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  • 拓展欧几里得证明

    2018-10-11 13:05:00
    看了许久书终于从似懂非懂走了出来 设ax+by=gcd(a,b),解出符合条件的x,y; 当b=0时,很显然有一组必然解,x=1,y=0,即1a+00=gcd(a,b)=a; 即我们讨论b!=0的情况; ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b); 令一组解x1,y1使得x1b+...

    看了许久书终于从似懂非懂走了出来

    设ax+by=gcd(a,b),解出符合条件的x,y;
    当b=0时,很显然有一组必然解,x=1,y=0,即1a+00=gcd(a,b)=a;
    即我们讨论b!=0的情况;

    ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

    令一组解x1,y1使得x1b+y1(a%b)=gcd(b,a%b) =gcd(a,b) = ax+by;
    a/b=k…r,k=a/b下取整,所以a%b=a-(a/b向下取整
    b);

    所以x1b+y1( a-(a/b向下取整b) ) 化简得
    y1*a+b(x1-y1(a/b向下取整))
    所以x=y1,y=x1-y1(a/b向下取整)

    x1,y1,在下层已经求得,从而递推出x,y,最下面一层的解为x=1,y=0;

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cstdlib>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
        if(!b){x=1,y=0;d=a};
        else{
            exgcd(b,a%b,d,x,y);
            int t=x; x=y; y=t-y*(a/b);
        }
    }
    
    
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  • 欧几里得算法及其证明

    千次阅读 多人点赞 2019-08-05 13:15:58
    欧几里得算法是用来求两个数的最大公约数(greatest common divisor(gcd)),其具体过程如下: 有a,ba,ba,b两个正整数,现在按以下步骤求它们最大公约数,即gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b): a / b &...

    欧几里得算法是用来求两个数的最大公约数(greatest common divisor(gcd)),其具体过程如下:
    a , b a,b a,b 两个正整数,现在按以下步骤求它们最大公约数,即 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b) :
    a   /   b   &ThickSpace; = q 1 ⋯ ⋯ r 1 a \ /\ b \ \;= q_1 \cdots\cdots r_1 a / b =q1r1
    b   /   r 1 &ThickSpace; = q 2 ⋯ ⋯ r 2 b\ /\ r_1 \;= q_2 \cdots\cdots r_2 b / r1=q2r2
    r 1 / r 2   = q 3 ⋯ ⋯ r 3 r_1 / r_2 \ = q_3 \cdots\cdots r_3 r1/r2 =q3r3
    ⋯ ⋯ \cdots\cdots
    r m / r n = q t ⋯ ⋯ 0 r_m / r_n = q_t \cdots\cdots 0 rm/rn=qt0
    如此反复迭代直至余数为0,最终得到的 r n r_n rn 就是 a , b a,b a,b 的最大公约数,这就是欧几里得算法。
    欧几里得算法的证明可以转化为 g c d ( a , b ) = g c d ( b , r 1 ) = g c d ( r 1 , r 2 ) = ⋯ = g c d ( r m , r n ) gcd(a,b) = gcd(b,r_1) = gcd(r_1,r_2) = \cdots = gcd(r_m,r_n) gcd(a,b)=gcd(b,r1)=gcd(r1,r2)==gcd(rm,rn) 的证明,实际只要证明 g c d ( a , b ) = g c d ( b , r 1 ) gcd(a,b) = gcd(b,r_1) gcd(a,b)=gcd(b,r1) ,后面的式子同理可得,其证明如下:
    前提公理:若 a = m d , b = n d a=md,b=nd a=md,b=nd( m 、 n 、 d 1 m、n、d_1 mnd1 为正整数),
         则 m , n m,n m,n 互质 &ThickSpace; ⟺ &ThickSpace; \iff d d d a 、 b a、b ab 的最大公约数。
    假设 g c d ( a , b ) = d 1 gcd(a,b)=d_1 gcd(a,b)=d1 a 、 b a、b ab 最大公约数为 d 1 d_1 d1,并且有
    a = m d 1 , b = n d 1 ( m 、 n 、 d 1 为 正 整 数 ) a = md_1 , b = nd_1(m、n、d_1为正整数) a=md1,b=nd1(mnd1)
    又有 a = b q + r 1 , b = n d 1 a = bq + r_1, b = nd_1 a=bq+r1,b=nd1,则
    r 1 = a − b q = ( m − n q ) d 1 r_1 = a -bq = (m-nq)d_1 r1=abq=(mnq)d1
    现在只要证明 n 、 ( m − n q ) n、(m-nq) n(mnq) 互质再利用前提公理就可证明 g c d ( b , r 1 ) = d 1 gcd(b,r_1)=d_1 gcd(b,r1)=d1
    假设 n 、 ( m − n q ) n、(m-nq) n(mnq)不是互质的,有 g c d ( n , m − n q ) = d 2 ( d 2 &gt; 1 ) gcd(n,m-nq)=d_2 (d_2&gt; 1) gcd(n,mnq)=d2(d2>1)
    n = x d 2 , m − n q = y d 2 ( x 、 y 、 d 2 为 正 整 数 ) n=xd_2,m-nq = yd_2(x、y、d_2 为正整数) n=xd2,mnq=yd2(xyd2)

