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  • 多项分布概率公式的理解

    千次阅读 2015-03-21 14:27:00
    多项分布概率公式的理解   多项分布是二项分布的推广。二项分布(也叫伯努利分布)的典型例子是扔硬币,硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币,k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子,有6个...

    多项分布概率公式的理解

     

    多项分布是二项分布的推广。二项分布(也叫伯努利分布)的典型例子是扔硬币,硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币,k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子,有6个面对应6个不同的点数。二项分布时事件X只有2种取值,而多项分布的X有多种取值,多项分布的概率公式为  

    P(X1=x1,,Xk=xk)={n!x1!,,xk!px1pxkwhenki=1xi=n0otherwise.

     这个公式看上去像是莫名其妙地冒出来的,想要了解它首先必须要知道组合数学中的多项式定理。

     

    多项式定理:n是一个正整数时,我们有  

    (x1+x2++xk)n=n!r1!r2!rk!xr11xrkk

      其中r1++rk=n,ri0

     

     

    这个多项式定理的推导如下,将式子左边展开  

     

    (x1+x2++xk)n=(x1+x2++xk)(x1+x2++xk)

     

    这样的话,我们可以把问题看成在n个式子里,先选取r1x1,然后选取r2x2,最后选取rkxk,然后求有多少种方法。类似把n个球放到k个不同的盒子里的方法有多少种,我们得到  

    Cr1,r2,rkn=Cr1nCr2nr1Crknr1rk1=n!r1!r2!rk!

       所以xr11xr22xrkk的系数为Cr1,r2,rkn,这样,我们就能得到展开式的通式。举个例子,当k=2时,我们就得到了常见的二项式公式:

    (a+b)n=i=0nCinaibni

     

    再来看之前的多项分布的概率公式,假设X1,X2,,Xk发生的概率为p1,p2,,pk,由于事件之间是相互独立的,可得p1+p2++pk=1。 我们将p1+p2++pk=1式子的左边看做一次抽样各种事件发生的概率和,那么(p1+p2++pk)n=1n=1则是进行了n次抽样所有事件相互组合的对应概率和。把这个多项式展开,它的每一项都对应着一个特殊事件的出现概率。我们把展开式的通项作为X1出现x1次,X2出现x2次,…,Xk出现xk次的这种事件的出现概率,这样就得到了多项分布的概率公式。


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  • 多项式分布的理解概率公式的理解

    千次阅读 2018-05-28 13:44:44
    二项分布时事件X只有2种取值,而多项分布的X有多种取值,多项分布概率公式为 这个公式看上去像是莫名其妙地冒出来的,想要了解它首先必须要知道组合数学中的多项式定理。多项式定理:当n是一个正整数时...

    多项式分布是二项分布的推广。二项分布(也叫伯努利分布)的典型例子是扔硬币,硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币,k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子,有6个面对应6个不同的点数。二项分布时事件X只有2种取值,而多项分布的X有多种取值,多项分布的概率公式为  


     这个公式看上去像是莫名其妙地冒出来的,想要了解它首先必须要知道组合数学中的多项式定理。

    多项式定理:当n是一个正整数时,我们有  


     其中 

    这个多项式定理的推导如下,将式子左边展开


    上面的式子是由n个因子相乘得到,而它的展开式可以看做在每个式子里选取某一个xi,总共选取n个xi相乘,所以所有的展开式项都会有


    这样的公有项,而且

    这样的话,我们可以把问题看成在n个式子里,先选取r1个x1,然后选取r2个x2,最后选取rk个xk,然后求有多少种方法。类似把n 个球放到k个不同的盒子里的方法有多少种,我们得到 


    所以的系数为,这样,我们就能得到展开式的通式。举个例子,当k=2时,我们就得到了常见的二项式公式:


    再来看之前的多项分布的概率公式,假设发生的概率为,由于事件之间是相互独立的,可得

    我们将式子的左边看做一次抽样各种事件发生的概率和,那么则是进行了n次抽样所有事件相互组合的对应概率和。把这个多项式展开,它的每一项都对应着一个特殊事件的出现概率。我们把展开式的通项作为X1出现x1次,X2出现x2次,…,Xk出现xk次的这种事件的出现概率,这样就得到了多项分布的概率公式。

    转自:http://www.crescentmoon.info/?p=9#more-9

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  • 有了cov(ni,nj)cov(n_i, n_j)cov(ni​,nj​),自然可以得到协方差矩阵了(略~)

    在这里插入图片描述
    有了 c o v ( n i , n j ) cov(n_i, n_j) cov(ni,nj),自然可以得到协方差矩阵了(略~)

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  • 概率统计13——二项分布与多项分布

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    最大似然估计(概率10) 寻找“最好”(3)函数和泛函的拉格朗日乘数法 伯努利分布  如果随机试验仅有两个可能的结果,那么这两个结果可以用0和1表示,此时随机变量X将是一个0/1的变量,其分布是单个二值随机变量...

