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  • 二进制补码小数

    千次阅读 2021-06-05 16:46:22
    牛逼的二进制 1.前言 计算机使用二进制来表示所有形式的数据:颜色、文字、图像等。当前辈们想方设法要造一台计算机时都会遇到一个问题:怎么用电来表示数? 显然他们发现开关的开和关正好对应二进制的0和1,然后计算机...

    牛逼的二进制

    1.前言

    计算机使用二进制来表示所有形式的数据:颜色、文字、图像等。当前辈们想方设法要造一台计算机时都会遇到一个问题:怎么用电来表示数? 显然他们发现开关的开和关正好对应二进制的0和1,然后计算机就使用二进制直到如今。

    那计算机怎么使用二进制表示负数呢?怎么表示小数?怎么进行运算呢?

    2.用二进制表示负数

    由于二进制不能表示负数,所以必须使用正数来表示负数,将最高位当符号位使用,0正1负,这样就可以使用加法来进行减法运算。

    而补数就是用正数表示负数,一个正数的补数就是它的负数,所以二进制数与它的补数相加结果必为0。

    获得补数的方法是将二进制数取反加一。

    注意:运算结果是负数时,也是用补码来表示。将其返回到源码再在前面加负号就是运算结果。

    3.用二进制进行乘法和除法

    二进制进行乘除是使用移位运算,将二进制数总体进行左移或右移。

    • 左移:移动后空出来的最低位补0:
      在这里插入图片描述

    • 右移分为逻辑右移和算数右移,逻辑右移移动后空出来的最高位补0,例如霓虹灯;算术右移移动后空来的最高位补移位之前符号位的值。
      在这里插入图片描述
      此外,移位后最高位和最低位多出的数字直接丢弃。左移就是乘2的倍数,右移就是除以2的倍数。

    4.符号扩充

    以8位的二进制数为例,符号扩充指在保持值不变的前提下,使用16或32位来表示这个进制数,方法很简单,只需要用符号位的值填充最高位。
    在这里插入图片描述
    5.用二进制数表示小数

    先来看两个问题:

    1.将二进制数1011.0011转换成十进制:
    在这里插入图片描述
    2.小数点后四位的二进制可以表示的十进制有哪些:
    在这里插入图片描述
    由图可知二进制数是连续的,十进制不连续,中间的十进制数都无法用二进制表示。比如十进制的0.1转換成二进制是一个循环小数,计算机遇到这种循环小数时会根据数据类型进行截断或者四含五入。例如float会保存小数点后六位。这也是计算机进行小数运算时容易出错的原因,可以使用整数代替小数运算再复原的方法来解决这个问题。

    6.小数的存储方式:浮点数

    浮点数指用符号、位数、基数和指数来表示小数。由于计算机使用二进制,基数固定为2。
    在这里插入图片描述
    浮点数在内存上是这样存储的:
    在这里插入图片描述
    尾数部分使用正则表达式表示,指数部分使用“EXCESS”系统表示。

    1)正则表达式

    二进制数中使用的是将小数点前的值固定为1的正则表达式。就是将小数点左移或右移,使得左边有且只有一个1。由于第一位肯定是1,在内存上就可以不存,节省了一个数据位。

    2)“ EXCESS”系统

    因为指数部分也可能是负数,为了不使用符号位,前辈们创造出 “EXCESS”系统。通过将指数部分表示范围的中间值设为0,用正数表示负数。比如八位二进制最大值为255,即用127表示0,126就为-1,128为1。

    7.说明

    本文为《程序是怎样跑起来的》读书笔记,如有错误,请兄弟们指正,大家一起进步!

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  • 本文说明一个基本的问题,补码的问题。需要说明一点补码是对负整数在计算机中存储的一种形式;另一种形式是负数在计算机中可以用符号+负数绝对值的形式表示一个负数;比如(-3: 1000 0011存储)但是这种表示的负数有两...

    本文说明一个基本的问题,补码的问题。

    需要说明一点补码是对负整数在计算机中存储的一种形式;另一种形式是负数在计算机中可以用符号+负数绝对值的形式表示一个负数;比如(-3: 1000 0011存储)但是这种表示的负数有两个零+0,-0,最要命的一点是不能做算术运算。比如10-3=10+(-3)=0000 1010+ 1000 0011=1000 1101=-13显然是错的。所以负整数必须以补码存储。

    负数在计算机中如何表示?

    举例来说,+8在计算机中表示为二进制的1000,那么-8怎么表示呢?

