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  • 2021-08-05 16:19:06

    此前学习PULSE(见论文学习笔记5)一文时发现其提出的一个思想:使用一个带有隐式空间的生成模型来近似自然图像流形空间M
    虽然上学期学过GAN,但其实隐式空间这个术语对我来说还是稍显陌生。论文上说这些方法(eg:VAE,GANs)会通过可微分的隐式结点生成图片,并通过降维loss指导搜寻。
    这里我发现好像隐式的含义就是基于之前学过的带隐变量的模型,再结合《神经网络与深度学习》一书中13章的解释,总结重点如下:

    1. 原文中表示,由于事实上我们无法直接找到这样的一个流形空间,因此可以通过无监督学习去近似。这些无监督模型恰恰就是从隐空间映射到我们所需空间的模型。
    2. 说到无监督模型的映射,书上给出了解释:通常情况下观测变量X时高维空间中的随机向量,而隐变量Z是相对低维空间中的随机变量。这个相对低维空间就是文章中所描述的隐空间(包含隐变量的空间)。
    3. 揭示了隐空间的概念,书中又提出了所谓的显式密度模型和隐式密度模型,即虽然VAE和GAN都能近似观测变量的分布,但以VAE为例的深度生成模型是通过显式的构建出样本的密度函数 p ( x ∣ z ; θ ) p(x|z;\theta) p(xz;θ),并通过最大似然估计来求解参数(EM算法),因此这些模型被称为显式密度模型
    4. 反之, 我们假设在低维空间 Z Z Z中有一个简单的易于采样的分布 p ( z ) p(z) p(z)(通常为标准正态分布 N ( 0 , I ) N(0,I) N(0,I),我们可以通过神经网络构成一个从 Z Z Z S S S的映射G,将G成为生成网络。然后利用生成网络拟合 G ( z ) G(z) G(z)使其服从分布 p r ( x ) p_r(x) pr(x),这种模型称为隐式密度模型。隐式与显式最大的区别就在于是建模 p r ( x ) p_r(x) pr(x)还是建模数据的生成过程。
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  • 显式方法与隐式方法

    万次阅读 多人点赞 2013-10-18 14:48:03
     所谓显式隐式,是指求解方法的不同,即数学上的出发点不一样。并不是说显式只能求动力学问题,隐式只能求静力学问题,只是求解策略不通。  显式求解是对时间进行差分,不存在迭代和收敛问题,最小时间步取决于...

    简介

         所谓显式和隐式,是指求解方法的不同,即数学上的出发点不一样。并不是说显式只能求动力学问题,隐式只能求静力学问题,只是求解策略不通。
         显式求解是对时间进行差分,不存在迭代和收敛问题,最小时间步取决于最小单元的尺寸。过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长,但总能给出一个计算结果。解题费用非常昂贵。因此在建模划分网格时要非常注意。

      隐式求解和时间无关,采用的是牛顿迭代法(线性问题就直接求解线性代数方程组),因此存在一个迭代收敛问题,不收敛就的不到结果。

            两者求解问题所耗时间的长短理论上无法比较。实际应用中一般感觉来说显式耗时多些。由于两者解题的出发点,所以一般来说显式用于求解和时间相关的动力学问题。隐式用来求解和时间无关的静力学问题。但也不是绝对的。比如,用隐式求解时,为了克服迭代不收敛,改用显式算,但是要多给点时间,这样虽然克服了不收敛的问题,但是求解的时间费用也是相当客观的。另外,隐式也可以求解动力学问题。
            显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示,一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解,这就是显示方程,如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)],f[a(n))为a(n)的函数,此时a(n) 不能用方程显示表示,及数学上的隐函数,一般很难直接求解,多用迭代试算法间接求解。有限元在求解动力学问题中直接积分法中的中心差分积分就是显示求解,而Newmark积分法则为隐式积分。


    隐式积分求解有限元问题

          假设现在一个物体已经被离散成有点个单元。

           显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示,一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解,这就是显示方程,如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)],f[a(n))为a(n)的函数,此时a(n) 不能用方程显示表示,及数学上的隐函数,一般很难直接求解,多用迭代试算法间接求解。有限元在求解动力学问题中直接积分法中的中心差分积分就是显示求解,而Newmark积分法则为隐式积分。显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示,一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解,这就是显示方程,如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)],f[a(n))为a(n)的函数,此时a(n) 不能用方程显示表示,及数学上的隐函数,一般很难直接求解,多用迭代试算法间接求解。

          有限元在求解动力学问题中直接积分法中的中心差分积分就是显示求解,而Newmark积分法则为隐式积分。显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示,一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解,这就是显示方程,如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)],f[a(n))为a(n)的函数,此时a(n) 不能用方程显示表示,及数学上的隐函数,一般很难直接求解,多用迭代试算法间接求解。有限元在求解动力学问题中直接积分法中的中心差分积分就是显示求解,而Newmark积分法则为隐式积分。


