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  • 通过牛顿方法解决多元二次非线性方程(根据数学分析书内容),将程序分为函数值求解,雅各比矩阵求解,线性方程组牛顿求解和主程序三部分,线性方程组求解采用高斯列消元方法。如果有需要,函数和雅各比矩阵需要按需...
  • 回归方程代码

    2017-08-21 21:13:55
    regress()函数主要用于线性回归,一元以及多元的。它可以提供更多的信息,残差之类的。 调用格式: [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha) bint是回归系数的区间估计,r是残差,rint是置信区间,stats...

    regress()函数主要用于线性回归,一元以及多元的。它可以提供更多的信息,残差之类的。

    调用格式:

    [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)

    bint是回归系数的区间估计,r是残差,rint是置信区间,stats是用于检验回归模型的统计量,有三个数值:相关系数r^2,F值,与F对应的概率P,alpha是显著性水平(缺省的时候为0.05)。相关系数r^2越大,说明回归方程越显著;与F对应的概率P<alpha时候拒绝H0,回归模型成立。

     

     

    例如:

    x1=[120 140 190 130 155 175 125 145 180 150];

    x2=[100 110 90 150 210 150 250 270 300 250];

    y= [102 100 120 77 46 93 26 69 65 85]';

    x=[ones(10,1) x1' x2'];

    x_O=[x1' x2'];

    [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)

    figure;rcoplot(r,rint);

    [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x_O)

    figure;rcoplot(r,rint);

     

     

    y=[7613.51  7850.91  8381.86  9142.81 10813.6 8631.43 8124.94 9429.79 10230.81 10163.61 9737.56 8561.06 7781.82 7110.97]; 

    x1=[7666 7704 8148 8571 8679 7704 6471 5870 5289 3815 3335 2927 2758 2591]; 

    x2=[16.22 16.85 17.93 17.28 17.23 17 19 18.22 16.3 13.37 11.62 10.36 9.83 9.25] 

    回归成y=ax1^2+bx1^2+cx1+dx2+ex1*x2+f(二次曲线) regress解法: 

    y=[7613.51  7850.91  8381.86  9142.81 10813.6 8631.43 8124.94 9429.79 10230.81 10163.61 9737.56 8561.06 7781.82 7110.97]'; 

    x1=[7666 7704 8148 8571 8679 7704 6471 5870 5289 3815 3335 2927 2758 2591]'; 

    x2=[16.22 16.85 17.93 17.28 17.23 17 19 18.22 16.3 13.37 11.62 10.36 9.83 9.25]'; 

    X=[ones(size(y)) x1.^2 x2.^2 x1 x2 x1.*x2]; 

    [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X); format long 

    b%b为对应的参数 b(1)为f,b(2)为a,b(3)为b,b(4)为c,b(4)为d,b(5)为e %b =  1.0e+004 * 

    % -1.353935450267797 %  0.000000089381408 % -0.005811190715468 % -0.000605427789545 %  0.479983626458520 % -0.000037869040292 bint%为b的95%置信区间 %bint =  1.0e+004 * 

    % -2.621944842897243  -0.085926057638351 %  0.000000034253753   0.000000144509063 % -0.027588831662545   0.015966450231609 % -0.001309493882546   0.000098638303455 %  0.119564693553906   0.840402559363135 % -0.000105954336341   0.000030216255756 

    stats%stats的第三个参数为F检验的P值,p值很小P<0.001,说明拟合模型有效 

    %stats =  1.0e+005 * %0.000008444011951 0.000086828553270 0.000000043344434   3.162249735298925 

    scatter3(x1,x2,y,'filled')%以下绘图查看拟合效果 hold on 

    x1fit = min(x1):100:max(x1); x2fit = min(x2):1:max(x2); 

    [X1FIT,X2FIT] = meshgrid(x1fit,x2fit); 

    YFIT=b(1)+b(2)*X1FIT.^2+b(3)*X2FIT.^2+b(4)*X1FIT+b(5)*X2FIT+b(6)*X1FIT.*X2FIT; 

     

     

     

     

    var script = document.createElement('script'); script.src = 'http://static.pay.baidu.com/resource/baichuan/ns.js'; document.body.appendChild(script);

     

     

     

     

     

     

     

    mesh(X1FIT,X2FIT,YFIT) mesh(X1FIT,X2FIT,YFIT) view(10,10) xlabel('x1') ylabel('x2') zlabel('y') 

    %希望能解决你的问题

     

     

     

