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  • matlab数字图像的傅立叶变换实验

    万次阅读 多人点赞 2016-11-11 10:57:53
    实验三 图像的傅立叶变换 1.启动MATLAB程序,读入一幅图像;对图像做FFT。使用’subplot’命令,同时显示原始图像其频谱图; 1.1实验过程: 首先读取一幅图像,然后将这幅图像归一化到0~1之间,然后对图像做二维...
    实验三  图像的傅立叶变换


    1.启动MATLAB程序,读入一幅图像;对图像做FFT。使用’subplot’命令,同时显示原始图像其频谱图;
    1.1实验过程:
    首先读取一幅图像,然后将这幅图像归一化到0~1之间,然后对图像做二维离散傅立叶变换,然后做快速傅里叶变换,即直流分量移到频谱中心,让正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称,然后取傅立叶变换的实部,然后做频谱对数变换,就得到原图像的频谱图,最后将原图像和对应的频谱图显示出来。
    1.2代码及图像






    I=imread('f:\lena.jpg'); %读入图像
    F=fft2(im2double(I)); %FFT
    F=fftshift(F); %FFT频谱平移
    F=real(F);
    T=log(F+1); %频谱对数变换
    subplot(1,2,1),imshow(I),title('原始图像');
    subplot(1,2,2),imshow(T,[]),title('原始图像其频谱图');
















     






    2. 读入一幅图像,分别为图像添加椒盐、高斯噪声,做FFT变换。使用’subplot’命令,将原始图像、原始图像频谱图、添加噪声后的图像,以及噪声图像的频谱图同时显示出来。
    2.1实验过程
    得到原始图像的频谱图的方法同上,然后对原图像模拟叠加密度为0.04的椒盐噪声,然后添加模拟均值为0方差为0.02的高斯噪声,然后得到噪声图像的频谱图,方法同上,最后显示所有图像。
    2.2代码及图像
    I=imread('f:\lena.jpg'); %读入图像
    F=fft2(im2double(I)); %FFT
    F=fftshift(F); %FFT频谱平移
    F=real(F);
    T=log(F+1); %频谱对数变换
    subplot(3,2,1),imshow(I),title('原始图像');
    subplot(3,2,2),imshow(T,[]),title('原始图像其频谱图');
    S=imnoise(I,'salt & pepper', 0.04); %模拟叠加密度为0.04的椒盐噪声
    K=fft2(im2double(S)); %FFT
    K=fftshift(K); %FFT频谱平移
    K=real(K);
    T=log(K+1); %频谱对数变换
    subplot(3,2,3),imshow(S),title('添加椒盐噪声后的图像');
    subplot(3,2,4),imshow(T,[]),title('椒盐噪声频谱图');
    G=imnoise(I,'gaussian',0,0.02);%模拟均值为0方差为0.02的高斯噪声,
    H=fft2(im2double(G)); %FFT
    H=fftshift(H); %FFT频谱平移
    H=real(H);
    T=log(H+1); %频谱对数变换
    subplot(3,2,5),imshow(G),title('添加高斯噪声后的图像');
    subplot(3,2,6),imshow(T,[]),title('高斯噪声频谱图');






     




    3. 读入一幅图像,对图像分别进行高斯低通、巴特沃兹低通、高斯高通和巴特沃兹高通频域滤波,比较其锐化和平滑效果;
    3.1实验过程
    对于高斯低通频域滤波,首先求原图像的频谱图,然后根据二维高斯低通滤波器(GLPF)定义,对频谱图做高斯低通滤波,使低频通过而使高频衰减,最后做快速傅里叶逆变换,结果发现滤波后的图像变模糊,比原始图像减少尖锐的细节部分而突出平滑过渡部分;对于巴特沃兹低通频域滤波,然后根据二级巴特沃思低通滤波器(BLPF)定义,对频谱图做巴特沃兹低通滤波,使低频通过而使高频衰减,最后做快速傅里叶逆变换,结果发现滤波后的图像变模糊,比原始图像减少尖锐的细节部分而突出平滑过渡部分;经对比图像后发现,经过巴特沃思低通滤波的图像比经过高斯低通频域滤波的图像更平滑。
    对于高斯高通频域滤波,首先求原图像的频谱图,然后根据截频距原点为D0的高斯高通滤波器(GHPF)定义,对频谱图做高斯高通滤波,使高频通过而使低频衰减,最后做快速傅里叶逆变换,结果发现滤波后的图像变锐化,比原始图像减少平滑过渡而突出边缘等细节部分;对于巴特沃兹高通频域滤波,然后根据二阶且截至频率距原点的距离为D0的巴特沃思高通滤波器(BHPF)定义,对频谱图做巴特沃兹高通滤波,使高频通过而使低频衰减,最后做快速傅里叶逆变换,结果发现滤波后的图像变锐化,比原始图像减少平滑过渡而突出边缘等细节部分;经对比图像后发现,经过高斯低通滤波的图像比经过高斯低通巴特沃思低通频域滤波的图像更平滑。


