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  • 分析曲线极限值: 当x取正无穷大时,由于c小于0,指数项变为0,有y=a。结合曲线,可以得出a应大于1.4789。 总结: 牛顿迭代法简介 对于方程 f(x)=0,可以用以下迭代的方法求解。 如果x为单个变量,则f(x)为单个方程...

    问题描述

    已知平面的三个点(x,y)分别为(0.1,1.1627), (0.23,1.3694), (0.48,1.4789),其曲线图如下:

    1649534b450f21ba4763b974bbcccade.png

    又已知(x,y)的函数关系式为:

    f2763bf59e8589ecccf239b1eb10c1c6.png

    求:参数a,b,c的值。

    初步分析

    从图形上来看,经过定性分析,可以有以下结论:

    1. 分析曲线斜率:

    08e14c6b8c6089279abe9bbec10e77da.png

    • 曲线斜率为正值,因此bc乘积大于0。

    • 曲线斜率随x增大而变小,因此c小于0。结合bc乘积大于0,得到b小于0。

    1. 分析曲线极限值:

    • 当x取正无穷大时,由于c小于0,指数项变为0,有y=a。结合曲线,可以得出a应大于1.4789。

    1. 总结:

    bab0dabc90ae6fe6d75b048cbd2cf866.png

    牛顿迭代法简介

    对于方程 f(x)=0,可以用以下迭代的方法求解。

    0f6cd495f0c151fcdc14439235f9402d.png

    如果x为单个变量,则f(x)为单个方程,上式很好理解。

    如果x为多个变量,则f(x)为方程组,f(x)导数为:

    519a30cc82d1d70cfe1f883c85c41c28.png

    Matlab代码实现

    定义初始解,

    x=[1;1;1];

    迭代计算

    while(1)% 取a,b,c
    a=x(1);b=x(2);c=x(3);% 计算f(x)
    f_x=[
    a+b*exp(c*0.1)-1.1627;
    a+b*exp(c*0.23)-1.364;
    a+b*exp(c*0.48)-1.4789;
    ];% 计算f(x)导数
    df_x=[
    1 exp(c*0.1) b*0.1*exp(c*0.1);
    1 exp(c*0.23) b*0.23*exp(c*0.23);
    1 exp(c*0.48) b*0.48*exp(c*0.48);
    ];% 迭代计算。在M文件中,建议将inv(A)*b写成A\b
    x_1=x-(df_x)\f_x;% 迭代计算条件,设置为相邻解的2-范数小于0.01if(norm(x_1-x,2)<0.01)break;else
    x=x_1;endend

    显示结果

    disp(x_1)
        1.5042
    -0.6773
    -6.8480

    比较结果

    a=x_1(1);b_1=x(2);c_1=x(3);
    f=@(x) a+b*exp(c*x);
    disp([num2str(f(0.1)),' ',num2str(f(0.23)),' ',num2str(f(0.48))]);
    1.1627 1.364 1.4789

    可以发现结果完全匹配。

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  • matlab计算矩阵的一范数,或者无穷范数
  • L2范数、无穷范数

    千次阅读 2019-11-27 20:34:39
    一、向量的范数 首先定义一个向量为:a=[-5,6,8, -10] 1.1 向量的1范数 向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29 MATLAB代码实现为:norm(a,1...1.向量的负无穷范数即:向量的所有元素的绝对...

    一、向量的范数

    首先定义一个向量为:a=[-5,6,8, -10]

    1.1 向量的1范数

    向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29
    MATLAB代码实现为:norm(a,1)

    1.2 向量的2范数

    向量的每个元素的平方的和再开平方根,上述a的2范数结果就是:15
    MATLAB代码实现为:norm(a,2)

    1.3 向量的无穷范数

    1.向量的负无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最小的
    上述向量a的负无穷范数结果就是:5
    MATLAB代码实现为:norm(a,-inf)
    2…向量的正无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最大的
    上述向量a的负无穷范数结果就是:10
    MATLAB代码实现为:norm(a,inf)

    2.欧几里得范数 ==欧式长度 =L2 范数 ==L2距离

    Euclidean norm == Euclidean length == L2 norm == L2 distance == norm

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    注:范数的本质是距离,存在的意义是为了实现比较。
    比如,在一维实数集合中,我们随便取两个点4和9,我们知道9比4大,
    但是到了二维实数空间中,取两个点(1,1)和(0,3),这个时候我们就没办法比较它们之间的大小,因为它们不是可以比较的实数,于是我们引入范数这个概念,把我们的(1,1)和(0,3)通过范数分别映射到实数 和 3 ,这样我们就比较这两个点了。
    所以范数它其实是一个函数,它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。】

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  • 在命令行窗口输入矩阵A,>> a=[0.780 0.563;0.913 0.659] 返回结果输出, a = 0.7800 0.5630 0.9130 0.6590 求该矩阵的逆,>>b=inv(a) 返回结果输出, b = ...求矩阵的无穷范数, ...