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  • matlab一元线性回归及多元线性回归方程

    万次阅读 多人点赞 2019-08-07 16:15:15
    %%1、bint表示回归系数区间估计 %2、r表示残差 %3、rint代表置信区间 ...% r^2越接近于1,回归方程越显著 %alpha表示显著水平 %% x=[143 144 145 147 148 150 153 154 155 156 157 158 159 160 1...
    %%1、bint表示回归系数区间估计可参考http://www.360doc.com/content/11/0801/20/2537127_137246007.shtml
    %2、r表示残差
    %3、rint代表置信区间
    %4、stas表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值 r^2 F 与F对应的概率P 例如p<0.05 残差95%
    %   r^2越接近于1,回归方程越显著  
    %alpha表示显著水平
    
    %%
    x=[143 144 145 147 148 150 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162]';
    X=[ones(16,1),x];
    Y=[87 85 88 91 92 90 93 95 98 98 97 95 97 99 100 102]';
    [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)
    t=1:16;
    %%
    figure(1);
    y_fitting=X(t,:)*b;
    plot(t,y_fitting,'r-',  t,Y(t,:),'b-', t,abs(y_fitting-Y(t,:)),'k-');
    legend('红--拟合值','蓝--实际值','黑--误差值');
    text(3,50,strcat('相关系数R=',num2str(stats(1,1 ))));
    text(7,50,strcat('F=',num2str(stats(1,2))));
    text(9,50,strcat('P=',num2str(stats(1,3 ))));
    nhfcs1=strcat('拟合方程式',num2str(b(1,1)),'+',num2str(b(2,1)),'*X1');
    text(11,50,nhfcs1);
    %
    %功能 在当前轴中创建text对象。函数text是创建text图形句柄的低级函数。可用该函数在图形中指定的位置上显示字符串。
    
    %用法 text(x,y,'string')在图形中指定的位置(x,y)上显示字符串string
    
    %text(x,y,z,'string') 在三维图形空间中的指定位置(x,y,z)上显示字符串string
    %
    title('线性回归曲线拟合结果');
    xlabel('样本点');
    ylabel('分数');
    
    %%
    figure(2);
    ul=rint(:,1);
    I1=rint(:,2);
    plot(t,I1,'b-', t,r,'R*',  t, ul,'g-');
    legend('蓝色--残差95%置信区间上限','红--残差值','绿--残差95%置信区间下限');
    xlabel('样本值');
    ylabel('残差值');
    figure(3)
    rcoplot(r,rint);   %残差分析,作残差图
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    残差图(Residual Plots)
    我们可以用残差图来估计观察或预测到的误差error(残差residuals)与随机误差(stochastic error)是否一致。用一个丢骰子的例子最好理解了。当你丢出去一个六面的骰子时,你不应该能够预测得到哪面点数向上。然而,你却可以评估在一系列投掷后,正面向上的数字是否遵循一个随机模式,你自己心中就会想象出一个随机散布的残差图。如果,有人背着你对骰子做了点手脚,让六点更频繁的出现向上,这时你心中的残差图看上去就似乎有规律可循,从而不得不修改心中的模型,让你狐疑骰子一定有问题。
    相同的原则也适用于回归模型。你不应该能够预测任何给定的观察或预测结果的错误(或者说差别)。你需要确定残差是否与随机误差相互呈现一致性,就像丢骰子一样,残差若整体呈现“很古怪”的模式,你就需要回头修改你的回归模型了。上面“古怪”究竟怎么看呢?看下文。


