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  • 1. 简述仿射变换和透视变换的基本概念,并用实例说明。 仿射变换 用途 旋转 (线性变换),平移 (向量加).缩放(线性变换),错切,反转 方法 仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换,它保持了二维图形的...

    仿射变换和透视变换的基本概念

    仿射变换

    1. 用途
      旋转 (线性变换),平移 (向量加).缩放(线性变换),错切,反转

    2. 方法
      仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换,它保持了二维图形的“平直性”(直线经过变换之后依然是直线)和“平行性”(二维图形之间的相对位置关系保持不变,平行线依然是平行线,且直线上点的位置顺序不变)。任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换),再加上一个向量 (平移) 的形式.

    输入图片说明

    以上公式将点(x,y)映射到(x’,y’),在OpenCV中通过指定一个2x3矩阵实现此功能(公式中的m矩阵,是线性变换和平移的组合,m11,m12,m21,m22为线性变化参数,m13,m23为平移参数,其最后一行固定为0,0,1,因此,将3x3矩阵简化为2x3)

    1. 举例
      a) 以原点为中心旋转,2x3矩阵为:

    [ cos(theta), -sin(theta), 0 ],

    [ sin(theta), cos(theta), 0 ]

    x’ = x * cos(theta) - sin(theta) * y

    y’ = x * sin(theta) + cos(theta) * y

    b) 平移,2x3矩阵为

    [1,0,tx],

    [0,1,ty]

    x’ = x * 1 + y * 0 + tx = x + tx

    y’ = x * 0 + y * 1 + ty = y + ty

    1. 具体应用
      在OpenCV中,仿射变换通过函数cvWrapAffine(src,dst,mat)实现,其中mat是2x3的仿射矩阵,该矩阵可以利用函数cvGetAffineTransform(srcTri,dstTri,mat)得到,其中mat是被该函数填充的仿射矩阵,srcTri和dstTri分别是由三个顶点定义的平行四边形(由于是平行四边形,只需要指定三个顶点即可确定),即:给出变换前的ABCD和变换后的A’B’C’D’

    输入图片说明

    运用实例

    例程:

    import cv2
    import numpy as np
    import matplotlib.pylab  as plt
    
    img = cv2.imread('lena.jpg') #导入图片
    rows,cols,ch = img.shape  #获取图片形状
    
    pts1 = np.float32([[50,50],[200,50],[50,200]])
    pts2 = np.float32([[10,100],[200,50],[100,250]])
    
    M = cv2.getAffineTransform(pts1,pts2)  #创建一个2x3矩阵
    
    dst = cv2.warpAffine(img,M,(cols,rows)) #进行变换
    
    plt.subplot(121),plt.imshow(img),plt.title('Input')
    plt.subplot(122),plt.imshow(dst),plt.title('Output')
    plt.show()
    
    

    输入图片说明

    变换效果

    透视变换(投影变换)

    1. 用途
      将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果,全景拼接.

    2. 方法
      透视变换是将图片投影到一个新的视平面,也称作投影映射.它是二维(x,y)到三维(X,Y,Z),再到另一个二维(x’,y’)空间的映射.
      相对于仿射变换,它提供了更大的灵活性,将一个四边形区域映射到另一个四边形区域(不一定是平行四边形).它不止是线性变换.但也是通过矩阵乘法实现的,使用的是一个3x3的矩阵,矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23),也实现了线性变换和平移,第三行用于实现透视变换.

    输入图片说明

    以上公式设变换之前的点是z值为1的点,它三维平面上的值是x,y,1,在二维平面上的投影是x,y,通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z,再通过除以三维中Z轴的值,转换成二维中的点x’,y’.
    从以上公式可知,仿射变换是透视变换的一种特殊情况.它把二维转到三维,变换后,再转映射回之前的二维空间(而不是另一个二维空间).