    很容易想到,可以将一个二进制位(bit)专门规定为符号位,它等于0时就表示正数,等于1时就表示负数。比如,在8位机中,规定每个字节的最高位为符号位。那么,+8就是00001000,而-8则是10001000。

    但是,随便找一本《计算机原理》,都会告诉你,实际上,计算机内部采用2的补码(Two’s Complement)表示负数。

    在讲补码之前简单介绍机器数,真值,原码和反码的背景。

    1、机器数

    一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数0,负数为1。

    1

    比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是0000 0011。如果是 -3 ,就是 1111 1101 。那么,这里的 00000011 和 1111 1101 就是机器数。 机器数包含了符号和数值部分。

    2、真值

    因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不能很好的表示真正的数值。例如上面的有符号数 1111 1101,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值253(1111 1101按无符号整数转换成十进制等于253)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

    例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –0111 1111 = –127;这里所说的比如-3二进制代码为10000011,就是我们计算机里面对-3表示的源码。下面介绍源码

    首先说明一点

    在计算机内,有符号数有3种表示法:原码、反码和补码。

    3、原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制

    [+1]原 = 0000 0001

    [-1]原 = 1000 0001

    因为第一位是符号位, 所以若是8位二进制数,其取值范围就是:

    [1111 1111 , 0111 1111]

    即[-127 , 127]

    原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

    4 、反码

    反码表示法规定:正数的反码与其原码相同;负数的反码是对其原码逐位取反,但符号位除外。

    [+1] = [ 00000001 ]原码 = [ 00000001 ]反码;

    [-1] = [ 10000001 ]原码 = [ 11111110 ]反码;

    可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算。

    什么是二进制的补码?

    注明:正数的补码与负数的补码一致,负数的补码符号位为1,这位1即是符号位也是数值位,然后加1

    补码借鉴的模概念,虽然理解起来有点晦涩难懂。可以跳过

    模的概念:把一个计量单位称之为模或模数。例如,时钟是以12进制进行计数循环的,即以12为模。

    在时钟上,时针加上(正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位,时针的位置不变。14点钟在舍去模12后,成为(下午)2点钟(14=14-12=2)。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时),即2点(0-10=-10=-10+12=2)。因此,在模12的前提下,-10可映射为+2。由此可见,对于一个模数为12的循环系统来说,加2和减10的效果是一样的;因此,在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了(注:计算机的硬件结构中只有加法器,所以大部分的运算都必须最终转换为加法)。10和2对模12而言互为补数。同理,计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为16),因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满16位也就是65536个数后会产生溢出,又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模,显然,16位二进制数,它的模数为2^16=65536。在计算中,两个互补的数称为“补码”。比如一个有符号8位的数可以表示256个数据,最大数是0 1 1 1 1 1 1 1(+127),最小数1 0 0 0 0 0 0 0 (-128);那么第255个数据,加2和减254都是一样的效果得出的结果是第一个数据 ,所以2和254是一样的效果。对于255来说2和254是互补的数。

    求一个正数对应补码是一种数值的转换方法,要分二步完成:

    第一步,每一个二进制位都取相反值,即取得反码;0变成1,1变成0。比如,00001000的反码就是11110111。

    第二步,将上一步得到的反码加1。11110111就变成11111000。所以,00001000的二进制补码就是11111000。也就是说,-8在计算机(8位机)中就是用11111000表示。

    不知道你怎么看,反正我觉得很奇怪,为什么要采用这么麻烦的方式表示负数,更直觉的方式难道不好吗?

    二进制补码的好处

    首先,要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数,其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系,就可以用任意方式表示负数。所以,既然可以任意选择,那么理应选择一种用的爽直观方便的方式。

    二进制的补码就是最方便的方式。它的便利体现在,所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

    还是以-8作为例子。假定有两种表示方法。一种是直觉表示法,即10001000;另一种是2的补码表示法,即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便?随便写一个计算式,16 + (-8) = ?16的二进制表示是 00010000,所以用直觉表示法,加法就要写成:

    00010000

    +10001000原码形式-8

    ---------

    10011000

    可以看到,如果按照正常的加法规则,就会得到10011000的结果,转成十进制就是-24。显然,这是错误的答案。也就是说,在这种情况下,正常的加法规则不适用于正数与负数的加法,因此必须制定两套运算规则,一套用于正数加正数,还有一套用于正数加负数。从电路上说,就是必须为加法运算做两种电路。所以用原码表示负数是不行的。

    现在,再来看二进制的补码表示法。

    00010000

    +11111000补码形式-8

    ---------

    100001000

    可以看到,按照正常的加法规则,得到的结果是100001000。注意,这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机,因此最高的第9位是一个溢出位,会被自动舍去。所以,结果就变成了00001000,转成十进制正好是8,也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了,2的补码表示法可以将加法运算规则,扩展到整个整数集,从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