    3.2代码及图像


    %高斯低通频域滤波
    I=imread('f:\lena.jpg');
    subplot(1,2,1),imshow(I),title('原始图像');
    I=double(I);
    S=fftshift(fft2(I));
    [M,N]=size(S);                    
    n=2;                                  
    d0=30; %GLPF滤波,d0=5,15,30(程序中以d0=30为例)                    
    n1=floor(M/2);                          
    n2=floor(N/2);                           
    for i=1:M 
        for j=1:N
            d=sqrt((i-n1)^2+(j-n2)^2);         
                   h=1*exp(-1/2*(d^2/d0^2));  
            S(i,j)=h*S(i,j);                   
        end
    end
    S=ifftshift(S);                           
    S=uint8(real(ifft2(S)));                                     
    subplot(1,2,2),imshow(S),title('高斯低通滤波图像');




    %巴特沃斯低通频域滤波
    I=imread('f:\lena.jpg');
    subplot(1,2,1),imshow(I),title('原始图像');
    F=double(I);                % 数据类型转换,MATLAB不支持图像的无符号整型的计算
    G=fft2(F);                    % 傅立叶变换
    G=fftshift(G);                 % 转换数据矩阵
    [M,N]=size(G);
    nn=2;                       % 二阶巴特沃斯(Butterworth)低通滤波器
    d0=30;                      %截止频率为30
    m=fix(M/2); n=fix(N/2);
    for i=1:M
           for j=1:N
               d=sqrt((i-m)^2+(j-n)^2);
               h=1/(1+0.414*(d/d0)^(2*nn));         % 计算低通滤波器传递函数
               result(i,j)=h*G(i,j);
           end
    end
    result=ifftshift(result);
    Y2=ifft2(result);
    Y3=uint8(real(Y2));
    subplot(1,2,2),imshow(Y3),title('巴特沃斯低通滤波')




    %巴特沃斯高通频域滤波
    I=imread('f:\test.jpg');
    subplot(121),imshow(I); title('原始图像'); 
    F=double(I);% 数据类型转换,MATLAB不支持图像的无符号整型的计算 
    G=fft2(F);% 傅立叶变换 
    G=fftshift(G);%转换数据矩阵 
    [M,N]=size(G);
    nn=2;% 二阶巴特沃斯(Butterworth)高通滤波器 
    d0=30;
    m=fix(M/2);n=fix(N/2);
    for  i=1:M
         for j=1:N
              d=sqrt((i-m)^2+(j-n)^2);            
                       if (d==0)               
                           h=0; 
               else 
                 h=1/(1+0.414*(d0/d)^(2*nn));% 计算传递函数            
                       end 
                       result(i,j)=h*G(i,j);
            end 
    end 
    result=ifftshift(result);
    J2=ifft2(result); 
    J3=uint8(real(J2)); 
    subplot(122),imshow(J3); title('巴特沃斯高通滤波后图像'); % 滤波后图像显示










     
     




     




     
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  • 使用matlab中自带fft等相关函数进行操作。代码如下:clear;clc;img=imread('test.jpg');img=rgb2gray(img);f=fft2(img); %傅里叶变换f=fftshift(f); %使图像对称r=real(f); %求图像频域实部i=imag(f); %求图像...

