Matlab中cov函数详细解读
１、向量的方差与协方差矩阵
cov(x)
求向量x的方差。
cov(x)为一个数值，数值大小计算公式为S(x)。
cov(x,y)
求向量x与y的协方差矩阵。
cov(x,y)为2*2矩阵，
[S(x) C(x,y);
C(y,x) S(y);]
２、矩阵协方差矩阵
cov(X)
求矩阵X的协方差矩阵。diag(cov(X))得到每一个列向量的方差。sqrt(diag(cov(X)))得到每一个列的标准差。
若Ｘ大小为M*N，则cov(X) 大小为N*N的矩阵。cov(X) 的第(i,j)个元素等于X的第i列向量与第j列向量的方差，即C(Xi,Xj)。
cov(X,Y)
求矩阵X与Y的协方差矩阵。
若X大小为M*N，Y为K*P，则X，Y的大小必须满足M*N=K*P，即X，Y的元素个数相同。
此时，cov(X,Y) 等于cov([X(:) Y(:)])和cov(X(:),Y(:))，即计算两个向量的协方差矩阵，得到的结果为2*2矩阵。
[S(X(:)) C(X(:),Y(:));
C(Y(:),X(:)) S(Y(:));]
可知，S(X) =C(X,X).
3、关于归一化的问题
在上述的S(X),C(X,Y)计算中，采用的归一化参数是1/(N-1) ,其中N是向量中元素的个数。而下面的调用形式采用的归一化参数是1/N。对应的公式如下图所示。cov(x,1)
求向量x的方差。计算方法如cov(x)，但归一化参数为1/N。
cov(x,y,1)
求向量x与y的协方差矩阵。计算方法如cov(x,y)，但归一化参数为1/N。
为区别对待，
cov(x)又记作cov(x,0)
cov(x,y)又记作cov(x,y,0)
cov(X) 又记作cov(X,0)
cov(X,Y) 又记作cov(x,y,0)
对于归一化参数为1/(N-1)的情况，当N=1时，自动将参数调整为1/N。
是以
个标量随机变量组成的
是其第i个元素的
。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下：
![\Sigma=\mathrm{E} \left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^\top \right]](http://upload.wikimedia.org/math/1/8/1/1811f942680a72974597be42c28d31d2.png)
![= \begin{bmatrix} \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)] \end{bmatrix}](http://upload.wikimedia.org/math/a/1/2/a12a573ecd1d853abd8c01fab9fccfbe.png)
个元素是
与
的协方差。这个概念是对于
