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  • 例如,某一时间内公共汽车站等车乘客人数,电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等,都是随机变量的实例。在经济活动中,随机变量是某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生的事件。例如某一时间内公共汽车站等...
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    随机变量(random variable)表示随机现象(在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象)各种结果的变量(一切可能的样本点)。例如,某一时间内公共汽车站等车乘客人数,电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等,都是随机变量的实例。

    在经济活动中,随机变量是某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生的事件。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数,电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等,都是随机变量的实例。

    按照随机变量可能取得的值,可以把它们分为两种基本类型:离散型随机变量,即在一定区间内变量取值为有限多个,或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数,某药治疗某病病人的有效数、无效数等;连续型随机变量,即在一定区间内变量取值有无限人,或数值无法一一列举出来。

    简单地说,随机变量是随机事件的数量表现。例如一批被注入某种毒物的动物,在一定时间内死亡的只数;某地若干名男性健康成人中,每人血红蛋白量的测定值,等等。另有一些现象并不直接表现为数量,例如,人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等,但我们可以规定男性为1,女性为0,则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量,尽管它们的具体内容是各式各样的,但从数学观点来看,它们表现了同一种情况,这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值,而在进行试验或测量之前,我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。

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  • [一些理解] 什么是随机变量

    千次阅读 2020-08-22 19:31:22
    设随机试验的样本空间为S,X=X(e)定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。 本质关于基本事件的函数,自变量基本事件,因变量函数值。

    一、随机变量

    1. 定义

    • 设随机试验的样本空间为SSX=X(e)X=X(e)是定义在样本空间SS上的实值单值函数。称X=X(e)X=X(e)为随机变量。
    • 本质是关于基本事件的函数,自变量是基本事件,因变量是函数值。

    2.相关概念

    • 随机试验:满足(1)可重复性:试验在相同条件下可重复进行;(2)可知性:每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验所有可能的结果;(3)不确定性:进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,但必然会出现结果中的一个。
    • 样本空间:随机试验的所有基本结果组成的集合称为样本空间。样本空间的元素称为样本点或基本事件。即样本空间本质是一个集合,每一个元素都是一次随机试验的结果。

    3.结合栗子来理解

    例如常见的“掷骰子”,每一次“掷骰子”都可以看成是一个随机试验。

    1. 首先,如何用随机变量描述一个随机试验?
      (1)首先找到样本空间SS。这里,很容易就知道该样本空间包含6个基本事件。S={123456}S=\lbrace“掷到1”,“掷到2”,“掷到3”,“掷到4”,“掷到5”,“掷到6” \rbrace(2)构造一个映射函数X=X(e)X=X(e)ee可以表示样本空间中的任何一种结果。如下图所示,我把“掷到1”这个基本事件e1e_1映射到1 …
      在这里插入图片描述
    2. 然后,这样做的好处是什么?
    • 随机变量作用是把一个可能的发生结果(基本事件)“映射”到一个数。更加通俗的理解就是给事件进行“编号”。
      在这里插入图片描述

    • 进行“编号”是因为样本空间的元素过于复杂或者表达起来不如实数值方便,不方便计算概率。例如我要求“掷到1”这个基本事件的概率,表达如下:
      P(x=1)=P({eSX(e)=1})=P({1})P (x=1)=P( \lbrace e\in S|X(e)=1\rbrace)=P( \lbrace “掷到1” \rbrace)

    二、样本和随机变量

    数理统计里的样本具有二重性,即样本既可以看作是一组观测值又可以看作是随机变量。

    • 第一,在抽样之前。无法确定样本的观测值,所以可以看成是随机变量。
    • 第二,样本在抽取以后,经观测,样本抽有了具体的观测值,故又可以看成是一组确定的值。
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  • 随机变量序列,也就是随机变量形成的序列。有时候为了简称,省略了变量二字。 随机变量:表示随机现象(在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象)各种结果的变量(一切可能的样本点)。随机序列:随机...