          首先定义几个变量:

          x : 当前物体位置;则 表示速度,表示加速度。

          为物体的质量矩阵,


    对于牛顿第二定律: F=ma,用矩阵的形式表示的话:

    其中:表示物体在X位置下,速度为X导的情况下的受力。


    首先问题的初始条件是初始位移和初始速度

    目的是求得h时间后的位移和速度


    对于式子:



    若用显示欧拉求解,记,则可得到:


    这样,就利用欧拉前向方法在小步长的条件下求得当前状态的位置和速度。


    对于欧拉隐式解法,上式就变成了


    前向解法和后向解法的区别就是前向的求解只依赖于前一时刻的状态量,而后向求解则不仅依赖于前一时刻的状态,还依赖于当前时刻的状态。

    上式是一个非线性方程,不好直接求解,先对 f 进行泰勒级数展开:


    代入原式:




    I 表示单位矩阵,对上式进行移项,有


    通过这个式子很容易求得 detaV,然后detaX也可以求出,那么当前时刻的状态就求出来了。


    参考

    Large Steps in Cloth Simulation

    展开全文
  • 之前理解的是,未知数(所要求解的变量)分布在等式的两边就是隐式,在一边就是显式,但是跟X哥讨论的时候,X哥说‘表达成时间项,应该算是显式了’,想再求证一下,就把显式隐式表达总结在这里。 查到这个博文有...

    之前理解的是,未知数(所要求解的变量)分布在等式的两边就是隐式,在一边就是显式,但是跟X哥讨论的时候,X哥说‘表达成时间项,应该算是显式了’,想再求证一下,就把显式和隐式表达总结在这里。
    查到这个博文有这么讲的:
    “*所谓显式和隐式,是指求解方法的不同,即数学上的出发点不一样。并不是说显式只能求动力学问题,隐式只能求静力学问题,只是求解策略不通。

    显式求解是对时间进行差分,不存在迭代和收敛问题,最小时间步取决于最小单元的尺寸。过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长,但总能给出一个计算结果。解题费用非常昂贵。因此在建模划分网格时要非常注意。

    隐式求解和时间无关,采用的是牛顿迭代法(线性问题就直接求解线性代数方程组),因此存在一个迭代收敛问题,不收敛就的不到结果。

    两者求解问题所耗时间的长短理论上无法比较。实际应用中一般感觉来说显式耗时多些。由于两者解题的出发点,所以一般来说显式用于求解和时间相关的动力学问题。隐式用来求解和时间无关的静力学问题。但也不是绝对的。比如,用隐式求解时,为了克服迭代不收敛,改用显式算,但是要多给点时间,这样虽然克服了不收敛的问题,但是求解的时间费用也是相当客观的。另外,隐式也可以求解动力学问题。*”
    参见:https://www.yisu.com/zixun/108221.html
    复习一下泰勒定理:

    其实是这么个引入逻辑:
    显/隐方程→显/隐函数→显/隐式→显/隐式方法
    这里先提醒一下,注意函数三要素:定义域、值域、对应法则。尤其注意对应,函数表示每个输入值对应唯一输出值。

    首先说隐式方程,隐式方程是形同 f(x1, x2, …, xn)=0 的关系,其中***f***是多元函数。
    再说隐函数,隐函数就是由隐式方程所隐含定义的函数,比如 y=sqrt(1-x2) 是由 x2+y2-1=0 确定的函数。那么相应的,显函数就是可以直接用含自变量的算式表示的函数,也就是通常说的函数,如 ***y=cos⁡(x)***。
    第三说显格式和隐格式,我们以计算流体力学中的方程为例。
    对一个偏微分方程,采用有限差分来近似得到差分方程,如热传导方程:
    在这里插入图片描述

    用一阶前差代替 ∂T/∂x ,得:

    在这里插入图片描述
    上角标n代表不同时间,下角标i代表不同位置。
    用中心差分代替(∂2T)/(∂x2),得:
    在这里插入图片描述

    从而可以得到:

    在这里插入图片描述
    因此,我们可以用有限差分来表示该偏微分方程:
    在这里插入图片描述

    这个方程就是差分方程。
    进入正题:
    显格式
    整合式1,得:

    在这里插入图片描述
    通过该差分方程,只要知道初始时刻不同位置的值,就可以利用初值不断进行推进求解,从而得到不同时刻的解
    显然,每一个差分方程都只含一个未知数,因此可以直接求解,将这种格式的差分方程成为显格式,可见是类似于显函数的定义的。
    隐格式
    整合式1,把空间差分写成n和n+1时刻的平均,得:
    在这里插入图片描述

