1) 建立被积函数文件fesin.m。

    function f=fesin(x)

    f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);

    (2) 调用数值积分函数quad求定积分。

    [S,n]=quad('fesin',0,3*pi)

    (S为返回值,n是调用次数)

    2.2  牛顿-柯特斯法

    基于牛顿-柯特斯法,MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为:

    [I, n] = quad8('fname', a, b, tol, trace)

    其中参数的含义和quad函数相似,只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值,且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数,从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。

    例2  求定积分:

    32326e33967b86db7829a692bd9b913c.png

    (1) 被积函数文件fx.m。

    function f=fx(x)

    f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));

    (2) 调用函数quad8求定积分。

    I=quad8('fx',0,pi)

    例3 分别用quad函数和quad8函数求定积分

    095b29ce3a9bc3394e91d9565a4bacd8.png

    的近似值,并在相同的积分精度下,比较函数的调用次数。

    1)调用函数quad求定积分:

    format long;

    fx=inline('exp(-x)');

    [I,n] = quad(fx,1,2.5,1e-10)

    2)调用函数quad8求定积分:

    format long;

    fx=inline('exp(-x)');

    [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)

    2.3  被积函数由一个表格定义

    (要求积分,但是函数没有直接给出,只是自己在做实验时得到的一组相关联的数据)

    在MATLAB中,对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。

    例4  用trapz函数计算定积分。

    命令如下:

    X=1:0.01:2.5;

    Y=exp(-X);        %生成函数关系数据向量

    trapz(X,Y)

    ans =

    0.28579682416393

    3  二重定积分的数值求解

    使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为:

    I = dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)

    该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol,trace的用法与函数quad完全相同。

    例5  计算二重定积分

    301ce27141e2f07219b6899007a83fe1.png

    (1) 建立一个函数文件fxy.m:

    function f=fxy(x,y)

    global ki;

    ki=ki+1;           %ki用于统计被积函数的调用次数

    f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);

    (2) 调用dblquad函数求解。

    global ki;ki=0;

    I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)

    ki

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    MATLAB求数值积分的方法

    2008年12月第20卷第6期石家庄职业技术学院学报

    JournalofShijiazhuangVocationalTechnologyInstituteDec.2008Vol.20 No.6

    文章编号:100924873(2008)0620058203

    用MATLAB求数值积分的方法

    陈佩宁a, 刘 竞b

    Ξ

    (石家庄职业技术学院a.信息工程系;b.机电工程系,河北石家庄 050081)

    摘 要:介绍了数值积分法的几种计算公式及相应的MATLAB命令,并给出了用MATLAB编程求数值积分的实例.

    关键词:MATLAB;数值积分;矩形公式;梯形公式;辛普森公式中图分类号:O172   文献标识码:A

    1 引言

    (4)f(x),只有一些由

    在一元微积分学中,若已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),求f(x)区间上的定积分可用牛顿∫

    a

    b

    f(x)dx)|

    a

    (b)-F(a).而在

    的方法求).2用数值积分的方法求一个函数在区间[a,b]上的定积分,可利用定积分的定义来求解:

    I=

    MATLABint求

    a

    b

    f(x)dx,

    该命令格式为:

    int(f,x,a,b) %求函数f在区间[a,b]上的

    a

    b

    n

    n→∞k=1

    f(x)dx=lim

    n

    ξf(k)∑

    ,n

    设In=

    k=1

    ξf(k)∑

    ,则I=limIn.

    n→∞n

    定积分.

    例1 求

    sinxdx.

    2

    此时称In为数值积分.显然,数值积分In就是I的近似值,并且当n越大,In就越接近于精确值I.由

    [2]

    于ξk取值不同,数值积分In的结果会有所不同.数值积分的计算公式也有多种:

    (1)矩形公式

    解 输入命令:>>symsx>>I=int(sin(x),x,0,pi/2),结果显示为:I=1.

    用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用,但它并不能解决定积分计算的所有问题.在工程技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.其可能出现的情况[1]有:

    (1)某些被积函数f(x),其原函数无法用初等函数表示,如exdx,

    将积分区间[a,b]n等分,每个小区间宽度均为h=(b-a)/n,h称为积分步长.