    在命令行窗口输入矩阵A,>> a=[0.780 0.563;0.913 0.659]
    返回结果输出,
    a =

    0.7800    0.5630
    0.9130    0.6590
    

    求该矩阵的逆,>>b=inv(a)
    返回结果输出,
    b =

    1.0e+05 *

    6.5900   -5.6300
    

    -9.1300 7.8000
    注,返回矩阵前的为科学记数法
    求矩阵的无穷范数,
    注:矩阵的无穷范数是–各元素先取绝对值而后按行相加的最大值
    `>> norm(b,inf)

    ans =

    1.6930e+06

    norm(a,inf)

    ans =

    1.5720`
    

    分别求得矩阵a,b的无穷范数

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    向量和矩阵的各种范数比较(1范数、2范数、无穷范数等等

    范数

    norm

    矩阵

    向量

    一、向量的范数

    首先定义一个向量为:a=[-5,6,8, -10]

    1.1 向量的1范数

    向量的1范数即:向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29,MATLAB代码实现为:norm(a,1);

    1.2 向量的2范数

    向量的2范数即:向量的每个元素的平方和再开平方根,上述a的2范数结果就是:15,MATLAB代码实现为:norm(a,2);

    1.3 向量的无穷范数

    1.向量的负无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最小的:上述向量a的负无穷范数结果就是:5,MATLAB代码实现为:norm(a,-inf);

    2…向量的正无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最大的:上述向量a的负无穷范数结果就是:10,MATLAB代码实现为:norm(a,inf);

    二、矩阵的范数

    首先我们将介绍数学中矩阵的范数的情况,也就是无论哪个学科都统一的一种规定。。。

    例如矩阵A = [ -1 2 -3;

    4 -6 6]

    2.1 矩阵的1范数

    矩阵的1范数即:矩阵的每一列上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(列和最大),上述矩阵A的1范数先得到[5,8,9],再取最大的最终结果就是:9,MATLAB代码实现为:norm(A,1);

    2.2 矩阵的2范数

    矩阵的2范数即:矩阵A^TA的最大特征值开平方根,上述矩阵A的2范数得到的最终结果是:10.0623,MATLAB代码实现为:norm(A,2);

    2.3 矩阵的无穷范数

    矩阵的1范数即:矩阵的每一行上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(行和最大),上述矩阵A的1范数先得到[6;16],再取最大的最终结果就是:16,MATLAB代码实现为:norm(A,inf);

    接下来我们要介绍机器学习的低秩,稀疏等一些地方用到的范数,一般有核范数,L0范数,L1范数(有时很多人也叫1范数,这就让初学者很容易混淆),L21范数(有时也叫2范数),F范数。。。上述范数都是为了解决实际问题中的困难而提出的新的范数定义,不同于前面的矩阵范数。

    2.4 矩阵的核范数

    矩阵的核范数即:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩),上述矩阵A最终结果就是:10.9287, MATLAB代码实现为:sum(svd(A))

    2.5 矩阵的L0范数

    矩阵的L0范数即:矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏,上述矩阵A最终结果就是:6

    2.6 矩阵的L1范数

    矩阵的L1范数即:矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以表示稀疏,上述矩阵A最终结果就是:22,MATLAB代码实现为:sum(sum(abs(A)))

    2.7 矩阵的F范数

    矩阵的F范数即:矩阵的各个元素平方之和再开平方根,它通常也叫做矩阵的L2范数,它的有点在它是一个凸函数,可以求导求解,易于计算,上述矩阵A最终结果就是:10.0995,MATLAB代码实现为:norm(A,‘fro’)

    2.8 矩阵的L21范数

    矩阵的L21范数即:矩阵先以每一列为单位,求每一列的F范数(也可认为是向量的2范数),然后再将得到的结果求L1范数(也可认为是向量的1范数),很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数,上述矩阵A最终结果就是:17.1559,MATLAB代码实现为: norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)

    MARSGGBO♥原创

    2018-8-5

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