    原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/bOchsmHTINKKlyabCQKMSg

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    最大似然估计(概率10)

    寻找“最好”(3)函数和泛函的拉格朗日乘数法

    伯努利分布

      如果随机试验仅有两个可能的结果,那么这两个结果可以用0和1表示,此时随机变量X将是一个0/1的变量,其分布是单个二值随机变量的分布,称为伯努利分布。注意伯努利分布关注的是结果只有0和1,而不管观测条件是什么。

    性质

      设p是随机变量等于1的概率,伯努利分布有一些特殊的性质:

      将上面的两个式子合并:

      伯努利变量是离散型,并且是一个0/1变量,它的数学期望是:

      方差是:

    极大似然

      最大似然估计(概率10)

      对于伯努利分布的质量函数来说,p是唯一的参数。如果给定N个独立同分布的样本 {x(1), x(2), ……, x(N)},x(t)是投硬币的结果,是随机变量,x(t)ϵ{0, 1},可以通过极大似然估计,根据样本推测出p的取值:

      取对数似然函数:

      这是个符合直觉的结果,即使没学过概率和极大似然也能得出这个结论。

    二项分布

      假设某个试验是伯努利试验,成功概率用p表示,那么失败的概率为1-p。现在进行了N次这样的试验,成功了x次,失败了N-x次,发生这种情况的概率是多少?

    质量函数

      对于每次实验来说,成功的概率都是p,失败的概率是1-p。假设已经完成了N次试验,并且前x次都成功了,后N-x次都失败了:

      x次成功的情况当然不止一种,比如成功和失败交叉在一起:

      这种成功和失败的排列顺序共有种不同的情况,因此对于任意N次伯努利试验,成功了x次的概率是:

      的另一种记法是 

      P(x)就是二项分布的质量函数,是N次伯努利试验中取得x次成功的概率。

    性质

      二项分布的均值和方差分别为Np和Np(1-p)。

      从二项分布的质量函数P(x)可知,概率分布只与试验次数N和成功概率p有关,p越接近0.5,二项分布将越对称。保持二项分布试验的次数N不变,随着成功概率p逐渐接近0.5,二项分布逐渐对称,且近似于均值为Np、方差为Np(1-p)的正态分布:

    多项分布

      多项分布是二项分布的扩展,其中随机试验的结果不是两种状态,而是K种互斥的离散状态,每种状态出现的概率为pi,p1 + p1 + … + pK = 1,在这个前提下共进行了N次试验,用x1~xK表示每种状态出现次数,x1 + x2 + …+ xK = N,称X=(x1, x2, …, xK)服从多项分布,记作X~PN(N:p1, p2,…,pn)。

    质量函数

      如果说二项分布的典型案例是扔硬币,那么多项分布就是扔骰子。骰子有6个不同的点数,扔一次骰子,每个点数出现的概率(对应p1~p6)都是1/6。重复扔N次,6点出现x次的概率是:  

     

      这和二项分布的质量函数类似。现在将问题扩展一下,扔N次骰子,1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是多少?

      仍然和二项式类似,假设前x1次都是1点,之后的x2次都是2点……最后x6次都是6点:

      1~6出现次数分别是x1~x6的情况不止一种,1点出现x1次的情况有种;在1点出现x1次的前提下,2点出现x2次的情况有种;在1点出现x1次且2点出现x2次的前提下,3点出现x3的情况有种……扔N次骰子,1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是:

      根据①:

      最终,扔骰子的概率质量函数是:

      把这个结论推广到多项分布:某随机实验如果有K种可能的结果C1~CK,它们出现的概率是p1~pK。在N随机试验的结果中,分别将C1~CK的出现次数记为随机变量X1~XK,那么C1出现x1次、C2出现x2次……CK出现xK次这种事件发生的概率是:

      其中x1 + x2 + …+ xK = N,p1 + p2 + …+ pK = 1。

    极大似然

      多项式的极大似然是指在随机变量X1=x1, X2=x2, ……, XK=xK时,最可能的p1~pK。

      对数极大似然:

      现在问题变成了求约束条件下的极值:

      根据拉格朗日乘子法:

      寻找“最好”(3)函数和泛函的拉格朗日乘数法

      根据约束条件:

      这也是个符合直觉的结论。面对有N个样本的K分类数据集,当pi = xi/N 时,Ci类最可能出现xi次。为了这个结论我们却大费周章,也许又有人因此而嘲笑概率简单了……


      出处:微信公众号 "我是8位的"

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