    %clc
    %clear
    %%
    %目标函数:y=Ax1^2+Bx2^2+Cx1+Dx2+Ex1*x2+F  (这是一个二次函数,两个变量,大写的字母是常数)
    %导入数据  
    y=[7613.51  7850.91  8381.86  9142.81 10813.6 8631.43 8124.94 9429.79 10230.81 10163.61 9737.56 8561.06 7781.82 7110.97]';  
    x1=[7666 7704 8148 8571 8679 7704 6471 5870 5289 3815 3335 2927 2758 2591]';  
    x2=[16.22 16.85 17.93 17.28 17.23 17 19 18.22 16.3 13.37 11.62 10.36 9.83 9.25]';  
    X=[ones(size(y)) x1.^2 x2.^2 x1 x2 x1.*x2];  
    %开始分析  
    [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X)
    scatter3(x1,x2,y,'filled') %scatter可用于画散点图a
    hold on
    %%
    %拟合,三维视图显示  
    hold on  %不要清除计算数据,在刚刚那副散点图上接着画  
    x1fit = min(x1):100:max(x1);   %设置x1的数据间隔  
    x2fit = min(x2):1:max(x2);     %设置x2的数据间隔  
    [X1FIT,X2FIT] = meshgrid(x1fit,x2fit);  %生成一个二维网格平面,也可以说生成X1FIT,X2FIT的坐标  
    YFIT=b(1)+b(2)*X1FIT.^2+b(3)*X2FIT.^2+b(4)*X1FIT+b(5)*X2FIT+b(6)*X1FIT.*X2FIT;    %代入已经求得的参数,拟合函数式  
    mesh(X1FIT,X2FIT,YFIT)    %X1FIT,X2FIT是网格坐标矩阵,YFIT是网格点上的高度矩阵  
    view(10,10)  %改变角度观看已存在的三维图,第一个10表示方位角,第二个表示俯视角。  
                 %方位角相当于球坐标中的经度,俯视角相当于球坐标中的纬度  
    xlabel('x1') %设置X轴的名称  
    ylabel('x2') %设置y轴的名称  
    zlabel('y')  %设置z轴的名称
    hold on
    
    
    
    %%
    figure(2)
    rcoplot(r,rint);   %残差分析,作残差图
    

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述


    https://zhuanlan.zhihu.com/p/20700731在这里插入图片描述
    2回归值与残差的残差图编辑
    为检验建立的多元线性回归模型是否合适,可以通过回归值与残差的散点图来检验。其方法是画出回归值与普通残差的散点图,或者画出回归值与标准残差的散点图,其图形可能会出现下面三种情况(如图1所示):

    图1(a)在这里插入图片描述

    图1(b)在这里插入图片描述

    对于图1(a)的情况,不论回归值的大小,而残差(或)具有相同的分布,并满足模型的各假设条件;对于图1(b)的情况,表示回归值的大小与残差的波动大小有关系,即等方差性的假设有问题;对于图1©,表示线性模型不合适的样本,可能有异常值存在。

    对于图1(a),如果大部分点都落在中间(b)部分,而只有少数几个点落在外边,则这些点对应的样本,可能有异常值存在。[2]

    图1(c)在这里插入图片描述

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  • 线性回归模型的优化目标函数by Björn Hartmann 比约恩·哈特曼(BjörnHartmann) When reading articles about machine learning, I often suspect that authors misunderstand the term “linear model.” Many ...

    线性回归模型的优化目标函数

    by Björn Hartmann

    比约恩·哈特曼(BjörnHartmann)

    When reading articles about machine learning, I often suspect that authors misunderstand the term “linear model.” Many authors suggest that linear models can only be applied if data can be described with a line. But this is way too restrictive.

    在阅读有关机器学习的文章时,我经常怀疑作者误解了“线性模型”一词。 许多作者建议,仅当可以用直线描述数据时,才可以应用线性模型。 但这太过严格了。

    Linear models assume the functional form is linear — not the relationship between your variables.

    线性模型假定函数形式是线性的,而不是变量之间的关系

    I’ll show you how you can improve your linear regressions with quadratic, root, and exponential functions.

    我将向您展示如何使用二次函数,根函数和指数函数来改善线性回归。

    那么功能形式是什么? (So what’s the functional form?)

    The functional form is the equation you want to estimate.

    函数形式是您要估计方程

    Let us start with an example and think about how we could describe salaries of data scientists. Suppose an average data scientist (i) receives an entry-level salary (entry_level_salary) plus a bonus for each year of his experience (experience_i).

    让我们从一个例子开始,思考如何描述数据科学家的薪水。 假设一个普通的数据科学家( i )收到入门级薪水( entry_level_salary )加上他每年的经验奖励( experience_i )。

    Thus, his salary (salary_i) is given by the following functional form:

    因此,他的薪水( salary_i )由以下函数形式给出:

    salary_i = entry_level_salary + beta_1 * experience_i

    Now, we can interpret the coefficient beta_1 as the bonus for each year of experience. And with this coefficient we can start making predictions by just knowing the level of experience.

    现在,我们可以将系数beta_1解释为每年经验的加成。 有了这个系数,我们就可以通过了解经验水平来开始进行预测。

    As your machine learning model takes care of the coefficient beta_1 , all you need to enter in R or any other software is:

    由于您的机器学习模型将处理系数beta_1 ,因此您需要在R或任何其他软件中输入的就是:

    model_1 <- lm(salary ~ entry_level_salary + experience)

    Linearity in the functional form requires that we sum up each determinant on the right-hand side of the equation.