    随机序列的定义

    随机序列(random sequence),更确切 的,应该叫做,随机变量序列。随机变量序列,也就是随机变量形成的序列。有时候为了简称,省略了变量二字。

    随机变量:表示随机现象(在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象)各种结果的变量(一切可能的样本点)。随机序列:随机序列的产生为了形容随机变量形成的序列。

    一般的,如果用X1,X2……Xn(表示n下标于X)代表随机变量,这些随机变量如 果按照顺序出现,就形成了随机序列,记 做X^n(表示n上标于x)。这种随机序列 具备两种关键的特点:其一,序列中的每个变量都是随机的;其二,序列本身就是随机的。

    随机序列举例说明

    为了说明什么是随机序列,我们来举几个例子。

    PS:下面例子中的N或n可以取>=2的整数。(我理解上是这样,如有理解错误请指正)

    例一:

    假设我们持续扔一个色子,我们把这个事 件细分,那么这个事件应该包括扔第一次 色子得到的点数,扔第二次得到的点数, 直到扔第n次得到的点数。把每次扔的的 点数按顺序分别记做X1,X2……,Xn。这 里每个X的取值可能为{1 2 3 4 5 6}。那么 我们可以写出随机序列:
    X^n = X1X2X3……Xn

    例二:

    更实际的,我们可以用高速路收费站来说 明。假设一个收费站有10个出口。那么, 把收费站出口出去的车数记做随机变量Xn ,这里Xn就是集合{X1,X2……,Xn},集 合中每个元素的取值为{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}。那么如果按照时间顺序观察,不难得 出一个随机序列,这个序列表示出口出去 车数的一个变化情况,是一个序列,记做 :
    X^n = X1X2X3……Xn

    例三:

    假设你只用同一个硬币,假设出现正面的概率是p,那么你投硬币出现正面或者是反面,这是随机的.
    我们构造一个随机变量 Xn = 出现正面的次数 / 投币次数n.注意,n是指投币总次数.
    Xn 对于任意给定的n,这明显是一个随机变量.
    然后呢,n如果从1到N,这是一个随机变量序列.
    然后呢,从X1到XN,该随机变量序列里的每一个元素,都是一个随机变量.
    然后呢,当正整数n趋向于无穷大,我们说,Xn 收敛于X,这个X可以是一个随机变量,也可以是一个实数.
    在我们这个例子里,X是一个实数,就是p。

    例四:

    一个城市的每天的用电量是一个随机变量Y,每家每户的用电量 可以设为Xi,(i=1,2,3,.....),那么Y=X1+X2+X3+......, 这X1,X2,X3.....就是一个随机变量的序列。

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  • 什么是随机变量? 设随机试验的样本空间为 S={e}S = \{e\}S={e} ,X=X(e)X = X_{(e)}X=X(e)​是定义在样本空间SSS上的实值单值函数,称X=X(e)X = X{(e)}X=X(e)为随机变量 随机变量与普通变量有何不同 随机变量的取值...

    什么是随机变量?

    设随机试验的样本空间为 S={e}S = \{e\}X=X(e)X = X_{(e)}是定义在样本空间SS上的实值单值函数,称X=X(e)X = X{(e)}为随机变量

    随机变量与普通变量有何不同

    随机变量的取值随试验结果而定,在试验之前不能预知它取什么值,且它的取值有一定的概率

    随机变量有哪些分类?

    离散型随机变量:随机变量的所有可能取值可能是有限多个或无限多个,但都是分散的

    连续型随机变量:随机变量的所有可能值连续的充满整个区间

    什么是离散型随机变量的分布律?

    设离散型随机变量XX的所有可能的取值为xk(k=1,2,...)x_{k}(k=1,2,...),XX取各个可能值的概率

    {X=xk}\{X=x_{k}\}的概率为

    P{X=xk}=pk,k=1,2,P\{X=x_k\} = p_k,k = 1,2,\dots此公式为离散型随机变量XX的分布率

    离散型随机变量分布率有哪些性质?

