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  • matlab求数值积分
    2021-04-18 06:52:43

    6 MATLAB 数值积分 6.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。 它们的基本思想都是将整个积分区间[a, b]分成n个子区间[xi, xi+1],i=1, 2, …, n, 其中x1 = a,xn+1 = b。 这样求定积分问题就分解为求和问题。 6.2 数值积分的实现方法 6.2.1 变步长辛普生法 基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为: [I, n] = quad('fname', a, b, tol, trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。 例1 求定积分: (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) 6.2.2 牛顿-柯特斯法 基于牛顿-柯特斯法,MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为: [I, n] = quad8('fname', a, b, tol, trace) 其中参数的含义和quad函数相似,只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值,且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数,从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 例2 求定积分: (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) 例3 分别用quad函数和quad8函数求定积分 的近似值,并在相同的积分精度下,比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分: format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n] = quad(fx,1,2.5,1e-10) 调用函数quad8求定积分: format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) 6.2.3 被积函数由一个表格定义 trapz(x,y) 为梯形积分法,x表示积分区间的离散化 向量,y是与x同维数的向量,表示被积函数在x处的函数值,z返回积分值。 例4 用trapz函数计算定积分。 命令如下: X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393 6.3 二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为: I = dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol,trace的用法与函数quad完全相同。 a,b 分别为x的上、下限,c,d分别为y上、下限。 例5 计算二重定积分 (1) 建立一个函数文件fxy.m: function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki 用int及数值积分命令计算 * * 定积分:函数f (x)在区间[a, b]上的定积分定义为 其中 triplequad(‘fun’,a,b,c,d,e,f) 为三维矩形区域上的三 重数值积分,fun表示被积函数的M函数 名,a,b分别为x的上、下限,c,d分别为 y上、下限,e,f分别为z上、下限。 其它命请同学们用help命令查阅详细信息及调用 方法。 * * 7 MATLAB符号计算 * * 7.1 符号对象 7.1.1 建立符号对象 1. 建立符号变量和符号常量

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    MATLAB求数值积分的方法

    2008年12月第20卷第6期石家庄职业技术学院学报

    JournalofShijiazhuangVocationalTechnologyInstituteDec.2008Vol.20 No.6

    文章编号:100924873(2008)0620058203

    用MATLAB求数值积分的方法

    陈佩宁a, 刘 竞b

    Ξ

    (石家庄职业技术学院a.信息工程系;b.机电工程系,河北石家庄 050081)

    摘 要:介绍了数值积分法的几种计算公式及相应的MATLAB命令,并给出了用MATLAB编程求数值积分的实例.

    关键词:MATLAB;数值积分;矩形公式;梯形公式;辛普森公式中图分类号:O172   文献标识码:A

    1 引言

    (4)f(x),只有一些由

    在一元微积分学中,若已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),求f(x)区间上的定积分可用牛顿∫

    a

    b

    f(x)dx)|

    a

    (b)-F(a).而在

    的方法求).2用数值积分的方法求一个函数在区间[a,b]上的定积分,可利用定积分的定义来求解:

    I=

    MATLABint求

    a

    b

    f(x)dx,

    该命令格式为:

    int(f,x,a,b) %求函数f在区间[a,b]上的

    a

    b

    n

    n→∞k=1

    f(x)dx=lim

    n

    ξf(k)∑

    ,n

    设In=

    k=1

    ξf(k)∑

    ,则I=limIn.

    n→∞n

    定积分.

    例1 求

    sinxdx.

    2

    此时称In为数值积分.显然,数值积分In就是I的近似值,并且当n越大,In就越接近于精确值I.由

    [2]

    于ξk取值不同,数值积分In的结果会有所不同.数值积分的计算公式也有多种:

    (1)矩形公式

    解 输入命令:>>symsx>>I=int(sin(x),x,0,pi/2),结果显示为:I=1.

    用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用,但它并不能解决定积分计算的所有问题.在工程技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.其可能出现的情况[1]有:

    (1)某些被积函数f(x),其原函数无法用初等函数表示,如exdx,

    将积分区间[a,b]n等分,每个小区间宽度均为h=(b-a)/n,h称为积分步长.

    记a=x0

    n-1

    ∫x

    2

    Ln=hRn=h

    dx等.

    k=0n

    f(xk),h∑f(xk),h∑

    ==

    nn

    ①②

    (2)函数f(x)结构复杂,求其原函数非常困难.(3)函数f(x)的结构虽然简单且其原函数存

    k=1

    在,但其原函数的结构相对复杂.

    Ξ收稿日期:2007212224

    称公式①,②分别为左、右矩形公式,两个矩形面积分别小于和大于所求曲边梯形的面积

    1-118-png_6_0_0_45_1164_37_22_841.5_1204.5-200-0-443-200.jpg

    .

    作者简介:陈佩宁(19712),女,河北望都人,石家庄职业技术学院讲师.

