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  • 将非正定对称矩阵转换为正定对称矩阵(即可逆矩阵)的函数。 一种特殊情况可能是协方差矩阵的求逆。 矩阵的特征分解用于向特征值 <= 0 添加一个小值。
  • 黎曼流形上的对称正定矩阵的聚类
  • 本文主要针对线性代数中的正定矩阵实对称矩阵、矩阵特征值分解以及矩阵 SVD 分解进行总结。 如果你对这篇文章可感兴趣,可以点击「【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内所有高质量博客」,查看完整博客分类与对应...

    前言

    本文主要针对线性代数中的正定矩阵、实对称矩阵、矩阵特征值分解以及矩阵 SVD 分解进行总结。

    如果你对这篇文章可感兴趣,可以点击「【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内所有高质量博客」,查看完整博客分类与对应链接。


    正定矩阵

    1. 概念

    首先正定矩阵是定义在对称矩阵的基础上,其次对于任意非零向量 x \textbf{x} x,若 x T A x > 0 \textbf{x}^T\textbf{\textit{A}}\textbf{x}>0 xTAx>0 恒成立,则矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 为正定矩阵;若 x T A x ≥ 0 \textbf{x}^T\textbf{\textit{A}}\textbf{x}\geq 0 xTAx0 恒成立,则矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 为半正定矩阵。

    2. 物理意义

    任意非零向量 x \textbf{x} x 经过矩阵 A A A 线性变换后,与原先向量的夹角 ≤ 90 \leq 90 90 度。

    3. 其他充要条件

    • 充要条件1: 矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 的全部特征值都是正数
      • 推论: A \textbf{\textit{A}} A 正定,则 ∣ A ∣ > 0 |\textbf{\textit{A}}|>0 A>0,即 A \textbf{\textit{A}} A 可逆(有时会根据矩阵正定来判断是否可逆)
      • 推论: A \textbf{\textit{A}} A 正定,则 A \textbf{\textit{A}} A 与单位阵合同,即存在可逆阵 C \textbf{\textit{C}} C,使得 C T AC = E \textbf{\textit{C}}^T\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{C}}=\textbf{\textit{E}} CTAC=E 成立
    • 充要条件2: 矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 的各阶顺序主子式都是正数,即 Δ i > 0 \Delta_i>0 Δi>0
      • 其中 Δ i \Delta_i Δi 表示矩阵 A \textbf{\textit{A}} A i i i 行与前 i i i 列组成的子矩阵的行列式的值
      • 推论: ∣ A ∣ > 0 |A|>0 A>0 A A A 一定可逆