    使用matlab中自带的fft等相关的函数进行操作。

    代码如下:

    clear;

    clc;

    img=imread('test.jpg');

    img=rgb2gray(img);

    f=fft2(img); %傅里叶变换

    f=fftshift(f); %使图像对称

    r=real(f); %求图像频域实部

    i=imag(f); %求图像频域虚部

    margin=log(abs(f)); %图像幅度谱,加log便于显示

    phase=log(angle(f)*180/pi); %图像相位谱

    l=log(f);

    subplot(2,2,1),imshow(img),title('源图像');

    subplot(2,2,2),imshow(l,[]),title('频谱');

    subplot(2,2,3),imshow(margin,[]),title('幅度谱');

    subplot(2,2,4),imshow(phase,[]),title('相位谱');

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  • 二维图像的傅立叶变换

    万次阅读 多人点赞 2018-05-11 11:57:50
    二维图像的傅立叶变换,与一维傅立叶相比,在理解上要抽象很多。我在网上找了几篇相对较好的文章,并用matlab自己做了几个实验图像,希望能对大家理解二维图像的傅立叶变换有所帮助。

    摘要:二维图像的傅立叶变换,与一维傅立叶相比,在理解上要抽象很多。我在网上找了几篇相对较好的文章,并用matlab自己做了几个实验图像,希望能对大家理解二维图像的傅立叶变换有所帮助。

    关键字:二维傅立叶变换,图像处理

    本文是我旧博客中的博文,在CSDN图片显示不正常,请移步旧博客查看:https://imlogm.github.io/%E5%9B%BE%E5%83%8F%E5%A4%84%E7%90%86/image-fft/

    1. 一维傅立叶变换

    如果是理工科的话,一维傅立叶变换应该在大学里都学过。如果有所遗忘的话,可以看这篇比较易懂又不失数学性的文章"如何理解傅里叶变换公式?-马同学的回答"

    一维傅立叶变换的公式为:
    F(ω)=+f(t)eiωtdt F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt

    2. 二维傅立叶变换

    二维傅立叶变换的公式为:
    F(u,v)=++f(x,y)ei(ux+vy)dxdy F(u,v)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)e^{-i(ux+vy)}dxdy
    由一维傅立叶的公式,能比较容易类比得到二维傅立叶变换公式。但注意,二维傅立叶不是x方向与y方向正弦余弦的简单叠加,而是乘积的叠加。

    比如:一维傅立叶变换的三角函数系是sin(nx)sin(nx)cos(nx)cos(nx)以及常数1,二维傅立叶变换的三角函数系是sin(ux+vy)sin(ux+vy)cos(ux+vy)cos(ux+vy)和常数1.而sin(ux+vy)sin(ux+vy)cos(ux+vy)cos(ux+vy)可以继续分解为sin(ux)sin(vy),  sin(ux)cos(vy),  cos(ux)sin(vy),  cos(ux)cos(vy)sin(ux)sin(vy),\:\:sin(ux)cos(vy),\:\:cos(ux)sin(vy),\:\:cos(ux)cos(vy)这四个乘积的形式。

    如果对上面一段话的内容有兴趣的话,可以参看这篇文章"二维傅里叶变换是怎么进行的?-CharlyGordon的回答"。看不懂也没关系,只需要知道二维傅立叶不是x方向与y方向正弦余弦的简单叠加。

    注意1:二维傅立叶变换后生成的图像与原图上的像素点不存在一一对应关系。原图中的像素值是x,y坐标轴下的(即空间域),而傅立叶变换后的像素值是u,v坐标轴下的(即频域)。

    注意2:图像的像素点是离散且有限的,故实际进行图像傅立叶变换时,使用的是离散傅立叶变换(DFT),需要把上述公式中的积分号+\int_{-\infty}^{+\infty}换成求和号\sum

    3. 二维傅立叶变换的直观理解

    原始图像经过二维傅立叶变换后得到的是u,v坐标系下的二维矩阵,由(u1,v1)(u_1,v_1)(u1,v2)(u_1,v_2)(u2,v1)(u_2,v_1)等一系列点组成。每个位置(un,vn)(u_n,v_n)都有其对应的值F(un,vn)F(u_n,v_n)。如果把这个二维矩阵归一化成傅立叶后的图像来显示,那么傅立叶后图像上像素点位置和像素点亮度就表征二维矩阵相应的点和该点的值。