    二进制补码的本质,本质是用来表示负整数的

    在回答二进制补码为什么能正确实现加法运算之前,我们先看看它的本质,也就是那两个求补码步骤的转换方法是怎么来的。下面描述了一个正数怎么求它对应负数在计算机的表达方式。比如128,正数为10000000,但是惊奇的发现-128也是10000000。但是这里由于属于数据类型的限定,第八位同样一个1代表不同的含义,前面的 1是数值位,后面数的 1是符号位。

    要将正数转成对应的负数,其实只要用0减去这个数就可以了。比如,-8其实就是0-8。用模数的概念解释如下图

    04bc8ea7167c55d805e8b5adce1613f1.png

    已知8的二进制是00001000,-8就可以用下面的式子求出:

    00000000

    -00001000

    ---------- - - -

    因为00000000(被减数)小于0000100(减数),所以不够减。请回忆一下小学算术,如果被减数的某一位小于减数,我们怎么办?很简单,问上一位借1就可以了。

    所以,0000000也问上一位借了1,也就是说,被减数其实是100000000,这是重点;算式也就改写成:

    100000000

    -00001000

    ---------- - -

    11111000

    进一步观察,可以发现可分拆为100000000 = 11111111 + 1,所以上面的式子可以拆成两个:

    11111111

    -00001000

    ---------

    11110111取反

    +00000001加一

    ---------

    11111000

    二进制的补码两个转换步骤就是这么来的。

    举个例子,比如-128补码的由来,先把正整数128二进制表示出来10000000求-128的补码

    1 1 1 1 1 1 1 1

    -1 0 0 0 0 0 0 0

    ---------

    0 1 1 1 1 1 1 1

    +0 0 0 0 0 0 0 1

    ---------

    1 0 0 0 0 0 0 0

    即-128的补码是10000000。8位的结构能表示的最小数是-128;

    所以可以总结求补码的范式是这样的:

    求n位系统的一个数正数A : 01101101101……….11101100(n位二进制),怎么求他的补码呢,就用n位的1111111111111111111…..111(n位) - 11101101101……….11101100(n位二进制) + 1 = A的补码就行啦!但是

    如果一个1111111111111…..111111(n位全为1的正整数的补码),要用1111111111111…….11111(n+1位) - 1111111111111…..111111(n位全为1的正整数) +1 才能求的她对应的补码。

    如uint16 A =200, uint16 B =65535,那么C =A-B;

    65535的补码:正数65535为1111 1111 1111 1111,进行下面的计算求得B的补码即-B;先展示有补码符号位,即补码有最高位位1的;

    1 1111 1111 1111 1111 -1111 1111 1111 1111 +1 =1 0000 0000 0000 0001,相当于被减数是10 0000 0000 0000 0000(18位) =1 1111 1111 1111 1111 +1

    因为A和B 都是16位的无符号数,所以65535的补码最高位舍去,相当于被减数是1 0000 0000 0000 0000 =1111 1111 1111 1111 +1,即可以用上面的范式方法,但是这样-B就没有体现它的负数的符号位了;当然这是因为16位运算超出16位的位都舍去了。即-B=1;即A-B= 200+1 =201。其实也可以用模数概念解释A -B;如下图正数的模数

    905adb5a08c7388a05967502ed86e82b.png

    为什么正数加法也适用于二进制的补码?

    实际上,我们要证明的是,X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码(-Y)完成。

    Y的二进制补码等于(11111111-Y)+1。所以,X加上Y的2的补码,就等于:X + (11111111-Y) + 1;我们假定这个算式的结果等于Z,即 Z = X + (11111111-Y) + 1。

    接下来,分成两种情况讨论。

    第一种情况,如果X小于Y,那么Z是一个负数。这时,我们就对Z采用补码的逆运算,就是在做一次求补码运算,求出它对应的正数绝对值,只要前面加上负号就行了。所以,

    Z = -[11111111-Z+1] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1)+1)] = X - Y;这里如果X Y Z都是无符号型的,且X < Y 那么Z 最终得到的数是|X-Y|距离的绝对值了,比如X=1,Y= 255,那么Z=2,因为从255到1只要加两次就到了。这里你不要问我为什么,这里就用到上面的模概念。

    第二种情况,如果X大于Y,这意味着Z肯定大于11111111,但是我们规定了这是8位机,最高的第9位是溢出位,必须被舍去,舍去相当于减去吗!所以减去100000000。所以,

    Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y

    这就证明了,在正常的加法规则下,可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之,计算机只要部署加法电路和补码电路,就可以完成所有整数的加法。

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  • 转载:http://blog.xdnice.com/blog40543i59178.htmlmatlab提供了一个系统函数dec2bin,可以用来进行十进制数的二进制转换,不过功能有限!在matlab中键入 help dec2bin,如下:DEC2BIN Convert decimal integer to a ...

