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  • matlab整数规划
    千次阅读
    2022-01-27 09:45:35

    一、整数规划

    • 定义:数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划。
      若在线性规划模型中,变量限制为整数,则称为整数线性规划。
    • 分类:(1)变量全部限制为整数时,称为纯(完全)整数规划;(2)变量部分限制为整数时,称为混合整数规划。
    • 特点:
      (1)原线性规划有最优解,当自变量限制为整数后,其整数规划解出现下述情况。
      原线性规划最优解全是整数,则整数规划最优解与线性规划最优解一致
      整数规划无可行解
      有可行解(存在最优解),但最优解值变差
      (2)整数规划最优解不能按照实数最优解简单取值而获得。
    • 求解方法分类:
      分枝定界法——可求完全或混合整数线性规划
      割平面法——可求完全或混合整数线性规划
      隐枚举法——求解“0-1”整数规划
      匈牙利法——解决指派问题
      蒙特卡洛法——求解各种类型规划

    二、非线性规划的Matlab标准形式及问题求解

    在这里插入图片描述

    c=[2;3;4];
    a=[1.5,3,5;280,250,400];
    b=[600;60000];
    intcon=[1,2,3];
    [x,y]=intlinprog(-c,intcon,a,b,[],[],zeros(3,1))
    x,y=-y
    

    在这里插入图片描述

    f=[5;5.1;5.4;5.5;0.2;0.2;0.2];
    a=[1 0 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0 ;0 0 1 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0];
    b=[30;40;45;20];
    aeq=[1 0 0 0 -1 0 0;0 1 0 0 1 -1 0 ;0 0 1 0 0 1 -1;0 0 0 1 0 0 1];
    beq=[15;25;35;25];
    intcon=[1,2,3,4,5,6,7];
    [x,y]=intlinprog(f,intcon,a,b,aeq,beq,zeros(7,1))
    

    四、整数非线性规划的代码实现(matlab)

    • max z = x(1)2+x(2)2+3x(3)2+4*x(4)2+2x(5)^2-8x(1)-2x(2)-3x(3)-x(4)-2x(5)
    • 约束条件为:
      x1 + x2 + x3 + x4 + x5 <= 400
      x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 6x5 <= 800
      2
      x1 + x2 + 6x3 <= 200
      x3 + x4 + 5
      x5 <= 200
      0=< xi <= 99 , i = 1,2,3,4,5
    function myfun
    x0 = [50 99 0 99 20];
    A = [1,1,1,1,1;1,2,2,1,6;2,1,6,0,0;0,0,1,1,5];
    b = [400,800,200,200];
    Aeq = [];
    beq = [];
    VLB = [0;0;0;0;0];
    VUB = [99;99;99;99;99];
    [x,fval] = fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
    end
    
    function ff = fun(x)
        ff = -(x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)^2-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2*x(5));
    end
    

    五、蒙特卡罗法求解整数非线性规划

    • max z = x12+x22+3x32+4*x42+2x5^2-8x1-2x2-3x3-x4-2x5
    • 约束条件为:
      x1 + x2 + x3 + x4 + x5 <= 400
      x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 6x5 <= 800
      2
      x1 + x2 + 6x3 <= 200
      x3 + x4 + 5
      x5 <= 200
      0=< xi <= 99 , i = 1,2,3,4,5
    % 主函数
    rand('state',sum(clock));
    p0=0;
    tic
    for i=1:100
       x1=randi([0,99],5,1);
       [f,g]=mengte(x1);
        if sum(g<=0)==4
           if p0<=f
              x0=x1;p0=f;
           end
        end
    end
    x0,p0
    toc
    
    function [f,g]=mengte(x);
    f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)...
       -x(4)-2*x(5);
    g(1)=sum(x)-400;
    g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800;
    g(3)=2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200;
    g(4)=x(3)+x(4)+5*x(5)-200;
    end
    
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    整数规划 1.整数规划概论 定义: 数学规划中的变量(部分或者全部)限制为整数时,称为整数规划。 若在线性规划模型中,变量限制为整数,则称为整数线性规划。 分类: 大致分为两类: (1):变量全限制为整数时,...