    m = n q + y d 2 = ( x q + y ) d 2 m = nq + yd_2 = (xq + y)d_2 m=nq+yd2=(xq+y)d2
    那么 a = m d = ( x q + y ) d 1 d 2 a = md =(xq+y)d_1d_2 a=md=(xq+y)d1d2
    b = n d = x d 1 d 2 b = nd =xd_1d_2 b=nd=xd1d2
    a 、 b a、b ab 的最大公约数变成 d 1 d 2 d_1d_2 d1d2 ,不符合假设条件 g c d ( a , b ) = d 1 gcd(a,b)=d_1 gcd(a,b)=d1 ,故 n 、 ( m − n q ) n、(m-nq) n(mnq) 互质。
    由前提公理可得:
    g c d ( b , r 1 ) = d 1 gcd(b,r_1)=d_1 gcd(b,r1)=d1

    g c d ( a , b ) = g c d ( b , r 1 ) = d 1 gcd(a,b) = gcd(b,r_1) = d_1 gcd(a,b)=gcd(b,r1)=d1
    由此证明欧几里得算法。

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  • 欧几里得算法证明

    千次阅读 2019-08-16 10:21:04
    欧几里得算法,也叫做辗转相除法,gcd(a, b) = gcd (b, a%b),即a和b最大公约数等于b和a%b的最大公约数。相信大家都会用,但是很多人不知道为什么,我也看了很多文章,写的都不太相同,这里我说说我自己的证明过程:...

            欧几里得算法,也叫做辗转相除法,gcd(a, b) = gcd (b, a%b),即a和b最大公约数等于b和a%b的最大公约数。相信大家都会用,但是很多人不知道为什么,我也看了很多文章,写的都不太相同,这里我说说我自己的证明过程:
            这里的证明我分为两步求证:
            1.求证:a和b的公约数等于b和a%b的公约数;
            2.求证:b和a%b的公约数是最大公约数。
            
            求证1:a和b公约数等于b和a%b的公约数
            为了方便大家看,我先把下面用到的变量注一下:
                n:公约数        m:a%b            k、k'、k'':都是常数
            (先不看,跟着我的思路走,过程中忘了哪个变量是干什么的再回来看一下)
            这里设一个n,n是a和b的一个公约数,所以有 
                        a/n = k' , b/n = k'' (k'和k''都是常量)     --------------①
            这里既然证明a和b最大公约数等于b和a%b的最大公约数,那么这里你还需要有这三个数,a和b是已知的,那么这里我们设m = a % b    (m ≠ 0 ,若m=0,b一定是a和b的最大公约数),那么
                        a = kb + m  (k是一个常量)   --------------------------②
            ②变形得:
                        m = a - kb   -----------------------------------------------③
            ③等式两边同时除以n得:
                        m/n = a/n - k(b/n)    -------------------------------------④
            ①④结合,得:
                        m/n = k' - kk''  --------------------------------------------⑤
            看⑤式中,k、k'、k''都是常数,所以m/n是一个常数,所以n也是m的约数,所以说n是a、b、m三个的公约数,那么可以得到n也是b和a%b的公约数。
            看到这我们已经得出了结论一:a和b公约数等于b和a%b的公约数。
            
            下面只需证明结论一中的公约数是他们的最大公约数即可:
            求证2:公约数是最大公约数
            首先,根据结论一,我们可以找出多组数据,使得他们都有一个共同的约数n
            例如:(a, b)        (b, a%b)        (a%b, b%(a%b))    ...       他们每组都有一个公约数n
            如此一直向下,这里我们可以设(A, B)的公约数为n,每组数据都用(A, B)来更新
            (每次A都变为原来的B,B变成原来的A%B)
            因为A%B总是小于B,如果一直更新下去,A%B总有变成0的时候,也就是A % B = 0
            设当前组合为(A,B),且满足条件(A % B = 0),这时我们可以得到组合(A,B)的最大公约数为B
            现在我们将上面那一行数据延伸:(a, b)        (b, a%b)        (a%b, b%(a%b))    ...    (kA + B, A)    (A, B)        
            上面这一组数据都有一个公约数n,那么我们只需证明(A, B)的最大公约数与(kA + B, A)的最大公约数相等
            现在已知B是(A, B)的最大公约数,又已知(kA + B, A)    (A, B)有相同的约数n
            我们此时假设(A, B)的这个约数n就是最大公约数B,那么只需证明B也是(kA + B, A)的最大公约数即可得出结论这里的公约数n是最大公约数。
            那么也就是求证:B是(kA + B, A)的最大公约数
                    已知A % B = 0得:
                                A =  k'B   ----------------------------------⑥
                    结合⑥得:
                                kA + B = (kk'+1)B   ---------------------⑦
                    根据⑥⑦我们可以得出(kA + B, A)的公约数为:B以及B的约数
                    所以(kA + B, A)的最大公约数为B
            得出结论:a和b最大公约数等于b和a%b的最大公约数,也就是欧几里得算法gcd(a, b) = gcd (b, a%b)。
            
