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  • 平面截距式方程推导

    千次阅读 2021-05-10 06:42:16
    平面Σ与三个坐标轴的交点分别为 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中a,b,c为非零常数,则平面∑的方程为 ∑:x/a + y/b + z/c = 1 推导: 根据A、B、C三点可得向量AB(-a,b,0)和向量AC(-a,0,c),求得这两个向量的...

    背景与结论如下:
    设平面Σ与三个坐标轴的交点分别为 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中a,b,c为非零常数,则平面∑的方程为
    ∑:x/a + y/b + z/c = 1

    推导:
    根据A、B、C三点可得向量AB(-a,b,0)和向量AC(-a,0,c),求得这两个向量的向量积为向量n-(bc,ac,ab)
    在这里插入图片描述根据平面点法式方程的定义,将向量n和A点代入:
    在这里插入图片描述

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  • 平面方程推导过程

    千次阅读 2020-06-03 17:59:04
    平面方程有四种表达方式分别是:截距式,点法式,一般式,法线式。 1.点法式 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 假设n=(A,B,C)为平面的法向量,M=(x,y,z)为平面上任意一点,M'=(x0,y0,z0),则有n·MM'=0,则有A(x-x0)+B(y...

    平面方程有四种表达方式分别是:截距式,点法式,一般式,法线式。

    1.点法式

    A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

    假设n=(A,B,C)为平面的法向量,M=(x,y,z)为平面上任意一点,M'=(x0,y0,z0),则有n·MM'=0,则有A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

    2.一般式

    Ax+By+Cz+D=0

    由点法式推出A*x + B*y + C*z - A*x0 - B*y0 - C*z0 = 0 令D =  - A*x0 - B*y0 - C*z0即推导出一般式

    3.截距式

    设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0,取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程:x/a + y/b + c/z = 1

    平面与三个轴的坐标分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),其中,a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的解距

    推导过程很简单平面与x轴的交点就是令y=0,z=0,所以a= -D/A,以此类推出b=-D/B,c=-D/C。

    4.法线式

    xcosα + ycosβ + zcosγ = d 其中cosα、cosβ、cosγ是平面法向量的方向余玹,p为原点到平面的距离。其中cosα²+cosβ²+cosγ²=1

    假设原点到平面的法线为on,平面上任意一点p(x,y,z),平面上一点p₀,(x₀,y₀,z₀),则有on·pp₀ = 0。

    pp₀ = op - op₀,则on·op - on·op₀ = 0

    假设on₀的的单位法向量为(cosα,cosβ,cosγ)且 cosα²+cosβ²+cosγ²=1则on·op - on·op₀ = on₀·op - on₀·op₀

    其中on₀·op₀ = d 并且 on₀·op = xcosα + ycosβ + zcosγ 所以xcosα + ycosβ + zcosγ = d

     

     

     

     

     

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  • 平面方程的基本定义 三维空间中所有处于同一平面的点所对应的方程,任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。 确定一个平面需要的条件 点法式: 1、平面上的一个点; 2、以该点为起点的法向量。 标准: ...

    平面方程的基本定义

    三维空间中所有处于同一平面的点所对应的方程,任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。

    平面方程表达式

     表达式限定条件特殊含义
    一般式Ax+By+Cz+D=0A,B,C,D为已知常数,并且A,B,C不同时为零。

    D=0时,该平面过原点,

    (A,B,C)是该平面的法向量。

    点法式A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0A,B,C,D为已知常数,并且A,B,C不同时为零。(A,B,C)是该平面的法向量,(x0,y0,z0)是该平面上的点。
    截距式x/a+y/b+z/c=1若该平面在一个轴上没有截距,则这个平面平行于该轴,表达式为两元一次方程;若该平面在两个轴上没有截距,则这个平面平行于这两个轴,表达式为一元一次方程。该平面过(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。
    法线式xcosα+ycosβ+zcosγ=p p为原点到平面的距离,cosα、cosβ、cosγ是平面法向量的方向余弦。。

     

     

     

     

     

     

    确定一个平面需要的条件

    点法式:
        1、平面上的一个点;
        2、该平面的法向量。
    
    标准式:
        1、平面上的一个点;
        2、两个不共线且与平面平行的向量。
    
    三点式:
        1、三个不同时共线的点。
    
    注意:若已知三个点求平面方程,通常利用这三个点得出两个向量,然后转化为点法式或标准式。

    推导过程

     推导(因为输入法不便,向量上方箭头省略。)备注
    点法式

    已知:一个平面过点M0(x0,y0,z0),平面的法向量为n(A,B,C),其中A、B、C不同时为0。

    证明:取平面内的一个点M(x,y,z),则n⊥MM0,即向量MM0(x-x0,y-y0,z-z0)与n内积等于0。

    ⇒A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。

     
    一般式三维空间中所有处于同一平面的点所对应的方程,任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。 
    截距式