    整数规划


    1.整数规划概论


    定义:
    数学规划中的变量(部分或者全部)限制为整数时,称为整数规划。
    若在线性规划模型中,变量限制为整数,则称为整数线性规划。


    分类:
    大致分为两类:
    (1):变量全限制为整数时,称为纯(完全)整数规划。
    (2):变量部分限制为整数时,称为混合整数规划。


    特点:
    (1):原线性规划有最优解,当自变量限制为整数后,其整数规划解出现下述情况。
    a,原线性规划最优解全是整数,则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
    b,整数规划无可行解。
    c,有可行解(当然就存在最优解),但最优解值变差。
    (2):整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。


    求解方法分类:
    (1):分枝定界法——可求纯或者混合整数线性规划
    (2):割平面法——可求纯或者混合整数线性规划
    (3):隐枚举法——求解“0-1”整数规划
    a.过滤隐枚举法
    b.分枝隐枚举法
    (4):匈牙利法——解决指派问题(“0-1”规划特殊情形)
    (5):蒙特卡洛法——求解各种类型规划


    2.非线性规划的Matlab标准形式及问题求解


    在这里插入图片描述
    式中:
    f,x,inction,b,beq,lb,ub 为列向量;A,Aeq为矩阵。
    其中intcon表示整数变量的位数,例若变量中 x1,x2为整数变量,则intcon=[1,2]


    3.整数线性规划例题


    例1:求解下列整数规划。
    在这里插入图片描述
    解:求解的matlab程序如下:

    c=[2;3;4];
    a=[1.5,3,5;280,250,400];
    b=[600;60000];
    intcon=[1,2,3];
    [x,y]=intlinprog(-c,intcon,a,b,[],[],zeros(3,1))
    x,y=-y
    

    程序运行结果如下:
    在这里插入图片描述
    求得当x1=64,x2=168,x3=0时,最大值y=632


    例2:求解下列整数规划。
    在这里插入图片描述
    解:求解的matlab程序如下:

    f=[5;5.1;5.4;5.5;0.2;0.2;0.2];
    a=[1 0 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0 ;0 0 1 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0];
    b=[30;40;45;20];
    aeq=[1 0 0 0 -1 0 0;0 1 0 0 1 -1 0 ;0 0 1 0 0 1 -1;0 0 0 1 0 0 1];
    beq=[15;25;35;25];
    intcon=[1,2,3,4,5,6,7];
    [x,y]=intlinprog(f,intcon,a,b,aeq,beq,zeros(7,1))
    

    程序运行结果如下:
    在这里插入图片描述
    求得当x1=15,x2=40,x3=25,x4=20,y1=0,y2=15,y3=5时,最小值y=528


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      利用整数规划求解,MATLAB整数规划命令:   [x,fval,exitflag]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)   建立起来的数学模型: m i n f T x min f^Tx m i n f T x subject to { A ⋅ x < = b A e ...

    一、问题描述

      数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏,盘面是个九宫,每一宫又分为九个小格。在这八十一格中根据已知数字和解题条件,利用逻辑和推理,在其他的空格上填入1-9的数字,使1-9中的每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。

    二、模型建立

      将 9 × 9 9\times9 9×9 的数独矩阵转化为 9 × 9 × 9 9\times9\times9 9×9×9 的三维矩阵 ,三维矩阵中每一个元素的值为0或1。例如,若原数独矩阵的第一行第二列的数字为7,则三维矩阵第7层的对应位置为1,其它层该位置皆为0,总共个 9 × 9 × 9 9\times9\times9 9×9×9 变量,用 X ( i , j , k ) X(i,j,k) X(i,j,k) 表示第 k k k 层矩阵的第 i i i 行第 j j j 列的元素。

      约束条件:

    1. 9层矩阵的同一位置只可以出现一个1:
      ∑ k = 1 9 X ( i , j , k ) = 1 , i = 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , 9 , j = 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , 9 \sum_{k=1}^9X(i,j,k)=1, i=1,2,\cdots,9,j=1,2,\cdots,9 k=19X(i,j,k)=1,i=1,2,,9,j=1,2,,9