            
            
                        

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  • 欧几里得算法、证明及扩展,看这一篇就够了 https://blog.csdn.net/qq_37174526/article/details/90112064 欧几里德算法及扩展 https://blog.csdn.net/BBHHTT/article/details/79792324 扩展欧几里德算法详解 !...

    欧几里得算法、证明及扩展,看这一篇就够了

    https://blog.csdn.net/qq_37174526/article/details/90112064

    欧几里德算法及扩展

    https://blog.csdn.net/BBHHTT/article/details/79792324

    扩展欧几里德算法详解 !!!!

    https://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595

     

    #include <stdio.h>
    int ex_gcd(int a, int b, int *x, int *y) {
        if (!b) {                  //递归出口
            *x = 1, *y = 0;
            return a;
        }
        int xx, yy, ret = ex_gcd(b, a % b, &xx, &yy);// xx, yy保留上一层的 x 和 y值  参加 ax+by=gcd(a,b)的推导
        *x = yy;                                     // 当前层 x值等于上一层y(yy)值, y值等于上一层x值(xx)减a/b*上一层y值(yy)
        *y = xx - a / b *yy;
        return ret;
    }
    
    int main()
    {
        int a, b, x, y;
        while(scanf("%d%d",&a, &b) != EOF) {
            printf("ex_gcd(%d, %d) = %d\n", a, b, ex_gcd(a, b, &x, &y));
            printf("%d * %d + %d * %d = %d\n", a, x, b, y, a * x + b *y);
        }
    
    }

    乘法逆元

    a*x=1( mod m) ,我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元,等价于 a * x +m * y = 1; 当gcd( a , m ) != 1 时,无解。所以gcd( a , m ) = 1 是有解的充要条件,又扩展欧几里得算法,我们一般能找到无数解,题目一般会让输出最小的那组,我们可以得到一个特殊解x0(扩展欧几里德算法),x0 % m 就是最小解了。

    因为:通解 x = x0 + m * t ; 也就是说 a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的,那么一定存在一个最小正整数,它是 a 关于 m 的逆元,肯定在(0,m)之间,而且只有一个。

    有时候由于问题的特殊性,我们得到的特解 x0 是一个负数(%与mod的不同),当 x0 为负数是,x0 mod m 结果仍为负(在计算机中用%代替mod的原因,注意%d,mod的区别),所以要对 x 稍加处理。

    代码实现:要加上扩展欧几里德算法e_gcd(int a,int b,int &x,int &y)函数

    例如: 5 是  5 关于 6的乘法逆元     5 * 5 % 6 = 1; 通解 是 5 + 6*t

    int modReverse(int a,int m)
    {
    	int x, y;
    	int an s= e_gcd(a, m, x, y);
    	if(ans == 1)//有解的充要条件 
    		return (x % m + m) % m;//最小逆元,+m是将负数变为正数 
    	else
    		return -1;//无逆元 
    } 

     

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  • 前置知识(贝祖定理) 基本内容 若a、ba、ba、b是整数,且gcd(a,b)=dgcd(a,b)=dgcd(a,b...证明 若a、ba、ba、b是整数,且gcd(a,b)=dgcd(a,b)=dgcd(a,b)=d,则有a=k1d,b=k2da=k_1d,b=k_2da=k1​d,b=k2​d 即对∀x,y\fora
  • 在这里不证明欧几里得算法的复杂度,有兴趣的可以访问以下链接:http://blog.sina.com.cn/s/blog_62e4e31a0101feo7.html 定义如下: 欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。是由古希腊数学家欧几里德在...
  • 扩展欧几里得详解证明,里面没有例题,详细请看统一标题html的文档
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    2021-03-27 16:58:29
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    千次阅读 2018-08-29 15:37:35
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  • 扩展欧几里得

    2021-01-20 13:22:23
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    2019-04-16 15:42:59
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    万次阅读 2015-10-24 23:45:49
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    千次阅读 2018-10-27 18:48:50
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