    如图1所示,有左中右三幅小图,我们先不管右小图,左小图是原始图像,中小图是傅立叶变换后的。可以看到傅立叶变换后的图片的两个斜对角出现了两个白点,这两点处的亮度值最大,其余点处亮度值为0。这表示原始图像可以由这两点所对应的三角波组成,三角波的幅值为其对应点的亮度。

    图1

    那么这些三角波长什么样子呢?图2是我从网上找到的一幅图,原始出处未知。原来这张图是频移后的三角波,由于频移是下面才讲到的知识点,我感觉这样会对理解造成一定影响,所以我处理成频移前的,便于大家理解。相信对比图1和图2,你们能很快理解其中的关系。

    图2

    在图2的右小图中,我用红框标出了其中的一个三角波,这个三角波的外形与图1的原始图像最相似。结果也和我们预料的一样,傅立叶变换后,这个三角波的幅值是最大的,所以我们看到了图1中小图左上角的白点。

    注意:图2的三角波对应于图1中小图的左上角的区域,所以我们得到了左上角的白点。至于图1中小图的右上、左下、右下区域的三角波长什么样子,请看下面一段话。

    看到这里可能大家还有个疑问:左上角的白点明白了,但是右下角的白点怎么来的?如果你自己动手做实验的话,会发现这两个白点是对称的(换而言之,右下角区域的三角波和左上角区域的三角波对称)。这其实是由两个原因共同作用造成的:其一,傅立叶双边频谱关于原点对称;其二,上面提到过,二维图像傅立叶变换是离散傅立叶变换,离散傅里叶变换本质是周期信号求傅里叶级数,所以其实会有周期延拓

    因为这两个性质涉及一些更深的知识,我不详细展开了。有兴趣的同学可以找信号处理方面的书来看,学过的同学应该能马上理解。

    解决了图1中左小图、中小图的问题,那么图1的右小图是什么呢?右小图其实是中小图经过频移后的。为什么要频移,因为我们把傅立叶变换得到的二维矩阵用图像的方式显示时,默认的坐标原点(0, 0)位于图像的左上角。频移要做的就是把坐标原点移动到图像的中心。

    可以想到,图1右小图的中间偏右下的点是由图1左小图左上角的点经过移动后得到的,而图1右小图的中间偏左上的点是由之前提到的“傅立叶双边频谱关于原点对称”这条性质得到的。

    4. Matlab小实验

    看了上面的内容,相信大家都已经对二维傅立叶有了一定的直观印象。我又用matlab写了个小程序,生成了几幅图片,帮助大家理解。

    图3
    图4
    图5
    图6
    图7
    图8

    5. Matlab代码

    最后附上我的matlab代码,便于大家自己做实验。

    如果对傅立叶变换的代码有什么疑问的话,可以看这篇文章"使用matlab对图像进行傅里叶变换-三山音"

    % 用sin(x+y)的图像来帮助理解二维图像的傅立叶变换
    
    img_size = 100;     % 图片尺寸
    x_step = 1;     
    y_step = 1;
    image = zeros(img_size, img_size);
    for x = x_step:x_step:x_step*img_size
        for y=y_step:y_step:y_step*img_size
            image(x/x_step, y/y_step)=sin(4*pi*x/img_size + 4*pi*y/img_size);
        end
    end
    
    
    subplot(1,3,1)
    imshow(image)       % 原图
    title('原图')
    
    subplot(1,3,2)
    image = im2double(image);
    F_unshift = fft2(image); 
    F_unshift_abs = abs(F_unshift);
    T = log(F_unshift_abs+1);
    imshow(T);   % 傅立叶变换后,未频移前
    title('傅立叶变换后,未频移')
    
    subplot(1,3,3)
    F = fftshift(F_unshift);
    F_abs = abs(F);
    T = log(F_abs+1);
    imshow(T)           % 傅立叶变换后,频移后
    title('傅立叶变换后,频移后')
    
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  • 5. 通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换。二、 实验原理1.应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具,它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器...