    1. 具体应用
      在OpenCV中,透视变换通过函数cvWrapPerspective(src,dst,mat)实现, 与仿射变换不同的是,透视矩阵是一个3x3的矩阵,在计算矩阵时,可利用函数cvGetPerspectiveTransform(srcQuad,dstQuad,mat),由于不再是平行四边形,需要提供四边形的四个顶点

    输入图片说明

    运用实例

    import cv2
    import numpy as np
    import matplotlib.pylab  as plt
    
    img = cv2.imread('lena.jpg')
    rows,cols,ch = img.shape
    
    pts1 = np.float32([[56,65],[368,52],[28,387],[389,390]])
    pts2 = np.float32([[0,0],[300,0],[0,300],[300,300]])
    
    M = cv2.getPerspectiveTransform(pts1,pts2)
    
    dst = cv2.warpPerspective(img,M,(300,300))
    
    plt.subplot(121),plt.imshow(img),plt.title('Input')
    plt.subplot(122),plt.imshow(dst),plt.title('Output')
    plt.show()
    
    

    使用后效果

    输入图片说明

    区别

    仿射变换后平行四边形的各边仍操持平行,透视变换结果允许是梯形等四边形,所以仿射变换是透视变换的子集

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  • 什么是仿射变换

    千次阅读 2019-10-05 21:38:43
    仿射变换 fan...