    上述格式叫C-N格式
    该格式包含了三个未知数(n+1时刻对应的三个值),因此不能单数求解,而是需要将该方程所有点的表达式联合起来求解。
    将上式进行整理,把未知数写在左端,把已知数写在右端,得:
    在这里插入图片描述
    为简化书写,令:
    在这里插入图片描述
    则方程可以简化为:

    在这里插入图片描述

    依次在网格 2-6 应用格式:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    边界上的约束条件给定T1, T7,因此5个方程,5个未知数,可以写成矩阵的形式:
    在这里插入图片描述

    采用Tomas方法求解上面的三对角阵即可。

    显然,隐格式的求解比较复杂,那为什么还要用?
    这是因为在显式方法中,需要给定一个合适的Δt,如果Δt过大,推进求解就会不稳定,可能出现数值达到无穷大或者对负数开根号等无法计算的情况,因此会选取较小的Δt,导致网格点增多,总计算时间延长。
    隐式方法对Δt就没有这样的要求。
    感谢下面的知乎作者,上面很详细的计算过程参见:https://zhuanlan.zhihu.com/p/136564204

    展开全文
  • 个人小结: 显示和隐式区别在于,求解偏微分方程时所采用的数学策略的区别,具体而言,...显式一般用于动态问题的分析, 对于大型问题, 或复杂的接触情况可能需要几百万的增量步的计算, 所用时间可能是几天或更长. 而

    个人小结:

    显示和隐式区别在于,求解偏微分方程时所采用的数学策略的区别,具体而言,显示是差分,隐式是牛顿迭代。求解方式的差异,必然会有不同的优缺点。

    隐式 / Standard-- 优点是准确,对步长无要求(即,对网格无要求),但存在收敛问题。

    显示 / Explicit -- 优点只要计算足够长,肯定能收敛,但是存在累计误差问题,因此对最小步长有要求(即,对网格有要求!)


    以下 内容转自abaqus版面的总结:


    显式一般用于动态问题的分析, 对于大型问题, 或复杂的接触情况可能需要几百万的增量步的计算, 所用时间可能是几天或更长. 而隐式的增量步长要长得多, 一般用于静态问题的求解.

    所谓显式和隐式,是指求解方法的不同,即数学上的出发点不一样。并不是说显式只能求动力学问题,隐式只能求静力学问题,只是求解策略不通。
    显式求解是对时间进行差分,不存在迭代和收敛问题,最小时间步取决于最小单元的尺寸。过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长,但总能给出一个计算结果。解题费用非常昂贵。因此在建模划分网格时要非常注意。
    隐式求解和时间无关,采用的是牛顿迭代法(线性问题就直接求解线性代数方程组),因此存在一个迭代收敛问题,不收敛就的不到结果.


    Explicit method -显式算法别 use direct iterative method, which has small cost in each time increment but require relatively small increment. Abaqus pre-determine the time increment based on wave propagation speed and minimum mesh size. This method could be efficient for highly nonlinear and contact problem. For quasi-static problem, properly adjust model parameter as density and total time is important to achieve good computation time.
    Standard-隐式算法 Implicit method use newton method for iteration, which means high cost for each time increment but could mean large time increment. Convergence could be a problem in this case. It could be efficient for linear and some nonlinear problem. More materials, elements and procedures are available in standard.


    两者求解问题所耗时间的长短理论上无法比较。实际应用中一般感觉来说显式耗时多些。
    由于两者解题的出发点,所以一般来说显式用于求解和时间相关的动力学问题。隐式用来求解和时间无关的静力学问题。但也不是绝对的。比如,用隐式求解时,为了克服迭代不收敛,改用显式算,但是要多给点时间,这样虽然克服了不收敛的问题,但是求解的时间费用也是相当客观的。另外,隐式也可以求解动力学问题。abaqus就有一个用隐式积分求解动力学的选项。

    n+1个时间步的量可以由第n个时间步的量直接求得,称为显式
    例如:
    an+1=bn+cn
    bn+1=an+cn
    cn+1=an+bn
    优点是计算量比较小
    缺点是有累积误差

    n+1个时间步的量不可以由第n个时间步的量直接求得,称为隐式
    例如:
    an+1+bn+1=cn
    bn+1+cn+1=an
    an+1+cn+1=bn
    优点是计算量比较大,需要通过方程组求解
    缺点是没有累计误差

    显示算法不进行刚度矩阵的重新计算,只在开始形成以后不变,是时间的显示积分。而隐式算法没进行一次计算都要重新计算刚度矩阵,然后进行迭代,是无条件收敛的


    Q: What is the difference between implicit and explicit dynamics? (Difference between regular ANSYS and ANSYS/LS-DYNA?)
    A:For computers, matrix multiplication isn't difficult. Matrix inversion is the more computationally expensive operation. The equations we solve in nonlinear, dynamic analyses in ANSYS and in LS-DYNA are:
    [M]{a} + [C]{v} + [K]{x} = {F}