    实对称矩阵

    1. 概念

    矩阵为方阵,其中元素均为实数,且 A = A T \textbf{\textit{A}}=\textbf{\textit{A}}^T A=AT

    2. 性质

    • 性质1: 实对称矩阵的特征值都是实数。
      • 假设 λ \lambda λ x \textbf{x} x 分别为矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 的特征值、特征向量,即 A x = λ x \textbf{\textit{A}}\textbf{x}=\lambda \textbf{x} Ax=λx
      • 等式两边取共轭,即 a + b i ‾ = a − b i \overline{a+bi}=a-bi a+bi=abi A ‾ x ‾ = λ ‾ x ‾ \overline{\textbf{\textit{A}}}\overline{\textbf{x}}=\overline{\lambda} \overline{\textbf{x}} Ax=λx A \textbf{\textit{A}} A 是实对称矩阵,因此 A = A T = A ‾ \textbf{\textit{A}}=\textbf{\textit{A}}^T=\overline{\textbf{\textit{A}}} A=AT=A,即 A x ‾ = λ ‾ x ‾ \textbf{\textit{A}}\overline{\textbf{x}}=\overline{\lambda} \overline{\textbf{x}} Ax=λx
      • 等式两边取转置,则 x T A = λ x T \textbf{x}^T\textbf{\textit{A}}=\lambda \textbf{x}^T xTA=λxT
      • x T A x ‾ = λ ‾ x T x ‾ = λ x T x ‾ \textbf{x}^T\textbf{\textit{A}}\overline{x}=\overline{\lambda}\textbf{x}^T\overline{\textbf{x}}=\lambda \textbf{x}^T\overline{\textbf{x}} xTAx=λxTx=λxTx
      • ( λ − λ ‾ ) ∥ x ∥ 2 2 = 0 (\lambda-\overline{\lambda})\left\|\textbf{x}\right\|_2^2=0 (λλ)x22=0,由于 ∥ x ∥ 2 2 > 0 \left\|\textbf{x}\right\|_2^2>0 x22>0,因此 λ = λ ‾ \lambda=\overline{\lambda} λ=λ λ \lambda λ 为实数
    • 性质2: 实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量必定正交。
      • 假设 A x 1 = λ 1 x 1 \textbf{\textit{A}}\textbf{x}_1=\lambda_1 \textbf{x}_1 Ax1=λ1x1 A x 2 = λ 2 x 2 \textbf{\textit{A}}\textbf{x}_2=\lambda_2 \textbf{x}_2 Ax2=λ2x2 成立
      • x 1 T A = λ 1 x 1 T \textbf{x}_1^T\textbf{\textit{A}}=\lambda_1 \textbf{x}_1^T x1TA=λ1x1T
      • x 1 T A x 2 = λ 1 x 1 T x 2 = λ 2 x 1 T x 2 \textbf{x}_1^T\textbf{\textit{A}}\textbf{x}_2=\lambda_1 \textbf{x}_1^T\textbf{x}_2=\lambda_2\textbf{x}_1^T\textbf{x}_2 x1TAx2=λ1x1Tx2=λ2x1Tx2
      • ( λ 1 − λ 2 ) x 1 T x 2 = 0 (\lambda_1-\lambda_2)\textbf{x}_1^T\textbf{x}_2=0 (λ1λ2)x1Tx2=0,因此 x 1 \textbf{x}_1 x1 x 2 \textbf{x}_2 x2 正交
    • 性质3: 实对称矩阵相同特征值所对应的特征向量必定线性无关。
      • 证明较繁琐,不详细展开
      • 线性无关的向量可以通过施密特正交化转为正交向量
        • 对于线性无关向量组 x 1 , x 2 , . . . , x n \textbf{x}_1,\textbf{x}_2,...,\textbf{x}_n x1,x2,...,xn,转为正交向量组 y 1 , y 2 , . . . , y n \textbf{y}_1,\textbf{y}_2,...,\textbf{y}_n y1,y2,...,yn
        • y 1 = x 1 \textbf{y}_1=\textbf{x}_1 y1=x1
        • y i = x i − ∑ j = 1 i − 1 x i T y j y j T y j y j \textbf{y}_i=\textbf{x}_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}\displaystyle\frac{\textbf{x}_i^T\textbf{y}_j}{\textbf{y}_j^T\textbf{y}_j}\textbf{y}_j yi=xij=1i1yjTyjxiTyjyj
      • 由于新的正交向量都是原来线性无关向量的线性组合,而原先的线性无关向量对应的特征值均相同,因此新的正交向量也均为该相同特征值对应的特征向量
    • 性质4: 任何一个实对称矩阵,都可以正交对角化。
      • 正交对角化,即存在一个正交矩阵 Q ( Q T = Q − 1 ) \textbf{\textit{Q}}(\textbf{\textit{Q}}^T=\textbf{\textit{Q}}^{-1}) Q(QT=Q1) 使得 Q T AQ = D \textbf{\textit{Q}}^T\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{Q}}=\textbf{\textit{D}} QTAQ=D,其中 D \textbf{\textit{D}} D 是一个对角矩阵
      • 实对称矩阵,一定有 n n n 个解,因为实对称矩阵特征值都是实数,因此一共有 n n n 个实特征值(包括重特征值)—— 性质 1 1 1
      • 不同特征值对应的特征向量正交,相同特征值也一定存在对应的正交向量 —— 性质 2 , 3 2,3 2,3
      • 实对称矩阵,一定有 n n n 个正交特征向量,因此可以特征值分解,即该性质成立
    • 性质5: 实对称矩阵的非零特征值个数等于矩阵的秩
      • 矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 相似于对角矩阵, P − 1 AP = D \textbf{\textit{P}}^{-1}\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{P}}=\textbf{\textit{D}} P1AP=D
      • 对角矩阵 D \textbf{\textit{D}} D 的秩 = 矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 的秩 = D \textbf{\textit{D}} D 非零特征值个数
      • 矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 与 矩阵 D \textbf{\textit{D}} D 相似,则特征值相同
    • 性质6:实对称矩阵不一定可逆,但若可逆,则一定是实对称矩阵
      • 0 矩阵对称不可逆
      • ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 = A − 1 (A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1} (A1)T=(AT)1=A1

    矩阵特征值分解

    1. 概念

    n ∗ n n*n nn 的方阵 A \textbf{\textit{A}} A,由 A x = λ x \textbf{\textit{A}}\textbf{x}=\lambda \textbf{x} Ax=λx 可以得到 AV = V Λ \textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{V}}=\textbf{\textit{V}}\Lambda AV=VΛ

    • 如果方阵 A \textbf{\textit{A}} A n n n 个线性无关的特征向量,则 V \textbf{\textit{V}} V 可逆
    • A = V Λ V − 1 \textbf{\textit{A}}=\textbf{\textit{V}}\Lambda\textbf{\textit{V}}^{-1} A=VΛV1
    • 其中矩阵 V \textbf{\textit{V}} V 的列为方阵 A \textbf{\textit{A}} A 的特征向量, Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) , λ i ≥ λ i + 1 \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n),\lambda_i\geq \lambda_{i+1} Λ=diag(λ1,λ2,...,λn),λiλi+1