    仿射变换




    fangshe bianhuan
    仿射变换
    affine transformations


       仿射平面(或空间)到自身的一类变换,最重要的性质是保持点的共线性(或共面性)以及保持直线的平行性。作为最常见的例子,首先引进两平面间的平行投影,设已知两平面 200811132743153.jpg200811132743153.jpg 200811132744663.jpg,d是与两平面都不平行的向量,过平面 200811132743153.jpg上各点 200811132744605.jpg200811132745224.jpg200811132745295.jpg、…分别作与d平行的直线交 200811132743153.jpg 200811132744663.jpg200811132744605.jpg 200811132744663.jpg200811132745224.jpg 200811132744663.jpg200811132745295.jpg 200811132744663.jpg、…,于是 200811132743153.jpg200811132743153.jpg 200811132744663.jpg各点间存在着一一对应的关系,这项对应关系叫做 200811132743153.jpg200811132743153.jpg 200811132744663.jpg的平行投影。 200811132744605.jpg200811132744605.jpg 200811132744663.jpg200811132745224.jpg200811132745224.jpg 200811132744663.jpg, 200811132745295.jpg200811132745295.jpg 200811132744663.jpg…为平行投影下的对应点,显见平行投影与 d有关。两平面间的平行投影具有以下重要性质:点变点;直线变直线;点与直线的结合关系不变。共线三点的简比不变,即[189-4] 189-4其中 200811132744605.jpg 200811132744663.jpg200811132745224.jpg 200811132744663.jpg200811132745295.jpg 200811132744663.jpg分别是共线三点 200811132744605.jpg200811132745224.jpg200811132745295.jpg的对应点,平面 200811132743153.jpg上的两条平行线,对应着平面 200811132743153.jpg 200811132744663.jpg上的两条直线,也是平行的(图1[平行投影示意图] 平行投影示意图)。当把 200811132743153.jpg经过一系列平行投影,最后仍变到 200811132743153.jpg本身的一一变换,就是一个仿影变换。在此情况下,上述性质也是保留的。将平行投影的概念加以推广,即得到下面的重要概念。
      两平面间的一一对应,如满足共线三点的对应点仍是共线三点;则此一一对应,叫仿射对应。如果两平面重合,就叫平面到它本身的仿射变换。因为仿射变换之积, 仍是仿射变换;任一个仿射变换的逆,仍是仿射变换,故平面内所有仿射变换的集合成群(见变换群),叫做仿射变换群。它是射影变换群的子群。类似地可定义空 间的仿射变换及仿射变换群。
     仿射性质与仿射不变量 按照依变换群将几何学分类的观点,图形在仿射变换群下的不变性质和不变的量叫做仿射性质和仿 射不变量。研究图形仿射性质的几何分支就称为仿射几何学。例如同素性(点变成点,直线变成直线)、结合性(点在线上或直线通过点)都是基本的仿射不变性, 简比则是基本的仿射不变量。而且还可推出,二直线的平行性、平行线段的比、封闭图形面积的比等,都是在仿射变换下不变的。又如关于二次曲线的中心、直径及 共轭径等,都是平面仿射几何的研究对象,因为它们都是仿射性质。
     仿射坐标系 见坐标系。
     仿射变换的代数表示 设给定平面上一个仿射坐标系{ 200811132746933.jpg;e 200811132747177.jpg,e 200811132747257.jpg},仿射变换将点 200811132747274.jpg变为点 200811132747274.jpg 200811132744663.jpg,并将坐标系{ 200811132746933.jpg;e 200811132747177.jpg,e 200811132747257.jpg}变为坐标系{ 200811132746933.jpg 200811132744663.jpg;e 200811132748262.jpg,e 200811132748311.jpg} (图2[仿射变换示意图] 仿射变换示意图)。若令[189-5] 189-5[189-6] 189-6 则e 200811132747177.jpg,e 200811132747257.jpg;e 200811132748262.jpg,e 200811132748311.jpg分别为新旧两坐标轴上的坐标向量。设 200811132747274.jpg200811132747274.jpg 200811132744663.jpg,e 200811132748262.jpg,e 200811132748311.jpg, 200811132746933.jpg 200811132744663.jpg在{ 200811132746933.jpg;e 200811132747177.jpg,e 200811132747257.jpg}下的坐标,分别是 200811132747274.jpg( 200811132751419.jpg, 200811132751867.jpg), 200811132747274.jpg 200811132744663.jpg( 200811132751419.jpg 200811132744663.jpg, 200811132751867.jpg 200811132744663.jpg),e 200811132748262.jpg( 200811132752821.jpg 200811132752700.jpg, 200811132752821.jpg 200811132753629.jpg),e 200811132748311.jpg( 200811132752821.jpg 200811132753388.jpg, 200811132752821.jpg 200811132753765.jpg), 200811132746933.jpg 200811132744663.jpg( 200811132752821.jpg 200811132753623.jpg, 200811132752821.jpg 200811132754700.jpg),如果要求出 200811132747274.jpg200811132747274.jpg 200811132744663.jpg坐标间的关系。由于仿射变换保持平行性,故 200811132746933.jpg 200811132744663.jpg 200811132747274.jpg[189-7] 189-7 200811132747274.jpg 200811132744663.jpg 200811132747274.jpg[189-8] 189-8仍为平行四边形,又由于仿射变换保持简比不变,所以 200811132747274.jpg 200811132744663.jpg在{ 200811132746933.jpg 200811132744663.jpg;e 200811132748262.jpg,e 200811132748311.jpg}下的坐标仍为( 200811132751419.jpg, 200811132751867.jpg)。根据向量的加法及向量的坐标表达,则有:
    [190-1] 190-1又             [190-2] 190-2比较以上二式,得
                 [190-3] 190-3      (1)由于e 200811132748262.jpg,e 200811132748311.jpg不平行,故又有
                      [190-4] 190-4           (2)满足(2)的(1)式,就是仿射变换的代数表示式。利用仿射变换的代数表示,对问题的解决将有很大的方便,同时也便于将它推广到高维空间。
     参考书目
    苏步青编:《高等几何讲义》,上海科学技术出版社,上海,1964。
    朱德祥编:《高等几何》,高等教育出版社,北京,1983。
    切特维鲁欣著,东北师范大学几何教研室译:《射影几何》,高等教育出版社,北京,1955。( 200811132757181.jpg. 200811132757104.jpg. 200811132757212.jpg 200811132758787.jpg 200811132758664.jpg 200811132758181.jpg 200811132758787.jpg 200811132759514.jpg 200811132759958.jpg 200811132759419.jpg 20081113280396.jpg 20081113280587.jpg, 20081113280162.jpg 20081113281362.jpg 20081113281868.jpg 20081113281989.jpg 20081113282230.jpg 20081113282238.jpg 20081113282725.jpg 20081113283626.jpg 20081113283234.jpg 20081113283177.jpg 20081113284608.jpg   20081113284243.jpg 20081113281989.jpg 20081113281868.jpg 20081113285757.jpg 20081113281989.jpg 20081113282238.jpg 20081113281362.jpg 20081113282725.jpg 20081113284608.jpg 20081113285229.jpg 20081113285962.jpg 20081113286391.jpg. 6- 200811132758787.jpg. 20081113286693.jpg 200811132758787.jpg 200811132759514.jpg 200811132758787.jpg 200811132759514.jpg 20081113287736.jpg 20081113287774.jpg 20081113287398.jpg 200811132758664.jpg., 20081113287239.jpg 20081113288653.jpg 20081113286693.jpg 200811132758787.jpg 20081113286391.jpg 20081113288855.jpg 20081113280396.jpg 20081113285962.jpg, 20081113288745.jpg 20081113287398.jpg 20081113289762.jpg 20081113289304.jpg 200811132758181.jpg 20081113287736.jpg,1953.