    Hence, in ANSYS, we need to invert the [K] matrix when using direct solvers (frontal, sparse). Iterative solvers use a different technique from direct solvers which I won't get into here, but, basically, the inversion of [K] is the CPU-intensive operation for any 'regular' ANSYS solver, direct or iterative. We then can solve for displacements {x}. Of course, with nonlinearities, [K(x)] is also a function of {x}, so we need to use Newton-Raphson method to solve for [K] as well. (material nonlinearities and contact get thrown into [K(x)])

    In LS-DYNA, on the other hand, we solve for accelerations {a} first. Now, in LS-DYNA, we assume that the mass matrix is lumped. This basically forces us to use lower-order elements -- that is why, for all explicit dynamics codes (ANSYS/LS-DYNA, MSC.Dytran, ABAQUS/Explicit), we can only use lower-order elements. Also, the benefit of doing lumped mass is that, if we solve for {a}, then [M], if lumped, is a diagonal mass matrix. This means that inversion of [M] is trivial (diagonal terms only) -- another way to view it is that we now have N set of *uncoupled* equations. Hence, we just have to do matrix multiplication, which isn't nearly as CPU-intensive. It's also worthwhile to note that [K] does not need to be inverted, and accounting for material nonlinearties and contact is easier.

    Now, as for time integration, the terms 'implicit' and 'explicit' refer to time integration -- for example, if you might recall something like backward Euler method, that is an example of an implicit time integration scheme, whereas central difference or forward Euler are examples of explicit time integration schemes. It relates to when you calculate the quantities -- either based on current or previous time step. In any case, this is a very simplified explanation, and the main point is that implicit time integration is unconditionally stable, whereas explicit time integration is not (there is a critical time step your delta(t) needs to be smaller than). As a result, 'regular' ANSYS allows for much larger time steps, but LS-DYNA requires much tinier time steps. Also, LS-DYNA requires very tiny steps, so that is why it is usually good for impact/short-duration events, not usually things like maybe creep where the model's time scale may be on the order of hours or more.

    In summary:
    'Regular' ANSYS uses implicit time integration. This means that {x} is solved for, but we need to invert [K], which means that each iteration is computationally expensive. However, because we solve for {x}, it is implicit, and we don't need very tiny timesteps (i.e., each iteration is expensive, but we usually don't need too many iterations total). The overall timescale doesn't affect us much (although there are considerations of small enough timesteps for proper momentum transfer, capturing dynamic response, etc., but I'm getting ahead of myself).
    ANSYS/LS-DYNA uses explicit time integration. This means that {a} is solved for, and inverting [M] is trivial -- each iteration is very efficient. However, because we solve for {a}, then determine {x}, it is explicit, and we need very small timesteps (many, many iterations) to ensure stability of solution since we get {x} by calculating {a} first. (i.e., each iteration is cheap, but we usually need many, many iterations total)

    Anyways, this is a very simplified (maybe over-simplified) explanation, but I hope it may help clear the distinction between these two methods. For very high-impact, nonlinear events of *short* duration, ANSYS/LS-DYNA is usually the better choice. For events which are of long duration, 'regular' ANSYS is usually the preferred method. For quasi-static events, there are ways in which you can use either solution method (e.g., mass-scaling for explicit). However, you can solve most problems with either method -- I'm just referring to which ones are more *efficient*. [Note that I haven't talked about mode-superposition transient analyses, which is an efficient subset of 'regular' ANSYS for mostly linear behavior, but it is efficient because we uncouple the equations in the frequency domain rather than time domain, but I've probably digressed enough already...]

    隐式与显示最重要的区别在于是否对于整体刚度矩阵求逆,而这一过程也就决定了两者对于模型的要求,由于隐式算法要求逆,所以计算时要求整体刚度阵不能奇异,而显示就没有这一问题啦。而对于动力学问题来将,从数学上看它属于微分方程中初边值问题,如果采用显示求解,很容易发生总纲奇异的问题,所以很多时候求解动力学问题都采用explicit来做。但是explicit也有自身的问题,由于要对于时间积分,如果时间积分步长取得太长,计算结果很有可能是不精确的,但是太短了,还会使得计算时间大幅度增加,并且动力学问题中还存在应力波效应影响,所以使得显示问题更为复杂,但是abaqus中提供了最小单元尺寸限制时间步长的方法,还是可以很好地解决这问题。

    显式和隐式的区别很多人都讲了,说一下计算效率的问题,隐式需要解线性方程组,而对于显式,当我们使用集中质量矩阵时,不需要求解线性方程组,所以对于大规模问题,虽然显式的时间步长较小,但显式会比隐式更有效率。

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