    第一部分 图像的傅立叶变换

    一、 实验目的

    1.了解图像变换的意义和手段;

    2. 熟悉傅里叶变换的基本性质;

    3. 熟练掌握FFT的方法及应用;

    4. 通过实验了解二维频谱的分布特点;

    5. 通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换。

    二、 实验原理

    1.应用傅立叶变换进行图像处理

    傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具,它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能,将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说,把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。

    2.傅立叶(Fourier)变换的定义

    对于二维信号,二维Fourier变换定义为:

    二维离散傅立叶变换为:

    三、 实验步骤

    1.打开计算机,安装和启动MATLAB程序;程序组中“work”文件夹中应有待处理的图像文件;

    2.利用MatLab工具箱中的函数编制FFT频谱显示的函数;

    3. a)调入、显示三张不同的图像;

    b)对这三幅图像做FFT并利用自编的函数显示其频谱;

    c)讨论不同的图像内容与FFT频谱之间的对应关系。

    4.记录和整理实验报告。

    四、 实验仪器

    1计算机, MATLAB软件;

    3移动式存储器(软盘、U盘等)。

    4记录用的笔、纸。

    五、 实验结果及程序

    1.程序

    I1=imread('F:MATLAB学习实验pictureLENA.TIF'); %读入原图像文件

    I2=imread('F:MATLAB学习实验picturecell.tif'); %读入原图像文件

    I3=imread('cameraman.tif'); %读入原图像文件

    subplot(3,2,1);imshow(I1); %显示原图像

    fftI1=fft2(I1); %二维离散傅立叶变换

    sfftI1=fftshift(fftI1); %直流分量移到频谱中心

    RR1=real(sfftI1); %取傅立叶变换的实部

    II1=imag(sfftI1); %取傅立叶变换的虚部

    A1=sqrt(RR1.^2+II1.^2); %计算频谱幅值

    A1=(A1-min(min(A1)))/(max(max(A1))-min(min(A1)))*225;%归一化

    subplot(3,2,2);imshow(A1); %显示原图像的频谱

    subplot(3,2,3);imshow(I2); %显示原图像

    fftI2=fft2(I2); %二维离散傅立叶变换

    sfftI2=fftshift(fftI2); %直流分量移到频谱中心

    RR2=real(sfftI2); %取傅立叶变换的实部

    II2=imag(sfftI2); %取傅立叶变换的虚部

    A2=sqrt(RR2.^2+II2.^2); %计算频谱幅值

    A2=(A2-min(min(A2)))/(max(max(A2))-min(min(A2)))*225;%归一化

    subplot(3,2,4);imshow(A2); %显示原图像的频谱

    subplot(3,2,5);imshow(I3); %显示原图像

    fftI3=fft2(I3); %二维离散傅立叶变换

    sfftI3=fftshift(fftI3); %直流分量移到频谱中心

    RR3=real(sfftI3); %取傅立叶变换的实部

    II3=imag(sfftI3); %取傅立叶变换的虚部

    A3=sqrt(RR3.^2+II3.^2); %计算频谱幅值

    A3=(A3-min(min(A3)))/(max(max(A3))-min(min(A3)))*225;%归一化

    subplot(3,2,6);imshow(A3); %显示原图像的频谱

    2.结果

    六、 思考题

    1.傅里叶变换有哪些重要的性质?

    线性、时频对偶性、展缩性、时移性、时域和频域的微分性等。

    第二部分 图像边缘提取

    一。 实验目的:

    掌握图像边缘提取的常用算子的特点和程序实现。

    二。实验原理:

    边缘就是图像中包含的对象的边界所对应的位置。物体的边缘以图像局部特性的不连续性的形式出现的,例如,灰度值的突变,颜色的突变,纹理结构的突变等。从本质上说,边缘就意味着一个区域的终结和另外一个区域的开始。图像边缘信息在图像分析和人的视觉中十分重要,是图像识别中提取图像特征的一个重要属性。