    2. 任何一层的任何一行只能有一个1:
      ∑ j = 1 9 X ( i , j , k ) = 1 , i = 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , 9 , k = 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , 9 \sum_{j=1}^9X(i,j,k)=1, i=1,2,\cdots,9,k=1,2,\cdots,9 j=19X(i,j,k)=1,i=1,2,,9,k=1,2,,9

    3. 任何一层的任何一列只能有一个1:
      ∑ i = 1 9 X ( i , j , k ) = 1 , j = 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , 9 , k = 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , 9 \sum_{i=1}^9X(i,j,k)=1, j=1,2,\cdots,9,k=1,2,\cdots,9 i=19X(i,j,k)=1,j=1,2,,9,k=1,2,,9

    4. 每层的九宫格中只能有一个1:
      ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 X ( i + U , j + V , k ) = 1 , k = 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , 9 , \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3X(i+U,j+V,k)=1,k=1,2,\cdots,9, i=13j=13X(i+U,j+V,k)=1,k=1,2,,9, U , V ∈ { 0 , 3 , 6 } U,V\in\lbrace0,3,6\rbrace U,V{0,3,6}

      总共 4 × 9 2 4\times9^2 4×92 个约束条件。
      利用整数规划求解,MATLAB整数规划命令:
      [x,fval,exitflag]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
      建立起来的数学模型:
    m i n f T x min f^Tx minfTx subject to { A ⋅ x &lt; = b A e q ⋅ x = b e q l b &lt; = x &lt; = u b x (intcon) are integers \text{subject to} \begin{cases} A\cdot x&lt;=b \\ Aeq\cdot x=beq \\ lb&lt;=x&lt;=ub \\ \text{$x$(intcon) are integers}\end{cases} subject toAx<=bAeqx=beqlb<=x<=ubx(intcon) are integers

    三、求解思路

      聊之前,先说说系数矩阵 A e q Aeq Aeq 的构造,从简单说起:
      如果要用矩阵表示 ∑ i = 1 n c i x i \sum_{i=1}^nc{_i}x{_i} i=1ncixi,利用矩阵的乘法,有两种方式:
      1.
    ( c 1 , c 2 , ⋯ &ThinSpace; , c n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \begin{pmatrix} c_{_1},c{_2},\cdots,c{_n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x{_1} \\ x{_2} \\ \vdots \\ x{_n}\end{pmatrix} (c1,c2,,cn)x1x2xn
      2.
    ( x 1 , x 2 , ⋯ &ThinSpace; , x n ) ( c 1 c 2 ⋮ c n ) \begin{pmatrix} x_{_1},x{_2},\cdots,x{_n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} c{_1} \\ c{_2} \\ \vdots \\ c{_n}\end{pmatrix} (x1,x2,,xn)c1c2cn
      我们采用第一种,利用系数向量的转置乘以变量向量:
      将系数放在相应变量的位置,然后对整个矩阵或者是向量进行转置,有几个约束条件,与之对应地,系数矩阵 A e q Aeq Aeq 就有多少行,具体做法见下文代码部分。

      ##求解思路##

    四、源程序

    1. 主程序 shudu.m

    clear;clc;
    N=9^3;     % 变量个数
    M=4*(9^2); % 约束条件个数
    
    % 总体思路是利用整数规划进行求解
    % MATLAB整数规划命令:
    % [x,fval,exitflag]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
    % 分别为目标函数、整型约束、不等式约束,等式约束和解的上下界
    
    % 下面分为几步进行:
    % 一、设置参数;
    % 二、求解;
    % 三、结果显示;
    
    
    % 一、设置参数
    % 1.目标函数,并无实际意义
    f=zeros(1,N); 
    % 2.intcon:设置某些变量的取值为整数,
    % 这里设置全部变量
    intcon=1:N;   
    % 3.设置A,b
    A=[];
    b=[];
    