    转载:http://blog.xdnice.com/blog40543i59178.html

    matlab提供了一个系统函数dec2bin,可以用来进行十进制数的二进制转换,不过功能有限!

    在matlab中键入 help dec2bin,如下:

    DEC2BIN Convert decimal integer to a binary string.

    DEC2BIN(D) returns the binary representation of D as a string.

    D must be a non-negative integer smaller than 2^52.

    DEC2BIN(D,N) produces a binary representation with at least

    N bits.

    Example

    dec2bin(23) returns '10111'

    可见,这个函数只能转换整数,对非整数就无能为力了.因此,自己编写了matlab小程序,顺便也贴出来,希望对需要的人能有所帮助!^_^

    1.小数转换为二进制数

    输入参数有2个,一个是输入的小数(小于1),一个是指定转换后的二进制位数!程序源码如下:

    y=dectobin(innum,N)

    %十进制小数转换为二进制数

    %输入参数为innum和N

    %innum为输入的十进制小数

    %N为指定转换后二进制的位数

    if (innum>1)|(N == 0)%判断输入的有效性

    disp('error!');

    return;

    end

    count=0;

    tempnum=innum;

    record=zeros(1,N);

    while(N)

    count=count+1;%长度小于N

    if(count>N)

    N=0;

    %         return;

    end

    tempnum=tempnum*2;%小数转换为二进制,乘2取整

    if tempnum>1

    record(count)=1;

    tempnum=tempnum-1;

    elseif(tempnum==1)

    record(count)=1;

    N=0;%stop loop

    else

    record(count)=0;

    end

    end

    y=record;

    2.如果要转换整数,则直接调用matlab的dec2bin即可!

    3.对于大于1的非整数,可以利用将其分为整数部分和小数部分的方法来处理:

    利用matlab的floor函数可以对输入的数(设为innum)向下取整,然后利用innum-floor(innum)就可以得到小数部分,调用上面的函数就可以得到其二进制表达式!

    注意,这里有一个小问题,就是dec2bin函数的返回值是一个char array,所以,我们应该先将其转换为double array!可以利用double()进行强制类型转换,得到ASCII码值,减去48就可以得到double array类型的0,1序列!

    程序代码如下:

    [num,numint,numf]=dectobin1(innum,N)

    %十进制数转换为二进制数

    %输入为十进制数innum,以及小数部分的位数N

    %输出为三个参数num,numint,numf

    %num为输出的二进制形式

    %numint为整数部分的二进制表达式

    %numf为小数部分的二进制表达式

    sep=5;%整数和小数部分的分隔符

    if(mod(innum,1)==0)%判断输入是否为整数,mod为取余函数

    numint=dec2bin(innum);

    numint=double(numint)-48;

    numf=zeros(1,N);

    num=[numint,sep,numf];

    return

    end;

    %输入为非整数的情况

    nint=floor(innum);%整数部分

    nf=innum-nint;%小数部分

    res_nint=dec2bin(nint);

    res_nint=double(res_nint)-48;

    res_nf=dectobin(nf,N);

    numint=res_nint;

    numf=res_nf;

    num=[numint,sep,numf];

    其中的dectobin函数就是最上面的小数转二进制函数!

    4.似乎已经大功告成了,是吗?NO,还有一个问题,那就是负数的情况,在这里,我们采用补码的方式,如果输入为正,则二进制表达式不变,如果为负,则按位取反并加1.因此,需要对上面的函数加上一个负数判断以及补码转换的功能.最终的表示结果可以采用1QN的格式.补码转换部分程序如下:

    [numo,numinto,numfo]=conv(numint,numf,flag)

    %二进制数的补码表示

    %输入参数为numint整数部分的二进制表达式,numf小数部分二进制表达式,flag负数标志

    %输出参数为numo输入的补码,numinto整数部分的补码,numfo小数部分的补码

    if (flag==0)

    numo=[0,numint,5,numf];%正数

    numinto=numint;

    numfo=numf;

    else%负数,整数和小数部分均进行按位取反并加一

    l1=length(numint);

    l2=length(numf);

    num=[numint,numf];

    l=l1+l2;

    for i=1:l

    if num(i)==1%按位取反

    num(i)=0;

    else

    num(i)=1;

    end

    end

    %取反后加一

    temp_l=l;

    while(temp_l~=0)

    if num(temp_l)==0%最低位为0

    num(temp_l)=1;

    temp_l=0;%结束循环

    else

    num(temp_l)=0;

    temp_l=temp_l-1;

    end

    end

    %    l1=length(numint);