    函数形式的线性要求我们对等式右侧的每个行列式求和。

    Imagine we are right with our assumptions. Each point indicates one data scientist with his level of experience and salary. Finally, the red line is our predictions.

    想象一下,我们的假设是正确的。 每一点都表明一位数据科学家的经验和薪水水平。 最后,红线是我们的预测。

    Many aspiring data scientists already run similar predictions. But often that is all they do with linear models…

    许多有抱负的数据科学家已经做出了类似的预测。 但是通常这就是线性模型所做的一切……

    如何估算二次模型? (How to estimate quadratic models?)

    When we want to estimate a quadratic model, we cannot type in something like this:

    当我们想估计一个二次模型时,我们不能输入如下内容:

    model_2 <- lm(salary ~ entry_level_salary + experience^2)
    >> This will reject an error message

    Most of these functions do not expect that they have to transform your input variables. As a result, they reject an error message if you try. Furthermore, you do not have a sum at the right-hand side of the equation anymore.

    这些函数大多数都不希望它们必须转换您的输入变量。 结果,如果您尝试,他们将拒绝一条错误消息。 此外,等式的右边不再有和。

    Note: You need to compute experience^² before adding it into your model. Thus, you will run:

    注意:您需要先计算experience^²然后再将其添加到模型中。 因此,您将运行:

    # First, compute the square values of experienceexperience_2 <- experience^2
    # Then add them into your regressionmodel_2 <- lm(salary ~ entry_level_salary + experience_2)

    In return, you get a nice quadratic function:

    作为回报,您会得到一个不错的二次函数:

    用线性模型估计根函数 (Estimate root functions with linear models)

    Often we observe values that rise fast in the beginning and align to certain level afterwards. Let us modify our example and estimate a typical learning curve.

    通常,我们观察到的值在开始时快速上升,然后在之后达到一定水平。 让我们修改示例并估计典型的学习曲线。

    In the beginning a learning curve tends to be very steep and slows down after some years.

    在开始时,学习曲线往往会非常陡峭,并在几年后变慢。

    There is one function that features such a trend, the root function. So we use the square root of experience to capture this relationship:

    有一项功能具有这种趋势,即root函数。 因此,我们使用experience square root来捕捉这种关系:

    # First, compute the square root values of experiencesqrt_experience <- sqrt(experience)
    # Then add them into your regressionmodel_3 <- lm(knowledge ~ sqrt_experience)

    Again, make sure you compute the square root before you add it to your model:

    同样,在将平方根添加到模型之前,请确保已计算平方根:

    Or you might want to use the logarithmic function as it describes a similar trend. But its’ values are negative between zero and one. So make sure this is not a problem for you and your data.

    或者您可能想使用对数函数,因为它描述了类似的趋势。 但是它的值在零到一之间为负。 因此,请确保这对您和您的数据都没有问题。

    掌握线性模型 (Mastering linear models)

    Finally, you can even estimate polynomial functions with higher orders or exponential functions. All you need to do is to compute all variables before you add them into your linear model:

    最后,您甚至可以估算具有更高阶数或指数函数的多项式函数。 您需要做的就是计算所有变量,然后将它们添加到线性模型中:

    # First, compute polynomialsexperience_2 <- experience^2experience_3 <- experience^3
    # Then add them into your regressionmodel_4 <- lm(salary ~ experience + experience_2 + experience_3)

    您应该使用其他模型的两种情况 (Two cases where you should use other models)

    Although linear models can be applied to many cases, there are limitations. The most popular can be divided into two categories:

    尽管线性模型可以应用于许多情况,但仍有局限性。 最受欢迎的可以分为两类:

    1.概率: (1. Probabilities:)

    If you want to estimate the probability of an event, you better use Probit, Logit or Tobit models. When estimating probabilities you use distributions that linear functions cannot capture. Depending on the distribution you assume, you should choose between the Probit, Logit or Tobit model.

    如果要估计事件的可能性,则最好使用Probit,Logit或Tobit模型。 估计概率时,请使用线性函数无法捕获的分布。 根据您假设的分布,您应该在Probit,Logit或Tobit模型之间进行选择。

    2.计算变量 (2. Count variables)

    Finally, when estimating a count variable you want to use a Poisson model. Count variables are variable that can only be integers such as 1, 2, 3, 4.