    转载于:https://www.cnblogs.com/rocklele/archive/2008/11/24/1339983.html

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  • 仿射变换与加密

    2019-10-04 02:49:51
    仿射变换与加密 ...摘抄自wiki的关于仿射变换定义: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%8F%98%E6%8D%A2  仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性...

    前言:

    摘抄自wiki的关于仿射变换的定义:

    http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%8F%98%E6%8D%A2

      仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。

        一个对向量{\vec  {x}} 平移{\vec  {b}},与旋转放大缩小A 的仿射映射为

         {\vec  {y}}=A{\vec  {x}}+{\vec  {b}}.       【1】


     

    1、移位加密:

      比方说:把字母表全部向右循环移1位,也就是A变成B,B变成C,... , Z变成A。

      用数学一点的术语我觉得所谓“移位”就是映射吧。

      那么我们可以写出通解公式,——现在是已知明文和加密步骤,进行加密,也就是求密文。

        New = (Old + k) (mod table)    【2】

       注释:

          New:要求的密文

          Old  :明文

          k :移位的位数

          table:这张表有多大,比方说字母表就是26个字母,table就是26.

     

    2、仿射变换:

      移位加密和仿射变换有啥关系呢?

      额 ,因为移位加密就是一种放射变换。。。

      首先我们在1里面的变量命名现在改一下,以便更好地认识,变成:

      y = (x + b)(mod m)   【3】 

      是不是和【1】很像啦,可惜我们的x没有系数。。

      但是没关系,我们完全可以自己加上一个系数,把【3】变成:

      y = (ax + b)(mod m)   a,b为整数; 【4】 

      这样已经很像了,只不过【1】里面的自变量是向量。

      但是,我们这里讨论的是一维的变换,所以不用用到2维及其以上的向量。(一维数字标记的向量就是普通的数嘛……)

      

    3、知道了1、2这些,我们现在的目标就是——

      "当知道一个一维的仿射变换的加密,

        a. 怎么把明文加密 

        b. 怎么把密文解密 "

      

      对于"a. 怎么把明文加密",我们已经解决了,就是【4】那个公式。

      对于"b. 怎么把密文解密"嘛,其实也不复杂。待我不快不慢地说来。

      首先由【4】我们可以得到什么?

        没错!就是 y ≡ (ax + b)(mod m) —— 这是明显的事实不用证明了。

      然后正视一下题目是什么:我们现在已知a,b,y,m,要求x。

        1). 左右移位一下 ,变为 y-b ≡ (ax)(mod m) 【5】

          {为啥【5】是对的?

            首先同余式可以相加,

             即 若 a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m), 【*】

             那么(a + c) ≡ (b + d)(mod m) .

              ——同余式可以相加的证明用同余的定义就好……

           然后  y ≡ (ax + b)(mod m)

               -b ≡ -b (mod m)

           所以……

          }

        2). 已知y-b ≡ (ax)(mod m),x未知,求x.

          现在已知ax ≡(y-b) (mod m);

          {首先我们要知道 同余式可以相乘,若【*】,则 ac ≡ bd (mod m) .证明同样可以基于同余定义。}

          这时候我们就脑补了,如果有一个c能使得 cax ≡ x ≡ c(y-b) (mod m)就好了!

          也就是说这个c如果能使得ca = 1或者 更宽一点的:ca ≡ 1(mod m).那么就解决了!