    由概率的定义,pkp_k满足:

    ​ 1、Pk0,k=1,2,P_k \geq 0 , k = 1,2,\dots

    ​ 2、pk=1\sum p_k = 1

    总结求分布律的思路方法。思考知道分布律能解决什么问题?

    标记方法 分布率 参数意义 试验场景
    两点分布 X(e)X_{(e)} P(X=k)=pk(1p)1k,k=0,1P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k} , k=0,1 XX为随机变量, kk为随机变量的取值,pp为随机变量取值为kk时发生的概率 新生婴儿性别,产品是否合格
    二项分布 XX ~ B(n,p)B(n,p) P(X=k)=(nk)pkqnkP(X=k)={n\choose k}p^k q^{n-k} XX为随机变量, kk为随机变量的取值,pp为随机变量取值为kk时发生的概率,nn为试验次数 贝努里试验
    泊松分布 P(λ)P(\lambda) P(X=k)=λkeλk!P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda }}{k!} λ>0\lambda > 0是常数 排队问题
    几何分布 F(X)F(X) P(x=k)=(1p)k1,p,j=1,2,P(x=k)=(1-p)^{k-1},p,j=1,2,\dots 0<p<10<p<1 首次成功问题
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  • 作为第二章的第一小节,他的主要任务就是去讲为什么要有随机变量和什么是随机变量。 先来看为什么要有随机变量: 引入随机变量按我的理解就是为了把语文转化为数学,即把用语言去描述的事件转化为数字。这样可以方便...
  • 概率论知识回顾(五) 重点:随机变量,离散随机变量分布 什么是随机变量?随机变量的作用是什么?为什么要是用随机变量这一定义? 什么是概率分布? 离散型随机...
  • 随机变量的比较容易理解,概念设随机试验E的样本空间为 Ω = {ω},若对任一 ωΩ,都有一个实数Z与之对应,且对任一实数zZ,事件{zZ}都有一个确定的概率,则称Z随机变量。 其实看定义还是有点不容易理解的,...
  • 随机变量和期望

    2019-10-27 16:23:43
    什么是随机变量?什么是期望?这两个概念在高中阶段就已经学习,但是否真正掌握了这两个概念?现在看来,应该是没有。 教材上对随机变量的定义: 设随机实验为,其样本空间为,如果对于每个,都有一个实数和它对应...
  • 什么是随机变量?这里并不讨论随机变量的标准数学定义,给一个直观的理解就是:当一个变量有某一个概率取特定的值时,即,它就是随机变量。可以很清晰的感受到,随机变量与普通的变量区别就是它多了一个特点,这个...
  • 随机变量的分布函数

    2021-03-21 21:30:22
    什么是随机变量的分布函数 设XXX是一个随机变量,xxx是任意实数,函数F(x)=P(X≤x),−∞<x<∞F(x) = P(X\le x),-\infty < x < \inftyF(x)=P(X≤x),−∞<x<∞称为XXX的分布函数 分布函数的性质 1、...
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  • 随机变量X

    千次阅读 2018-09-11 15:20:18
    把试验中所观察的对象用X表示,X具有这样的特点:随着试验的重复X可以取不同值,并且在每次试验中X取什么值不能提前知道,是带有随机性,若满足称X是随机变量。 随机变量的公理化定义是: 设是定义在样本空间上的...
  • 大多数学校的统计学悲剧在于它多么愚蠢。老师们花费数小时来研究导数,方程式和定理,当...如果随机变量是什么我们都不清楚,那我们还在讨论什么随机变量在统计和概率中非常重要的概念,必须先具有随机变量,才...
  • 上述的定义和性质对离散型随机变量和连续型随机变量适用的。 离散型分布函数图形: 离散型分布函数的图形就像一个个火柴棍一样。根据其图形特点我们在写xxx的取值范围时一般都写成 a≤x<ba ...
  • 什么是随机变量? 随机变量的分类? 随机变量和统计规律性的关系? 随机变量的分布函数 常见随机变量的分布函数 随机变量函数的分布函数 多维的 多维随机变量的分布函数 为什么要有多维的随机变量函数? 多维随机...
  • 随机变量X的函数 服从什么分布?