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  • MATLAB求数值积分的方法.pdf
  • 利用matlab求解数值积分

    千次阅读 2021-04-26 18:09:12
    1 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a, b]分成n个子区间[xi, xi+1],i=1,...

    1  数值积分基本原理

    求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。

    它们的基本思想都是将整个积分区间[a, b]分成n个子区间[xi, xi+1],i=1, 2,…, n,其中x1 = a,xn+1 = b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

    2  数值积分的实现方法

    2.1  变步长辛普生法

    基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为:

    [I, n] = quad('fname', a, b, tol, trace)

    其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。

    例1求定积分:

    be4613615cdd773a54e1ecc53a5891ae.png

    (1) 建立被积函数文件fesin.m。

    function f=fesin(x)

    f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);

    (2) 调用数值积分函数quad求定积分。

    [S,n]=quad('fesin',0,3*pi)

    (S为返回值,n是调用次数)

    2.2  牛顿-柯特斯法

    基于牛顿-柯特斯法,MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为:

    [I, n] = quad8('fname', a, b, tol, trace)

    其中参数的含义和quad函数相似,只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值,且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数,从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。

    例2  求定积分:

    32326e33967b86db7829a692bd9b913c.png

    (1) 被积函数文件fx.m。

    function f=fx(x)

    f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));

    (2) 调用函数quad8求定积分。

    I=quad8('fx',0,pi)

    例3 分别用quad函数和quad8函数求定积分

    095b29ce3a9bc3394e91d9565a4bacd8.png

    的近似值,并在相同的积分精度下,比较函数的调用次数。

    1)调用函数quad求定积分:

    format long;

    fx=inline('exp(-x)');

    [I,n] = quad(fx,1,2.5,1e-10)

    2)调用函数quad8求定积分:

    format long;

    fx=inline('exp(-x)');

    [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)

    2.3  被积函数由一个表格定义

    (要求积分,但是函数没有直接给出,只是自己在做实验时得到的一组相关联的数据)

    在MATLAB中,对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。

    例4  用trapz函数计算定积分。

    命令如下:

    X=1:0.01:2.5;

    Y=exp(-X);        %生成函数关系数据向量

    trapz(X,Y)

    ans =

    0.28579682416393

    3  二重定积分的数值求解

    使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为:

    I = dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)

    该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol,trace的用法与函数quad完全相同。

    例5  计算二重定积分

    301ce27141e2f07219b6899007a83fe1.png

    (1) 建立一个函数文件fxy.m:

    function f=fxy(x,y)

    global ki;

    ki=ki+1;           %ki用于统计被积函数的调用次数

    f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);

    (2) 调用dblquad函数求解。

    global ki;ki=0;

    I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)

    ki

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  • 基于MATLAB数值积分问题求解

    千次阅读 2022-03-20 23:43:08
    一. 由给定数据进行梯形积 梯形积的图形理解可看如下图:

    目录

    一. 由给定数据进行梯形求积

    例题一

    例题二

    二. 单变量数值积分问题求积

    例题三

    例题四

    例题五

    例题六


    一. 由给定数据进行梯形求积

    梯形求积的图形理解可看如下图:

    把函数分解成无数个这种类似的梯形,如下:

     

    积分形式:I=\int_a^b{f(x)}dx=\sum_{i=1}^N\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx=\sum_{i=1}^N\Delta f_i

    梯形面积形式:S=\frac{1}{2}[\sum_{i=1}^{N-1}(y_{i+1}+y_i)(x_{i+1}-x_i)]=\frac{1}{2}\lbrace\sum_{i=1}^{N-1}[(y_{i+1}-y_i)+2y_i](x_{i+1}-x_i)\rbrace

    上式中向量x={[x_1,x_2,\ldots,x_N]}^T,y={[y_1,y_2,\dots,y_N]}^T

    梯形面积对应的MATLAB代码:

    sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2

    MATLAB自带有函数:trapz() 来计算数值梯形积分。调用格式为:

    trapz(x,y)

    来看几道例题。

    例题一

    用梯形法求x\in(0,\pi)区间内,函数sin(x),cos(x),sin(\frac{x}{2})的定积分值。

    解:

    MATLAB代码:

    clc;clear;
    x1=[0:pi/30:pi]';
    y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)];
    x=[x1 x1 x1];
    
    
    S1=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 %直接求解
    
    S2=trapz(x1,y) %调用函数求解

    运行结果:

    S1 =1.998171961343654   0.000000000000000   1.999543052990808


    S2 =1.998171961343654   0.000000000000000   1.999543052990808

    结果分析:两种方法得出的结果完全一致

    例题二

    用定步长方法求解积分\int_0^{\frac{3\pi}{2}}cos(15x)dx

    解:

    MATLAB代码如下:

    clc;clear;
    
    %画图
    x=[0:0.01:3*pi/2]; %这样赋值能确保3*pi/2点包含在内
    y=cos(15*x);
    plot(x,y)
    