    矩阵 SVD 分解

    1. 概念

    任意一个矩阵 A \textbf{\textit{A}} A 都可以分解为 A = U Σ V T \textbf{\textit{A}}=\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T A=UΣVT,其中 U , V \textbf{\textit{U}},\textbf{\textit{V}} U,V 均为正交单位矩阵, Σ \Sigma Σ 为对角矩阵。

    2. 证明

    • A T A = ( U Σ V T ) T U Σ V T = V Σ 2 V T \textbf{\textit{A}}^T\textbf{\textit{A}}=(\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T)^T\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T=\textbf{\textit{V}}\Sigma^2\textbf{\textit{V}}^T ATA=(UΣVT)TUΣVT=VΣ2VT,由于 A T A \textbf{\textit{A}}^T\textbf{\textit{A}} ATA 为实对称矩阵,因此 V \textbf{\textit{V}} V 为矩阵 A T A \textbf{\textit{A}}^T\textbf{\textit{A}} ATA 对应特征向量组成的正交单位阵。
    • A A T = U Σ V T ( U Σ V T ) T = U Σ 2 U T \textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{A}}^T=\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T(\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T)^T=\textbf{\textit{U}}\Sigma^2\textbf{\textit{U}}^T AAT=UΣVT(UΣVT)T=UΣ2UT,由于 A A T \textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{A}}^T AAT 为实对称矩阵,因此 U \textbf{\textit{U}} U 矩阵 A A T \textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{A}}^T AAT 对应特征向量组成的正交单位阵。
    • AV = U Σ \textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{V}}=\textbf{\textit{U}}\Sigma AV=UΣ,其中 Σ \Sigma Σ 为对角阵,因此 A v i = σ i u i \textbf{\textit{A}}\textbf{v}_i=\sigma_i\textbf{u}_i Avi=σiui,由此可以得到对角矩阵 Σ \Sigma Σ,其中 σ i \sigma_i σi 就是奇异值。
    • A m ∗ n = U m ∗ m Σ m ∗ n V n ∗ n T \textbf{\textit{A}}_{m*n}=\textbf{\textit{U}}_{m*m}\Sigma_{m*n}\textbf{\textit{V}}_{n*n}^T Amn=UmmΣmnVnnT

    3. 几何角度

    矩阵 U , V U,V U,V 仅负责旋转, Σ \Sigma Σ 负责放缩,具体示意图如下:
    在这里插入图片描述

    4. SVD 压缩

    如下所示,仅选取前 r r r 个不为零的奇异值,可以实现无损压缩。注意非零奇异值的个数等于矩阵 A A A 的秩。

    在这里插入图片描述

    5. 计算伪逆

    在这里插入图片描述

    6. Eckart-Young Theorem

    如果矩阵 B \mathbf{B} B 的秩为 k k k,则 ∣ ∣ A − B ∣ ∣ ≥ ∣ ∣ A − A k ∣ ∣ ||A-B||\geq||A-A_k|| ABAAk 对如下三个矩阵范数成立:

    • ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = σ 1 ||A||_2=\sigma_1 A2=σ1,即最大的奇异值
    • ∣ ∣ A ∣ ∣ N u c l e a r = ∑ i = 1 r σ i ||A||_{Nuclear}=\sum\limits_{i=1}^r\sigma_i ANuclear=i=1rσi
    • Frobenius norm = ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 , 1 = ∣ ∣ A ∣ ∣ F = ( t r ( A T A ) ) 1 / 2 = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 ) 1 / 2 =||A||_{2,1}=||A||_F=(tr(A^TA))^{1/2}=(\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}^2)^{1/2} =A2,1=AF=(tr(ATA))1/2=(i=1mj=1naij2)1/2

    其中 A \mathbf{A} A A k \mathbf{A_k} Ak 定义如下:
    A = U Σ V T = ∑ i = 1 r σ i u i v i T A k = U k Σ k V k T = ∑ i = 1 k σ i u i v i T \begin{aligned} & \mathbf{A}=\mathbf{U}\Sigma\mathbf{V}^T=\sum\limits_{i=1}^r \sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T\\ & \mathbf{A}_k=\mathbf{U}_k\Sigma_k\mathbf{V}_k^T=\sum\limits_{i=1}^k \sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T \end{aligned} A=UΣVT=i=1rσiuiviTAk=UkΣkVkT=i=1kσiuiviT

    需要注意,矩阵乘上一个正交矩阵,其奇异值不会发生变化,即上述涉及的矩阵范数不会改变。

    7. LSI

    计算不同 q u e r y query query 之间的相似程度,常用于推荐系统。
    在这里插入图片描述
    更多 SVD 的应用:

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  • 实对称正定矩阵的开方

    千次阅读 2020-03-23 12:12:20
    任何一个实对称正定矩阵都可以表示成一个实对称正定矩阵的平方. 假设 AAA 为实对称正定矩阵,则存在实对称正定矩阵 BBB 使 A=B2=B∗B=BHBA=B^2=B*B=B^{H}BA=B2=B∗B=BHB 即 A1/2=BA^{1/2}=BA1/2=B ...