        3). 于是问题变成了:找一个c使得,ca ≡ 1(mod m)

          于是很容易联系到费马小定理、欧拉定理一类的。

          但是费马小定理要求m一定要是素数,这样和我们题目不符。

          所以看看欧拉定理,对 gcd(a,m) = 1(m>1),有aΦ(m) ≡ 1 (mod m)

          {Φ(m) 为欧拉函数,就是小于等于m的与m互素的正整数个数。如Φ(2) = 1 ,Φ(6) = 2——6与{1,5}互素。}

          所以如果ca = aΦ(m) ,那么就有ca ≡ 1(mod m)。

          于是c = aΦ(m)-1 . 但是gcd(a,m) = 1,这一点不能漏。

    4、综上,我们发现了,当c = aΦ(m)-1 时 ;

         cax ≡c(y-b) (mod m)

         化为 x ≡c(y-b) (mod m) {现在要附加gcd(a,m)=1这个条件了!}

     

    5、那么对于仿射变换,

        我们知道变化规则[即位移b]后,如何把密文[y]翻译成明文[x]呢?

        结论是:

         step 1.  求 c = aΦ(m)-1 

         step 2.  x ≡c(y-b) (mod m)

          

     

    番外小剧场:

    窝:你在2里面为啥要改名字?该问题纯属好奇!

    big窝:此中原因有2——

        1. 如文中所说,为了更直观地比较。

        2. 也是最根本的原因——变量命名如此之平凡,根本不是我的feel!OK?

    窝:......

    窝:第二个问题——你怎么知道同余式符合相加相乘原理?你怎么想到的?

    big窝: 首先"同余式符合相加相乘原理"这个结论在数论里就像是实数有相加相乘的运算一样自然,如果想不到那么你需要找一本数论的书看看,不需要看完这就足以变成你的常识。至于怎么想到的,如果给你一堆数,你能想到的最基本的运算就是做加减乘除了吧?

    窝:恩……好像是的……

    big窝:那不就得了,说了同余式符合相加相乘原理是同余式的基本运算。

    窝:……哦……

    posted on 2014-02-10 23:51  Boapath 阅读( ...) 评论( ...) 编辑 收藏

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  • 仿射变换(Affine Transformation)作为图像图形学领域常用的一种变换模型,主要描述一种二维坐标点对之间线性变换, 它保持二维图形的“平直性”(straightness,即变换后直线还是直线)和“平行性”(parallelness...

    仿射变换(Affine Transformation)作为图像图形学领域常用的一种变换模型,主要描述一种二维坐标点对之间线性变换, 它保持二维图形的“平直性”(straightness,即变换后直线还是直线)和“平行性”(parallelness,即变换后平行线还是平行线)。

    仿射变换的定义

    仿射变换

    仿射变换通过一系列原子变换的复合来实现,其中包括:尺度(Scale,也叫“缩放”)、旋转(Rotation)、平移(Translation)、偏移(Shear,也叫“剪切”)和翻转(Flip)。同时值得注意的是,三对不共线的二维对应坐标点之间确定唯一的仿射变换。

    仿射变换

    仿射变换可以分解为一个线性变换接上一个平移变换组成(显然,仿射变换不符合“齐次可加性”),所以仿射变换是线性变换的超集。

    齐次坐标的仿射变换

    一般情况下,为了计算方便(将平移分量融入仿射变换矩阵)会使用齐次坐标,将原二维坐标增加一个维度,所以大部分情况下仿射变换的变换矩阵如上公式所示,从公示中可以很清晰的看出其含有六个自由度(a,b,c,d,e,f)

    仿射变换的参数估计
    因为仿射变换矩阵含有六个自由度,所以理论上讲我们至少需要三对不共线的二维对应坐标点,才可以求解仿射变换矩阵(单个二维坐标点含有x分量与y分量,可以列出两个线性方程)。当多对坐标点求解时构成超定方程组,可以基于最小二乘或者SVD等方法进行求解。

    与透视(投影)变换的区别
    仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的映射,而透视(投影)变换是将目标经透视投影到一个新的平面,它是二维(x,y)空间到三维(X,Y,Z)空间,再到另一个二维(x’,y’)空间的映射。

    总结
    图中两种仿射变换矩阵排列方式不同,是因为左乘与右乘矩阵互为转置的原因。图像方面仿射变换的详细介绍可以参考:数字图像处理(冈萨雷斯-第三版)。

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