    % 4.设置上下限
    % (1).上限
    ub=ones(N,1);
    % (2).确定下限
    X0=zeros(9,9,9);
    % 设置数独矩阵B,9x9矩阵
    B=[0,0,0,0,0,0,2,0,0
       0,1,2,0,0,6,0,9,0
       0,3,0,2,5,0,0,0,1
       0,0,8,1,0,0,0,4,0
       0,0,5,0,7,0,3,0,0
       0,4,0,0,0,2,9,0,0
       2,0,0,0,3,4,0,7,0
       0,7,0,9,0,0,6,5,0
       0,0,3,0,0,0,0,0,0];
    % 显示原始数独矩阵
    showShudu(B);
    % 根据数独矩阵确定某些变量的下限为1
    % 这些变量为已知条件,上限也为2,在求解过程中不会变动
    for i=1:9
        for j=1:9
            if B(i,j)~=0
                X0(i,j,B(i,j))=1;
            end
        end
    end
    % trans:自定义函数,对参数中的每一个二维矩阵进行转置操作
    % 这样做是因为reshape命令是按照列来提取矩阵中的元素
    % 在本问题中,变量是按行排列的
    % 所以为了获取等式约束中的系数,需要进行转置操作
    X0=trans(X0);
    lb=reshape(X0,N,1);
        
    
    % 5.设置beq
    beq=ones(M,1);
    % 6.设置Aeq
    Aeq=zeros(M,N);
    count=1; % 用于遍历Aeq的列数
    % i,j,k分别表示行数、列数、层数
    % Amid用于向Aeq中输入变量前的系数
    % 为了与变量相对应,同样需要进行转置操作
    
    % (1).任何一层的任何一行只能有一个1 
    for k=1:9
        for i=1:9
            Amid=zeros(9,9,9); % 清空Amid
            Amid(i,:,k)=1;     % 某一层的某一行设为1     
            Aeq(count,:)=reshape(trans(Amid),1,N);
            count=count+1;
        end
    end
    
    % (2).任何一层的任何一列只能有一个1 
    for k=1:9
        for j=1:9
            Amid=zeros(9,9,9);  % 清空Amid
            Amid(:,j,k)=1;      % 某一层的某一列设为1
            Aeq(count,:)=reshape(trans(Amid),1,N);
            count=count+1;
        end
    end
    
    % (3).9层矩阵的同一位置只可以出现一个1 
    for i=1:9
        for j=1:9
            Amid=zeros(9,9,9); % 清空Amid
            Amid(i,j,:)=1;     % 所有层的某一位置设为1
            Aeq(count,:)=reshape(trans(Amid),1,N);
            count=count+1;
        end
    end
    
    % (4).九宫格约束
    for k=1:9
        for u=0:3:6
            for v=0:3:6
                Amid=zeros(9,9,9);        % 清空Amid
                Amid(u+1:u+3,v+1:v+3,k)=1;% 小九宫格位置设为1
                Aeq(count,:)=reshape(trans(Amid),1,N);
                count=count+1;
            end
        end
    end
        
    
    % 二、求解
    % 整数规划范式:
    % x=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
    [x,~,exitflag]=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
    
    
    % 三、结果显示
    if exitflag<=0
        fprintf('解不存在.\n');
    else% exitflag>0,说明存在解
        X1=reshape(x,9,9,9);
        % 利用intlinprog得到的解不一定是十分准确的整数,在此整数化
        X1=round(trans(X1));   
        % 每层的矩阵都乘以对应的层数,从而得到该位置应填入的数字
        for k=1:9 
            X1(:,:,k)=k*X1(:,:,k);
        end
        % 合并第三维(对应位置元素相加),得到完成后的数独矩阵
        C=round(sum(X1,3)); 
        % 结果显示
        showShudu(C);
    end
    

    2. 三维矩阵的转置函数 trans.m

    function B=trans(A)
    % 实现三维数组的转置
    [~,~,p]=size(A);
    B=zeros(size(A));
    for k=1:p
        B(:,:,k)=A(:,:,k)';
    end
    

    3. 显示矩阵的函数 showShudu.m

    function showShudu(A)
    % 以九宫格的形式显示矩阵,A:9x9矩阵
    
    figure;hold on;
    axis off;axis equal;
    % 画线
    rectangle('Position',[0.2,0,9,9],'LineWidth',1); % outside border
    rectangle('Position',[0.2,3,9,3],'LineWidth',1); % horizontal lines
    rectangle('Position',[3.2,0,3,9],'LineWidth',1); % vertical lines
    
    
    for i=1:9
        for j=1:9
            text(j-0.5,9.5-i,num2str(A(i,j)),'FontSize',18);
        end
    end
    

    五、结果展示

     ......再来一组

    感谢欣赏,下期再见!