    已知:一个平面过(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)三点。

    证明:设这个平面的方程为Ax+By+Cz+D=0,将三个点带入后得到A=-D/a,B=-D/b,C=-D/c,将ABC三个值分别带入到方程中,通过移项整理后,⇒x/a+y/b+z/c=1

     
    法线式略。 

     

     

     

     

     

     

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  • 点到平面距离完整推导

    千次阅读 2019-12-13 10:13:43
    点到面的距离一般还说时最短距离,但一个平面一般是有界限的,所以需要先把一个平面截距式方程显示为: Ax+By+Cz+D=0 借用这张图来表示: 可以看到要求d(最短距离)需要知道q点到p点(p点时平面的点)的距离...

    前几天跟同事讨论一个几何知识时遇到了一些疑问,后面经过推导弄明白了,其实这道题不难,但是里面有些基本的原理深究的话一开始还是没想明白,在这里记录下:

    点到面的距离一般还说时最短距离,但一个平面一般是有界限的,所以需要先把一个平面用截距式方程显示为:

    Ax+By+Cz+D=0

    借用这张图来表示:

    可以看到要求d(最短距离)需要知道q点到p点(p点时平面的点)的距离(也就是他的模),以及\Theta这个角度,

    通过三角函数知道:d=\left | \underset{PQ}{\rightarrow} \right |\cdot \cos \Theta\

    因为pg的模本身我们不确定,所以需要得到一个确定的值来运算

    我们可以用PG\cdot n来做运算,要得到这块我们法线d这个公式只需要加上\left |\underset{n}{\rightarrow} \right |就可以了,

    所以我们乘\left |\underset{n}{\rightarrow} \right |\left |\underset{n}{\rightarrow} \right |得到

    已知PQ\cdot n=\left |\underset{PG}{\rightarrow} \right |\star \left |\underset{n}{\rightarrow} \right |\star \cos \Theta

    得:

     

    到了这一步我们法线我们得法向量还未知:

    但其实我们通过截距式方程的公式可知n={A,B,C}。

    当然我们还时可以推导出来的。

    法向量的推导可以用两个方式,一个是取平面的任意两条线与法向量点乘,这个值必然为0。另一个是用任意两条平面的线做叉乘,这时可得垂直于他的法向量。

    下面我们推导点乘的方式:

    我们已知平面的截距式公式为:Ax+By+Cz+D=0

    得到:截距式表明了,当y=0,z=0时,跟x轴相交,代入公式得到x=\frac{-D}{A},

    同理y=0,z=0时,跟y轴相交,带入公式得到y=\frac{-D}{B}

    同理x=0,y=0时,跟z轴相交,带入公式得到z=\frac{-D}{C}

    然后我们可以得到平面的特殊的三个点a点:(\frac{-D}{A},0,0),b点:(0,\frac{-D}{B},0),c点:(0,0,\frac{-D}{C})

    那么我们可以得到向量ab:(x_{b}-x_{a},y_{b}-y_{a},z_{b}-z_{a}),ac:(x_{c}-x_{a},y_{c}-y_{a},z_{c}-z_{a}),bc:(x_{c}-x_{b},y_{c}-y_{b},z_{c}-z_{b})

    具体得到ab:(\frac{D}{A},\frac{-D}{B},0),ac:(\frac{D}{A},0,\frac{-D}{C}),bc:(0,\frac{D}{B},\frac{-D}{C})

    我们之前说了平面和法向量的点乘一定为0

    点乘的公式为:

    带入进入得

    \frac{D}{A}*x+\frac{-D}{B}*y+0*z = 0

    \frac{D}{A}*x+0*y+\frac{-D}{C}*z=0

    0*x+\frac{D}{B}*y+\frac{-D}{C}*z=0

    这里公式列出来我们可以求解,我们可以得到两种情况可以让xyz使上面得值为0得,

    第一个值时xyz都为0,这个就i是具体的一个点了,而不是面。

    那么另外一个值就只有点(A,B,C)了。

    由此可得法向量为(A,B,C)

     

    最终带入到上面的公式中得:

    (其中(x0,y0,z0)是点Q的值,ABCD是截距式公式的4个常量值)

    最后的等式就是我们要求的点到面的最短距离了。

    只需要带入具体的值就能算出来了。

     

    这个公式在具体的应用中也会用到。

     

    有时我们能直接套公式不需要推导就能完成很多事情,但只有完整推导出公式才属于自己的知识,才能在以后的复杂应用中灵活引用。

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