    最后,在估计计数变量时,您想使用泊松模型。 计数变量是只能为整数的变量,例如1, 2, 3, 4

    For example count the number of children, the number of purchases a customer makes or the number of accidents in a region.

    例如,计算孩子的数量,客户购买的数量或某个地区的事故数量。

    从本文中获得什么 (What to take away from this article)

    There are two things I want you to remember:

    我想让您记住两件事:

    1. Improve your linear models and try quadratic, root or polynomial functions.

      改善线性模型并尝试二次,根或多项式函数。
    2. Always transform your data before you add them to your regression.

      在将数据添加到回归之前,请始终对其进行转换。

    I uploaded the R code for all examples on GitHub. Feel free to download them, play with them, or share them with your friends and colleagues.

    我将所有示例的R代码上传到GitHub上 。 随时下载它们,与他们一起玩或与您的朋友和同事分享。

    If you have any questions, write a comment below or contact me. I appreciate your feedback.

    如有任何疑问,请在下面写评论或与我联系 。 感谢您的反馈。

    翻译自: https://www.freecodecamp.org/news/learn-how-to-improve-your-linear-models-8294bfa8a731/

    线性回归模型的优化目标函数

    展开全文
  • 【长见识】matlab的二次函数拟合

    万次阅读 2019-01-30 09:25:56
    看完文章,长点见识。...人为选定采用二次函数的方法拟合。 收集的数据如表: 那么就不难列出如下一个方程: 价格=系数阵*数据阵 代码: c=data_new\price 其中系数阵就是不同下标的C,其中数据阵就是【V^2...

    看完文章,长点见识。

    世界如此复杂,任一元素受到太多因素的影响,因而要挑出合适的元素。例如,对于无人机价格Price,仅考虑体积V和速度S对价格的影响,构建一个函数P(V,S)。人为选定采用二次函数的方法拟合。

    收集的数据如表:

    那么就不难列出如下一个方程:

    价格=系数阵*数据阵   代码: c=data_new\price

    其中系数阵就是不同下标的C,其中数据阵就是【V^2,S^2,V,S,SV,1】

    欲求系数阵,只需用六或以上方程(正定或超定方程),六个未知数,继而:

    系数阵=价格*数据阵的逆

    代码如下:

    %输入原始数据
    data=[1,1169,124992,16;2,948,55200,22;3,1051,89280,15;4,825,10200,8;5,921,36400,12;6,873,8500,10;7,1100,80080,19];
    
    %分别计算价格阵和数据阵
    price=data(:,2);
    data_new=[];
    for n=1:7
        s=data(n,4);
        v=data(n,3);
        temp=[v^2,s^2,v,s,s*v,1];    
        data_new=[data_new;temp];
    end
    
    %计算结果
    c=data_new\price
    
    %验算结果
    dis=data_new*c-price

     

    但其实,你完全可以在工具栏输入cftool唤起拟合工具栏,进行如此的设置:

    一步,就完成了全部。而且他还帮你算了各种我看不懂的系数。多么好啊?

     

    闲谈

    好了,正文结束了,我们来闲谈一下吧。这是我第一次做测绘专业之外的数据拟合工作(因比赛的需要)。我们都明白matlab可以干这个,但却还是折腾了不少时间才查到资料。

    最开始我们其实都没意识到这是一个拟合问题,那时候我们查的关键词是:

    已知X,Y,Z,matlab可以获得其曲面函数么?

    我们发现网上很多回答都告诉了我们怎么画这个曲面,但少有答案提到获得其曲面函数,更没有人提到拟合这个词。

    接着我对我的队友说,其实我们专业干过这个,我们有一套关于平差的方法可以处理这个问题。这其实就是一个解方程的问题。进一步,我突然想到,说,这是一个拟合问题。咱们可以自己用二次曲面来拟合,二次曲面拟合共6个未知数,咱们收集了七个数据,这是可以解的!接着,我们如此搜索:

    matlab如何拟合二次曲面

    答案有不少都指向了使用cftool。接着我们稍微查阅了一下,就获得了答案。

    想法

    上述的搜索至少反映出了两点:

    1.界定清楚问题所属领域,很重要。

    2.对于搜索,详细描述问题等于一无所获,宽泛描述问题便可各取所需。

    另外,关于推测功能(对一个新接触的软件,处于常情考虑其可能有的功能,进而通过搜索使用之,并解决具体问题)关于matlab之所以会有拟合这个功能,也很容易想明白。拟合是一个重复性极高且十分重要的操作,封装于工具箱中,也是再正常不过的事情了。

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空空如也

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