    %    for i=1:l1

    %

    %        if numint(i)==1%按位取反

    %            numint(i)=0;

    %        else

    %            numint(i)=1;

    %        end

    %

    %    end

    %

    %    l2=length(numf);

    %    for i=1:l2

    %

    %        if numf(i)==1%按位取反

    %            numf(i)=0;

    %        else

    %            numf(i)=1;

    %        end

    %

    %    end

    %

    % %取反后加一

    %   temp_l1=l1;

    %   while(temp_l1~=0)

    %     if numint(temp_l1)==0%最低位为0

    %         numint(temp_l1)=1;

    %         temp_l1=0;%结束循环

    %     else

    %         numint(temp_l1)=0;

    %         temp_l1=temp_l1-1;

    %     end

    %   end

    %

    %   %取反后加一

    %   temp_l2=l2;

    %   while(temp_l2~=0)

    %     if numf(temp_l2)==0%最低位为0

    %         numf(temp_l2)=1;

    %         temp_l2=0;%结束循环

    %     else

    %         numf(temp_l2)=0;

    %         temp_l2=temp_l2-1;

    %     end

    numinto=num(1:l1);

    numfo=num(l1+1:l);

    %   numinto=numint;

    %   numfo=numf;

    numo=[1,numinto,5,numfo];

    end

    5.最后,用一个main函数连接以上的子函数

    [numo,numinto,numfo]=decimal2bin(innum,N)

    [num1,numint1,numf1,flag1]=dectobin1(innum,N);

    [numo,numinto,numfo]=conv(numint1,numf1,flag1)

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  • 笔者刚学数字电路,就在二进制补码处踩了许多坑,下面就来写一下我对二进制补码的感悟。 提示:以下是本篇文章正文内容,下面案例可供参考 一、生活中了解补码 首先展示一下求补码的公式N(补)=R^n-N 这里的N是原码...


    前言

    笔者刚学数字电路,就在二进制补码处踩了许多坑,下面就来写一下我对二进制补码的感悟。


    提示:以下是本篇文章正文内容,下面案例可供参考

    一、生活中了解补码

    首先展示一下求补码的公式N(补)=R^n-N
    这里的N是原码,R是基数,n是位数,N(补)是补码
    我们用时钟来举一个例子:
    有点大。。。

    假如时钟要从0点转到3点,我们可以怎么转?首先,有两种方法:顺时针转3个格或者逆时针转12(基数)-3(原码)=9个格,在这里,这个9就是3在时钟里的补码

    二、数字电路或系统中补码有什么作用?

    补码是用来方便解决负数在数字电路或系统中的表示问题的。

    三、补码,原码,反码之间的转换

    1.例子

    首先,当二进制数是正数时,它的补码,反码,原码相同;当二进制数是负数时,它的反码为原码的数值位取反,补码为反码+1.
    我们来举一个例子看看:表格除去第一行,每一列顺次为原码,反码,补码

    9-9
    0100111001
    0100110110
    0100110111

    四、补码加法运算

    1.异号补码相加

    我们来举一个例子:
    利用二进制补码的形式计算(6-2)
    列一下竖式:
    在这里插入图片描述
    因为是四位二进制加法计算,所以画圈的进位1丢掉,结果为0100

    2.同号补码相加

    接下来我们看一下同号相加的例子:
    利用二进制补码计算(6+2)
    列一下竖式:
    在这里插入图片描述
    按照上面的舍弃进位,最后的结果为1000是个负值,这个怎么回事?
    这就涉及到了一个名词溢出
    怎么判断溢出
    首先,有这样一个规律:
    两个符号相反的数相加不会产生溢出,只有两个符号相同的数且进位位和符号位不同才会产生溢出
    为什么两个符号相反的数相加不会产生溢出?
    首先,n位二进制补码表示的数的范围是-2^(n-1)~(2^(n-1)-1),那么4位二进制补码表示的数的范围是-8 ~ +7,所以,无论是-8+0还是0+7都不会超出范围。
    怎么解决溢出?
    用上面题来说,只需把4位二进制补码变成5位二进制补码就OK了,如下:
    在这里插入图片描述
    这样结果就是01000也就是十进制8了。

    总结

    以上就是我的感悟了,希望对大家有帮助。

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二进制小数的补码