    展开全文
  • Matlab整数规划

    千次阅读 2021-11-08 15:18:23
    对于线性规划,整数规划与之相比,只不过增加了相应的限制条件。即变量必须为整数。首先对于整数规划问题,应用线性规划有(来源:川川菜鸟) >> clear >> c=[40,90]; >> a=[9 7;7 20]; &...

    目录

    一、前言

    1.问题

    2.Matlab求解以及线性规划图

    3.运行结果

    二、整数规划问题求解

    三、Matlab求解整数规划(分枝定界法)

    3.1Matlab(对变量x1的分枝)的求解

    3.2(对变量x1的分枝)运行结果

    3.3Matlab(对变量x1的分枝)的求解2

    3.4(对变量x1的分枝)运行结果2

    3.5.1Matlab(在变量x1的基础上,对变量x2的分枝)的求解

    3.5.2(对变量x2的分枝)运行结果

    3.6.1Matlab(在变量x1的基础上,对变量x2的分枝)的求解2

    3.6.2(对变量x2的分枝)运行结果2

    3.7.1Matlab(在变量x1的基础上,对变量x2的分枝)的求解3

    3.7.2(对变量x2的分枝)运行结果3 

    3.8.1Matlab(在变量x1的基础上,对变量x2的分枝)的求解4

    3.8.2(对变量x2的分枝)运行结果4

    四、结论


    一、前言

    对于线性规划,整数规划与之相比,只不过增加了相应的限制条件。即变量必须为整数。首先对于整数规划问题,应用线性规划有(来源:川川菜鸟)

    1.问题

    2.Matlab求解以及线性规划图

    clear
    c=[40,90];          %目标函数的系数矩阵
    a=[9 7;7 20];       %约束条件的系数矩阵
    b=[56;70];          %约束条件的右端项列向量
    aeq=[];             %约束条件中无等式
    beq=[];             %约束条件中无等式
    lb=[0;0];           %变量的下界为0
    ub=[inf;inf];       %变量无上界
    [x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);     %linprog求解线性规划问题的最优解x1和x2
    Optimization terminated.
    x                 
    abs(fval)           %目标函数的最优值
    maxz=c*x

    线性规划图

     

    3.运行结果

    >>x
    x =
        4.8092
        1.8168
    >> abs(fval)
    ans =
      355.8779
    >> maxz=c*x
    maxz =
      355.8779

    二、整数规划问题求解

    通过@川川菜鸟大佬的介绍,采用分支定界法求解整数规划问题的理解如下:

    1.首先利用linprog函数求解整数规划问题对应的线性规划问题,得出的结论如下:

    1.1若相应的线性规划的最优解为整数,则对于相应的整数规划也是最优解。

    1.2若相应的线性规划的最优解为小数,则对相应的变量进行单变量的子集划分,采用分支定界法进行下一步的linprog求解,比如说有2个变量,则对变量需进行4次分支,然后相应的进行剪枝操作,对比求出最优解。

    1.3若相应的线性规划无解,则相应的整数规划也无解。

    三、Matlab求解整数规划(分枝定界法)

           分枝定界法是对线性规划后的最优解进行一个范围的划分,也就是说首先对最优解的变量x1进行范围的划分。利用取整函数对变量范围进行划分,分别在各自的定义域内求解目标函数。

           由上述线性规划的解可以得知,z=355.8779,可以得知,z的取值范围为[0,356],因为上述x1,x2都不是整数,所以采用分枝定界法进行划分,将自变量x1划分为两个定义域进行求解。