    %求取理论值
    syms x;
    A=int(cos(15*x),0,3*pi/2)
    
    %数值方法
    h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; %随着步距h的减小,计算精度逐渐增加
    v=[];
    for h=h0
        x=[0:h:3*pi/2];
        y=cos(15*x);
        I=trapz(x,y);
        v=[v;h,I,1/15-I]; %1/15是积分的理论值
    end
    format long;
    v

    运行结果

    A =1/15

    结果的解释:第一列为不同的步长,第二列为对应求出的积分值,第三列为与标准积分结果的差值。

    二. 单变量数值积分问题求积

    首先引入辛普森(Simpson)公式。Simpson方法求解[x_i,x_{i+1}]上的积分如下:

    \Delta f_i\approx \frac{h_i}{12}[f(x_i)+4f(x_i+\frac{h_i}{4})+2f(x_i+\frac{h_i}{2})+4f(x_i+\frac{3h_i}{4})+f(x_i+h_i)]

    上式子中h_i=x_{i+1}-x_i

    形成图形解释,如下:

     MATLAB中可以调用函数直接计算如下:

    y=quad(Fun,a,b)  y=quadl(Fun,a,b) % 求定积分
    y=quad(Fun,a,b,c) y=quadl(Fun,a,b,c)
    %两种函数均为变步长
    %Fun为函数的字符串变量
    %限定精度的定积分求解,默认精度为10-6。
    %quadl函数使用的算法是自适应Lobatto算法其精度和速度均远高于quad函数

    例题三

    求解erf(1.5)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{1.5} e^{-t^2}dt

    代码如下: 

    clc;clear;
    
    %运用符号工具箱
    syms x;
    y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
    
    format long %16位精度
    f=@(x)2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);
    y=quadl(f,0,1.5,1e-20) %设置高精度
    
    error=abs(y-y0)

    运行结果:

     
    y0 =0.966105146475310713936933729949905794996224943257461473285748
     

    y =0.966105146475311

     
    error =0.000000000000000064025228489138917324084325807202

    例题四

    求解I并画出f(x)。

    I=\int_0^4f(x)dx,其中f(x)定义为如下:

     解:

    (1)画图

    代码如下:

    x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
    y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
    y(end)=0;
    x=[eps, x];
    y=[0,y]; %为减少视觉上的误差,对端点与间断点(有跳跃)进行处理。
    
    fill(x,y,'g')

    运行结果:

     (2)求积分

    代码如下: 

    clc;clear;
    f=@(x)exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
    
    %直接调用quadl求解
    I1=quadl(f,0,4)
    
    %解析解
    syms x;
    I2=vpa(int(exp(x^2),0,2)+int(80/(4-sin(16*pi*x)),2,4))

    运行结果:

    I1 =57.764450169467679
    I2 =57.76445012505301033331523538518

    以下介绍一个新的MATLAB可调用的函数:integral数值积分

    q=integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)

    例题五

    计算函数f(x)=e^{-x^2}{(lnx)}^2的积分,x\in[0,Inf)。(此题为广义积分)

    解:

    MATLAB代码如下:

    clc;clear;
    fun=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2;
    q=integral(fun,0,Inf)

    运行结果:q =1.947522220295560

    例题六

    计算参数化函数f(x)=\frac{1}{x^3-2x-c} 的积分,x\in[0,2],c=5

    MATLAB代码如下:

    clc;clear;
    c=5;
    fun=@(x,c)1./(x.^3-2*x-c);
    q=integral(@(x)fun(x,c),0,2)

    运行结果:q = -0.460501533846733

    再补充举一个例子:

    代码:

    clc;clear;
    fun=@(x)log(x);
    format long
    q1=integral(fun,0,1)
    q2=integral(fun,0,1,'RelTol',0,'AbsTol',1e-12)

    运行结果:


    q1 =-1.000000010959678


    q2 =-1.000000000000010

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  • matlab 数值积分方法

    千次阅读 2021-04-18 06:28:42
    第8章MATLAB数值积分与微分8.1 数值积分8.2 数值微分8.1 数值积分8.1.1 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。...
  • 可以用于计算复式梯形公式和复式辛普森公式,以及其他数值积分运算。
  • 在数学中,梯形法则是一种数值积分方法,即近似计算定积分值的方法。 该规则基于通过通过点 (a, f (a)) 和 (b, f (b)) 的线性函数的积分值来近似 f (x) 的积分值。 例子: 输入下限a:1 输入上限 b:2 输入步长 h:...
  • 一重数值积分的实现方法 变步长辛普森法高斯 - 克朗罗德法梯形积分法 1.1 变步长辛普森法 Matlab 提供了 quad 函数和 quadl 函数用于实现变步长 辛普森法求数值积分 . 调用格式为 : [I,n]=Quad@fname,a,b,tol,trace...

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