    有前辈给出了【实对称正定矩阵存在平方根的证明】,证明过程点击此处。

    任何一个实对称正定矩阵都可以表示成一个实对称正定矩阵的平方.

    假设 A A A 为实对称正定矩阵,则存在实对称正定矩阵 B B B 使
    A = B 2 = B ∗ B = B H B A=B^2=B*B=B^{H}B A=B2=BB=BHB

    A 1 / 2 = B A^{1/2}=B A1/2=B

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  • ​ \quad将nnn阶实对称矩阵AAA设为D−L−LTD-L-L^TD−L−LT,其中DDD是AAA的所有主对角元素构成对角矩阵,−L-L−L是AAA的所有主对角线以下的元素构成的严格下三角矩阵。 ​ \quad此时Gauss−SeidelGauss-SeidelGauss...
    Solution:

    \quad n n n阶实对称矩阵 A A A设为 D − L − L T D-L-L^T DLLT,其中 D D D A A A的所有主对角元素构成对角矩阵, − L -L L A A A的所有主对角线以下的元素构成的严格下三角矩阵。

    \quad 此时 G a u s s − S e i d e l Gauss-Seidel GaussSeidel法的迭代矩阵为 ( D − L ) − 1 L T (D-L)^{-1}L^T (DL)1LT,设其特征值为 λ \lambda λ,则有 ( D − L ) − 1 L T x = λ x (D-L)^{-1}L^Tx=\lambda x (DL)1LTx=λx,即 L T x = λ ( D − L ) x L^Tx=\lambda (D-L)x LTx=λ(DL)x,两边同乘 x T x^T xT,有 x T L T x = λ x T ( D − L ) x x^TL^Tx=\lambda x^T(D-L)x xTLTx=λxT(DL)x,设 x T L T x = p − q i x^TL^Tx=p-qi xTLTx=pqi,两边取转置有 x L x T = p + q i xLx^T=p+qi xLxT=p+qi

    \quad 于是 x T A x = x T ( D − L − L T ) x = x T D x − x T ( L + L T ) x = x T D x − 2 p x^TAx=x^T(D-L-L^T)x=x^TDx-x^T(L+L^T)x=x^TDx-2p xTAx=xT(DLLT)x=xTDxxT(L+LT)x=xTDx2p

    \quad A A A的特征值 λ = x T L T x x T ( D − L ) x = p − q i x T D x − x T L x = p − q i x T D x − p − q i \lambda=\frac{x^TL^Tx}{x^T(D-L)x}=\frac{p-qi}{x^TDx-x^TLx}=\frac{p-qi}{x^TDx-p-qi} λ=xT(DL)xxTLTx=xTDxxTLxpqi=xTDxpqipqi,由于 D D D是正定矩阵,所以有 ∣ λ ∣ 2 = λ ⋅ λ ˉ = p 2 + q 2 ( x T D x − p ) 2 + q 2 |\lambda|^2=\lambda\cdot\bar{\lambda}=\frac{p^2+q^2}{(x^TDx-p)^2+q^2} λ2=λλˉ=(xTDxp)2+q2p2+q2

    \quad 又因为 A A A是正定矩阵,所以 x T A x = x T D x − 2 p > 0 x^TAx=x^TDx-2p\gt0 xTAx=xTDx2p>0,即 x T D x − p > p x^TDx-p\gt p xTDxp>p

    \quad 所以 ∣ λ ∣ 2 = p 2 + q 2 ( x T D x − p ) 2 + q 2 < p 2 + q 2 p 2 + q 2 = 1 |\lambda|^2=\frac{p^2+q^2}{(x^TDx-p)^2+q^2}\lt\frac{p^2+q^2}{p^2+q^2}=1 λ2=(xTDxp)2+q2p2+q2<p2+q2p2+q2=1 λ < 1 \lambda<1 λ<1

    \quad 谱半径 ρ = m a x 1 ≤ i ≤ n λ < 1 \rho=max_{1\le i\le n}{\lambda}\lt1 ρ=max1inλ<1 G a u s s − S e i d e l Gauss-Seidel GaussSeidel法收敛。

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空空如也

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什么叫实对称正定矩阵