    千次阅读 2019-04-19 15:18:38
    这篇博客主要回答以下几个问题: 随机变量X的函数服从什么分布? ---i.e. 怎么求该函数的概率密度函数 ...对于离散型随机变量,可用分布列来表示它的分布,连续型随机变量,则用概率密度函数来描述它的分布。所以...
  • 二维随机变量

    2021-04-04 12:09:56
    什么是二维随机变量? 设EEE是一个随机试验,它的样本空间是S={e}S=\{e\}S={e},设X=X(e)X=X(e)X=X(e)和Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在SSS上的随机变量 由他们构成的一个向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机...
  • 什么是随机变量X? 1、随着实验的重复X可以取不同的值 2、且X的取值事先是不知道的,有随机性 所以现实生活中,例如X为掷一颗骰子时出现的点数,则X为一随机变量。X的取值可以是1,2,3,4,5,6。 什么是数学期望? 是...
  • 1. 什么是随机变量? 在(一)中已经介绍 样本空间$\Omega$和基本事件$\omega$,若对任意$\omega$有唯一$X(\omega) \in R$,我们则称$X$为随机变量(取值函数)。注意$\{\omega|X(\omega)=x\}\subset \Omega $,一般...
  • 变量未初始化,为什么得到的值有的是0,有的是随机值? 要解释为什么全局变量未初始化为什么是0,而动态局部变量是一个随机数,就要先弄清楚静态,动态是什么,局部,全局又是什么.然后再思考为什么静态是0,就要思考它们的...
  • 指数随机变量的总和推导erlang分布X1和X2比率为λ的独立指数随机变量。 X1〜exp(λ) X2〜exp(λ) 令Y = X1 + X2。 问题:Y的PDF是什么? 我们在场景下适用Y的分布?要查找任何分布的PDF,我们使用什么技术? ...
  • 什么是随机变量? 如果我们先后抛掷两颗骰子,所有可能的样本空间S={(1,1),(1,2)…(2,1)…(6,6)},很多时候我们关心的不是样本空间,也不是先后抛出了多少点,而是关注两个骰子的点数加起来是多少点,比如加起来是5...
  • 定义随机变量为数列以重构概率论公理体系,陈必红,,目前的概率论公理对于随机变量的定义不易掌握的,例如,“任给两个随机变量是什么意思,就不容易把握。本文重新定义了概率论
  • 样本和随机变量的区别联系

    千次阅读 2018-04-01 17:11:58
    因为在抽样之前样本观测值是未知的,所以可以看成是随机变量(设该样本为X,抽取之前X的值未知,X的值是什么,其概率分布是符合对应随机变量概率分布的);而当样本抽取完之后又是一组确定的值,故又可以看成是一组...
  • 什么是一维随机变量的k阶距?如何进行求解? 什么是一维随机变量的k阶中心距,如何进行求解? 什么是多维随机变量的混合距? 什么是多维随机变量的混合中心距? 什么是多维随机变量的协方差矩阵?
  • 什么是连续型随机变量的概率密度函数? 如果对于随机变量XXX的分布函数F(x)F(x)F(x),存在非负可积函数f(x)f(x)f(x),使对任意实数xxx有:F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dtF(x)=∫−∞x​f(t)dt 则...
  • 1、什么是随机事件? 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 2、什么是基本事件? 试验的每一个可能的结果 3、什么是随机试验? 4、随机变量 5、离散型随机变量 5.1 随机...
  • 一、离散型随机变量的分布列性质及应用离散型随机变量的分布列主要有三方面的作用:1)利用总概率之和为1可以求相关参数的取值范围或值;2)利用离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值得概率之和求...
  • 概率论知识回顾(八) 重点:二维离散随机变量 什么是n维随机变量?二维离散随机变量又是什么? 二维离散随机变量的联合分布律是什么?有什么性质? 什么是边缘...

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