    边缘检测(edge

    detection)在图像处理和对象识别领域中都是一个重要的基本问题。由于边缘的灰度不连续性,可以使用求导数的方法检测到。最早的边缘检测方法都是基于像素的数值导数的运算。现在使用的边缘检测算法大致可以归纳为两类:梯度(gradient)算子和拉普拉斯(Laplacian)算子。

    三。实验内容:

    编制一个通用的边缘提取函数。通过输入不同的参数,能够实现Sobel算子、Prewitt算子、Roberts算子、Laplace算子和Canny边缘检测,并比较不同算子处理后的边缘图像的特点。(实验图像任选)

    MATLAB图像处理工具箱提供的edge函数可以实现检测边缘的功能,详细的使用语法可以在MATLAB命令窗口键入”help

    edge.m”获得帮助。该函数只能应用于灰度图像,其基本原理就是识别图像中灰度值变化较大的像素点。

    四。 实验步骤:

    a、 读入图像

    b、对图像依次进行Sobel算子,Prewitt算子,Roberts算子,Laplace算子和Canny算子运算,比较处理结果。

    五。 实验仪器

    1计算机;

    2 MATLAB软件;

    3移动式存储器(软盘、U盘等)。

    4记录用的笔、纸。

    六、 实验结果及程序

    1.程序

    I=imread('cameraman.tif');

    subplot(2,3,1);

    imshow(I);title('(a)原始图像');

    subplot(2,3,2);

    I1=edge(I,'sobel'); %Sobel算子边缘检测

    imshow(I1);title('(b)Sobel算子');

    subplot(2,3,3);

    I2=edge(I,'prewitt'); %Prewitt算子边缘检测

    imshow(I2);title('(c)Prewitt算子');

    subplot(2,3,4);

    I3=edge(I,'robert'); %Robert算子边缘检测

    imshow(I3);title('(d)Robert算子');

    subplot(2,3,5);

    I4=edge(I,'log'); %Laplace算子边缘检测

    imshow(I4);title('(e)Laplace算子');

    subplot(2,3,6);

    I5=edge(I,'canny'); �nny算子边缘检测

    imshow(I5);title('(f)Canny算子');

    2.实验结果

    3.实验结果分析

    由于Robert s

    算子是利用图像的两个对角线的相邻像素之差进行梯度幅值的检测,所以求得的是在差分点处梯度幅值的近似值,并且检测水平和垂直方向边缘的性能好于斜线方向的边缘,

    检测精度比较高, 但容易丢失一部分边缘, 同时由于没经过图像平滑计算,因此不能抑制噪声,该算子对具有陡峭的低噪声图像响应最好。

    Prewit t 算子和Sobel 算子都是对图像进行差分和滤波运算,仅在平滑部分的权值选择上有些差异,

    因此两者均对噪声具有一定的抑制能力, 但这种抗噪能力是通过像素平均来实现的, 所以图像产生了一定的模糊, 而且还会检测出一些伪边缘,

    所以检测精度比较低, 该类算子比较适用于图像边缘灰度值比较尖锐,且图像噪声比较小的情况。

    Laplace算子首先通过高斯函数对图像进行平滑处理, 因此对噪声的抑制作用比较明显, 但同时也可能将原有的边缘也平滑了,

    造成某些边缘无法检测到,。此外高斯分布因子σ的选择对图像边缘检测效果有较大的影响。σ越大, 检测到的图像细节越丰富, 但抗噪能力下降,

    从而出现伪边缘, 反之则抗噪能力提高, 但边缘检测精度下降, 易丢失许多真边缘, 因此, 对于不同图像应选择不同参数。

    Canny 算子也采用高斯函数对图像进行平滑处理, 因此具有较强的去噪能力, 但同样存在容易平滑掉一些边缘信息,

    其后所采用的一阶微分算子的方向性较Laplace算子要好,因此边缘定位精度较高。该算子与其它边缘检测算子的不同之处在于, 它使用2

    种不同的阈值分别检测强边缘和弱边缘, 并且仅当弱边缘与强边缘相连时才将弱边缘包含在输出图像中,

    因此这种方法较其它方法而言不容易被噪声“填充”,更容易检查出真正的弱边缘。通过实验结果可以看出,该算子在上述几种边缘检测算子当中效果最好。

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