    记a=x0

    n-1

    ∫x

    2

    Ln=hRn=h

    dx等.

    k=0n

    f(xk),h∑f(xk),h∑

    ==

    nn

    ①②

    (2)函数f(x)结构复杂,求其原函数非常困难.(3)函数f(x)的结构虽然简单且其原函数存

    k=1

    在,但其原函数的结构相对复杂.

    Ξ收稿日期:2007212224

    称公式①,②分别为左、右矩形公式,两个矩形面积分别小于和大于所求曲边梯形的面积

    1-118-png_6_0_0_45_1164_37_22_841.5_1204.5-200-0-443-200.jpg

    .

    作者简介:陈佩宁(19712),女,河北望都人,石家庄职业技术学院讲师.

    展开全文
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    第8章MATLAB数值积分与微分8.1 数值积分8.2 数值微分8.1 数值积分8.1.1 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。...

    第8章

    MATLAB数值积分与微分

    8.1 数值积分

    8.2 数值微分

    8.1 数值积分

    8.1.1 数值积分基本原理

    求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)

    法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,n,其中x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

    8.1.2 数值积分的实现方法

    1.变步长辛普生法

    基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为:

    [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

    其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。

    例8-1

    求定积分。

    (1)

    建立被积函数文件fesin.m。

    function f=fesin(x)

    f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);

    (2)

    调用数值积分函数quad求定积分。

    [S,n]=quad('fesin',0,3*pi)

    S =

    0.9008

    n =

    77

    2.牛顿-柯特斯法

    基于牛顿-柯特斯法,MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为:

    [I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)

    其中参数的含义和quad函数相似,只是tol的缺省值取10-6。

    该函数可以更精确地求出定积分的值,且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数,从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。

    例8-2 求定积分。

    (1) 被积函数文件fx.m。

    function f=fx(x)

    f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));

    (2)

    调用函数quad8求定积分。

    I=quad8('fx',0,pi)

    I =

    2.4674

    例8-3

    分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值,并在相同的积分精度下,比较函数的调用次数。

    调用函数quad求定积分:

    format long;

    fx=inline('exp(-x)');

    [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)

    I =

    0.28579444254766

    n =

    65

    调用函数quad8求定积分:

    format long;

    fx=inline('exp(-x)');

    [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)

    I =

    0.28579444254754

    n =

    33

    3.被积函数由一个表格定义

    在MATLAB中,对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。

    例8-4

    用trapz函数计算定积分。

    命令如下:

    X=1:0.01:2.5;

    Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量

    trapz(X,Y)

    ans =

    0.28579682416393

    8.1.3 二重定积分的数值求解

    使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为:

    I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)

    该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol,trace的用法与函数quad完全相同。

    例8-5 计算二重定积分

    (1) 建立一个函数文件fxy.m:

    function f=fxy(x,y)

    global ki;

    ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数

    f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);

    (2) 调用dblquad函数求解。

    global ki;ki=0;

    I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)

    ki

    I =

    1.57449318974494

    ki =

    1038

    8.2 数值微分

    8.2.1 数值差分与差商

    8.2.2 数值微分的实现

    在MATLAB中,没有直接提供求数值导数的函数,只有计算向前差分的函数diff,其调用格式为:

    DX=diff(X):计算向量X的向前差分,DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1。

    DX=diff(X,n):计算X的n阶向前差分。例如,diff(X,2)=diff(diff(X))。

    DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶差分,dim=1时(缺省状态),按列计算差分;dim=2,按行计算差分。

    例8-6

    生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵,按列进行差分运算。

    命令如下:

    V=vander(1:6)

    DV=diff(V) %计算V的一阶差分

    例8-7

    用不同的方法求函数f(x)的数值导数,并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。

    程序如下:

    f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');

    g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');

    x=-3:0.01:3;

    p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x)

    dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp

    dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值

    dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对f(x)求数值导数

    gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数

    plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); %作图

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  • 数值积分,运用龙贝格法进行计算,详细看算法实现中的备注部分。
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