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  • 2021-04-20 03:10:33

    伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinv为pseudo-inverse的缩写:max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A' 同型的矩阵X,并且满足:AXA=A,XAX=X.此时,称矩阵X为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性,但不与inv(A)完全等同。 如果A为非奇异方阵,pinv(A)=inv(A),但却会耗费大量的计算时间,相比较而言,inv(A)花费更少的时间。

    机器视觉中,finite camera的投影矩阵P为一个3*4,秩为3 的矩阵,矩阵P的伪逆如下:

    矩阵P的伪逆为:

    如果A列满秩,那么pinv(A)=(A'*A)^{-1}*A'。

    如果A行满秩,那么pinv(A)=pinv(A')'。

    如果秩亏损,那么只好先做奇异值分解A=UDV',U,V是正交阵,D是对角阵。

    然后取对角阵S,如果D(i,i)=0,那么S(i,i)=0,如果D(i,i)<0或者D(i,i)>0,那么S(i,i)=1/D(i,i)。于是pinv(A)=VSU'。

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

    原文:https://blog.csdn.net/u014260892/article/details/38581175

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  • 1.定义矩阵a 2.b,c b为a的线性无关的两列 c为a的行最简的线性无关的两行 3.b的左和c的右和右的具体见一下例题: 4.出结果即可 或者一步到位 有时候会出现小数,转变表达形式,敲入 format ...

    1.定义矩阵a在这里插入图片描述
    2.求b,c
    b为a的线性无关的两列
    c为a的行最简的线性无关的两行
    在这里插入图片描述
    3.求b的左逆和c的右逆

    左逆和右逆的具体见一下例题:
    在这里插入图片描述
    4.求出结果即可
    在这里插入图片描述
    或者一步到位
    在这里插入图片描述
    有时候会出现小数,转变表达形式,敲入
    format cat就会以分数输出结果

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  • MATLAB】几种求矩阵伪逆的方法

    千次阅读 2020-04-30 21:15:41
    几种求矩阵伪逆的方法 A*x=y当A不可逆如何解x 求伪逆有五种方法,左右同时乘以A’,’chol()分解,qr() 分解,svd()分解和pinv()求伪逆,下面来比较一下哪个最优秀。 如果A是个355行3列的矩阵,经过计算,五个...

    几种求矩阵伪逆的方法

    A*x=y当A不可逆如何解x
    求伪逆有五种方法,左右同时乘以A’,’chol()分解,qr() 分解,svd()分解和pinv()求伪逆,下面来比较一下哪个最优秀。
    如果A是个355行3列的矩阵,经过计算,五个方式计算结果相同,对模型的拟合都是没有影响的。
    如果A是个355行12列的矩阵(更高维),那么根据我对数据的拟合,结果如下:

    深蓝线是数据,绿色的线是两边同时×A’,浅蓝色的线是pinv分解拟合出的模型,红线是qr拟合出的模型,黄线是svd分解拟合出的模型。这么浅显的看的话在高维下svd和两边同时×A’胜出,那么他们究竟谁更胜一筹,我们看一下第一范式,第二范式和Inf范式检验的结果:
    在这里插入图片描述

    可见在高维情况下是svd分解更胜一筹(范式结果低),低维下不要轻易用两边同时×A’,因为会出奇异矩阵警告。

    几种求伪逆的方法如下(matlab代码):

    result=(A'*A)\(A'*y) %两边同时乘A’
    result_pinv=pinv(A)*y %pinv
    
    %svd
    [U,S,V] = svd(A); 
     T=S;
     T(find(S~=0)) = 1./S(find(S~=0));
     svdInvA = V * T' * U';
     alpha_svd=svdInvA*y;
     
     %qr
     [Q,R] = qr(A);
    InvR =  inv(R'*R)*R';
    qrInvA =InvR*Q';
    alpha_qr=qrInvA*y;
    

    ————————————————

    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_41448372/article/details/105742441

    展开全文
  • 主要内容:矩阵的逆、伪逆、左右逆矩阵的左逆与最小二乘左右逆与投影矩阵一、矩阵的逆、伪逆、左右逆1、矩阵的逆定义:设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I。 则我们称B是A...

    主要内容:

    矩阵的逆、伪逆、左右逆

    矩阵的左逆与最小二乘

    左右逆与投影矩阵

    一、矩阵的逆、伪逆、左右逆

    1、矩阵的逆

    定义:

    设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I。 则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。

    可逆条件:

    A是可逆矩阵的充分必要条件是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。(当

    时,A称为奇异矩阵)

    001806827975

    性质:

    矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。

    可逆矩阵一定是方阵。

    如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。

    可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。

    两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

    可逆矩阵的转置矩阵也可逆。

    矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

    求逆方法:

    伴随矩阵法、初等变换法

    001806827975

    001806827975

    2、矩阵的伪逆和左右逆

    伪逆矩阵:

    伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinv为pseudo-inverse的缩写:max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A' 同型的矩阵X,并且满足:AXA=A,XAX=X.此时,称矩阵X为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性,但不与inv(A)完全等同。  如果A为非奇异方阵,pinv(A)=inv(A),但却会耗费大量的计算时间,相比较而言,inv(A)花费更少的时间。

    伪逆矩阵求法:

    A 为m*n矩阵,r代表矩阵的秩:

    若矩阵A是方阵,且|A|!=0,则存在AA-1=E;

    若A不是方阵,或者|A|=0,那么只能求A的伪逆,所谓伪逆是通过SVD计算出来的;

    pinv(A)表示A是伪逆:

    如果A列满秩,列向量线性无关,r=n,Ax=b为超定方程组,存在0个或1个解,那么

    ,因为

    001806827975

    ,因此也称为左逆;

    001806827975

    如果A行满秩,行向量线性无关,Ax=b为欠定方程组,存在0个或无穷个解,那么

    ,因为

    001806827975

    ,因此也称为右逆;

    001806827975

    如果秩亏损,那么只好先做奇异值分解

    ,U,V是正交阵,D是对角阵;然后取对角阵S,如果D(i,i)=0,那么S(i,i)=0,如果D(i,i)<>0,那么S(i,i)=1/D(i,i)。于是

    001806827975

    001806827975

    二、矩阵的左逆与最小二乘

    其实,最小二乘就是一个超定方程组的求解问题,根据上述的了解,超定方程组的求解方法之一就是通过求伪逆的形式,具体来说就是求左逆。即:

    001806827975

    最小二乘也可以从几何的角度来考虑,那就是下面要说的投影矩阵。

    三、左右逆与投影矩阵

    左逆中,

    ,如果将左逆写在A右边将得不到单位矩阵了,那么

    001806827975

    是什么?是在A矩阵列空间(A矩阵各列张成的子空间)投影的投影矩阵,它会尽量靠近单位矩阵,一个投影矩阵很想成为单位矩阵,但不可能做到。

    001806827975

    右逆中,

    ,如果将右逆写在A左边也不是单位矩阵了,那

    001806827975

    是什么?是在A矩阵行空间(A矩阵各行张成的子空间)投影的投影矩阵。

    001806827975

    四、参考文章

    展开全文
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    MATLAB与线性代数:逆矩阵求解方程组的解
  • 这些函数专门用于在低秩的情况下执行运算
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