    3.1Matlab(对变量x1的分枝)的求解

    clear
    c=[40,90];
    a=[9,7;7,20];
    b=[56;70];
    aeq=[];beq=[];
    lb=[0;0];ub=[4;inf];
    [x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
    x
    maxz=abs(fval)

    3.2(对变量x1的分枝)运行结果

    对第一个区域进行约束,得到的最优化取值为x1=4.0000,x2=2.1000,最优化的最大值为349.0000.

    x =
        4.0000
        2.1000
    maxz =
      349.0000

    3.3Matlab(对变量x1的分枝)的求解2

    clear
    c=[40,90];
    a=[9,7;7,20];
    b=[56;70];
    aeq=[];beq=[];
    lb=[5;0];ub=[inf;inf];
    [x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
    x
    maxz=abs(fval)

    3.4(对变量x1的分枝)运行结果2

    x =
        5.0000
        1.5714
    maxz =
        341.4286

    结果分析:在对x1自变量进行分枝时,在[0,4]和[5,inf]中,可以看到当在[0,4]中,可以看到,当x1=4,x2=2.1时,取得最大值maxz=349。在[5,inf]此区域内,可以看到,当x1=5,x2=1.5714时,取得最大值341.4286.但因为x2是小数,并不能判别到底是在第一区域内取最大值,还是第二区域内取最大值,所以对两区域内的x2变量进行分枝。

    3.5.1Matlab(在变量x1的基础上,对变量x2的分枝)的求解

    对x1的第一个范围[0,4]内对x2取整后划分范围为[0,2]和[3,inf],继续进行分支定界法。

    clear
    c=[40,90];
    a=[9,7;7,20];
    b=[56;70];
    aeq=[];beq=[];
    lb=[0;0];ub=[4;2];
    [x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
    x
    maxz=abs(fval)

    3.5.2(对变量x2的分枝)运行结果

    x =
        4.0000
        2.0000
    maxz =
      340.0000

    3.6.1Matlab(在变量x1的基础上,对变量x2的分枝)的求解2

    clear
    c=[40,90];
    a=[9,7;7,20];
    b=[56;70];
    aeq=[];beq=[];
    lb=[0;3];ub=[4;inf];
    [x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
    x
    maxz=abs(fval)

    3.6.2(对变量x2的分枝)运行结果2

    x =
        1.4286
        3.0000
    maxz =
        327.1429

    由此,可以确定的最大值的范围为[0,340].

    3.7.1Matlab(在变量x1的基础上,对变量x2的分枝)的求解3

    对x1的第二个范围[5,inf]内对x2取整后划分范围为[0,1]和[2,inf],继续进行分支定界法。

    clear
    c=[40,90];
    a=[9,7;7,20];
    b=[56;70];
    aeq=[];beq=[];
    lb=[5;0];ub=[inf;1];
    [x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
    x
    maxz=abs(fval)

    3.7.2(对变量x2的分枝)运行结果3 

    x =
        5.4444
        1.0000
    maxz =
      307.7778

    因为自变量中仍然有小数部分,不符合整数规划的要求,所以舍去。

    3.8.1Matlab(在变量x1的基础上,对变量x2的分枝)的求解4

    clear
    c=[40,90];
    a=[9,7;7,20];
    b=[56;70];
    aeq=[];beq=[];
    lb=[5;2];ub=[inf;inf];
    [x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
    x
    maxz=abs(fval)

    3.8.2(对变量x2的分枝)运行结果4

    Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error
     has grown 100000 times greater than its minimum value so far:
             the primal appears to be infeasible (and the dual unbounded).
             (The dual residual < OptimalityTolerance=1.00e-08.)
    
    x =
    
        5.0000
        2.0000
    
    
    maxz =
    
      380.0000

    可以发现,最大值超出线性规划范围,不可取。采取剪枝操作。

    因此,最优解为:

     x1=4.000

    x2=2.0000

    maxz=340

    四、结论

    1.在使用分枝定界法时,对每一个变量都要进行分枝操作,或者说在第一变量的基础上,对第二变量进行,依次分枝。

    2.在判断结果时,一定要根据线性规划的最优解取值范围进行判断,否则超出范围都不可取。

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